浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.37 一元二次方程（挑战综合（压轴）题分类专题）（含答案）

这是一份浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.37 一元二次方程（挑战综合（压轴）题分类专题）（含答案），共40页。

【综合题型一】一元二次方程➼➻解法
【综合①】一元二次方程的解法➼➻解一元二次方程★✭分式方程★✭换元法
1．（2008·浙江温州·中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①；②；③；④．
2．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）用配方法求一元二次方程的实数根．
3．(2023·上海·中考真题）解分式方程：．
4．(2023·湖北荆州·统考中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，
原方程可化为：，
续解：
【综合②】一元二次方程的解法★✭代数式的化简求值
5．(2023·内蒙古通辽·统考中考真题）先化简，再求值：
，其中x满足．
6．(2023·四川广元·统考中考真题）先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根．
【综合题型二】解一元二次方程➼➻根的判别式★✭韦达定理★✭换元法
【综合①】根的判别式➼➻求参数取值范围★✭证明
7．（2017·北京·中考真题）已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围
8．（2013·山东淄博·中考真题）关于x的一元二次方程有实根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求的值．
9．（2016·北京·中考真题）关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【综合②】根的判别式✭★韦达定理➼➻求参数取值范围★✭证明
10．(2023·湖北十堰·统考中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
11．(2023·湖北荆门·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
12．(2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1) 求实数k的取值范围．
(2) 设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【综合题型三】一元二次方程的应用
【综合①】一元二次方程的应用➼➻增长率问题★✭传播问题
13．(2023·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1) 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2) 2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
14．(2023·广西南宁·校联考一模）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感．
每轮传染中平均一个人传染了几个人？
若一个患流感的人打一个喷嚏喷出的病毒粒子（忽略触角近似于球体）达8000万个，且该流感病毒粒子的直径为160纳米．请完成下列填空及问题：
①用科学记数法表示数据8000万个为__________个；
②如图，若把8000万个病毒粒子最大纵切面圆面相切放在一条直线上，求这些病毒粒子纵切面的总直径是多少米？（参考数据：1纳米米）
15．（2017·广西桂林·中考真题）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．
(1) 求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
(2) 如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算．该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？
【综合②】一元二次方程的应用➼➻图形问题★✭营销问题
16．（2010·湖北宜昌·中考真题）如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的.设甬道的宽为米.
（1）求梯形的周长；
（2）用含的式子表示甬道的总长；
（3）求甬道的宽是多少米？
17．(2023·山东日照·统考中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
18．(2023·山东烟台·统考中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
19．（2012·山西·中考真题）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【挑战题型一】一元二次方程➼➻阅读材料问题★✭规律问题
20．(2023·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
直接应用：
方程的解为_______________________；
间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
21．(2023·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
22．(2023·贵州黔东南·统考中考真题）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 ．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
23．(2023·安徽合肥·校考二模）观察下列图形中小黑点个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：
＝第1个等式：
＝第2个等式：
＝第3个等式：
＝第4个等式：
写出第5个等式：________．
写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示）．
若第n组图形中左右两边各有210个小黑点，求n．
24．(2023·江苏常州·中考真题）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【挑战题型二】一元二次方程➼➻拓展问题★✭探究问题
25．（2014·四川凉山·统考中考真题）实验与探究：
三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]
=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）
整理这个方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n1=24，n2=25
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
26．(2023·山东青岛·统考二模）实际问题：
婚礼上有116名宾客，地面上水平放置了一个长方体蛋糕，要保证这116名宾客都能分得蛋糕（忽略大小，水平切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕才能完成任务．
问题探究：
为解决这个问题我们从最简单的长方形分割开始研究．
探究一：用一条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图1所示，一条线来分多出1部分，最多分成1+1=2部分；
探究二：用2条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图2所示，第2条线与第一条线相交，多出2部分，最多分成1+1+2=4部分；
探究三：用3条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图3所示，第3条线与前2条线相交，多出3部分，最多分成1+1+2+3=7部分；
探究四：用4条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图4所示，第4条线与原来3条线相交， 多出4部分，最多分1+1+2+3+4=11部分；
探究五：用5条直线分一个长方形，第5条线与原来4条线相交，多出 部分，即最多分成 部分；
探究六：用条直线分一个长方形，最多可以分成 部分；（用含的代数式表示）
探究七：我们可以将开始提出的问题转化为切割长方体，借助以上探究长方形切割的结论如何将长方体切割成14块？
我们只需要在探究三的基础上，先在长方体中竖直切割3刀最多分成7块，平行于地面切一刀，此时4刀可切成7×2=14块．
探究八：如何用最少的切割次数，将一个长方体蛋糕切割成44块，请说明切割过程，无需画图；
问题解决：
婚礼上有116名宾客，地面上放了一个长方体蛋糕，要保证这116名宾客都能分得蛋糕（忽略大小，水平切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕？请说明切割的过程，无需画图．
27．(2023·山东青岛·中考真题）实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．
参考答案
1．①；②；③，；④．
分析：①利用公式法求解即可．②利用直接开平方法求解即可．③利用因式分解法求解即可；④利用配方法求解即可；
解：①；
∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=（-3）2-4×1×1=5＞0，
∴,即；
②；
∴x-1=
∴，
③；
∴x（x-3）=0
∴x=0或x=3
∴，；
④
∴
∴；
∴
∴
2．．
分析：首先把方程化为一般形式为2x2-9x-34=0，然后变形为，然后利用配方法解方程．
解：原方程化为一般形式为，
，
，
，
，
所以，．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
3．x＝－4.
分析：首先去分母，化为整式方程，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到答案．
解：去分母得2x2－8＝x2－2x，
移项、整理得x2＋2x－8＝0，
解得：x1＝2，x2＝－4．
经检验：x＝2是增根，舍去；x＝－4是原方程的根．
∴原方程的根是x＝－4．
【点拨】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法；注意解分式方程要检验，避免产生增根．
4．，．
分析：利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解．
解：续解：，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
，，
，
经检验都是方程的解．
【点拨】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．
5．x（x+1）；6
分析：先求出方程的解，然后化简分式，最后选择合适的x代入计算即可．
解：∵
∴x=2或x=-1
∴
=
=
=
=x（x+1）
∵x=-1分式无意义，∴x=2
当x=2时，x（x+1）=2×（2+1）=6．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x的值是解答本题的易错点．
6．a2+2a+1；16
分析：首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可．
解：
=a2+2a+1
∵a是关于x的方程的根，
∴a2-2a-3=0，
∴a=3或a=-1，
∵a2+a≠0，
∴a≠-1，
∴a=3，
∴原式=9+6+1=16.
【点拨】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键．
7．（1）证明见分析；（2）
分析：（1）证出根的判别式即可完成；
（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围.
解：（1）证明：
∴方程总有两个实数根
（2）
∴
∴
∵方程有一个小于1的正根
∴
∴
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
8．（1）a的最大整数值为7．（2）①．②
分析：（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，解得且a≠6，然后在此范围内找出最大的整数．
（2）①把a的值代入方程得到，然后利用求根公式法求解．
②由于则，把整体代入所求的代数式，再变形得到，再利用整体思想计算即可．
解：（1）根据题意，解得．
∴a的最大整数值为7．
（2）①当a=7时，原方程变形为，
，∴．
∴．
②∵，∴．
∴【点拨】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握△与根的情况之间的关系是关键.
9．（1）m＞-；（2）x1=0，x2=-3．
分析：（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
解：（1）∵关于x的一元二次方程+（2m+1）x+﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ==4m+5＞0，
解得：m＞；
（2）m=1，此时原方程为+3x=0，
即x（x+3）=0，
解得：=0，=﹣3．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的情况，解一元二次方程，解决此题的关键是正确的计算．
10．(1) 见分析(2)
分析：（1）根据根的判别式，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
解：（1），
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
11．（1），；（2）存在，
分析：（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1•x2=2m−1=5，
∴x2=5，m=3；
（2）设存在实数m，满足，那么
有，
即，
整理得：，
解得或．
由（1）可知，
∴舍去，从而，
综上所述：存在符合题意．
【点拨】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
12．(1) k；(2) k=3
分析：根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
13．(1) 20%(2) 18个
分析：（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
14．(1) 10个人(2) ①；②米
分析：（1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据“有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感”建立方程，解方程即可得；
（2）①根据科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）即可得；
②利用160纳米乘以8000万即可得．
（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
由题意得：，
解得（不符题意，舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
（2）解：①8000万，
故答案为：；
②（米），
答：这些病毒粒子最大纵切面的总直径是米．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、科学记数法、负整数指数幂与同底数幂乘法的应用，正确建立方程和熟练掌握科学记数法是解题关键．
15．(1) 该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%(2) 2021年最多可购买电脑880台
分析：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大值即可．
（1）解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1＋x）2=7200，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（舍去）．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；
（2）解：2021年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）=8640（万元），
设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500−m）台，
根据题意得：3500m＋2000（1500−m）≤86400000×5%，
解得：m≤880，
答：2021年最多可购买电脑880台．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，列出关于x的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m的一元一次不等式．
16．（1）256米（2）（128-2x）米（3）4米
解：（1）在等腰梯形中，
AD=EF=48，
梯形的周长=AB+BC+CD+DA=50+108+50+48=256(米).···· 2分
（2）甬道的总长：米.··············· 4分
（3）根据题意，得
.····················· 7分
整理，得
x2−64x+240=0，
解之得
x1=4，x2=60.因，不符合题意，舍去.
答：甬道的宽为4米.···························· 10分
17．（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元
分析：（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解．
解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）由题意得：，
整理，得．
解得，（舍去）．
所以．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出一元二次方程是解题关键．
18．（1）50元；（2）八折
分析：（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设每件的售价定为x元，
则有：，
解得：(舍)，
答：每件售价为50元；
（2）设该商品至少打m折，
根据题意得：，
解得：，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．
19．（1）4元或6元；（2）九折
分析：（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
解：（1）设每千克核桃应降价x元
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，
化简，得 x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6.
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元
此时，售价为：60﹣6=54（元），
答：该店应按原售价的九折出售．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
20．(1) ，，，(2) 或(3) 15
分析：（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
（1）解：令y=，则有-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴=2，=3，
∴=2或3，
∴，，，，
故答案为：，，，；
（2）解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
21．(1) ；(2) (3) 或
分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
22．60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1；（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．
解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1=7个，
第3个点阵中有：3×6+1=17个，
第4个点阵中有：4×9+1=37个，
第5个点阵中有：5×12+1=61个，
…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
故答案为61，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1=271，
n2﹣n﹣90=0，
（n﹣10）（n+9）=0，
n1=10，n2=﹣9（舍），
∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
【点拨】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．
23．(1) (2) (3)
分析：（1）根据上面的等式规律写出第五个等式即可 ；
（2）根据等式规律总结出第n个等式；
（3）由（2）的规律解方程即可．
（1）解：由题意可知：
1 +2=2+1 → 12+1×2=2×12+1
4+6=8+2 → 22+2×3=2×22+2
9+ 12= 18+3 → 32+3×4=2×32+3
16+ 20= 32+4 → 42+4×5=2× 42+4
所以第5个等式为：
52 +5×6=2×52+5，
即25+ 30= 50+5；
（2）第n个等式为：
n2 +n(n+1)=2×n2+n；
（3）由已知条件，得：
n2 +n(n+1)=2×n2+n=210，
即2n2 +n-210=0，
解得：n= 10或n= （舍去）．
【点拨】本题考查了图形规律的探索以及一元二次方程的解法，解题的关键是正确寻找规律．
24．(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
分析：（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
解：（1），
，
所以或或
，，；
故答案为，1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，


两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
【点拨】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
25．（1）600；（2）24．
解：（1）由题意，列出方程n（n+1）=600，解方程得到n的值即可．
（2）根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×n（n+1）= n（n+1），根据规律可得n（n+1）=600，求n的值即可．
试题解析：解：（1）由题意可得：n（n+1）=600，
整理得n2+n﹣1200=0，
此方程无正整数解，
∴三角点阵中前n行的点数的和不可能是600．
（2）由题意可得：2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×n（n+1）= n（n+1），
依题意，得n（n+1）=600，
整理得n2+n﹣600=0，（n+25）（n﹣24）=0，
∴n1=﹣25，n2=24．
∵n为正整数，∴n=24．
∴n的值是24．
考点：1．探索规律题（图形的变化类）；2．阅读理解型问题；3．一元二次方程的应用．
26．(1)5，16；(2)；(3)先竖直切4刀最多切成11块，再水平3刀切成44块；(4)先竖直切7刀最多切成29块，再水平三刀分成四层切成 块
分析：（1）根据前3种探究结果即可得出第5条线与原来4条线相交， 多出5部分，最多分1+1+2+3+4+5求和即可；
（2）根据前四种探究得出规律得出最多分1+1+2+3+4+5+…+n=部分即可；
（3）先分解44=11×4，将蛋糕竖直方向切成11块，然后水平方向切三刀四层蛋糕即可；
（4）先分解116=29×4，利用规律列出一元二次方程，解方程得出竖直切刀数，然后再水平切三刀得四层蛋糕即可．
（1）解： 第5条线与原来4条线相交， 多出5部分，
最多分1+1+2+3+4+5=16部分；
故答案为：5；16；
（2）解：第2条线与第一条线相交，多出2部分，最多分成1+1+2=4部分；
第3条线与前2条线相交，多出3部分，最多分成1+1+2+3=7部分；
第4条线与原来3条线相交， 多出4部分，最多分1+1+2+3+4=11部分；
第5条线与原来4条线相交， 多出5部分，最多分1+1+2+3+4+5=16部分；
…，
用条直线分一个长方形，第n条线与原来n-1条线相交， 多出n部分，
最多分1+1+2+3+4+5+…+n=部分；
故答案为：；
（3）解：∵44=11×4，
切一刀最多2块，切两刀最多4块，切三刀最多7块，切四刀最多11块，
将一个长方体蛋糕竖直方向切4刀最多可切割成11块，然后平行地面的水平方向切三刀得四层蛋糕，每次有11块，
∴共切成蛋糕有11×4=44块，
（4）解：∵116=29×4，
∴，
解得（舍去），
∴竖直方向切7刀，最多可切29块，然后平行地面的水平方切3刀得4层蛋糕，每次29块蛋糕，
∴共切成蛋糕29×4=116块．
【点拨】本题考查平面分割规律探究，有理数的加法应用，整式的乘法，一元二次方程的解法，掌握平面分割规律探究，一元二次方程的解法是解题关键．
27．探究一：（3）；（4）（，为整数）；探究二：（1）（2） ；探究三：归纳结论： （为整数，且，＜＜）；问题解决：；拓展延伸：（1）个或个；（2）．
分析：探究一：
（3）根据（1）（2）的提示列表，可得答案；
（4）仔细观察（1）（2）（3）的结果，归纳出规律，从而可得答案；
探究二：
（1）仿探究一的方法列表可得答案；
（2）由前面的探究概括出规律即可得到答案；
探究三：
根据探究一，探究二，归纳出从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数的和的结果数，
再根据上面探究归纳出从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和的结果数；
问题解决：
利用前面的探究计算出这5张奖券和的最小值与最大值，从而可得答案；
拓展延伸：
（1）直接利用前面的探究规律，列方程求解即可，
（2）找到与问题等价的模型，直接利用规律得到答案．
解：探究一：
（3）如下表：
所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是 所以一共有种．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：
从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，
（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，
从而从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是
所以一共有种，
探究三：
从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有5种，
从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有9种，
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，
这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是，
所以一共有 种不同的结果．
归纳结论：
由探究一，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种．
探究二，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种，
探究三，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 种不同的结果．
从而可得：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，
共有种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1） 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
当 有


或
或
从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．
（2）由探究可知：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，等同于从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，
所以：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
【点拨】本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握自主探究的方法是解题的关键．所取的2个整数
1，2
1，3，
2，3
2个整数之和
3
4
5
所取的2个整数
1，2
1，3，
1，4
2，3
2，4
3，4
2个整数之和
3
4
5
5
6
7
取的2个整数









2个整数之和






取的3个整数
1,2,3
1,2,4
1,3,4
2,3,4
3个整数之和
6
7
8
9