2023-2024学年山西省阳泉市高一下学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省阳泉市高一下学期期末教学质量监测数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(m+1,1)，b=(m−1,1)，且a⊥b，则m=( )
A. 1B. −1C. ± 2D. 0
2.复数zi=1−2i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是( )
A. A与B互为对立事件B. PA=PB
C. A与B相等D. A与B互斥
4.如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则AF=( )
A. 38BA+58BCB. 54BA+34BCC. −78BA+18BCD. −34BA+14BC
5.已知两条不同直线m，n与三个不同平面α，β，γ，则下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥α，n⊥α，则m//nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β
C. 若α⊥β，m⊥β，则m//αD. 若α⊥β，m⊥α，n//β，则m⊥n
6.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D，测得CD=80，∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，∠ACB=120∘，则A,B两点间的距离为( )
A. 80B. 80 3C. 160D. 80 5
二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.给出下列说法，其中正确的是( )
A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6
B. 已知一组数据x1,x2,⋯,xn的方差是5，则数据4x1−1,4x2−1,⋯,4xn−1的方差是20
C. 已知一组数据x1,x2,⋯,xn的方差为0，则此组数据的众数唯一
D. 已知一组不完全相同的数据x1,x2,⋯,xn的平均数为x0，在这组数据中加入一个数x0后得到一组新数据x0,x1,x2,⋯,xn，其平均数为x，则x=x0
8.如图圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=12CD=2，下面说法正确的是( )
A. 线段AC=2 3
B. 该圆台的表面积为11π
C. 该圆台的体积为7 3π
D. 沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据(单位：cm)从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175.则这组样本数据的第60百分位数是 ．
10.若向量a=(4,0)，b=(1, 3)，则向量a在向量b上的投影向量坐标为 ．
11.如图，是▵OAB在斜二测画法下的直观图，其中，且，则▵OAB的面积为 ．
12.在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：AB//平面PCE；
(2)若PA=3，求二面角P−CD−A的平面角的正切值．
14.(本小题12分)
已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 3csinB=a−bcsC．
(1)求B；
(2)若BD=12BA+BC，且BD=2，求▵ABC的面积的最大值．
15.(本小题12分)
2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场(鸟巢)举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组20,25，第二组25,30，第三组30,35，第四组35,40，第五组40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．
(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35∼45岁所有人的年龄的方差．
答案解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查两向量垂直的坐标表示，属于基础题．
根据题意建立关于m的方程，解出即可．
【解答】
解：依题意，(m+1)(m−1)+1=0，
即m2=0，
解得m=0．
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
由复数的四则运算以及它的几何意义即可求解．
【解答】
解：由题意zi=1−2i，所以z=1−2ii=(1−2i)ii2=−2−i，
所以z在复平面内对应的点为−2,−1，它在第三象限．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
AD选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B选项，求出两事件的概率；C选项，两事件不是同一事件，C错误．
【解答】
解：AD选项，事件A与B能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故 AD均错误；
B选项，PA=PB=12，故 B正确；
C选项，事件A与事件B不是同一个事件，故 C错误．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性表示，属于基础题．
【解答】
解：AF=BF−BA=14BE−BA=18(BA+BC)−BA=−78BA+18BC
5.【答案】A
【解析】【分析】
根据线线、线面与面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可．
【解答】
解：A：若m⊥α，n⊥α，则m//n，故 A正确；
B：若α⊥γ,β⊥γ，则α与β可能平行或相交，故 B错误；
C：若α⊥β，m⊥β，则m//α或m⊂α，故 C错误；
D：若α⊥β，m⊥α，n//β，则m与n可能相交、平行或异面，故 D错误．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案．
【解答】
解：因为∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，
所以∠ADC=150∘，∠DAC=∠DCA=15∘，
所以AD=CD=80，
又因为∠ACB=120∘，
所以∠BCD=135∘,∠CBD=30∘，
在▵BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，所以BD=80× 2212=80 2，
在▵ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB
=802+80 22−2×80×80 2×− 22=6400×5，
所以AB=80 5．
故选：D．
思路点睛；解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
7.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查统计的基本知识，属于中档题．
对于A，求得极差、中位数即可判断；对于B，根据方差的性质即可判断；对于C，根据方差的定义可得 x1=x2=⋯=xn=x ，从而可判断；对于D，根据平均数的计算公式即可判断．
【解答】
解：对于A，极差为 4−0=4 ，中位数为 1+22=32 ，所以极差与中位数之积为 4×32=6 ，A对；
对于B，根据方差的性质可知，数据 4x1−1,4x2−1,⋯,4xn−1 的方差是 42×5=80 ，B错；
对于C，由方差 s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(xn−x)2]=0 ，
可得 x1=x2=⋯=xn=x ，即此组数据众数唯一，C对；
对于D， ∵x1+x2+⋯+xnn=x0,∴x1+x2+⋯+xn=nx0 ，
∴x0+x1+x2+⋯+xnn+1=x0+nx0n+1=x0 ，D对．
故选ACD．
8.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查圆台的体积，圆台的侧面积和表面积，旋转体表面上的最短距离问题，属于中档题．
在等腰梯形中求出AC判断A；利用圆台表面积公式、体积公式计算判断BC；利用侧面展开图计算判断D．
【解答】
解：根据题意，显然四边形ABCD是等腰梯形，
又AB=AD=BC=2,CD=4，其高即为圆台的高ℎ= AD2−(CD−AB2)2= 3，
对于A，在等腰梯形ABCD中，AC= ℎ2+(CD−CD−AB2)2=2 3， A正确；
对于B，圆台的表面积S=π×12+π×22+π(1+2)×2=11π， B正确；
对于C，圆台的体积V=13π(12+1×2+22)× 3=7 33π， C错误；
对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环ABCD且E为AD中点，
而圆台对应的圆锥半侧面展开为COD且OC=4，又∠COD=2π4=π2，
在Rt△COE中，
CE= 42+32=5 ，斜边CE上的高为OC⋅OECE=125>2，
即CE与弧AB相离，
所以C到AD中点的最短距离为5，D正确．

故选：ABD．
9.【答案】170
【解析】【分析】
根据百分位数的定义计算即可．
【解答】
解：因为10×60%=6，
所以这组样本数据的第60百分位数是169+1712=170．
故答案为：170．
10.【答案】(1, 3)
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的计算公式，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
根据投影向量的计算公式求出答案即可．
【解答】
解：∵a=(4,0),b=(1, 3)，
∴a在b上的投影向量坐标为：a⋅b|b|⋅b|b|=44(1, 3)=(1, 3)．
故答案为：(1, 3)．
11.【答案】4 2
【解析】【分析】
本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，考查了数形结合思想，属于基础题．
过B′分别作y′，x′轴的平行线，且交x′，y′轴于点M，N，求出O′N，O′M的长度，从而得到原坐标系中点A，B的坐标，再求出三角形的面积．
【解答】
解：过B′分别作y′，x′轴的平行线，且交x′，y′轴于点M，N，
∴O′N=2 2，O′M=2，
∴在原坐标系xOy中，点B(−2,4 2)，点A(2,0)，
∴S△OAB=4 2．
故答案为：4 2．
12.【答案】28π3
【解析】【分析】
由已知画出图形，连接上下底面中心MN，则MN的中点即为外接球球心，连接CO，求出CO即可计算得出外接球的面积．
【解答】
解：由已知做出正三棱柱ABC−A1B1C1，则AB=BC=AC=AA1=2，
设点M,N分别为正▵ABC，正▵A1B1C1的中心，连接MN，则MN=2，
连接CM并延长交于AB于点D，则AD=BD=1，CM=23CD，
设点O为MN中点，连接CO，
则点O为正三棱柱ABC−A1B1C1外接球的球心，且MN⊥平面ABC，ON=OM=1，
因为点M为正▵ABC的中心，
所以CD⊥AB，
所以CD= AC2−AD2= 22−12= 3，则CM=2 33，
因为CM⊂平面ABC，
所以MN⊥CM，
则正三棱柱外接球半径R=CO= CM2+MO2= (2 33)2+12= 213，
所以该球的表面积为：4πR2=4π×73=28π3，
故答案为：28π3
13.【答案】解：(1)由题意知，AE//BC,AE=1，所以AE//BC且AE=BC，
所以四边形ABCE为平行四边形，则AB//CE，
又AB⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，
所以AB//平面PCE；
(2)由PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，得PA⊥CD，
又AD⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，由PD⊂平面PAD，
得CD⊥PD，
所以∠PDA为二面角P−CD−A的平面角，
又PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，得PA⊥AD，
在▵PAD中，AD=2,PA=3，
所以tan∠PDA=PAAD=32，
即二面角P−CD−A的平面角的正切值为32．

【解析】(1)根据平行四边形的判断方法可证四边形ABCE为平行四边形，则AB//CE，结合线面平行的判定定理即可证明；
(2)根据线面垂直的判定定理和性质可得CD⊥PD，则∠PDA为二面角P−CD−A的平面角，即可求解．
14.【答案】解：(1) 3csinB=a−bcsC，
由正弦定理得 3sinCsinB=sinA−sinBcsC，
即 3sinCsinB=sin(B+C)−sinBcsC，
3sinCsinB=sinBcsC+csBsinC−sinBcsC，
3sinCsinB=csBsinC，又sinC>0，
所以 3sinB=csB，即tanB= 33，
又0(2)BD2=14(BA2+2BA⋅BC+BC2)=14c2+12accsB+14a2，
得4=14c2+12accsB+14a2，即16=c2+a2+ 3ac≥2ac+ 3ac，
所以ac≤162+ 3=16(2− 3)=32−16 3，当且仅当a=c时等号成立，
所以S▵ABC=12acsinB=14ac≤8−4 3，
即▵ABC的面积的最大值为8−4 3．

【解析】(1)根据正弦定理和三角函数恒等变换的化简计算即可求解；
(2)由BD2=14c2+12accsB+14a2，结合基本不等式计算即可求解．
15.【答案】解：(1)设这m人的平均年龄为x，则
x=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.1=31.75(岁)．
设第80百分位数为a，
由0.1+0.35+0.25+(a−35)×0.04=0.8，解得a=37.5．
(2)(ⅰ)由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，
对应的样本空间为
Ω={(A,B)，(A,C)，(A，甲)，(A，乙)，(A,D)，(B,C)，(B，甲)，(B，乙)，(B,D)，(C，甲)，(C，乙)，
(C,D)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共15个样本点．
设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则
M={(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共有9个样本点．
所以，P(M)=n(M)n(Ω)=35．
(ⅱ)设第四组、第五组的宜传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s42，s52，
则x4=36，x5=42，s42=52，s52=1．
设第四组和第五组所有宜传使者的年龄平均数为z，方差为s2．
则z=4x4+2x56=4×36+2×426=38，
s2=16{4×[s42+(x4−z)2]+2×[s52+(x5−z)2]}
=16{4×[52+(36−38)2]+2×[1+(42−38)2]}=10，
因此第四组和第五组所有宜传使者的年龄方差为10．
据此可估计这m人中年龄在35∼45岁的所有人的年龄方差约为10．
【解析】本题考查平均数，方差，用样本估计百分位数，古典概型的计算公式，属于中档题．
(1)根据平均数的计算公式，第80百分位数的定义直接求解即可；
(2)(ⅰ)由分层抽样的性质知第四组抽取4人，第五组抽取2人，采用列举法，结合古典概型的计算公式即可得解；
(ⅱ)利用平均数和方差的计算公式，结合题意即可得解．