高考数学一轮复习第八章第二节两条直线的位置关系、距离公式学案

这是一份高考数学一轮复习第八章第二节两条直线的位置关系、距离公式学案，共18页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
自查自测
知识点一 两直线的位置关系
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )
(3)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l上．( √ )
2．(教材改编题)若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于( )
A．4 B．－4
C．1 D．－1
A 解析：因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以23＝m6≠1－1，解得m＝4.
3．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于( )
A．－6 B．4
C．－10 D．－4
D 解析：因为ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，即a＝10.
因为垂足为(1，b)，所以10×1－4×b+2＝0，2×1+5×b+c＝0，解得b＝3， c＝－17，所以a＋b＋c＝－4.
4．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
A．－1，13 B．13，1
C．1，13 D．－1，－13
B 解析：3x+4y－5＝0，3x+5y－6＝0，解得x＝13，y＝1.
核心回扣
1.两条直线的位置关系
(1)利用斜率关系判断
对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，
特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)利用方程判断
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，
2.两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0的解．
知识点二 三种距离公式
1．点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为( )
A．25 B．55
C．5 D．255
C 解析：点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝2－10+31+4＝5.
2．在平面直角坐标系中，已知A(4，3)，B(2，1)，C(5，－2)三点，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
C 解析：因为|AB|2＝(4－2)2＋(3－1)2＝8，|AC|2＝(4－5)2＋(3＋2)2＝26，|BC|2＝(2－5)2＋(1＋2)2＝18，所以AB2+BC2＝|AC|2，所以△ABC是直角三角形．故选C.
3．(教材改编题)已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为________．
2 解析：由l1∥l2可知a2－1＝0，即a＝±1.又当a＝1时，l1与l2重合，不符合题意，所以a＝－1.此时l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0，所以l1与l2之间的距离d＝－1－112+－12＝22＝2.
核心回扣
1.两点间的距离公式
(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(2)结论：|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2．
(3)特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝x2＋y2．
2．点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2．
3．两条平行直线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C2－C1|A2＋B2．
【常用结论】
直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
应用1 过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0
A 解析：因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以设所求直线方程为x－2y＋c＝0.又直线经过点(1，0)，代入直线方程得c＝－1，故所求直线方程为x－2y－1＝0.
应用2 经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________．
4x－3y＋9＝0 解析：(方法一)由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0.
由方程组2x+3y+1＝0，x－3y+4＝0，
可解得交点为－53，79，代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
(方法二)由题意可设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0(*)．
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，
代入(*)式，得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
两直线的平行与垂直
1．(2024·济宁模拟)直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．不能确定
C 解析：直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－12，则k1≠k2，且k1k2≠－1，所以两条直线相交但不垂直．
2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A．－10 B．－2
C．0 D．8
A 解析：因为l1∥l2，所以kAB＝4－mm+2＝－2，解得m＝－8，此时直线l1为2x＋y＋12＝0，符合题意．又因为l2⊥l3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.
3．已知两条直线l1：x＋y sin α＋1＝0和l2：2x sin α＋y＋1＝0，若l1∥l2，则α的值为________．
kπ±π4，k∈Z 解析：(方法一)当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.
当sin α≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sin α.
要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sin α，即sin α＝±22.
所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等，且两直线不重合．
综上，当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.
(方法二)由A1B2－A2B1＝0，得1－2sin2α＝0，所以sinα＝±22.
又B1C2－B2C1≠0，所以sin α－1≠0，即sin α≠1.
所以α＝kπ±π4，k∈Z.
故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.
判定两条直线位置关系的方法
(1)已知两条直线的斜率存在
①两条直线平行⇔两条直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；
②两条直线垂直⇔两条直线的斜率之积为－1.
(2)已知两条直线的斜率不存在
当两条直线在x轴上的截距不相等时，两条直线平行；否则两条直线重合．
(3)已知两直线的一般方程
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．
两直线的交点与距离问题
【例1】(1)(2024·滨州模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A．95B．185
C．2910D．295
C 解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行．由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即－24－562+82＝2910，所以PQ的最小值为2910.
(2)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离的最大值为( )
A．1B．2
C．3D．2
B 解析：由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1，0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为|AP|＝2.
(3)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为( )
A．3B．4
C．2D．6
B 解析：由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)与点(1，0)间的距离的平方，得其最小值为点(1，0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝3+0－1332+422＝4.
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)应用两平行直线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
提醒：利用几何意义转化为点与点、点与线的距离求最值．
1．直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，则m＝( )
A．7B．172
C．14D．17
B 解析：由两直线方程可知l1∥l2，直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0.因为l1与l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，所以2m+34+36＝10，解得m＝172(负值舍去)．
2．(2024·鞍山模拟)已知直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0，记点P(3，2)到l的距离为d，则d的取值范围为( )
A．0，2B．0，2
C．[0，2]D．[0，2)
B 解析：由直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0，可得λ(x＋y－3)＋2x－y－3＝0，
由x+y－3＝0，2x－y－3＝0，解得x＝2，y＝1，
即直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0过定点A(2，1)，
则|PA|＝2－32+1－22＝2.
易知直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0无论λ取何值，都不能表示直线l1：x＋y－3＝0，且直线PA与直线l1垂直，此时点P到l1的距离为|PA|＝2，
又当直线l过点P，即λ＝－12时，d＝0，
所以0≤d＜2.
对称问题
考向1 关于点的对称问题
【例2】直线3x－2y＝0关于点13，0对称的直线方程为( )
A．2x－3y＝0B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0D．2x－3y－2＝0
B 解析：(方法一)设所求直线上任一点为(m，n)，
则其关于点13，0对称的点为23－m，－n.
因为点23－m，－n在直线3m－2n＝0上，
所以323－m－2(－n)＝0，化简得3m－2n－2＝0，
所以所求直线方程为3m－2n－2＝0.
(方法二)在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，
则点O，M关于点13，0的对称点分别为O'23，0，M′－43，－3，
所以所求直线方程为y－－30－－3＝x－－4323－－43，
即3x－2y－2＝0.
中心对称问题的解法
设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为P'x2，y2，则易知点Q为PP′的中点．
由中点坐标公式得x0＝x1+x22，y0＝y1+y22，解得点P′的坐标为(2x0－x1，2y0－y1)．
考向2 关于直线的对称问题
【例3】(1)唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤2，若将军从点A(2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A．2B．10－2
C．22D．10
B 解析：设点A(2，0)关于直线x＋y＝3的对称点为点A′(a，b)，
则AA′的中点为a+22，b2，kAA′＝ba－2，
由对称性可知ba－2·－1＝－1，a+22+b2＝3，解得a＝3，b＝1.
要使从点A到河岸线再到军营的总路程最短，则即为点A′到军营的距离最短，所以“将军饮马”的最短总路程为32+12－2＝10－2.
(2)两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为( )
A．3x－2y－4＝0B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0D．3x－2y－6＝0
C 解析：设所求直线上任一点M(m，n)，点M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，
则n－y1m－x1＝－1， m+x12－n+y12－2＝0，解得x1＝n+2，y1＝m－2.(*)
因为点M′在直线3x－2y－6＝0上，
所以将(*)式代入，得3(n＋2)－2(m－2)－6＝0，
化简得2m－3n－4＝0，
即l1关于l2对称的直线方程为2x－3y－4＝0.
轴对称问题的解法
设点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为P′(x2，y2)，则易知直线PP′垂直于直线l，且PP′的中点在直线l上，所以kl·kPP' ＝－1，A·x1+x22+B·y1+y22+C＝0，解出x2，
y2，即可求得对称点坐标．
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
解：(1)设A′(x，y)，由已知条件得y+2x+1×23＝－1， 2×x－12－3×y－22+1＝0，解得x＝－3313，y＝413，
所以A′－3313，413.
(2)在直线m上取一点M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，
则2×a+22－3×b+02+1＝0，b－0a－2×23＝－1， 解得a＝613，b＝3013，所以M′613，3013.
设直线m与直线l的交点为N，
由2x－3y+1＝0，3x－2y－6＝0，解得x＝4，y＝3，所以N(4，3)．
又m′经过点N(4，3)，
所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)(方法一)在直线l：2x－3y＋1＝0上任取两点P(1，1)，Q(4，3)，
则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
再由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
(方法二)因为l∥l′，
所以设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
因为点A(－1，－2)到两直线的距离相等，
所以由点到直线的距离公式，得－2+6+C22+32＝－2+6+122+32，解得C＝－9或C＝1(舍去)，
所以直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
(方法三)设P(c，d)为直线l′上任意一点，
则P(c，d)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－c，－4－d)．
因为点P′在直线l：2x－3y＋1＝0上，
所以2(－2－c)－3(－4－d)＋1＝0，
所以2c－3d－9＝0，
即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
课时质量评价(四十七)
1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a，4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
C 解析：直线l1的斜率k1＝a－1－42－a＝a－52－a，直线l2的斜率k2＝－2，所以a－52－a＝－2，解得a＝－1，经检验符合题意．
2．若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝( )
A．3 B．0
C．－3 D．0或－3
D 解析：因为直线l1与直线l2垂直，所以2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.
3．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A．23 B．25
C．2 D．4
B 解析：因为菱形四条边都相等，且对边平行，所以每条边上的高也相等．
因为直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为1－312+－22＝25，
3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为c1－c232+42＝c1－c25，
于是有c1－c25＝25，所以c1－c2＝25.
4．直线l与直线y＝1、直线x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率是( )
A．23 B．32
C．－23 D．－32
C 解析：设P(a，1)，Q(b，b－7)，由线段PQ的中点坐标为(1，－1)，得a+b2＝1，1+b－72＝－1，
解得a＝－2，b＝4，所以P(－2，1)，Q(4，－3)，
所以直线l的斜率k＝1－－3－2－4＝－23.
5．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C所对边的边长，则直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
B 解析：由题意可知，直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的斜率分别为
－sinAa，bsinB.
又在△ABC中，asinA＝bsinB，所以－sinAa·bsinB＝－1，所以两条直线垂直．
6．(多选题)已知直线l1：mx＋(m－3)y＋1＝0，直线l2：(m＋1)x＋my－1＝0，且l1⊥l2，则( )
A．直线l1恒过定点－13，13
B．直线l2恒过定点(1，1)
C．m＝0或m＝1
D．m＝0或m＝－32
AC 解析：由直线l1的方程可得m(x＋y)＋(－3y＋1)＝0，令x+y＝0， －3y+1＝0，解得x＝－13，y＝13，
故直线l1恒过定点－13，13，故选项A正确；
由直线l2的方程可得m(x＋y)＋(x－1)＝0，
令x+y＝0，x－1＝0，解得x＝1，y＝－1，
故直线l2恒过定点(1，－1)，故选项B不正确；
因为直线l1：mx＋(m－3)y＋1＝0与直线l2：(m＋1)x＋my－1＝0垂直，所以m(m＋1)＋m(m－3)＝0，即m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝1，所以选项C正确，选项D错误．
7．若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．
345 解析：由题可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3+n2＝2×7+m2－3，n－3m－7＝－12， 解得m＝35，n＝315，故m＋n＝345.
8．(2024·鞍山模拟)若实数a，b，c，d满足(b－a2＋ln a)2＋(c－d－2)2＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________．
2 解析：因为(b－a2＋ln a)2＋(c－d－2)2＝0，所以b－a2＋ln a＝0，c－d－2＝0，
即b＝a2－ln a，d＝c－2，令f (x)＝x2－ln x，g(x)＝x－2.
设直线y＝x＋m与曲线y＝f (x)＝x2－ln x相切于点P(x0，y0)，
由f (x)＝x2－ln x，得f ′(x)＝2x－1x，
则f ′(x0)＝2x0－1x0.由2x0－1x0＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)，所以f (x0)＝1.
所以P(1，1)，则点P到直线y＝x－2的距离d＝1－1－22＝2.
而(a－c)2＋(b－d)2的几何意义为曲线y＝f (x)上的点(a，b)与直线y＝x－2上点(c，d)的距离的平方，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为22＝2.故答案为2.
9．已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.
(1)求顶点C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)设C(m，n)，因为直线AC与直线BH垂直，且点C在直线2x－y－5＝0上，
所以n－1m－5＝－2， 2m－n－5＝0，解得m＝4，n＝3，故C(4，3)．
(2)设B(a，b)，由题意知，Ma+52，b+12，
所以a+5－b+12－5＝0，a－2b－5＝0，
解得a＝－1，b＝－3，即B(－1，－3)．
故kBC＝3+34+1＝65，直线BC：y－3＝65(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
又因为|BC|＝4+12+3+32＝61，
点A到直线BC的距离d＝6×5－5－962+－52＝1661，
所以S△ABC＝12×61×1661＝8.
10．已知两点A(－4，8)，B(2，4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为( )
A．213 B．9
C．74 D．10
C 解析：依题意，设B(2，4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)，
所以n－4m－2＝－1，n+42＝m+22+1，解得m＝3，n＝3，
所以B′(3，3)．
如图，连接AB′交直线y＝x＋1于点C′，连接BC′，
在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′，
则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，当且仅当点C与点C′重合时取等号，
所以(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝－4－32+8－32＝74，故AC+BC的最小值为74.
11．(新定义)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是( )
A．(－4，0) B．(0，－4)
C．(4，0) D．(4，0)或(－4，0)
A 解析：设C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为2+m3，4+n3，代入欧拉线方程得2+m3－4+n3＋2＝0，整理得m－n＋4＝0①.
易得AB边的中点为(1，2)，kAB＝4－00－2＝－2，线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝12(x－1)，即x－2y＋3＝0.由x－2y+3＝0，x－y+2＝0，解得x＝－1，y＝1.所以△ABC的外心为(－1，1)，则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8②.
联立①②，解得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，点B，C重合，舍去，所以顶点C的坐标是(－4，0)．
12．若直线l1：y＝kx＋1与直线l2关于点(2，3)对称，则直线l2恒过定点________，l1与l2的距离的最大值是________．
(4，5) 42 解析：因为直线l1：y＝kx＋1恒过定点(0，1)，又两直线关于点(2，3)对称，所以两直线经过的定点也关于点(2，3)对称，所以直线l2恒过定点(4，5)，所以l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为4－02+5－12＝42.
13．在平面直角坐标系中，P是曲线y＝x＋4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
4 解析：由y＝x＋4x(x>0)，得y′＝1－4x2，
设斜率为－1的直线与曲线y＝x＋4x(x>0)切于x0，x0+4x0(x0＞0)，由1－4x02＝－1，解得x0＝2.
所以曲线y＝x＋4x(x>0)上，点P2，32到直线x＋y＝0的距离最小，此时曲线在点P处的切线为x＋y－42＝0，则距离的最小值为－422＝4.
14．(2024·海安模拟)△ABC的顶点B(0，2)，边AB上的中线CD所在直线为7x＋2y－19＝0，∠A的平分线AE所在直线为x－y－1＝0.
(1)求点A的坐标和直线AC的方程；
(2)若P为直线AC上的动点，M(－1，0)，N(1，0)，求|PM|2＋|PN|2取得最小值时点P的坐标．
解：(1)由题意可设A(x，y)，可得AB的中点Dx2，y+22，
由直线AE，CD的方程可知x－y－1＝0， 7×x2+2×y+22－19＝0，解得x＝4，y＝3，即A(4，3)．
设点B关于直线AE的对称点为B′(a，b)，可得直线AE为线段BB′的中垂线，
则BB′的中点坐标为a2，b+22，kBB′＝b－2a－0＝b－2a.
依题意有a2－b+22－1＝0， kAE·kBB' ＝b－2a＝－1，
解得a＝3，b＝－1，即B′(3，－1)，
易知点B′(3，－1)在直线AC上，
故由两点式可得直线AC的方程为y－3－1－3＝x－43－4，化简得y＝4x－13.
所以A(4，3)，直线AC的方程为y＝4x－13.
(2)由(1)可知直线AC的方程为y＝4x－13，
不妨设P(m，4m－13)，
则|PM|2＋|PN|2＝(m＋1)2＋(4m－13)2＋(m－1)2＋(4m－13)2＝34m2－208m＋340，
由二次函数的性质，可知当m＝20868＝5217时，上式取得最小值，此时P5217，－1317.
15．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．
(1)证明对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)求证：该方程表示的直线与点P的距离小于42.
证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
因为方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
所以令2x－y－6＝0，x－y－4＝0，解得x＝2，y＝－2，
故直线经过的定点为(2，－2)．
(2)设直线经过的定点为M(2，－2)，过点P作直线的垂线段PQ(图略)，
由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，
当且仅当点Q与点M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0不能表示直线x－y－4＝0，
所以点Q与点M不可能重合，而|PM|＝42，
所以PQ