2025年高考数学一轮复习-第八章-第三节 圆的方程-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第八章-第三节 圆的方程-课时作业【含解析】，共9页。
1.（2024·北京）若直线2x＋y－1＝0是圆x2＋y＋a2＝1的一条对称轴，则a＝（ ）
A.－1 B.1
C.12 D.－12
2.若△AOB的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（0，－4），O（0，0），则△AOB外接圆的圆心坐标为（ ）
A.（1，－1） B.（－1，－2）
C.（1，－2） D.（－2，1）
3.（2024·福建宁德）已知点M（3，1）在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为（ ）
A.－6＜k＜12 B.k＜－6或k＞12
C.k＞－6 D.k＜12
4.圆心在y轴上，且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（ ）
A.x2＋y2＋10y＝0 B.x2＋y2－10y＝0
C.x2＋y2＋10x＝0 D.x2＋y2－10x＝0
5.自圆C：（x－3）2＋（y＋4）2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（ ）
A.8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0
C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0
6.（多选）若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于yx－1的判断正确的是（ ）
A.yx－1的最大值为3 B.yx－1的最小值为－3
C.yx－1的最大值为33 D.yx－1的最小值为－33
7.（2024·云南昆明）已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0的半径为3，则a＝ .
8.已知点A－2，0，B0，2，动点M满足AM·MB＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是 .（写出一个符合题意的整数值）
9.已知圆C过点A2，5，B4，3，则圆心C到坐标原点的距离的最小值为 .
10.已知圆C1经过点A（1，3），B（2，4），圆心在直线2x－y－1＝0上.
（1）求圆C1的方程；
（2）若M，N分别是圆C1和圆C2：（x＋3）2＋（y＋4）2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求｜PM｜＋｜PN｜的最小值，以及此时点P的坐标.
[B组 能力提升练]
11.若直线x＋2y＋1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（ ）
A.12 B.－12
C.1 D.－1
12.已知两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实数k的取值范围是（ ）
A.－15＜k＜－1 B.－15＜k＜1
C.－13＜k＜1 D.－2＜k＜2
13.过点M（2，2）的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是（ ）
A.（x－2）2＋（y－2）2＝8
B.（x－1）2＋（y－2）2＝8
C.（x＋2）2＋（y－2）2＝8
D.（x－1）2＋（y＋2）2＝8
14.（2024·海南海口）已知实数x，y满足x2＋y2＝4（y≥0），则m＝3x＋y的取值范围是（ ）
A.（－23，4） B.[－23，4]
C.[－4，4] D.[－4，23]
15.（多选）已知圆C过点M（1，－2）且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（ ）
A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B.满足条件的圆C有且只有一个
C.点（2，－1）在满足条件的圆C上
D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为42
16.已知圆C：x2＋（y－1）2＝2，若点P在圆C上，并且点P到直线y＝x的距离为22，则满足条件的点P的个数为 .
17.已知长为2a（a＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为 .
18.（2024·福建厦门）已知动点P（x，y）满足x2＋y2－2｜x｜－2｜y｜＝0，O为坐标原点，求x2＋y2的最大值.
2025年高考数学一轮复习-第八章-第三节 圆的方程-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.（2024·北京）若直线2x＋y－1＝0是圆x2＋y＋a2＝1的一条对称轴，则a＝（ ）
A.－1 B.1
C.12 D.－12
答案：A
解析：圆x2＋y＋a2＝1的圆心为0,−a，因为直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，
所以圆心0,−a在直线2x＋y－1＝0上，所以2×0＋－a－1＝0，解得a＝－1.
2.若△AOB的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（0，－4），O（0，0），则△AOB外接圆的圆心坐标为（ ）
A.（1，－1） B.（－1，－2）
C.（1，－2） D.（－2，1）
答案：C
解析：由题意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°，
所以△AOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点.
设圆心坐标为（x，y），
由中点坐标公式得x＝2+02＝1，y＝0－42＝－2，
故所求圆心坐标为（1，－2）.
3.（2024·福建宁德）已知点M（3，1）在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为（ ）
A.－6＜k＜12 B.k＜－6或k＞12
C.k＞－6 D.k＜12
答案：A
解析：∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圆C的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝1－2k，
∴圆心坐标为（1，－2），半径r＝1－2k.
若点M（3，1）在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足（3－1）2＋（1+2）2＞1－2k，且1－2k＞0，即13＞1－2k且k＜12，即－6＜k＜12.
4.圆心在y轴上，且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（ ）
A.x2＋y2＋10y＝0 B.x2＋y2－10y＝0
C.x2＋y2＋10x＝0 D.x2＋y2－10x＝0
答案：B
解析：根据题意，设圆心坐标为（0，r），半径为r，则32＋（r－1）2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
5.自圆C：（x－3）2＋（y＋4）2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（ ）
A.8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0
C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0
答案：D
解析：由题意得，圆心C的坐标为（3，－4），半径r＝2，如图所示.
设P（x0，y0），由题意可知｜PQ｜＝｜PO｜，且PQ⊥CQ，所以｜PO｜2＋r2＝｜PC｜2，所以x02＋y02＋4＝（x0－3）2＋（y0＋4）2，
即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意.
6.（多选）若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于yx－1的判断正确的是（ ）
A.yx－1的最大值为3 B.yx－1的最小值为－3
C.yx－1的最大值为33 D.yx－1的最小值为－33
答案：CD
解析：由x2＋y2＋2x＝0得（x＋1）2＋y2＝1，表示以（－1，0）为圆心、1为半径的圆，yx－1表示圆上的点（x，y）与点（1，0）连线的斜率，易知，yx－1的最大值为33，最小值为－33.
7.（2024·云南昆明）已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0的半径为3，则a＝ .
答案：－4
解析：将圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0的方程转化为x+12＋y－22＝5－a，
因为圆C的半径为3，所以5－a＝9，即a＝－4.
8.已知点A－2，0，B0，2，动点M满足AM·MB＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是 .（写出一个符合题意的整数值）
答案：0或1 （只写一个即可）
解析：由题设知AM⊥MB，即M在以AB为直径的圆上，且圆心为（－1，1），半径为2，
所以M的轨迹为（x＋1）2＋（y－1）2＝2，
而（－1，1）到y＝x＋2的距离为d＝02＝0，即直线过圆心，所以M到直线y＝x＋2的距离范围[0，2]，
所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1.
9.已知圆C过点A2，5，B4，3，则圆心C到坐标原点的距离的最小值为 .
答案：22
解析：依题意，可知圆心C在线段AB的中垂线上，AB的斜率为－1，线段AB的中点为3，4，故线段AB的中垂线方程为y＝x＋1，故C到坐标原点的距离的最小值为12＝22.
10.已知圆C1经过点A（1，3），B（2，4），圆心在直线2x－y－1＝0上.
（1）求圆C1的方程；
（2）若M，N分别是圆C1和圆C2：（x＋3）2＋（y＋4）2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求｜PM｜＋｜PN｜的最小值，以及此时点P的坐标.
解：（1）由题意知AB的中点坐标为32，72，
kAB＝4－32－1＝1，
∴AB的垂直平分线为y＝5－x，
联立y=5－x，y=2x－1，
解得x=2，y=3，
即圆C1的圆心坐标为（2，3），半径r＝1，
其方程为（x－2）2＋（y－3）2＝1.
（2）注意到点C1（2，3）和点C2（－3，－4）在直线x＋y＝0的两侧，
直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示.
∴｜PM｜＋｜PN｜≥｜PC1｜－1＋｜PC2｜－3≥｜C1C2｜－4＝74－4，
当且仅当M，N，P在线段C1C2上时取等号，
此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，
过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
联立x＋y=0，7x－5y+1=0，解得x＝－112，y＝112，
∴点P的坐标为－112，112.
[B组 能力提升练]
11.若直线x＋2y＋1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（ ）
A.12 B.－12
C.1 D.－1
答案：D
解析：由题意得，圆心为a，0，
因为直线x＋2y＋1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，
所以直线过圆心，即a＋1＝0，解得a＝－1.
12.已知两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实数k的取值范围是（ ）
A.－15＜k＜－1 B.－15＜k＜1
C.－13＜k＜1 D.－2＜k＜2
答案：B
解析：圆x2＋y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，
由y＝x+2k，y=2x＋k+1，得x＝k－1，y=3k－1，则两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点为（k－1，3k－1），
依题意得（k－1）2＋（3k－1）2＜4，解得－15＜k＜1.
13.过点M（2，2）的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是（ ）
A.（x－2）2＋（y－2）2＝8
B.（x－1）2＋（y－2）2＝8
C.（x＋2）2＋（y－2）2＝8
D.（x－1）2＋（y＋2）2＝8
答案：A
解析：设直线l的方程为xa＋yb＝1（a＞0，b＞0），由直线l过点M（2，2），得2a＋2b＝1.又S△OAB＝12ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，则△OAB外接圆的圆心是点M（2，2），半径｜OM｜＝22，所以△OAB外接圆的标准方程是（x－2）2＋（y－2）2＝8.
14.（2024·海南海口）已知实数x，y满足x2＋y2＝4（y≥0），则m＝3x＋y的取值范围是（ ）
A.（－23，4） B.[－23，4]
C.[－4，4] D.[－4，23]
答案：B
解析： x2＋y2＝4（y≥0）表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线3x＋y－m＝0的斜率为－3，在y轴上的截距为m.当直线3x＋y－m＝0过点（－2，0）时，m＝－23.设圆心（0，0）到直线3x＋y－m＝0的距离为d，则m≥－23，d≤2，即m≥－23，|−m｜2≤2，解得m∈[－23，4].
15.（多选）已知圆C过点M（1，－2）且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（ ）
A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B.满足条件的圆C有且只有一个
C.点（2，－1）在满足条件的圆C上
D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为42
答案：ACD
解析：因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M（1，－2），所以设圆心坐标为（a，－a）（a＞0），故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为（1，－1）或（5，－5），所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为（x－1）2＋（y＋1）2＝1，（x－5）2＋（y＋5）2＝25，将点（2，－1）代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；它们的圆心距为（5－1）2＋(−5+1）2＝42，D正确.
16.已知圆C：x2＋（y－1）2＝2，若点P在圆C上，并且点P到直线y＝x的距离为22，则满足条件的点P的个数为 .
答案：3
解析：设Px0，y0，由点P到直线y＝x的距离为22，得x0－y02＝22，
两边平方整理得到x02＋y02－2x0y0＝1.①
因为Px0，y0在圆C上，所以x02＋y0－12＝2，即x02＋y02－2y0＝1.②
联立①②得y0x0－1＝0，
解得y0＝0或x0＝1.
当y0＝0时，由①②可得x02＝1，解得x0＝1或x0＝－1，即P（1，0）或P（－1，0）.
当x0＝1时，由①②可得y02－2y0＝0，解得y0＝0或y0＝2，即P（1，0）或P1，2.
综上，满足条件的点P的个数为3.
17.已知长为2a（a＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为 .
答案：x2＋y2＝a2
解析：如图，不论端点A，B怎么移动，线段AB的中点P（x，y）与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即｜OP｜＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
18.（2024·福建厦门）已知动点P（x，y）满足x2＋y2－2｜x｜－2｜y｜＝0，O为坐标原点，求x2＋y2的最大值.
解：由曲线的方程x2＋y2－2｜x｜－2｜y｜＝0，可得曲线关于x轴、y轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可.作出曲线在第一象限内（含坐标轴）的图象，如图.将曲线方程x2＋y2－2x－2y＝0转化为（x－1）2＋（y－1）2＝2，点（0，0）的坐标满足方程，所以曲线在第一象限的图象为以C（1，1）为圆心，半径为2的圆的一部分，所以｜OP｜的最大值为圆的直径，即为22.