2022-2023学年山东省济南市天桥区九年级上学期数学期中试题及答案
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这是一份2022-2023学年山东省济南市天桥区九年级上学期数学期中试题及答案,共24页。试卷主要包含了 一元二次方程 的根是, 菱形不一定具有性质是等内容,欢迎下载使用。
1. 一元二次方程 的根是( )
A. B. C. , D. ,
【答案】D
【解析】
【分析】首先移项,将方程右边移到左边,再提取公因式x,可得,再根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0”,即可求得方程的解.
【详解】解:,
移项得:,
因式分解得:,
∴或,
解得:,,故D正确.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法,解题关键在于要根据方程的特点灵活选用合适的方法,本题运用的是因式分解法.
2. 某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成,其俯视图如图所示,则此工件的左视图是 ( )
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】从左面看应是一长方形,看不到的应用虚线,由俯视图可知,虚线离边较近,
故选A.
3. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球,这a个球中红球只有3个.每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球实验后发现,摸到红球的频率稳定在25%,那么可以推算出a大约是( )
A. 12B. 9C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】摸到红球的频率稳定在25%,即=25%,即可即解得a的值.
【详解】解:∵摸到红球的频率稳定在25%,
∴=25%,解得:a=12.
经检验,a=12符合题意,
故选A
【点睛】本题考查用频率估计概率,熟记公式正确计算是本题的解题关键.
4. 已知与△相似,且相似比为,则与△的面积比为
A. 1:1B. 1:3C. 1:6D. 1:9
【答案】D
【解析】
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,求出即可.
【详解】解:已知与△相似,且相似比为,
则与△的面积比为,
故选:D.
【点睛】此题考查了相似三角形的性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.
5. 菱形不一定具有性质是( )
A. 四条边相等B. 对角线相等C. 是轴对称图形D. 是中心对称图形
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质:①菱形的四条边都相等,②菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角,③菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线,④菱形是中心对称图形,即可判断.
【详解】解:根据菱形的性质可知:
A、菱形的四条边都相等,故此选项正确,不符合题意;
B、菱形不具备对角线一定相等,故此选项错误,符合题意;
C、菱形是轴对称图形,故此选项正确,不符合题意;
D、菱形是中心对称图形,故此选项正确,不符合题意,
故选:B.
【点睛】本题考查了菱形的性质,解题的关键是掌握菱形的性质.
6. 若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是( )
A. m≥1B. m≤1C. m>1D. m<1
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出实数m的取值范围.
【详解】∵方程有两个不相同的实数根,
∴
解得:m<1.
故选D.
【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
7. 在反比例函数的图象上有三个点,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质:时,图象过一,三象限,在每一个象限内,随值的增大而减小,进行判断即可.
【详解】解:∵反比例函数,
∴图象过一,三象限,在每一个象限内,随值的增大而减小,
∵,
∴;
故选B.
【点睛】本题考查比较反比例函数的函数值大小.熟练掌握反比例函数的性质,是解题的关键.
8. 如图,以点O为位似中心,把放大为原图形的2倍得到,以下说法中错误的是( )
A. B. 点C、点O、点C′三点在同一直线上
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的性质,对选项逐个判断即可.
【详解】解:以点O为位似中心,把放大为原图形2倍得到,
∴,点C、点O、点C′三点在同一直线上,,,
∴,
则选项A、B、D正确,不符合题意,选项C正确,符合题意;
故选:C
【点睛】此题考查了位似变换,正确掌握位似图形的性质是解题关键.
9. 如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【详解】分析:根据正方形的性质可得出AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相似三角形的性质可得出=2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.
详解:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,
∴△ABF∽△GDF,
∴=2,
∴AF=2GF=4,
∴AG=6.
∵CG∥AB,AB=2CG,
∴CG为△EAB的中位线,
∴AE=2AG=12.
故选D.
点睛:本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线,利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键.
10. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图象与等边的边OA,AB分别交于点M,N,且,若,那么点N的横坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点N、M分别作,,垂足为C、D,根据等边三角形的性质和已知条件,可求出,通过做垂线,利用解直角三角形,求出点M的坐标,进而确定反比例函数的关系式,设,,则,在中,,,解即可得到答案.
【详解】过点N、M分别作,,垂足为C、D,
∵是等边三角形,
∴,,
又∵,
∴,,
在中,,
,,
∴点M的坐标为,
∴,
∴反比例函数的关系式为,
设,,,
在中,,
∴,
∴,
解得:或 (舍去),
∴点N横坐标为,
故选:C.
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题,考查了等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、反比例函数图象上点的坐标特征,求得交点坐标是解题的关键.
二.填空题.(每小题4分,共24分)
11. 若,则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等式性质,在两边都加上1,则问题可解.
【详解】解:根据等式的性质,两边都加上1,即可得,通分得.
故答案为:.
【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法,解答关键是根据相关法则进行计算.
12. 把一枚均匀的硬币连续抛掷两次,两次正面朝上的概率是____.
【答案】
【解析】
【分析】举出所有情况,看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可.
【详解】解:共4种情况,正面都朝上的情况数有1种,所以概率是.
故答案为:.
考点:列表法与树状图法.
13. 已知是关于x的方程的一个根,则______.
【答案】12
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义,将代入原方程,然后解关于m的一元一次方程即可.
【详解】解:把是关于x的方程
得:,
解得:,
故答案为:12.
【点睛】本题考查了是一元二次方程的根,解题的关键是将方程根代入原方程得到关于m的一元一次方程.
14. 如图,在中,点D在边上,,,,则的长度是______.
【答案】
【解析】
【分析】易证,根据相似三角形对应边成比例即可进行解答.
【详解】解:∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,即,
解得:,
故答案为:6.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质,解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似以及相似三角形对应边成比例.
15. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图象经过点,,点B在点A的右侧,过点B作y轴的垂线,垂足为C,若的面积为2,则点B的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】把A点坐标代入可得k值,即可求出反比例函数的解析式,由BC⊥y轴可得的长,根据△ABC的面积为2可求出m的值,即可得答案.
【详解】解:∵反比例函数的图象经过点,
∴,
∴反比例函数解析式为:,
∵点在反比例函数图象上,
∴,
∵的面积为2,
∴,即,解得,
∵,
∴,
∴点B的坐标为.
故答案为:.
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法求反比例函数解析式,根据三角形面积得出m值是解题关键.
16. 如图,E,F是平行四边形对角线上两点,,连接并延长,分别交于点G,H,连接,下列结论:①,②,③,④,其中正确的结论有________(只填序号).
【答案】①②④
【解析】
【分析】先证明,进而得到,故判断①;进一步推出,可得,故判断②;进而得,由,得,从而判断③;由,得,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方判断④.
【详解】∵四边形是平行四边形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,,
∴
∴,故①正确;
∴,
∵,
∴,
∴,故②正确;
,
∵,
∴,
∴,故③错误;
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,故④正确;
故答案为:①②④.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
三.解答题.
17. 解方程:.
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解.
【详解】解:,
,
解得.
【点睛】本题考查了解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
18. 如图,、是对角线上的两点,.求证:.
【答案】见解析
【解析】
【分析】只要证明△AEB和△CFD两个三角形全等,即可得出结论.
【详解】证明:四边形是平行四边形,
,.
.
在和中,
.
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定、平行四边形的性质等知识点,证明的关键是判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
19. 如图,利用标杆测量建筑物的高度,如果标杆高1.2m,测得,,楼高是多少?
【答案】楼高是10.5m
【解析】
【分析】证明,由相似三角形的性质可知,然后结合题意代入数值求解即可获得答案.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
答:楼高是10.5m.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用,理解并掌握相似三角形的判定方法与性质是解题关键.
20. 把一定体积的钢锭拉成钢丝,钢丝的总长度y(m)是其横截面积x(mm2)的反比例函数,其图像如图所示.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)当钢丝总长度不少于80m时,钢丝的横截面积最多是多少mm2.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据反比例函数图像经过点,利用待定系数法进行解答即可;
(2)把代入求得的解析式求得x的值即可.
【小问1详解】
解:设反比例表达式为,
将(4,32)代入,
得,
解得:,
y与x的函数关系式是;
【小问2详解】
将代入,
解得:,
钢丝总长度不少于80m时,钢丝的横截面积最多是1.6mm2.
【点睛】本题考查了反比例函数的应用,待定系数法求函数解析式,解题的关键是求出反比例函数的解析式.
21. 一个不透明口袋中有三个小球,一个标有字母A,另外两个都标有字母B,除所标字母不同外,其它完全相同,小明和小刚做摸球游戏,小明从中随机摸出一个小球,记下字母后放回并搅匀,小刚再随机摸出一个小球,两次摸出的小球所标字母相同则小明赢,所标字母不同则小刚赢.
(1)用画树状图或列表的方法,求小明赢的概率.
(2)请问这个游戏规则对双方公平吗?说明理由.
【答案】(1)
(2)不公平,理由见解析
【解析】
分析】(1)画出树状图,共有9种等可能性,其中两次摸出所标字母相同有5种,即可得到答案;
(2)小明赢的可能性是,小刚赢的概率是,比较即可得到答案.
【小问1详解】
解:画树状图如下:
共有9种等可能性,其中两次摸出所标字母相同有5种,小明赢的概率为,
【小问2详解】
不公平,理由如下:
小明赢的可能性是,小刚赢的概率是,
∵,
∴这个游戏规则对双方不公平.
【点睛】此题考查了树状图或列表法,熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键.
22. 如图,正方形中,,E是上一点,过E作交于点F,连接.
(1)证明:.
(2)当时,求的长.
【答案】(1)见解析;
(2)2.
【解析】
【分析】(1)根据相似三角形的判定方法,求证即可;
(2)根据相似三角形的性质,求解即可.
【小问1详解】
证明:∵四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【小问2详解】
解:∵,
∴,
∴,
∴
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.
23. 2020年,某家庭纯收入为2500元,通过政府产业扶持,发展养殖业,到2022年,家庭收入为3600元.
(1)求该家庭2022年到2022年人均收入的年平均增长率.
(2)若年平均增长率保持不变,2023年家庭年收入是否达到4200元?
【答案】(1)
(2)若年平均增长率保持不变,2023年家庭年收入能达到4200元
【解析】
【分析】(1)设该家庭2022年到2022年人均收入的年平均增长率为x,得,解关于x的一元二次方程,取其正值即可得出结论;
(2)利用该家庭2023年家庭年人均纯收入=该家庭2022年家庭年人均纯收入×(1+增长率),可求出该家庭2023年家庭年人均纯收入,再将其与4200比较后即可得出结论.
【小问1详解】
解:设该家庭2022年到2022年人均收入的年平均增长率为x,根据题意得,
,
解得:(舍去),
该家庭2022年到2022年人均收入的年平均增长率为;
【小问2详解】
元,
,
若年平均增长率保持不变,2023年家庭年收入能达到4200元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是找出等量关系:该家庭2022年家庭年人均纯收入=该家庭2020年家庭年人均纯收入,正确列出一元二次方程.
24. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点,两点,连接,直线与x轴相交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)求点C的坐标和的面积.
(3)直接写出不等式的解集.
【答案】(1)反比例函数解析式:,一次函数解析式:
(2),
(3)或
【解析】
【分析】(1)将点代入求出m的值,然后求出点A的坐标,然后将点A和点B的坐标代入一次函数利用待定系数法求解即可;
(2)令一次函数即可求出点C的坐标,利用代入数据求解即可;
(3)根据题意得到不等式的解集即为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围,根据A,B两点的横坐标求解即可.
【小问1详解】
将代入,得到,
∴反比例函数解析式为;
将代入,得,
∴
将,代入
得,
解得,
∴;
【小问2详解】
在,令,即,
解得,
∴点,
∴
;
【小问3详解】
由图象可得,的解集为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围,
∴或;
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式,坐标系中求三角形面积问题,图象法解不等式问题等知识,解题的关键是正确利用数形结合思想解题.
25. 如图1,在中,,点分别是边的中点,连接.将绕点逆时针方向旋转,记旋转角为.
(1)问题发现
①当时,=______;
②当时,=______;
(2)拓展探究
试判断当时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;
(3)问题解决
当绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时,求线段的长.
【答案】(1)①;②
(2)当时,,大小没有变化,证明见解析
(3)线段的长为或
【解析】
【分析】(1)①先利用勾股定理可得,再根据线段中点的定义可得,由此即可得;
②先画出图形,根据旋转的性质可得,再利用勾股定理可得,然后根据线段和差分别求出的长,由此即可得;
(2)根据相似三角形的判定证出,再根据相似三角形的性质即可得;
(3)分①点在的延长线上和②点在线段上,利用勾股定理求出,从而可得的长,再根据求解即可得.
【小问1详解】
解:①当时,
在中,,
,
点分别是边的中点,
,,
,
故答案为:;
②如图1,点分别是边的中点,,
,
,
,
如图,当时,
由旋转的性质得:的大小不变,仍等于,长度不变,仍等于2,的长度不变,仍等于,
,,
,
,
故答案为:.
【小问2详解】
解:当时,,大小没有变化,证明如下:
由旋转的性质得:,
,
又,
,
.
【小问3详解】
解:①如图,当点在的延长线上时,
在中,,
,
,
,
;
②如图,当点在线段上时,
在中,,
,
,
,
;
综上,线段的长为或.
【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识点,较难的是题(3),正确分两种情况讨论是解题关键.
26. 如图1,在平面直角坐标系中,在中,,,,顶点A在第一象限,点B,C在x轴的正半轴上,(C在B的右侧),可沿x轴左右移动,与关于AC所在直线对称.
(1)当时,直接写出点A和点D坐标.
(2)判断(1)中的A,D是否在同一个反比例函数图象上,说明理由,如果不在,试问OB多长时,点A,D在同一个反比例函数的图象上,求的值.
(3)如图2,当点A,D在同一个反比例函数图象上,把四边形ABCD向右平移,记平移后的四边形为,过点的反比例函数的图象与BA的延长线交于点P,当是以为底边的等腰三角形,求的值.
【答案】(1),
(2)不在,理由见解析,
(3)
【解析】
【分析】(1)过点D作轴与点E,由,,,可得点A的坐标,由勾股定理求得,再求得,,,即可得到点D的坐标;
(2)由得到点在反比例函数上,由点,得到点在反比例函数上,得到A,D不在同一个反比例函数图象上,由,,求得,即可得到答案;
(3)由平移到,点在反比例函数的图象上,得,求得,由是以为底边的等腰三角形得,由两点间距离公式即可求得m的值,进而求得的值.
【小问1详解】
解:过点D作轴与点E,
∵,,,
∴点A的坐标是,
∴,,,
∴,
∴
∵与关于AC所在直线对称,
∴,,
∴,
∴,
∴,,
∴,
∴;
【小问2详解】
∵点,,
∴点在反比例函数上,
∵点,,
∴点在反比例函数上,
∴A,D不在同一个反比例函数图象上,
∵,,,
解得,
此时,
∴当时,点A,D在同一个反比例函数的图象上,
即;
【小问3详解】
设四边形ABCD向右平移m个单位长度,
由(2)知点,
∴平移到,
∵点在反比例函数的图象上,
∴,
∵点,
∴点P横坐标为3,
∴,
∵是以为底边的等腰三角形,
∴,
∴,
由两点间距离公式可得,
∴,
解得或(舍去),
∴.
即的值是.
【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质,图形的平移,轴对称的性质,等腰三角形的性质,含30度角直角三角形的性质等知识,数形结合是解题的关键.
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