山东省青岛市莱西市2023-2024学年高一下学期学业水平阶段性检测（四）（期末）数学试题

这是一份山东省青岛市莱西市2023-2024学年高一下学期学业水平阶段性检测（四）（期末）数学试题，共9页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交，已知一组样本数据满足，若z是复数，，则的最大值是等内容，欢迎下载使用。

本试卷共19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
2．若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．（ ）
A．1B．C．D．
4．底面边长为3的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A．B．C．13D．26
5．寒假期间，甲、乙、丙、丁4名同学相约到A，B，C，D4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件“4个人去的社区各不相同”，事件“甲独自去一个社区”，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知一组样本数据满足：，则去掉后，下列数字特征中一定变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．极差D．方差
7．若z是复数，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱上的一动点．下列说法正确的个数是（ ）
①直线AC与直线是异面直线
②若，则与一定不垂直
③若，则三棱锥的体积为
④三棱柱外接球的表面积的最大值为12π
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．
9．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（ ）
A．B．C．D．
10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件为偶数，为偶数，，则（ ）
A．B．A与B相互独立C．A与C相互独立D．B与C相互独立
11．某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（ ）
A．甲企业：均值为5，中位数为8
B．乙企业：众数为6，中位数为6
C．丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8
D．丁企业：均值为5，方差为6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则在方向上的投影向量是___________．
13．某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215．则在这次测试中全班学生方差为___________．
14．一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数和大于，则算过关．游戏者可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某工厂每月最后1个工作日为本月“技术竞赛日”，竞赛获奖结果有四种：未获奖、三等奖、二等奖、一等奖，在以往的技术竞赛记录中随机抽取了200人，统计制成了如下获奖人次条形图．现有甲、乙、丙、丁4人要参加本月“技术竞赛日”的竞赛，以条形图中获奖情况的频率为每人获奖的概率．
（1）估计在本月“技术竞赛日”的竞赛中，甲获一等奖且乙未获奖的概率；
（2）若获三等奖、二等奖、一等奖所对应的奖金逐级增高，未获奖则没有奖金，估计丙所得奖金低于丁所得奖金的概率．
16．如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1．
（1）求该圆台的表面积；
（2）求四棱锥的体积的最大值．
17．已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育项目情况统计如下：
假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为．
（1）请将表格内容补充完整；（写出计算过程）
（2）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．
18．某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形ABCD某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．
若P，Q分别为边AB，DA上的动点，当的周长为2时，PQ有最小值（图1）、为定值（图2）、C到PQ的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．
（1）如图1，求PQ的最小值；
（2）如图2，证明：为定值；
（3）如图3，证明：C到PQ的距离为定值．
19．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）；
（2）设，若存在满足，那么这样的n有多少个？
高一学业水平阶段性检测（四）
数学答案
一．选择题（共8小题）
1．A 2．A 3．D 4 ．A 5．A 6．D 7．D 8．B
二．多选题（共3小题）
9．ABC 10．ACD 11．ABD
三．填空题（共3小题）
12． 13．265 14．
四．解答题（共5小题）
15．解；（1）依题意每人未获奖的概率为，获三等奖的概率为，
获二等奖的概率为，获一等奖的概率为，
所以甲获一等奖且乙未获奖的概率．
（2）依题意有以下三种情形：①丁获一等奖，丙获二等奖或三等奖或未获奖，
则概率，
②丁获二等奖，丙获三等奖或未获奖，
则概率，
③丁获三等奖，丙获未获奖，则概率，
综上可得丙所得奖金低于丁所得奖金的概率．
16．解：（1），所以，
在中，由余弦定理得，
得，
由正弦定理可知外接圆直径，
所以下底面半径，上底面半径，
圆台侧面积，
，
所以圆台表面积．
（2）在四边形ABCD中，，
在中，由余弦定理，
得，
所以，，48，
当且仅当时“=”成立，
所以的面积，
底面ABCD面积的最大值为，
在轴截面中，由勾股定理可得，
所以四棱锥的体积的最大值为．
17．解：（1）设事件C为“甲上午选择足球”，事件D为“甲下午选择足球”，
设甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）的天数为x，事件E为“甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）”，
则，解得，
所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为：．
（2）记事件A为“上午室外温度在20度以下”，事件B为“甲上午打羽毛球”，
由题意知，
，
，
则：
18．解：（1）设，
的周长为2，
，
解得，
又，
，，1，
∴当时，PQ取得最小值，
且PQ的最小值为；
（2）证明：设．，
则；
，
的周长为2，
，
，
，
又，
，
；
（3）证明：，
，
，
又，
，
，
，
由（2）知，
，
，即C到PQ的距离的定值为1．
19．解：（1）由复数：，
得，
，
，
．
（2）由，
，排售
，
，解得，
，∴，∴0，
∴符合条件的k有506个，
∴这样的n有506个．体育煅炼目的情况（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天
10天
乙
10天
10天
5天
25天