人教A版普通高中数学一轮复习第八章第八节第三课时圆锥曲线中的范围、最值问题学案

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范围问题
【例1】(2024·南京模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为12，以坐标原点O为圆心，|OF|为半径作圆使之与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求C的方程；
(2)设点P(4，0)，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，PB交C于另一点E，求△AEF的内切圆半径的范围．
解：(1)已知椭圆C的离心率为12，
所以e＝ca＝12①.
又以坐标原点O为圆心，|OF|为半径作圆使之与直线x－y＋2＝0相切，
所以c＝|OF|＝212+12＝1②.
又a2＝b2＋c2③，
联立①②③，解得a＝2，b＝3，
所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.
(2)因为AE不与x轴重合，
不妨设AE的方程为x＝my＋t(m≠0)．
设点A(x1，y1)(y1≠0)，E(x2，y2)，
可得B(x1，－y1)，
联立x=my+t，x24+y23=1，消去x并整理得
(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，
此时Δ＝48(3m2－t2＋4)＞0，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝−6mt3m2+4，y1y2＝3t2−123m2+4．
因为点P，B，E三点共线且斜率一定存在，
所以y2+y1x2−x1＝−y1x1−4，
则x1y2＋x2y1＝4(y1＋y2)．
将x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入，
整理得y1+y2y1y2＝2m4−t，即2m4−t＝−6mt3t2−12，
解得t＝1，满足Δ＝48(3m2＋3)＞0，
所以直线AE过定点Q(1，0)，且Q为椭圆右焦点．
设所求内切圆半径为r，因为S△AEF＝12×4a·r＝4r，
所以r＝S△AEF4＝S△FQA+S△FQE4
＝12FQ·y1−y24
＝y1+y22−4y1y24＝3m2+13m2+4．
令λ＝m2+1，λ＞1，此时m2＝λ2－1，
所以r＝3λ3λ2+1＝33λ+1λ．
因为λ＞1，所以0＜r＜34，
故△AEF的内切圆半径的范围为0，34．
圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(2024·琼海模拟)已知直线l：y＝kx＋t与双曲线C：x24－y25＝1相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线分别与x，y轴相交于A，B两点．
(1)若t＝1，且点M，N都在双曲线的右支上，求k的取值范围；
(2)若△AOB(O为坐标原点)的面积为812，且k≠0，求k的取值范围．
解：(1)当t＝1时，直线方程为y＝kx＋1，
代入x24－y25＝1，整理得(5－4k2)x2－8kx－24＝0k≠±52．
由题意可知Δ＞0，即64k2＋96(5－4k2)＞0，
得－62＜k＜62．
因为点M，N都在右支上，则有8k5−4k2＞0，−245−4k2＞0，解得k＜－52，所以－62＜k＜－52．
所以k的取值范围是−62，−52．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
把y＝kx＋t代入x24－y25＝1，
整理得(5－4k2)x2－8ktx－4t2－20＝0k≠±52且k≠0，
由Δ＞0，得64k2t2＋4(5－4k2)(4t2＋20)＞0，即t2＋5－4k2＞0①，
x1＋x2＝8kt5−4k2，x1x2＝−20−4t25−4k2．
设线段MN的中点为P(x0，y0)，
则x0＝x1+x22＝4kt5−4k2，y0＝kx0＋t＝5t5−4k2，
所以线段MN的垂直平分线的方程为
y－5t5−4k2＝－1kx−4kt5−4k2．
所以A点的坐标为9kt5−4k2，0，
B点的坐标为0，9t5−4k2．
因为△AOB的面积为812，
所以12·9kt5−4k2·9t5−4k2＝812，整理得t2＝5−4k22k，
所以①等价为5−4k22k＋5－4k2＞0，
所以(4k2－5)(4k2－|k|－5)＞0，
解得0＜|k|＜52或|k|＞54，
即k的取值范围是0，52∪54，+∞∪−52，0∪−∞，−54．
最值问题
考向1 利用几何性质求最值
【例2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A(－4，1)，B(－4，4)，若点P是满足λ＝12的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线C：y2＝16x上的动点，Q在直线x＝－4上的射影为R，则|PB|＋2|PQ|＋2|QR|的最小值为( )
A．45B．85
C．652D．265
D 解析：设P(x，y)，则PAPB＝x+42+y−12x+42+y−42＝12，化简整理得(x＋4)2＋y2＝4，
所以点P的轨迹为以(－4，0)为圆心，2为半径的圆．
如图，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4，0)，
准线方程为x＝－4，
则|PB|＋2|PQ|＋2|QR|＝2|PA|＋2|PQ|＋2|QF|＝2(|PA|＋|PQ|＋|QF|)≥2|AF|＝265，
当且仅当A，P，Q，F(P，Q两点在A，F两点中间)四点共线时取等号，
所以|PB|＋2|PQ|＋2|QR|的最小值为265.
关于利用几何性质求最值
(1)关注圆锥曲线的定义在求最值中的应用，结合图象，将要求的最值转化为点点、点线等的距离求最值．
(2)关注直线与圆锥曲线的位置关系、特殊直线的性质等，利用上述的几何性质进行最值转化．
考向2 利用函数、导数法求最值
【例3】(2024·济南模拟)如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝22，且点(4，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若经过定点(0，－1)的直线l与椭圆C交于P，Q两点，记椭圆的上顶点为M，当直线l的斜率变化时，求△MPQ面积的最大值．
解：(1)椭圆C的离心率e＝22，
则22＝ca＝1−b2a2，即b2a2＝12，
故a＝2b＝2c，椭圆方程为x22b2＋y2b2＝1.
将点(4，1)代入方程得b2＝9，
故所求方程为x218＋y29＝1.
(2)点(0，－1)在椭圆C内，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－1.
由x218+y29=1，y=kx−1，得(2k2＋1)x2－4kx－16＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k2k2+1，x1x2＝−162k2+1，Δ＞0，
|PQ|＝k2+1x1+x22−4x1x2
＝4k2+19k2+42k2+1．
又点M(0，3)到l的距离d＝4k2+1，
所以S△MPQ＝12|PQ|·d＝89k2+42k2+1．
令t＝2k2＋1(t≥1)，则k2＝t−12，
则S△MPQ＝89t−12+4t2＝8818−121t−922.
因为0＜1t≤1，所以当1t＝1(k＝0)时，S△MPQ＝16是所求最大值，即△MPQ的面积的最大值为16.
关于利用函数、导数法求最值
(1)建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解题．
(2)解题时注意对函数式的变形构造、换元等，多用二次函数配方求最值，有时也会涉及对函数求导，利用导数求最值．
考向3 利用基本不等式求最值
【例4】如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，过左焦点F(－1，0)的直线与椭圆交于C，D两点(其中C点位于x轴上方)，当CD垂直于x轴时，|CD|＝3.
(1)求椭圆的方程；
(2)记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，求k1＋1k2的最小值．
解：(1)因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，所以a2－b2＝1.
将x＝－1代入x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a，故2b2a＝3，
解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为x24＋y23＝1.
(2)因为直线CD过点F(－1，0)，且点C位于x轴上方，
所以直线CD的斜率不为0.
设直线CD的方程为x＝my－1，
联立x24+y23=1，x=my−1，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0.
Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＝144m2＋144＞0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由已知y1＞0，
于是y1＋y2＝6m3m2+4，y1y2＝−93m2+4＜0，
所以my1y2＝－32(y1＋y2)，y2＜0.
又椭圆x24＋y23＝1的左顶点A的坐标为(－2，0)，右顶点B的坐标为(2，0)，
所以k1＝y1x1+2，k2＝y2x2−2．
因为y1＞0，y2＜0，－2＜x1＜2，－2＜x2＜2，
所以k1＞0，k2＞0.
因为k2k1＝y2x2−2y1x1+2＝y2x1+2y1x2−2＝y2my1+1y1my2−3
＝my1y2+y2my1y2−3y1＝−32y1+y2+y2−32y1+y2−3y1
＝−32y1−12 y2−92y1−32 y2＝13，即k1＝3k2，
所以k1＋1k2＝3k2＋1k2≥23，
当且仅当3k2＝1k2，即k2＝33时，等号成立．
故当k2＝33时，k1＋1k2取得最小值，最小值为23.
关于利用基本不等式求最值
建立求解目标关于某个变量的函数，通过换元等方法，构造和或积的定值，从而利用基本不等式及其变形求最值．要注意等号成立的条件，如果取不到等号，可以转化为函数方法求最值．
(2024·临沂模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为63，直线x＝2被C截得的线段长为233．
(1)求C的方程；
(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且AF2＝λBF1，求四边形ABF1F2面积的最大值．
解：(1)因为e＝ca＝63，所以c2a2＝23，所以c2＝23a2.
又b2＝a2－c2＝a2－23a2＝13a2，
所以椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2.
由x2+3y2=a2，x=2，解得y＝±a2−23，
由题可知2a2−23＝233，解得a2＝3，
所以椭圆C的方程为x23＋y2＝1.
(2)由AF2＝λBF1，得AF2∥BF1.如图，延长BF1，AF2交椭圆于E，D两点，连接ED，AE，BD，
根据椭圆的对称性可知，四边形ABED为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为平行四边形ABED的面积的一半．
由题知，直线BF1的斜率不为0，
故设直线BF1的方程为x＝my－2，
联立x23+y2=1，x=my−2，
得(m2＋3)y2－22my－1＝0，
Δ＝(22m)2＋4(m2＋3)＝12m2＋12＞0.
设B(x1，y1)，E(x2，y2)，
则y1＋y2＝22mm2+3，y1y2＝−1m2+3，
故|BE|＝1+m2·|y1－y2|＝23m2+1m2+3，
又O到BF1的距离d＝21+m2，
所以S四边形ABF_1 F_2 ) ＝12S四边形ABED＝12×4S△OBE
＝2×12×|BE|·d＝|BE|·d
＝23m2+1m2+3·2m2+1
＝26·m2+1m2+3＝26·m2+1m2+1+2
＝26·1m2+1+2m2+1≤26×122＝3，
当且仅当m2+1＝2m2+1，即m＝±1时取等号，
所以当m＝±1时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为3.
[试题呈现]
如图，在平面直角坐标系中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：x24＋y2＝1，A为椭圆C的右顶点，过原点且异于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，M在x轴的上方，直线AM与圆O的另一交点为P，直线AN与圆O的另一交点为Q.
(1)若AP＝3AM，求直线AM的斜率；
(2)设△AMN与△APQ的面积分别为S1，S2，求S1S2的最大值．
[四字程序]
[一题多解]
思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k＜0，利用yP＝3yM求解．
解：(1)设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k＜0，将y＝k(x－2)代入椭圆方程x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，则xA＋xM＝16k21+4k2，
求得点M的横坐标为xM＝8k2−24k2+1，
纵坐标为yM＝−4k4k2+1．
将y＝k(x－2)代入圆的方程x2＋y2＝4，得(1＋k2)x2－4k2x＋4k2－4＝0，则xA＋xP＝4k21+k2，
求得点P的横坐标为xP＝2k2−2k2+1，
纵坐标为yP＝−4kk2+1．
由AP＝3AM，得yP＝3yM，
即−4kk2+1＝−12k4k2+1．
又k＜0，解得k＝－2.
(2)由M，N关于原点对称，得点N的坐标为−8k2+24k2+1，4k4k2+1，
所以直线AN的斜率为kAN＝4k4k2+1−8k2+24k2+1−2＝－14k．
因为AMAP＝yMyP＝k2+14k2+1，
同理可得ANAQ＝−14k2+14−14k2+1＝16k2+116k2+4，
所以S1S2＝AM·ANAP·AQ
＝k2+14k2+1·16k2+116k2+4
＝16k4+17k2+1416k4+8k2+1
＝141+9k216k4+8k2+1
＝141+916k2+1k2+8
≤141+9216k2·1k2+8＝2564，
当且仅当16k2＝1k2，即k＝－12时，等号成立，
所以S1S2的最大值为2564．
思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k＜0，由AP＝3AM转化为xP－xA＝3(xM－xA)求解．
解：(1)设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k＜0，代入椭圆方程，整理得(4k2＋1)x2－16k2x＋4(4k2－1)＝0.由根与系数的关系得xAxM＝44k2−14k2+1，而xA＝2，所以xM＝24k2−14k2+1．
将y＝k(x－2)代入圆的方程，整理得(k2＋1)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0.由根与系数的关系得xAxP＝4k2−1k2+1，而xA＝2，所以xP＝2k2−1k2+1．
由AP＝3AM，得xP－xA＝3(xM－xA)，
即2k2−1k2+1－2＝324k2−14k2+1−2，解得k2＝2.
又k＜0，所以k＝－2.
(2)因为MN过原点，直线AM，AN的斜率均存在，所以kAMkAN＝－14，即k·kAN＝－14，所以kAN＝－14k．
下同解法1(略)．
思路参考：设直线AM的方程为x＝my＋2，利用yP＝3yM求解．
解：(1)由题知直线AM的斜率不为0，设直线AM的方程为x＝my＋2，将其代入椭圆方程，整理得(m2＋4)y2＋4my＝0，得点M的纵坐标为yM＝−4mm2+4．
将x＝my＋2代入圆的方程，整理得(m2＋1)y2＋4my＝0，得点P的纵坐标为yP＝−4mm2+1．
由AP＝3AM，得yP＝3yM，即−4mm2+1＝3×−4mm2+4．
因为m≠0，解得m2＝12，即m＝±12．
又直线AM的斜率k＝1m＜0，所以k＝－2.
(2)因为MN过原点，直线AM，AN的斜率均存在，所以kAMkAN＝－14，由(1)知kAM＝1m，所以有1mkAN＝－14，则kAN＝－m4．
又yM＝−4mm2+4，yP＝−4mm2+1，
所以AMAP＝yMyP＝m2+1m2+4．
同理ANAQ＝−m42+14−m42+1＝m2+164m2+4．
所以S1S2＝AM·ANAP·AQ＝m2+1m2+4·m2+164m2+4．
下同解法1(略)．
课时质量评价(五十五)
1．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，右顶点为A(1，0)，离心率为2，
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知B(0，3)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．
解：(1)因为a＝1，ca＝2，
所以c＝2，b2＝3，
所以双曲线C的标准方程为x2－y23＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
线段MN的中点Q(x0，y0)，
联立y=kx+m，x2−y23=1，
得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依题意3−k2≠0， Δ=−2km2−43−k2−m2−3＞0，
即3−k2≠0， 3+m2−k2＞0，①
由根与系数的关系可得
x1＋x2＝2km3−k2，x1x2＝－m2+33−k2，
则x0＝x1+x22＝km3−k2，y0＝kx0＋m＝3m3−k2．
因为|BM|＝|BN|，所以BQ⊥MN，
所以kBQ＝y0−3x0＝3m3−k2−3km3−k2＝－1k，
所以3－k2＝433m②，
k2＝3－433m＞0③.
由①②③得m＜－433或0＜m＜334．
2．(2024·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为12p2(O为坐标原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．
解：(1)由题意可得m2=8p， 12 ×p2·m=12p2，
解得p＝2.
故抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1，0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
易知x1＝ty1＋1＞0，x2＝ty2＋1＞0，
联立x=ty+1，y2=4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0，
则Δ＝16t2＋16＞0，
所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
由AC垂直于l，得直线AC的方程为
y－y1＝－t(x－x1)，
联立y−y1=−tx−x1，y2=4x，
消去x，得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0，
则Δ＝16＋4t(4tx1＋4y1)＞0，
所以y1＋y3＝－4t，y1y3＝−4tx1−4y1t．
所以|AC|＝1+1t2|y1－y3|
＝1+1t2y1+y32−4y1y3
＝1+1t216+16t2x1+16ty1t2
＝1+1t216+4t2y12+16ty1t2
＝2t2+1t2·|ty1＋2|
＝2t2+1t2·(ty1＋2)．
同理可得|BD|＝2t2+1t2·(ty2＋2)，
所以|AC|＋|BD|＝2t2+1t2·[t(y1＋y2)＋4]
＝8t2+1t2(t2＋1)＝8t2+13t4.
令f(x)＝x+13x2，x＞0，则f′(x)＝x+12x−2x3，x＞0，
所以当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即当t＝±2时，|AC|＋|BD|取得最小值为123.
3．(2024·淄博模拟)已知F(3，0)是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点，点M3，12在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－12(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)由题意知，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为(－3，0)，右焦点为(3，0)，
根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为3+32+12 −02＋12＝4，
即2a＝4，所以a＝2.
又因为c＝3，可得b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．
故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立y=kx+m，x24+y2=1，
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝−8km4k2+1，x1x2＝4m2−14k2+1，
所以kOA＋kOB＝y1x1＋y2x2＝kx1+mx2+kx2+mx1x1x2＝2k＋mx1+x2x1x2＝2k＋−8km24m2−1＝−2km2−1．
由kOA＋kOB＝－12，可得m2＝4k＋1≥0，
所以k≥－14．
又由Δ＞0，可得16(4k2－m2＋1)＞0，
所以4k2－4k＞0，解得k＜0或k＞1.
综上所述，直线l的斜率的取值范围是−14，0∪(1，＋∞)．
4．如图所示，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过点M(1，0)的直线交抛物线C于A，B两点，且3OF＝FM.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD·EF＝0，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程．
解：(1)依题意Fp2，0，3OF＝FM，
可得3|OF|＝|FM|，即3×p2＝1－p2，可得p＝12，
所以抛物线C的方程为y2＝x.
(2)抛物线y2＝x的焦点F14，0，准线方程为x＝－14，
设D(x0，y0)，B(t2，t)，则E−14，t，
若直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝k(x－1)，
联立y=kx−1，y2=x， 可得k2x2－(2k2＋1)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2＋1)2－4k4＞0，
则xAxB＝1，可得A1t2，−1t．
若直线AB的斜率不存在，即直线AB：x＝1，也符合上述坐标．
因为kEF＝－2t，AD⊥EF，
所以kAD＝12t，故直线AD：y＋1t＝12tx−1t2，即x－2ty－2－1t2＝0.
由y2=x，x−2ty−2−1t2=0，得y2－2ty－2－1t2＝0，
Δ＝4t2＋42+1t2＞0，
所以yA＋y0＝2t，yAy0＝－2－1t2．
所以|AD|＝1+4t2|yA－y0|＝1+4t2·yA+y02−4yAy0＝21+4t2t2+1t2+2.
点B到直线AD的距离为
d＝t2−2t2−2−1t21+4t2＝t2+1t2+21+4t2．
所以S△ABD＝12|AD|·d＝t2+1t2+23
≥2+23＝8，
当且仅当t2＝1t2，即t＝±1时，等号成立，
当t＝1时，直线AD的方程为x－2y－3＝0；
当t＝－1时，直线AD的方程为x＋2y－3＝0.
读
已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交，求直线AM的斜率，求△AMN与△APQ的面积之比
想
1.用A，P，M的坐标表示．
2．利用公式S＝12ab·sin C表示并转化
算
S1S2＝AM·ANAP·AQ，进而用基本不等式求其最大值
思
把面积之比的最大值转化为一个变量的不等式