2023武汉华中师范大学第一附中高一上学期新生入学测试数学试题含答案

华中师大一附中2022级新生入学测试

数学试题

一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 满足条件的所有集合的个数是（）

A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个

2. 二次三项式因式分解正确的是（）

A B.

C.  D.

3. 设，则“”是“”的（）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5. 已知二次函数的图象与轴交于点与，其中，方程的两根为，则下列判断正确的是（）

A.  B.

C.  D.

6. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）

A. 表高 B. 表高

C. 表距 D. 表距

7. 关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

8. 如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，，则和面积之比为（）

A.  B.  C.  D.

二､多项选择题

9. 在即将开启的新高一数学课程中发现，同学们会陆续接触到集合论的创始人格奥尔格·底托尔和解析几何之父勒内·笛卡尔等著名的数学家，正是有些伟大的数学家的研究和发现，才使得我们的人类文明得以推动，请从下列图片中选出康托尔和笛卡尔（）

A.  B.

C.  D.

10. 已知，下列结论正确的是（）

A.  B.

C.  D.

11. 已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（）

A

B

C. 的解集为

D. 的解集为或

12. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数可能的取值为（）

A.  B.  C.  D.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 甲工厂将生产I号､II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号､II号产品的重量如下：

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案___________（写出要装运包裹的编号）；

14. 已知满足，使直线的图像经过一､二､四象限的的概率是___________.

15. 定义一种新运算：对平任意的非零实数.若，则的值为___________.

16. 如图，四边形为矩形，点在第二象限，点关于的对称点为点，点都在函数的图像上，轴于点.若的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，的值为___________；点的坐标为___________.

四､解答题

17. 已知，且，求下列代数式的值：

（1）；

（2）.（注：立方和公式）

18. 已知集合.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围：

（3）若，求实数的取值范围.

19. 某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（其中即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）.

（1）直接写出y与x之间的函数关系式：

（2）当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？

20. 已知函数.

（1）若，判断的奇偶性并加以证明.

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

21. （1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点.求证：

（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求长.

（3）拓展：如图③，在菱形中， ,为边上的三等分点，，将沿翻折得到，直线交于点求的长.

22. 如图①，抛物线交x轴于A､B，交y轴于点C，点D为抛物线第三象限上一点，且，，

（1）求a的值；

（2）如图②，点P为第一象限抛物线上一点，连接PD，交y轴于点E，过点P作PF⊥y轴，垂足为F，求的值；

（3）在（2）的条件下，连接PB，如图③，若PE+PB=DE，求点P的坐标.

1【答案】D

2【答案】B

3【答案】B

4【答案】B

5【答案】C

6【答案】A

7【答案】D

8【答案】B

9【答案】BC

10【答案】ABD

11【答案】ABC

12【答案】BD

13【答案】（答案不唯一）

14【答案】

15【答案】##

16【答案】    ①. ##0.5；    ②.

17【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

因为，且，

所以，

所以

【小问2详解】

因为，且，，

所以.

18【答案】（1）

（2）

（3）

【小问1详解】

由题意知，

，

因为，所以 , ,

即实数的取值范围为；

【小问2详解】

由（1）知，，

,

即实数的取值范围是；

【小问3详解】

由题意知或，，

或，

或，即实数的取值范围是.

19【答案】（1）

（2）65元 ；6250元

【小问1详解】

由题意可得；

【小问2详解】

由题意得，

即，

当时，取最大值6250，

当时，取最大值6125，

故当销售价格65元时才能使月利润最大，最大月利润是6250元.

20【答案】（1）为奇函数，证明过程见解析；

（2）

【小问1详解】

，

当时，，定义域为R，此时，

所以为奇函数，

当时，定义域为，且，

所以为奇函数，

综上：为奇函数.

【小问2详解】

,

即，在上恒成立，

整理为在上恒成立，

令，

当时，，

所以，

故实数的取值范围为.

21【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或

【详解】（1）证明：在正方形中，将沿翻折到处，

故,

为公共边,所以；

（2）延长BH,AD交于Q，设，由于沿翻折到处，

故AB=BF，在中，，

，解得，,

, ,

,即，

,

,

设，,

,即，解得，

即的长为；

（3）当时，延长FE交AD于Q,过Q作QH垂直于CD于H,

设,

,

将沿翻折得到, ,

故AE是的角平分线，①，

，,

在，②，

联立①②解得 ，故；

当时,延长FE交AD的延长线于,作垂直于CD的延长线于，

设,

同理可得，

同理可得 , ,即① ，

由可得②，

联立①②解得 ，故；

综合上述，PC的长为或.

22【答案】（1）

（2）2（3）

【小问1详解】

因为 ，，所以，

点D为抛物线在第三象限内一点，故D点横坐标为，

D点纵坐标为，即,

将坐标代入中，；

【小问2详解】

由（1）知，，

故点C坐标为，

设点P的坐标为，需满足，

设直线PD的方程 ，

故，即，

，则点，

,而PF⊥y轴，则，

故；

小问3详解】

在DE上截取EM=EP,作于H，作y轴，作于Q,

设点P的坐标为,由（2）知，

，

,

,

,

,

在和中，，

，，,

,即，

，由于,故舍去，

所以，代入抛物线方程中，则，

即P点坐标为.