2024武汉华中师范大学第一附中高二上学期期中数学试题含解析

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时限：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（ ）
A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线一支D. 以上选项都不对
3. “”是“方程表示圆的方程”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知椭圆的离心率为，则实数的值为（ ）
A. B. 或C. 或D. 或
5. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．若透明窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为（ ）
A. 2B. C. D. 5
6. 已知圆与圆外切，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. D. 3
7. 如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 直线与圆的公共点的个数可能为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
10. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为
B. 过点且与圆相切的直线方程为或
C. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或
D. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为
11. 已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆上任意一点．若的最小值为，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 的最大值为5
C. 存在点使得D. 的最小值为
12. 在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 二面角的余弦值为
B. 棱台的体积为26
C. 若点在侧面内运动，则四棱锥体积的最小值为
D. 点的轨迹长度为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，且直线与直线垂直，则实数的值为______．
14. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为______．
15. 椭圆上的点到直线的最远距离为______．
16. 已知点的坐标为，点是圆上的两个动点，且满足，则面积的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
（1）求点坐标；
（2）求直线的方程．
18. 如图，在三棱柱中底面为正三角形，．
（1）证明：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
19. 已知圆圆心在轴上，其半径为1，直线被圆所截的弦长为，且点在直线的下方．
（1）求圆的方程；
（2）若为直线上的动点，过作圆的切线，切点分别为，当的值最小时，求直线的方程．
20. 已知分别为椭圆的左、右焦点，离心率，点为椭圆上的一动点，且面积的最大值为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆左顶点，点在椭圆上，线段的垂直平分线与轴交于点，且为等边三角形，求点的横坐标．
21. 如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且．
（1）若点为线段的中点，证明：平面；
（2）若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22. 已知椭圆左、右顶点分别为，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于点．
（1）若，求的值；