沪教版九年级上册数学专题训练专题03锐角三角函数之正切重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题03锐角三角函数之正切重难点专练(原卷版+解析)，共72页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海九年级单元测试）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、解答题
2．(2023·上海九年级专题练习）如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．
3．(2023·上海奉贤区·九年级二模）如图，已知扇形AOB的半径OA＝4，∠AOB＝90°，点C、D分别在半径OA、OB上（点C不与点A重合），联结CD．点P是弧AB上一点，PC＝PD．
（1）当ct∠ODC＝，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长；
（2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求∠OCD的度数；
（3）如果OC＝2，且四边形ODPC是梯形，求的值．
4．(2023·上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．
（1）AC＝ ；
（2）若点在∠BAC的平分线上，求FC的长；
（3）求点，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；
（4）若点在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．
5．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，经过点的抛物线与轴相交于点，顶点为．
（1）求的正弦值；
（2）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为，且与相似，求平移后的新抛物线的表达式．
6．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点B，对称轴为直线，且对称轴与x轴交于点C．直线，经过点A，与线段交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结、．当的面积为3时，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结、，当时，求的余切值．
7．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知正方形，点M为射线上的动点，射线交于E交射线于F，过点C作交于点Q．
（1）当时，求的长．
（2）当M在线段上时，若，求的长．
（3）①当时，作点D关于的对称点N，求的值．
②若，直接写出与的面积比_______．
8．(2023·上海市民办嘉一联合中学九年级月考）如图，矩形中，是边上的一动点，联结、，过点作射线交线段的延长线于点，交边于点，且使得，如果，，，
（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当时，求 ；
（3）如果是以为底角的等腰三角形，求的长
9．(2023·上海九年级专题练习）如图，将抛物线平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是．
（1）求点的坐标；
（2）设点在新抛物线上，联结，如果平分，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当和相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．
10．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点．
（1）求证：；
（2）当平分时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
11．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线的表达式；
（3）如果抛物线的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E、F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．
12．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）
（1）求边BC的长；
（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长；
（3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长．
13．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点，
（1）求和的长；
（2）当时，求的长；
（3）联结，当和相似时，求的长．
14．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，,点是边延长线上的一点，，垂足为的延长线交的平行线于点，联结交于点．
（1）当点是中点时，求的值；
（2）设，求关于的函数关系式；
（3）当与相似时，求线段的长．
15．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）若二次函数图像与坐标轴有三个交点，我们把以交点为顶点的三角形叫做二次函数交轴三角形，已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，交轴三角形的面积为．
（1）求抛物线的对称轴及表达式
（2）若点在轴上方的抛物线上，且．求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，过作射线交线段于点，使得，连结．试问与是否垂直，请通过计算说明．
16．(2023·上海市西南模范中学九年级月考）在中，，，，是斜边上一点，过点作，垂足为，的延长线交于点．
（1）当时，求线段的长；
（2）当时，求线段的长．
17．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；
（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．
三、填空题
18．(2023·上海杨浦区·九年级二模）如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝_____．
19．(2023·上海九年级专题练习）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是BC边的中点，F是直线DE上的动点．连接CF，将线段CF逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是_____．
20．(2023·上海金山区·九年级一模）已知在中，，，，以点为直角顶点的的顶点在的延长线上，交的延长线于点，若，，那么的长等于______．
21．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为_______________________．
22．(2023·上海九年级专题练习）在中，，，点、分别是边、的中点，已知点在线段上，联结，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，如果点、、在同一直线上，那么______．
23．(2023·青浦区实验中学八年级期中）如图，的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，且斜边与轴的夹角为，那么点的坐标是___________．
24．(2023·上海九年级专题练习）已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN=_____．
25．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．
专题03 锐角三角函数之正切重难点专练（解析版）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海九年级单元测试）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【详解】
过C点作，垂足为D
则根据旋转性质可知，
在中，
所以
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
第II卷（非选择题）
二、解答题
2．(2023·上海九年级专题练习）如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．
答案:（1）证明见解析；（2）；（3）或．
分析：
（1）根据，得，，即可得．
（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出，求出，再根据，列出函数关系式，化简即可．
（3）先证，再分3种情况讨论，分别求出AP的长．
【详解】
解：（1）∵，，
∴∠ADP+∠PDE=90°，∠EDQ+∠PDE=90°，
∴，
∵，，
∴∠A+∠B=90°，∠B+∠DEQ=90°，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵点为斜边的中点，
∴，
∴，
∵，AC=6，BC=8，
∴在中，，，
∵D为AB中点，
∴BD=5，DE=，
∴BE=，
∵，
∴，
∵=y，
∴．
（3）∵，
∴，
∵∠PDF+∠EDQ=90°，∠BDQ+∠EDQ=90°，
∴，
∴，
∴为等腰三角形时，亦为等腰三角形，
①若，则∠QDB=∠B，
∵∠QDB+∠EDQ=90°，∠B+∠DEB=90°，
∴∠DEB=∠EDQ，
∴DQ=QE，
∴点Q为BE中点，
∴y=BQ==BE=，
解得:．
②若，则=5
∴y=，
解得：．
③若，
∵连接，交线段于点
∴点Q在线段BE上，
∴∠BDQ≤90°，
∵AC0，
点P在抛物线上，过p作PD⊥x轴于D（x,0），
∴AD=x+2，
y= x2−x−4，
由tan∠PAB=，
∴2y=x+2，
∴x2-3x-10=0，
∴(x-5)(x+2)=0，
∴x=5，
∴y=，
∴P(5，)，
（3）设CE交x轴于点G，过G作GH⊥BC于H ，EM⊥x轴于M，
∠PAB=∠ECB，
由tan∠PAB=tan∠ECB =，
由OC=4,OB=4，
∴OC=OB=4，
∴∠OBC=45º，
∴GH=BH，
在Rt△OCB中，由勾股定理得，CB=4，
由BH：CH=1:2，
∴GH=HB=，
∴GB==，
∴G（，0），
设CG解析式为y=kx+b，AP解析式为y=k1x+b1，
y=kx+b过C（0，-4）、G（，0）两点，则y=3x-4，
y=k1x+b1过A（-2，0）、P(5，)两点，则y=，
联立得，
解得，
∴E（2,2），
∴EM=2，BM=4-2=2，
∴EM=BM，
∴∠MBE=45º，
∴∠EBC=∠CBO+∠EBM=45º+45º=90º，
∴EB⊥BC．
【点睛】
本题考查对称轴，抛物线解析式，tan∠PAB=的点P坐标与EB⊥BC，涉及知识较多，掌握对称轴公式，待定系数法求解析式，会利用正切比求坐标，，通过数形结合与图中的相关信息，确定相确定△OBC与△EMB为等腰直角三角形，为解题关键．
16．(2023·上海市西南模范中学九年级月考）在中，，，，是斜边上一点，过点作，垂足为，的延长线交于点．
（1）当时，求线段的长；
（2）当时，求线段的长．
答案:（1）；（2）或AD=．
分析：
（1）先求出AC，BC的长，证出∠CAF=∠BCD，再得到∠CAF和∠BCD的三角函数值都与∠BCD的三角函数值相等，进一步得到BF的长；
（2）分两种情况①当点F在线段BC上时，根据三角函数值相等得到比例式，进而得到方程，求出BG的长，再由平行得到△ACD和△BDG相似从而得到相似比，得出方程求出AD的长；②当点F在CB的延长线上时，方法可参照①．
【详解】
解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=，
∴BC=4，AC=3，
∵AE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCD
∴tan∠CAF=tan∠BCD=，
又∵∠ACB=90°，AC=3，
∴CF=，BF=；
（2）①如图1中，当点F在线段BC上时，过点B作BG//AC，交CD延长线于点G，
∵tan∠CAF=tan∠BCD，
∴=，即，
∴BG=，
∵BG//AC，
∴∠ACD=∠G，∠CAD=∠DBG，
∴△BGD∽△ACD
∴，即，
∴AD=．
②如图2中，当点F在CB延长线上时，过点B作BG//AC，交CD延长线于点G，
∵tan∠CAF=tan∠BCD，
∴，即，
∴BG=7，
∵BG//AC，
∴∠ACD=∠G，∠CAD=∠DBG，
∴△BGD∽△ACD
∴，即
∴AD=．
【点睛】
本题考查三角形的三角函数的应用、相似的判定与性质，用到了分类讨论的思想，转化为方程去思考是解题的关键，本题是一道难度较大的综合题．
17．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；
（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．
答案:（1）y＝x2﹣4x+3，C（2，﹣1）；（2）P（0，4﹣7）；（3）E（4，3）
分析：
（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；
（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；
（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝ ，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．
【详解】
解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，
∴A（3，0），
把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，
∴a＝1，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴C（2，﹣1）；
（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，
解得：x1＝2﹣，x2＝2+，
由题意得：D（2+，1），
∵B（0，1），C（2，﹣1），
∴BC＝＝2，BD＝2+，
∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，
只能△CBP∽△DBC，
∴，即，
∴BP＝8﹣4，
∴P（0，4﹣7）；
（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，
由旋转得：∠CBD＝∠ABE，
∴∠EBD＝∠ABC，
∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴tan∠EBD＝＝，
设EH＝m，则BH＝2m，
∴E（2m，m+1），
∵点E在抛物线上，
∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，
4m2﹣9m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝（舍），
∴E（4，3）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合应用，结合的相似三角形、三角函数表示等知识点，综合理解能力要求比较高。
三、填空题
18．(2023·上海杨浦区·九年级二模）如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝_____．
答案:3
分析：
如图，取格点E、F，连接AE、AF、BE，通过计算得到等腰三角形△ABE，利用等腰三角形的三线合一得出AF⊥BE，接着推出∠AOC＝∠ABF．在Rt△ABF中，由勾股定理求出两直角边的长，再依据正切值的意义可求解．
【详解】
解：如图，取格点E、F，连接AE、AF、BE，可知AF经过点C，BE经过点F，
设网格中的小正方形的边长为1，
则AE=AB＝，
∵F是BE的中点，
∴AF⊥BE．
由题意：∠DCB＝∠CBE＝45°．
∴CD∥BE，
∴∠AOC＝∠ABF．
∴tan∠AOC＝tan∠ABF．
∵BF＝，
AF＝，
∴tan∠ABF＝．
∴tan∠AOC＝3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考察了网格中的边和角的计算问题，涉及到了等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识，要求学生能挖掘出图中的隐含条件，构造直角三角形，利用正切公式求出角的正切值，本题蕴含了数形结合的思想方法．
19．(2023·上海九年级专题练习）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是BC边的中点，F是直线DE上的动点．连接CF，将线段CF逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是_____．
答案:
分析：
如图，连接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短；
【详解】
解：如图，作射线BG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，
∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，
∴∠BCG＝∠DCF，
在△CBG和△CDF中
，
∴△CBG≌△CDF，
∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，
∴点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，
根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，
此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝2m，
在Rt△BEG中，
∵BE2＝BG2+EG2，
∴1＝m2+4m2，
∴m＝（负根已经舍弃），
∴EG的最小值为，
故答案为．
【点睛】
本题考查了正方形的性子，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，以及锐角三角函数的知识，
20．(2023·上海金山区·九年级一模）已知在中，，，，以点为直角顶点的的顶点在的延长线上，交的延长线于点，若，，那么的长等于______．
答案:
分析：
根据题意画图，作AH⊥CE于H，根据得出，由等边对等角得，根据三角形的内角和可得出，得出AK=AC，利用等腰三角形三线合一得KH=CH，再证出AH为的中位线，可得出AK，AD的长，利用勾股定理求出AB，AB+AD即可得的长．
【详解】
解：如图，作AH⊥CE于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AK=AC=2，
∵AH⊥CE，，
∴KH=CH，，
∴AH为的中位线，
∴A为DK的中点，DK=2AK=4，AD=AK=2，
∵，，，
∴AB=，
∴BD=AD+AB=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角函数-正切，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作垂线构造三角形的中位线是解题的关键．
21．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为_______________________．
答案:
分析：
如图，过点D作DG⊥AC于G，可得DG//BC，即可证明△AGD∽△ACB，可得，由CD是角平分线可得∠ACD=45°，可得CG=DG，进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AC′=AC，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得∠CC′A=45°，可得∠CAC′=90°，可得旋转角为90°，可得∠DAE=90°，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案．
【详解】
如图，过点D作DG⊥AC于G，
∵∠ACB=90°，
∴DG//BC，
∴△AGD∽△ACB，可得，
∵CD是角平分线，
∴∠ACD=45°，
∴CG=DG，
∵AC=3，AC=AG+CG，
∴+CG=3，即=3，
解得：DG=，
∴AG=，
∴AD==，
∵将绕点旋转，如果点落在射线上，
∴AC′=AC，AE=AB，
∴∠CC′A=∠ACD=45°，
∴∠CAC′=90°，
∴旋转角为90°，
∴∠DAE=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
=．
故答案为：
【点睛】
本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键．
22．(2023·上海九年级专题练习）在中，，，点、分别是边、的中点，已知点在线段上，联结，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，如果点、、在同一直线上，那么______．
答案:或．
分析：
分两种情形：①当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．
【详解】
解：①如图2中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∵AC＝AB，∠ACB＝90°
∴∠CEF＝∠CAB＝45°，
∵PD＝PA，∠APD＝90°
∴∠PAD＝∠PDA＝45°，
∴∠HDC＝∠PDA＝45°，
∵点是边的中点，
∴EA＝EP＝EC
∴∠EPC＝∠CEP，
∵∠HDC＝∠DCA+∠DAC＝45°，
∠CEF＝∠DCA+∠EPC＝45°，
∴∠DAC＝∠EPC＝∠ECP，
∴DA＝DC，设AP＝a，则,
∴
∴
②如图3中，当点P在线段CD上时，
由①可知，EF∥AB，∠CAB＝∠PDA＝45°，
∴∠CAD＝180°-∠ACD-45°，
∠COA＝180°-∠ACO-45°
∴∠CAD＝∠COA，
∵EF∥AB，
∴∠CPE＝∠COA，
∴∠CPE＝∠CAD，
∵点是边的中点，
∴EA＝EP＝EC
∴∠ECP＝∠CPE，
∴∠ECP＝∠CAD，
∴DA＝DC，设AP＝a，则PD＝a，,
∴
∴
综上所述，的值是或．
【点睛】
本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
23．(2023·青浦区实验中学八年级期中）如图，的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，且斜边与轴的夹角为，那么点的坐标是___________．
答案:
分析：
由斜边与轴的夹角为，可求得直线的解析式为，联立求出点，设的长为，则，所以点坐标表示为代入反比例函数解析式求出来.
【详解】
解：设OA=m，
∵∠BOA=,∠BAO=90°，
∴AB==m，
∴B（m，m），设直线OB的解析式为y=kx，将点B的坐标代入，得到mk=m，
解得k=，
∴直线OB的解析式为y=x，
解方程，得到x=1或x=-1（舍去），
当x=1时，y=，
∴B（1，），
设的长为，则，
∴点坐标表示为，
将点D的坐标代入中，
∴，
解得，，
∵，故舍去，
∴D,
故答案为：.
【点睛】
此题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，锐角三角函数，利用函数解析式求出点B的坐标是解题的关键.
24．(2023·上海九年级专题练习）已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN=_____．
答案:1
分析：
如图，延长DF交AB于P．首先证明EF：CF=1：4，由△ADP≌△BAN，推出BN=AP，DP=AN，由PE∥DC，推出PE：DC=EF：CF=1：4，推出PE=BP=1，再证明∠NCM=∠NMC即可解决问题；
【详解】
解：如图，延长DF交AB于P．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ABN=∠DAP=90°，
∵AN⊥DP， ∴∠APD+∠PAH=90°，∠ANB+∠PAH=90°，
∴∠APD=∠ANB，
∴△ADP≌△BAN， ∴AN=DP， BN=AP，
∵BF⊥EC， ∴∠EBF+∠BEF=90°，∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠EBF=∠BCE，
∴tan∠EBF=tan∠BCE= ，
∵AB=BC，BE=AE，
∴tan∠EBF=tan∠BCE=，
设EF=a，则BF=2a，CF=4a，
∵PE∥DC，
∴
∵CD=4， ∴PE=1，
∵BE=2， ∴PE=PB=1，
∴PF=BE=1，AP=3，
在Rt△ADP中，DP=
∴DF=4，BN=AP=3，CN=1，
∴BC=DF， ∴∠DFC=∠DCF，
∵∠BCE+∠DCF=90°，∠FMH+∠DFC=90°，∠FMH=∠NMC，
∴∠NCM=∠NMC，
∴MN=CN=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题掌握的压轴题．
25．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．
答案:6或10
分析：
分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tanA＝＝，即可得出AP的值；当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tanA＝，即可得出AP的值；当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tanA＝＝，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去.
【详解】
解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．
设PE＝x．
在Rt△AEB中，∵tanA＝＝，AB＝10，
∴BE＝8，AE＝6，
∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，
∴∠EBP＝∠FPQ，
∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，
∴△PBE≌△QPF（AAS），
∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，
∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，
∵CD∥AB，
∴∠FDQ＝∠A，
∴tan∠FDQ＝tanA＝＝，
∴＝，
∴x＝4，
∴PE＝4，
∴AP＝6+4＝10；
如图2，当点Q落在AD上时，
∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠APB＝∠BPQ＝90°，
在Rt△APB中，∵tanA＝＝，AB＝10，
∴AP＝6；
如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．
在Rt△AEB中，∵tanA＝＝，AB＝10，
∴BE＝8，AE＝6，
∴PF＝BE＝8，
∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，
∴PF＝BF＝FQ＝8，
∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去），
综上所述，AP的值是6或10，
故答案为：6或10．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键.