2025年高考数学一轮复习-第八章-第二节 两条直线的位置关系与距离公式-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第八章-第二节 两条直线的位置关系与距离公式-课时作业【含解析】，共9页。
1.已知M（2，1），N（－1，5），则MN＝（ ）
A.13 B.4
C.5 D.37
2.已知直线l1：mx＋3y－3＝0，l2：（3m－2）x＋my＋1＝0.则“m＝－13”是“l1⊥l2”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为（ ）
A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0
4.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A.4 B.21313
C.51326 D.71326
5.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A5,−1，B1，1，C2，3，则其形状为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法判断
6.若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为5，则a的值为（ ）
A.4 B.5－6
C.4或－16 D.8或－16
7.过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为（ ）
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0
8.（多选）已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（ ）
A.1 B.13
C.－2 D.－1
9.直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋7＝0的交点的坐标为 .
10.直线（m－1）x－（m＋3）y－（m－11）＝0（m为常数）恒过定点的坐标为 .
11.一条与直线x－2y＋3＝0平行且距离大于5的直线方程为 .
12.已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为π4，则a＝ ；若l1⊥l2，则a＝ ；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为 .
[B组 能力提升练]
13.点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.2
14.已知点A（1，3），B（5，－2），在x轴上有一点P.若｜AP｜－｜BP｜最大，则点P的坐标为（ ）
A.（3，0） B.（13，0）
C.（5，0） D.（－13，0）
15.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为（1，p），则m－n＋p的值为（ ）
A.－4 B.0
C.16 D.20
16.（多选）已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），则下列结论正确的是（ ）
A.存在k，使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k，l1与l2都有公共点
C.对任意的k，l1与l2都不重合
D.对任意的k，l1与l2都不垂直
17.（多选）定义点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的有向距离为d＝Ax0＋By0＋CA2＋B2.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，则下列命题中正确的是（ ）
A.若d1＝d2，则直线P1P2与直线l平行
B.若d1＝－d2，则直线P1P2与直线l垂直
C.若d1·d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交
D.若d1·d2＜0，则直线P1P2与直线l相交
18.已知在△ABC中，点A（1，1），B（4，2），C（－4，6），则△ABC的面积为 .
19.（2024·广东汕头）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A（－4，0），B（0，4），C（2，0），则△ABC欧拉线的方程为 .
20.已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的k的值.
解：由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，4），直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝12×2k2×4＋（4－k＋4）×2×12＝4k2－k＋8，故四边形面积最小时，k＝18.
2025年高考数学一轮复习-第八章-第二节 两条直线的位置关系与距离公式-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.已知M（2，1），N（－1，5），则MN＝（ ）
A.13 B.4
C.5 D.37
答案：C
解析：M（2，1），N（－1，5），所以MN＝（2+1）2＋（1－5）2＝5.
2.已知直线l1：mx＋3y－3＝0，l2：（3m－2）x＋my＋1＝0.则“m＝－13”是“l1⊥l2”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案：A
解析：当m＝－13时，直线l1的斜率为19，l2的斜率为－9，
又19×（－9）＝－1，所以l1⊥l2，充分性成立；
直线l1：mx＋3y－3＝0，l2：（3m－2）x＋my＋1＝0，
若l1⊥l2，则有m（3m－2）＋3m＝0，解得m＝0或m＝－13，必要性不成立.
所以“m＝－13”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.
3.过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为（ ）
A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0
答案：A
解析：由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A（2，3）代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.
4.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A.4 B.21313
C.51326 D.71326
答案：D
解析：因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以3∶2＝6∶m，所以m＝4.直线6x＋4y＋1＝0可以转化为3x＋2y＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式可得d＝12－－332＋22＝7213＝71326.
5.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A5,−1，B1，1，C2，3，则其形状为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法判断
答案：A
解析：由题意得kAB＝1+11－5＝－12；kBC＝3－12－1＝2，∴kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，∴△ABC为直角三角形.
6.若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为5，则a的值为（ ）
A.4 B.5－6
C.4或－16 D.8或－16
答案：C
解析：将直线2x－y－3＝0化为4x－2y－6＝0，
则直线2x－y－3＝0与直线4x－2y＋a＝0之间的距离d＝｜a−(−6)|16+4＝｜a+6｜25，
根据题意可得｜a+6｜25＝5，即｜a＋6｜＝10，解得a＝4或a＝－16，
所以a的值为a＝4或a＝－16.
7.过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为（ ）
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0
C.19x－3y＝0 D.3x＋19y＝0
答案：D
解析：法一：解方程组x－3y+4=0，2x＋y+5=0，可得直线l1和l2的交点坐标为－197，37.又所求直线过原点，所以所求的直线方程为y＝－319x，即3x＋19y＝0.
法二：根据题意可设所求的直线方程为x－3y＋4＋λ（2x＋y＋5）＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－45，所以所求直线的方程为x－3y＋4－45（2x＋y＋5）＝0，即3x＋19y＝0.
8.（多选）已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（ ）
A.1 B.13
C.－2 D.－1
答案：BCD
解析：因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为－12，所以直线l1，l2一定相交，交点坐标是方程组3x－y=1，x+2y=5的解，解得交点坐标为（1，2）.当a＝0时，直线l3与横轴垂直，方程为x＝3不经过点（1，2），所以三条直线能构成三角形；当a≠0时，直线l3的斜率为1a.当直线l1与直线l3的斜率相等时，即1a＝3⇒a＝13，此时这两直线平行，因此这三条直线不能构成三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，即1a＝－12⇒a＝－2，此时这两直线平行，因此这三条直线不能构成三角形；当直线l3过直线l1，l2交点（1，2）时，三条直线不能构成三角形，即有1－2a－3＝0⇒a＝－1.
9.直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋7＝0的交点的坐标为 .
答案：（－1，3）
解析：解方程组2x＋y－1=0，x－2y+7=0，得x＝－1，y=3，
所以两条直线交点的坐标为（－1，3）.
10.直线（m－1）x－（m＋3）y－（m－11）＝0（m为常数）恒过定点的坐标为 .
答案：72，52
解析：由题意得
mx－x－my－3y－m＋11＝0，
即m（x－y－1）－（x＋3y－11）＝0，由x－y－1=0，x+3y－11=0，得x＝72，y＝52，即直线恒过定点72，52.
11.一条与直线x－2y＋3＝0平行且距离大于5的直线方程为 .
答案：x－2y＋9＝0（答案不唯一）
解析：设该直线方程为x－2y＋b＝0，由距离公式可知｜3－b｜5＞5，解得b＜－2或b＞8，则该直线可为x－2y＋9＝0（答案不唯一）.
12.已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为π4，则a＝ ；若l1⊥l2，则a＝ ；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为 .
答案：－1 1 22
解析：若直线l1的倾斜角为π4，则－a＝k＝tanπ4＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×（－1）＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝｜1−(−3)|2＝22.
[B组 能力提升练]
13.点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.2
答案：B
解析：设点A（0，－1），直线l：y＝k（x＋1），由l过定点B（－1，0），知当AB⊥l时，距离最大，最大值为2.
14.已知点A（1，3），B（5，－2），在x轴上有一点P.若｜AP｜－｜BP｜最大，则点P的坐标为（ ）
A.（3，0） B.（13，0）
C.（5，0） D.（－13，0）
答案：B
解析：作出点A关于x轴的对称点A'（1，－3），则A'B所在直线方程为x－4y－13＝0.令y＝0得x＝13，所以点P的坐标为（13，0）.
15.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为（1，p），则m－n＋p的值为（ ）
A.－4 B.0
C.16 D.20
答案：D
解析：由两条直线互相垂直，得－m4×25＝－1，m＝10.又垂足坐标为（1，p），代入直线10x＋4y－2＝0，得p＝－2.将（1，－2）代入直线2x－5y＋n＝0，得n＝－12.故m－n＋p＝20.
16.（多选）已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），则下列结论正确的是（ ）
A.存在k，使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k，l1与l2都有公共点
C.对任意的k，l1与l2都不重合
D.对任意的k，l1与l2都不垂直
答案：ABD
解析：对于动直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；由方程组x－y－1=0，（k+1）x＋ky＋k=0，可得（2k＋1）x＝0，对任意的k，此方程有解，可得l1与l2有交点，故B正确；当k＝－12时，k+11＝k－1成立，此时l1与l2重合，故C错误；由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为k+1－k＝－1－1k≠－1，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确.
17.（多选）定义点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的有向距离为d＝Ax0＋By0＋CA2＋B2.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，则下列命题中正确的是（ ）
A.若d1＝d2，则直线P1P2与直线l平行
B.若d1＝－d2，则直线P1P2与直线l垂直
C.若d1·d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交
D.若d1·d2＜0，则直线P1P2与直线l相交
答案：CD
解析：若d1＝d2＝0，则P1∈l，P2∈l，故A不正确；若d1＝－d2，则P1与P2在直线l两旁，故P1P2与l相交，不一定垂直，故B不正确；若d1·d2＞0，则P1与P2在l同旁，则P1P2∥l或P1P2与l相交，故C
正确；若d1·d2＜0，则P1与P2在l两旁，则P1P2与l相交，故D正确.
18.已知在△ABC中，点A（1，1），B（4，2），C（－4，6），则△ABC的面积为 .
答案：10
解析：由两点式得直线BC的方程为y－26－2＝x－4－4－4，即为x＋2y－8＝0，由点A到直线BC的距离公式得BC边上的高d＝｜1+2－8｜5＝5，B，C两点之间的距离为（6－2）2＋(−4－4）2＝45，∴△ABC的面积为12×45×5＝10.
19.（2024·广东汕头）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A（－4，0），B（0，4），C（2，0），则△ABC欧拉线的方程为 .
答案：x－y＋2＝0
解析：因为△ABC的顶点为A（－4，0），B（0，4），C（2，0），则△ABC的重心G－23，43，
显然△ABC的外心M在线段AC的垂直平分线x＝－1上，设M（－1，a），
由｜MA｜＝｜MB｜得 9+a2＝1+（a－4）2，
解得a＝1，即点M（－1，1），
直线MG：y－1＝43－1－23+1（x＋1），
化简整理得x－y＋2＝0，
所以△ABC欧拉线的方程为x－y＋2＝0.
20.已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的k的值.
解：由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，4），直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝12×2k2×4＋（4－k＋4）×2×12＝4k2－k＋8，故四边形面积最小时，k＝18.