2023-2024学年山西省阳泉市高一下学期期末教学质量监测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年山西省阳泉市高一下学期期末教学质量监测数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(m+1,1)，b=(m−1,1)，且a⊥b，则m=( )
A. 1B. −1C. ± 2D. 0
2.复数zi=1−2i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是( )
A. A与B互为对立事件B. PA=PB
C. A与B相等D. A与B互斥
4.如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则AF=( )
A. 38BA+58BCB. 54BA+34BCC. −78BA+18BCD. −34BA+14BC
5.已知两条不同直线m，n与三个不同平面α，β，γ，则下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥α，n⊥α，则m//nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β
C. 若α⊥β，m⊥β，则m//αD. 若α⊥β，m⊥α，n//β，则m⊥n
6.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D，测得CD=80，∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，∠ACB=120∘，则A,B两点间的距离为( )
A. 80B. 80 3C. 160D. 80 5
二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.给出下列说法，其中正确的是( )
A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6
B. 已知一组数据x1,x2,⋯,xn的方差是5，则数据4x1−1,4x2−1,⋯,4xn−1的方差是20
C. 已知一组数据x1,x2,⋯,xn的方差为0，则此组数据的众数唯一
D. 已知一组不完全相同的数据x1,x2,⋯,xn的平均数为x0，在这组数据中加入一个数x0后得到一组新数据x0,x1,x2,⋯,xn，其平均数为x，则x=x0
8.如图圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=12CD=2，下面说法正确的是( )
A. 线段AC=2 3
B. 该圆台的表面积为11π
C. 该圆台的体积为7 3π
D. 沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据(单位：cm)从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175.则这组样本数据的第60百分位数是 ．
10.若向量a=(4,0)，b=(1, 3)，则向量a在向量b上的投影向量坐标为 ．
11.如图，是▵OAB在斜二测画法下的直观图，其中，且，则▵OAB的面积为 ．
12.在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：AB//平面PCE；
(2)若PA=3，求二面角P−CD−A的平面角的正切值．
14.(本小题12分)
已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 3csinB=a−bcsC．
(1)求B；
(2)若BD=12BA+BC，且BD=2，求▵ABC的面积的最大值．
15.(本小题12分)
2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场(鸟巢)举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组20,25，第二组25,30，第三组30,35，第四组35,40，第五组40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．
(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35∼45岁所有人的年龄的方差．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.A
6.D
7.ACD
8.ABD
9.170
10.(1, 3)
11.4 2
12.28π3
13.解：(1)由题意知，AE//BC,AE=1，所以AE//BC且AE=BC，
所以四边形ABCE为平行四边形，则AB//CE，
又AB⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，
所以AB//平面PCE；
(2)由PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，得PA⊥CD，
又AD⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，由PD⊂平面PAD，
得CD⊥PD，
所以∠PDA为二面角P−CD−A的平面角，
又PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，得PA⊥AD，
在▵PAD中，AD=2,PA=3，
所以tan∠PDA=PAAD=32，
即二面角P−CD−A的平面角的正切值为32．

14.解：(1) 3csinB=a−bcsC，
由正弦定理得 3sinCsinB=sinA−sinBcsC，
即 3sinCsinB=sin(B+C)−sinBcsC，
3sinCsinB=sinBcsC+csBsinC−sinBcsC，
3sinCsinB=csBsinC，又sinC>0，
所以 3sinB=csB，即tanB= 33，
又0(2)BD2=14(BA2+2BA⋅BC+BC2)=14c2+12accsB+14a2，
得4=14c2+12accsB+14a2，即16=c2+a2+ 3ac≥2ac+ 3ac，
所以ac≤162+ 3=16(2− 3)=32−16 3，当且仅当a=c时等号成立，
所以S▵ABC=12acsinB=14ac≤8−4 3，
即▵ABC的面积的最大值为8−4 3．
15.解：(1)设这m人的平均年龄为x，则
x=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.1=31.75(岁)．
设第80百分位数为a，
由0.1+0.35+0.25+(a−35)×0.04=0.8，解得a=37.5．
(2)(ⅰ)由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，
对应的样本空间为
Ω={(A,B)，(A,C)，(A，甲)，(A，乙)，(A,D)，(B,C)，(B，甲)，(B，乙)，(B,D)，(C，甲)，(C，乙)，
(C,D)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共15个样本点．
设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则
M={(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共有9个样本点．
所以，P(M)=n(M)n(Ω)=35．
(ⅱ)设第四组、第五组的宜传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s42，s52，
则x4=36，x5=42，s42=52，s52=1．
设第四组和第五组所有宜传使者的年龄平均数为z，方差为s2．
则z=4x4+2x56=4×36+2×426=38，
s2=16{4×[s42+(x4−z)2]+2×[s52+(x5−z)2]}
=16{4×[52+(36−38)2]+2×[1+(42−38)2]}=10，
因此第四组和第五组所有宜传使者的年龄方差为10．
据此可估计这m人中年龄在35∼45岁的所有人的年龄方差约为10．