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吉林省白山市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题
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这是一份吉林省白山市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题，共11页。试卷主要包含了已知复数，，，如图，在梯形中，在线段上，，已知向量，，，且，则等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A.B.C.D.
2.袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用事件表示“第一次摸得白球”，用事件表示“第二次摸得白球”，则事件与是（ ）
A.相互独立事件B.不相互独立事件C.对立事件D.互斥事件
3.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ）
①若，，则，为异面直线；②若，，则；
③若，，，则；④若，，，则.
A.①②B.②③C.③④D.②④
4.已知复数，，（是的共轭复数），则（ ）
A.B.C.D.
5.如图，在梯形中，在线段上，.若，则（ ）
A.B.C.D.
6.一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为2，1，3，，4，5，则这6个点数的中位数为3.5的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.如图，已知，，，，两点分别满足，，其中，，且，则的最小值为（ ）
A.B.1C.2D.
8.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个说法中正确的有（ ）
①若，则一定是等边三角形；
②若，则一定是等腰三角形；
③若，则一定是等腰三角形；
④若，则一定是锐角三角形.
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训.已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ）
A.平均数为9.6B.众数为10C.第80百分位数为9.8D.方差为
10.已知向量，，，且，则（ ）
A.
B.
C.向量与的夹角为
D.向量在向量上的投影向量的坐标为
11.在三棱锥中，记，其他棱长均为2，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，球与三棱锥的所有面都相切.若点在底面内的射影位于内部及其边界，则下列说法正确的是（ ）
A.当三棱锥的体积为时，
B.当时，球与球的体积之比为8:1
C.当三棱锥的体积最大时，球的半径为
D.当时，球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在复平面内，复数和对应的点分别为，，则__________.
13.国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个号码为__________.
随机数表如下
14.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，一平面经过点且垂直于直线，则该平面截四棱锥所得截面的面积为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知，，.
（1）求；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
16.（15分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息，解决下列问题.
（1）求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；
（2）①估计这40名学生周末学习时间的25%分位数；
②将该班学生周末学习时间从低到高排列，估计第10名学生的学习时长.
17.（15分）如图，已知与关于直线对称，把绕点逆时针旋转，得到.若，，，四点共线，且，.
（1）求的长；
（2）求的面积.
18.（17分）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为（），且在考试中每人各题的答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
19.（17分）如图，在棱长为的正方体中，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
2023-2024学年度（下）白山市高一教学质量监测数学答案
1.D 【解析】设圆锥的底面圆半径为，由题意得，解得，又侧面展开图是半径为4的半圆，即圆锥的母线长为4，则圆锥的高，所以该圆锥的体积为.
2.A 【解析】依题意，有放回地摸球，事件与可以同时发生，因此事件与不互斥，更不对立，CD错误；显然，，因此与是相互独立事件，A正确，B错误.
3.B 【解析】对于①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；对于②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；对于③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确；对于④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误.
4.B 【解析】因为复数，，，所以，，所以.
5.D 【解析】依题意设，则，又，且，不共线，所以，即，所以，即.
6.C 【解析】显然的可能取值有1，2，3，4，5，6，共有6种可能，除去将数据按升序排列可得1，2，3，4，5，可知这6个点数的中间两数必有3，若这6个点数的中位数为3.5，则中间两数应为3，4，可得，共有3种可能，所以这6个点数的中位数为3.5的概率为.
7.B 【解析】因为，，，所以，，所以，即.又，，所以，当且仅当，时取等号，即的最小值为1.
8.B 【解析】对于①，，由正弦定理可得，即，所以，所以是等边三角形，故①正确；对于②，由正弦定理可得，可得，所以或，所以或，所以是等腰或直角三角形，故②不正确；对于③，因为，由正弦定理可得，即，由正弦定理可得，所以为等腰三角形，故③正确；对于④，由余弦定理可得，所以为锐角，而，不一定是锐角，故④不正确.
9.ABD 【解析】对于A，平均数，故A正确；对于B，出现次数最多的数为10，故B正确；对于C，，第80百分位数为第6位，即10，故C错误；对于D，方差为，故D正确.
10.BC 【解析】因为，所以，所以，解得，所以，，，所以；，所以；设与的夹角为，则，又，所以；向量在向量上的投影向量的坐标为.
11.CD 【解析】设球、球的半径分别为，，取的中点，连接，，因为与均为等边三角形，所以，，所以平面，所以三棱锥的体积，解得，所以，故A错误；当时，三棱锥为正三棱锥，此时球与球的球心重合，且在三棱锥的高上.在线段上取点，使得，连接，则是的中心，所以底面，此时球与的球心在线段上，且在的平分线上，可得，所以球与球的体积之比为27:1，故B错误；当三棱锥的体积最大时，平面平面，则底面，所以，，所以三棱锥的体积为.由题可知，与的面积均为，由等积法可得，解得，故C正确；取的中点，连接，连接，.因为，所以在平面上.又，且，所以在线段上，且.在中，由勾股定理得①，同理在中，由勾股定理得②，②-①得，所以，与联立得，所以，所以球的表面积，故D正确.
12. 【解析】由题意可知，，，则.
13.44 【解析】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，如下：32，58，65，74，13，36，98，32，44；其中58，65，74，98不在编号范围内，舍去，再去除重复的，剩下的号码为32，13，36，44，所以选取的第四个号码为44.
14. 【解析】如图，设在，上的射影分别为，，连接，因为底面，所以平面底面.又平面底面，，所以平面，所以.又，，所以平面.因为，平面，所以，，又，，所以平面.在中，，所以.连接，在中，，，得，，所以的面积.设平面与棱的交点为，由对称性可知为点在上的射影，与全等，所以该平面截四棱锥所得截面的面积为.
15.解：（1）由，，，
可得，所以，
所以.
（2）由（1）得，
设向量与的夹角为，则.
16.解：（1）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为，
则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为.
（2）①学习时间在5小时以下的频率为，
学习时间在10小时以下的频率为，
所以25%分位数在区间内，则，
所以这40名学生周末学习时间的25%分位数为8.75.
②第10名是40名学生的25%，因而问题相当于求25%分位数，也就是估计第10名学生的学习时长，为8.75小时.
17.解：（1）由题意可得，，
所以为等边三角形，则，
在中，，，设，
则由余弦定理可得，
即，
整理得，得（负值舍去），所以.
（2）在中，由正弦定理可得，即，得，所以，
所以.
在中，，，
所以的面积.
18.解：（1）由题意可得
即，解得或.
由于，所以，.
（2）设“甲同学答对了道题”，“乙同学答对了道题”，.
由题意得，，，，.
设“甲、乙两人共答对3道题”，则.
由于和相互独立，与互斥，
所以.
所以甲、乙两人共答对3道题的概率为.
19.（1）证明：因为平面，平面，所以.
又四边形为正方形，所以.
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解：如图，连接，取的中点，连接交于点，连接，设交于点，连接，，
因为为的中点，所以.
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以平面即为平面，且为中点.
由（1）知平面，又平面，所以.
又，为的中点，
所以，所以为平面与平面的夹角.
在中，可得，，，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
0154
3287
6595
4287
5346
7953
2586
5741
3369
8324
4597
7386
5244
3578
6241
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A.B.C.D.
2.袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用事件表示“第一次摸得白球”，用事件表示“第二次摸得白球”，则事件与是（ ）
A.相互独立事件B.不相互独立事件C.对立事件D.互斥事件
3.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ）
①若，，则，为异面直线；②若，，则；
③若，，，则；④若，，，则.
A.①②B.②③C.③④D.②④
4.已知复数，，（是的共轭复数），则（ ）
A.B.C.D.
5.如图，在梯形中，在线段上，.若，则（ ）
A.B.C.D.
6.一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为2，1，3，，4，5，则这6个点数的中位数为3.5的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.如图，已知，，，，两点分别满足，，其中，，且，则的最小值为（ ）
A.B.1C.2D.
8.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个说法中正确的有（ ）
①若，则一定是等边三角形；
②若，则一定是等腰三角形；
③若，则一定是等腰三角形；
④若，则一定是锐角三角形.
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训.已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ）
A.平均数为9.6B.众数为10C.第80百分位数为9.8D.方差为
10.已知向量，，，且，则（ ）
A.
B.
C.向量与的夹角为
D.向量在向量上的投影向量的坐标为
11.在三棱锥中，记，其他棱长均为2，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，球与三棱锥的所有面都相切.若点在底面内的射影位于内部及其边界，则下列说法正确的是（ ）
A.当三棱锥的体积为时，
B.当时，球与球的体积之比为8:1
C.当三棱锥的体积最大时，球的半径为
D.当时，球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在复平面内，复数和对应的点分别为，，则__________.
13.国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个号码为__________.
随机数表如下
14.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，一平面经过点且垂直于直线，则该平面截四棱锥所得截面的面积为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知，，.
（1）求；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
16.（15分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息，解决下列问题.
（1）求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；
（2）①估计这40名学生周末学习时间的25%分位数；
②将该班学生周末学习时间从低到高排列，估计第10名学生的学习时长.
17.（15分）如图，已知与关于直线对称，把绕点逆时针旋转，得到.若，，，四点共线，且，.
（1）求的长；
（2）求的面积.
18.（17分）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为（），且在考试中每人各题的答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
19.（17分）如图，在棱长为的正方体中，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
2023-2024学年度（下）白山市高一教学质量监测数学答案
1.D 【解析】设圆锥的底面圆半径为，由题意得，解得，又侧面展开图是半径为4的半圆，即圆锥的母线长为4，则圆锥的高，所以该圆锥的体积为.
2.A 【解析】依题意，有放回地摸球，事件与可以同时发生，因此事件与不互斥，更不对立，CD错误；显然，，因此与是相互独立事件，A正确，B错误.
3.B 【解析】对于①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；对于②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；对于③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确；对于④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误.
4.B 【解析】因为复数，，，所以，，所以.
5.D 【解析】依题意设，则，又，且，不共线，所以，即，所以，即.
6.C 【解析】显然的可能取值有1，2，3，4，5，6，共有6种可能，除去将数据按升序排列可得1，2，3，4，5，可知这6个点数的中间两数必有3，若这6个点数的中位数为3.5，则中间两数应为3，4，可得，共有3种可能，所以这6个点数的中位数为3.5的概率为.
7.B 【解析】因为，，，所以，，所以，即.又，，所以，当且仅当，时取等号，即的最小值为1.
8.B 【解析】对于①，，由正弦定理可得，即，所以，所以是等边三角形，故①正确；对于②，由正弦定理可得，可得，所以或，所以或，所以是等腰或直角三角形，故②不正确；对于③，因为，由正弦定理可得，即，由正弦定理可得，所以为等腰三角形，故③正确；对于④，由余弦定理可得，所以为锐角，而，不一定是锐角，故④不正确.
9.ABD 【解析】对于A，平均数，故A正确；对于B，出现次数最多的数为10，故B正确；对于C，，第80百分位数为第6位，即10，故C错误；对于D，方差为，故D正确.
10.BC 【解析】因为，所以，所以，解得，所以，，，所以；，所以；设与的夹角为，则，又，所以；向量在向量上的投影向量的坐标为.
11.CD 【解析】设球、球的半径分别为，，取的中点，连接，，因为与均为等边三角形，所以，，所以平面，所以三棱锥的体积，解得，所以，故A错误；当时，三棱锥为正三棱锥，此时球与球的球心重合，且在三棱锥的高上.在线段上取点，使得，连接，则是的中心，所以底面，此时球与的球心在线段上，且在的平分线上，可得，所以球与球的体积之比为27:1，故B错误；当三棱锥的体积最大时，平面平面，则底面，所以，，所以三棱锥的体积为.由题可知，与的面积均为，由等积法可得，解得，故C正确；取的中点，连接，连接，.因为，所以在平面上.又，且，所以在线段上，且.在中，由勾股定理得①，同理在中，由勾股定理得②，②-①得，所以，与联立得，所以，所以球的表面积，故D正确.
12. 【解析】由题意可知，，，则.
13.44 【解析】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，如下：32，58，65，74，13，36，98，32，44；其中58，65，74，98不在编号范围内，舍去，再去除重复的，剩下的号码为32，13，36，44，所以选取的第四个号码为44.
14. 【解析】如图，设在，上的射影分别为，，连接，因为底面，所以平面底面.又平面底面，，所以平面，所以.又，，所以平面.因为，平面，所以，，又，，所以平面.在中，，所以.连接，在中，，，得，，所以的面积.设平面与棱的交点为，由对称性可知为点在上的射影，与全等，所以该平面截四棱锥所得截面的面积为.
15.解：（1）由，，，
可得，所以，
所以.
（2）由（1）得，
设向量与的夹角为，则.
16.解：（1）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为，
则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为.
（2）①学习时间在5小时以下的频率为，
学习时间在10小时以下的频率为，
所以25%分位数在区间内，则，
所以这40名学生周末学习时间的25%分位数为8.75.
②第10名是40名学生的25%，因而问题相当于求25%分位数，也就是估计第10名学生的学习时长，为8.75小时.
17.解：（1）由题意可得，，
所以为等边三角形，则，
在中，，，设，
则由余弦定理可得，
即，
整理得，得（负值舍去），所以.
（2）在中，由正弦定理可得，即，得，所以，
所以.
在中，，，
所以的面积.
18.解：（1）由题意可得
即，解得或.
由于，所以，.
（2）设“甲同学答对了道题”，“乙同学答对了道题”，.
由题意得，，，，.
设“甲、乙两人共答对3道题”，则.
由于和相互独立，与互斥，
所以.
所以甲、乙两人共答对3道题的概率为.
19.（1）证明：因为平面，平面，所以.
又四边形为正方形，所以.
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解：如图，连接，取的中点，连接交于点，连接，设交于点，连接，，
因为为的中点，所以.
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以平面即为平面，且为中点.
由（1）知平面，又平面，所以.
又，为的中点，
所以，所以为平面与平面的夹角.
在中，可得，，，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
0154
3287
6595
4287
5346
7953
2586
5741
3369
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