数学人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用导学案

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研究含参函数的极值与最值问题（1）
一、 课堂目标
1．掌握含参一次型导函数、含参二次型导函数的几种类型．
2．熟练“含参一次型导函数”、“含参二次型导函数”的原函数的单调性与极值最值的求解．
二、 知识讲解
1. 具体函数求单调性、极值与最值的步骤
知识精讲
（1）利用导数求解函数单调性的步骤
①确定的定义域；
②求导数；
③由（或）解出相应的 的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；
当时，在相应区间上是减函数.
知识精讲
（2）利用导数求极值的步骤：
①求导数；
②求方程的所有实数根；
③检验在方程的根的左右两侧的值的符号：
如果是左正右负，则在这个根处去的极大值；
如果是左负右正，则在这个根处去的极小值；
如果是左右同号，则在这个根处无极值.
知识精讲
（3）求函数
在
上的最值的步骤
①求函数在区间上的极值；
②将函数的各极值点与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值.
经典例题
1. 函数在区间的最大值为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
2. 已知函数
．
求的最值．
2. 求解“含参一次型导函数”的原函数单调性、极值与最值
知识精讲
（1）讨论单调性
含参一次型导函数，有两种类型，如下：
①参数在一次项系数上
②参数不在一次项系数上
针对上述类型，我们需要确定定义域并求导后，对参数 进行讨论，分别是
三种情况.
（2）求解极值与最值的步骤
①对函数求导、合并、整理；
②针对含参一次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
③将函数的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端
点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
经典例题
3. 已知，函数．
求在区间上的最小值．
巩固练习
4. 设函数
．
试求在上的最大值．
经典例题
5. 已知函数．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）当时，求函数 在上的最小值．
巩固练习
6. 已知函数
，
．
讨论函数的单调区间．
3. 求解“含参二次型导函数”的原函数单调性、极值与最值
知识精讲
（1）讨论单调性——含参二次型导函数，无一次项型
这种类型通常分为两种情况，需要确定定义域并求导后，对参数 进行讨论，分别是三种情况：
①如果参数 不在二次项系数上，无一次项，则参数 影响导函数图象与 轴交点个数，从而影响单调区间.
例如：， 对导函数图象的影响如下：
②如果参数 在二次项系数上，无一次项，则参数 影响导函数的开口方向，从而影响单调区间.
例如：， 对导函数图象的影响如下：
求解极值与最值的步骤
①对函数求导、合并、整理；
②针对含参二次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
③将函数的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端
点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
经典例题
7. 已知函数．
求函数在上的最大值和最小值．
巩固练习
8. 已知函数
求
在区间
上的最小值．
经典例题
9. 已知函数
（ 1 ）求函数
，
的单调区间；
．
（ 2 ）若函数 在区间的最小值为 ，求 的值．
巩固练习
10. 已知函数，其中．
（ 1 ）求 的单调区间；
（ 2 ）若 在上的最大值是 ，求 的值．
知识精讲
（2）讨论单调性——含参二次型导函数，能因式分解这种类型通常分为两种情况：
①参数 不在二次项系数上，通常确定定义域并求导后，可以把导函数化简为
，然后比较 与 的大小，分为,,，画出导函数简
图，从而求得函数的单调区间.
例如：
，此时导函数有两个根，
,
，两根的大小对导函数图象
的影响如下：
②参数 在二次项系数上，通常可以确定定义域并求导后，把导函数化简为
，可按如下步骤讨论：
首先，先对 进行讨论（分别是三种情况），
然后再对 与 的大小（分为,,）进行讨论分析，
画出导函数的简图，得到函数的单调区间.
经典例题
11. 设，函数．
求函数在上的最小值．
巩固练习
12. 已知函数，．
（ 1 ）讨论函数 的单调区间．
（ 2 ）当时，若函数 在区间上的最大值为 ，求 的取值范围．
经典例题
13. 已知，其中．
（ 1 ）求 的单调区间．
（ 2 ）若 在上的最大值是 ，求 的取值范围．
巩固练习
14. 已知函数
，其中
，求函数
的单调区间．
知识精讲
（3）讨论单调性——含参二次型导函数，不能因式分解型这种类型通常分为两种情况：
①导函数参数不在二次项系数上，不能因式分解型，可按如下步骤讨论：
首先，确定定义域并求导后，算出二次函数的 ；
讨论
点；
， ＞
两种情况，即导函数与 轴没有或只有一个交点、二次函数与 轴有两个不同交
从而根据导函数图象得到函数的单调区间.
例如：，，,，根据讨论情况的图象如下：
②导函数参数 在二次项系数上，不能因式分解型，可按如下步骤讨论：
首先确定定义域并求导后，对参数 进行讨论，分为,,，即开口向上、开口向下、退
化成一次函数三类；
在,两种情况基础上，再分别算出二次函数的 ；
利用， ＞ 两种情况进行第二步分类讨论，即二次函数与 轴没有或只有一个交点、二次函
数与 轴有两个不同交点；
从而根据导函数图象得到函数的单调区间.
经典例题
15. 已知函数（其中 是实数）．
求的单调区间．
16. 设，当时，在上的最小值为，求在该区
间上的最大值．
巩固练习
17. 已知函数
．
判断的单调性．
经典例题
18. 设函数
．
求函数单调区间．
巩固练习
19. 已知函数
．
求函数的单调区间．
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
20. 已知函数．
求函数的单调区间．
21. 已知函数．
讨论函数的单调性．
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