高考数学一轮复习第八章第八节第3课时圆锥曲线中的范围、最值问题学案

这是一份高考数学一轮复习第八章第八节第3课时圆锥曲线中的范围、最值问题学案，共14页。
范围问题
【例1】(2024·南京模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为12，以坐标原点O为圆心，OF为半径作圆使之与直线x－y+2＝0相切．
(1)求C的方程；
(2)设点P(4，0)，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，PB交C于另一点E，求△AEF的内切圆半径的范围．
解：(1)已知椭圆C的离心率为12，
所以e＝ca＝12①.
又以坐标原点O为圆心，OF为半径作圆使之与直线x－y+2＝0相切，
所以c＝|OF|＝212+12＝1②.
又a2＝b2＋c2③，
联立①②③，解得a＝2，b＝3，
所以椭圆C的方程为x24+y23＝1.
(2)因为AE不与x轴重合，
不妨设AE的方程为x＝my＋t(m≠0)．
设点A(x1，y1)(y1≠0)，E(x2，y2)，可得B(x1，－y1)，
联立x＝my+t，x24+y23＝1，消去x并整理得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，
此时Δ＝48(3m2－t2＋4)＞0，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝－6mt3m2+4，y1y2＝3t2－123m2+4.
因为点P，B，E三点共线且斜率一定存在，所以y2+y1x2－x1＝－y1x1－4，
则x1y2＋x2y1＝4(y1＋y2)．
将x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入，
整理得y1+y2y1y2＝2m4－t，即2m4－t＝－6mt3t2－12，
解得t＝1，满足Δ＝48(3m2＋3)＞0，
所以直线AE过定点Q(1，0)，且Q为椭圆右焦点．
设所求内切圆半径为r，因为S△AEF＝12×4a·r＝4r，
所以r＝S△AEF4＝S△FQA +S△FQE4＝12FQ·y1－y24＝y1+y22－4y1y24＝3m2+13m2+4.
令λ＝m2+1，λ＞1，此时m2＝λ2－1，
所以r＝3λ3λ2+1＝33λ+1λ.
因为λ＞1，所以0＜r＜34，
故△AEF的内切圆半径的范围为0，34.
圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(2024·琼海模拟)已知直线l：y＝kx＋t与双曲线C：x24－y25＝1相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线分别与x，y轴相交于A，B两点．
(1)若t＝1，且点M，N都在双曲线的右支上，求k的取值范围；
(2)若△AOB(O为坐标原点)的面积为812，且k≠0，求k的取值范围．
解：(1)当t＝1时，直线方程为y＝kx＋1，
代入x24－y25＝1，整理得(5－4k2)x2－8kx－24＝0k≠±52.
由题意可知Δ＞0，即64k2＋96(5－4k2)＞0，得－62＜k＜62.
因为点M，N都在右支上，则有8k5－4k2＞0，－245－4k2＞0，解得k＜－52，所以－62＜k＜－52.
所以k的取值范围是－62，－52.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，把y＝kx＋t代入x24－y25＝1，
整理得(5－4k2)x2－8ktx－4t2－20＝0k≠±52且k≠0，
由Δ＞0，得64k2t2＋4(5－4k2)(4t2＋20)＞0，即t2＋5－4k2＞0①，
x1＋x2＝8kt5－4k2，x1x2＝－20－4t25－4k2.
设线段MN的中点为P(x0，y0)，
则x0＝x1+x22＝4kt5－4k2，y0＝kx0+t＝5t5－4k2，
所以线段MN的垂直平分线的方程为y－5t5－4k2＝－1kx－4kt5－4k2.
所以A点的坐标为9kt5－4k2，0，B点的坐标为0，9t5－4k2.
因为△AOB的面积为812，
所以12·9kt5－4k2·9t5－4k2＝812，整理得t2＝5－4k22k，
所以①等价为5－4k22k＋5－4k2＞0，
所以(4k2－5)(4k2－|k|－5)＞0，解得0＜k＜52或k＞54，
即k的取值范围是0，52∪54，+∞∪-52，0∪-∞，-54
最值问题
考向1 利用几何性质求最值
【例2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A(－4，1)，B(－4，4)，若点P是满足λ＝12的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线C：y2＝16x上的动点，Q在直线x＝－4上的射影为R，则|PB|＋2|PQ|＋2|QR|的最小值为( )
A．45B．85
C．652D．265
D 解析：设P(x，y)，则PAPB＝x+42+y－12x+42+y－42＝12，化简整理得(x＋4)2＋y2＝4，
所以点P的轨迹为以(－4，0)为圆心，2为半径的圆．
如图，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4，0)，准线方程为x＝－4，
则|PB|＋2|PQ|＋2|QR|＝2|PA|＋2|PQ|＋2|QF|＝2(|PA|＋|PQ|＋|QF|)≥2|AF|＝265，
当且仅当A，P，Q，F(P，Q两点在A，F两点中间)四点共线时取等号，
所以PB+2PQ+2QR的最小值为265.
关于利用几何性质求最值
(1)关注圆锥曲线的定义在求最值中的应用，结合图象，将要求的最值转化为点与点、点与线等的距离求最值．
(2)关注直线与圆锥曲线的位置关系、特殊直线的性质等，利用上述的几何性质进行最值转化．
考向2 利用函数、导数法求最值
【例3】(2024·济南模拟)如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝22，且点(4，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若经过定点(0，－1)的直线l与椭圆C交于P，Q两点，记椭圆的上顶点为M，当直线l的斜率变化时，求△MPQ面积的最大值．
解：(1)椭圆C的离心率e＝22，则22＝ca＝1－b2a2，即b2a2＝12，
故a＝2b＝2c，椭圆方程为x22b2+y2b2＝1.
将点(4，1)代入方程得b2＝9，故所求方程为x218+y29＝1.
(2)点(0，－1)在椭圆C内，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－1.
由x218+y29＝1，y＝kx－1，得(2k2＋1)x2－4kx－16＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k2k2+1，x1x2＝－162k2+1，Δ＞0，
|PQ|＝k2+1x1+x22－4x1x2＝4k2+19k2+42k2+1.
又点M(0，3)到l的距离d＝4k2+1，
所以S△MPQ＝12PQ·d＝89k2+42k2+1.
令t＝2k2＋1(t≥1)，则k2＝t－12，则S△MPQ＝89t－12+4t2＝8818－121t－922.
因为0＜1t≤1，所以当1t＝1(k＝0)时，S△MPQ＝16是所求最大值，即△MPQ的面积的最大值为16.
关于利用函数、导数法求最值
(1)建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解题．
(2)解题时注意对函数式的变形构造、换元等，多用二次函数配方求最值，有时也会涉及对函数求导，利用导数求最值．
考向3 利用基本不等式求最值
【例4】如图，椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，过左焦点F(－1，0)的直线与椭圆交于C，D两点(其中C点位于x轴上方)，当CD垂直于x轴时，|CD|＝3.
(1)求椭圆的方程；
(2)记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，求k1＋1k2的最小值．
解：(1)因为椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，所以a2－b2＝1.
将x＝－1代入x2a2+y2b2＝1，得y＝±b2a，故2b2a＝3，
解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为x24+y23＝1.
(2)因为直线CD过点F(－1，0)，且点C位于x轴上方，
所以直线CD的斜率不为0.
设直线CD的方程为x＝my－1，
联立x24+y23＝1，x＝my－1，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0.
Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＝144m2＋144＞0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由已知y1＞0，
于是y1＋y2＝6m3m2+4，y1y2＝－93m2+4＜0，
所以my1y2＝－32(y1＋y2)，y2＜0.
又椭圆x24+y23＝1的左顶点A的坐标为(－2，0)，右顶点B的坐标为(2，0)，
所以k1＝y1x1+2，k2＝y2x2－2.
因为y1＞0，y2＜0，－2＜x1＜2，－2＜x2＜2，
所以k1＞0，k2＞0.
因为k2k1＝y2x2－2y1x1+2＝y2x1+2y1x2－2＝y2my1+1y1my2－3＝my1y2+y2my1y2－3y1＝－32 y1+y2+y2－32 y1+y2－3y1
＝－32 y1－12 y2－92 y1－32 y2＝13，即k1＝3k2，
所以k1＋1k2＝3k2+1k2≥23，
当且仅当3k2＝1k2，即k2＝33时，等号成立．
故当k2＝33时，k1＋1k2取得最小值，最小值为23.
关于利用基本不等式求最值
建立求解目标关于某个变量的函数，通过换元等方法，构造和或积的定值，从而利用基本不等式及其变形求最值．要注意等号成立的条件，如果取不到等号，可以转化为函数方法求最值．
(2024·临沂模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为63，直线x＝2被C截得的线段长为233.
(1)求C的方程；
(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且AF2＝λBF1，求四边形ABF1F2面积的最大值．
解：(1)因为e＝ca＝63，所以c2a2＝23，所以c2＝23a2.
又b2＝a2－c2＝a2－23 a2＝13a2，
所以椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2.
由x2+3y2＝a2，x＝2， 解得y＝±a2－23，
由题可知2a2－23＝233，解得a2＝3，所以椭圆C的方程为x23＋y2＝1.
(2)由AF2＝λBF1，得AF2∥BF1.如图，延长BF1，AF2交椭圆于E，D两点，连接ED，AE，BD，
根据椭圆的对称性可知，四边形ABED为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为平行四边形ABED的面积的一半．
由题知，直线BF1的斜率不为0，
故设直线BF1的方程为x＝my－2，
联立x23+y2＝1， x＝my－2，
得(m2＋3)y2－22my－1＝0，
Δ＝22m2＋4(m2＋3)＝12m2＋12＞0.
设B(x1，y1)，E(x2，y2)，
则y1＋y2＝22mm2+3，y1y2＝－1m2+3，
故|BE|＝1+m2·y1－y2＝23m2+1m2+3，
又O到BF1的距离d＝21+m2，
所以S四边形ABF1F2 ＝12S四边形ABED＝12×4S△OBE＝2×12×BE·d＝|BE|·d
＝23m2+1m2+3·2m2+1＝26·m2+1m2+3＝26·m2+1m2+1+2
＝26·1m2+1+2m2+1≤26×122＝3，
当且仅当m2+1＝2m2+1，即m＝±1时取等号，
所以当m＝±1时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为3.
课时质量评价(五十五)
1．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1，0)，离心率为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知B0，3，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．
解：(1)因为a＝1，ca＝2，所以c＝2，b2＝3，
所以双曲线C的标准方程为x2－y23＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
线段MN的中点Q(x0，y0)，
联立y＝kx+m，x2－y23＝1，
得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依题意3－k2≠0，Δ＝－2km2－43－k2－m2－3>0，
即3－k2≠0， 3+m2－k2>0，①
由根与系数的关系可得x1＋x2＝2km3－k2，x1x2＝－m2+33－k2，
则x0＝x1+x22＝km3－k2，y0＝kx0+m＝3m3－k2.
因为|BM|＝|BN|，所以BQ⊥MN，
所以kBQ＝y0－3x0＝3m3－k2－3km3－k2＝－1k，
所以3－k2＝433m②，
k2＝3－433m>0③.
由①②③得m0，
联立x＝ty+1，y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0，
则Δ＝16t2＋16＞0，
所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)，
联立y－y1＝－tx－x1，y2＝4x，
消去x，得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0，
则Δ＝16＋4t(4tx1＋4y1)＞0，
所以y1＋y3＝－4t，y1y3＝－4tx1－4y1t.
所以|AC|＝1+1t2y1－y3＝1+1t2y1+y32－4y1y3＝1+1t216+16t2x1+16ty1t2
＝1+1t216+4t2y12+16ty1t2＝2t2+1t2·ty1+2＝2t2+1t2·(ty1＋2)．
同理可得|BD|＝2t2+1t2·(ty2＋2)，
所以|AC|＋|BD|＝2t2+1t2·[t(y1＋y2)＋4]＝8t2+1t2(t2＋1)＝8t2+13t4.
令f (x)＝x+13x2，x>0，则f ′(x)＝x+12x－2x3，x>0，
所以当x∈(0，2)时，f ′(x)0，f (x)单调递增．
所以当x＝2时，f (x)取得最小值，即当t＝±2时，AC+BD取得最小值为123.
3．(2024·淄博模拟)已知F3，0是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点，点M3，12在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－12(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)由题意知，椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为－3，0，右焦点为3，0，
根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为3+32+12 －02+12＝4，
即2a＝4，所以a＝2.
又因为c＝3，可得b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．
故设直线l的方程为y＝kx+m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立y＝kx+m，x24+y2＝1，
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝－8km4k2+1，x1x2＝4m2－14k2+1，
所以kOA＋kOB＝y1x1+y2x2＝kx1+mx2+kx2+mx1x1x2＝2k+mx1+x2x1x2＝2k+－8km24m2－1＝－2km2－1.
由kOA＋kOB＝－12，可得m2＝4k＋1≥0，所以k≥－14.
又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，
所以4k2－4k>0，解得k1.
综上所述，直线l的斜率的取值范围是－14，0∪(1，＋∞)
4．如图所示，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过点M(1，0)的直线交抛物线C于A，B两点，且3OF＝FM.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD·EF＝0，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程．
解：(1)依题意Fp2，0，3OF＝FM，
可得3|OF|＝|FM|，即3×p2＝1－p2，可得p＝12，
所以抛物线C的方程为y2＝x.
(2)抛物线y2＝x的焦点F14，0，准线方程为x＝－14，
设D(x0，y0)，B(t2，t)，则E－14，t，
若直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝k(x－1)，
联立y=kx－1，y2=x， 可得k2x2－(2k2＋1)x＋k2＝0，Δ＝(2k2＋1)2－4k4＞0，
则xAxB＝1，可得A1t2，－1t.
若直线AB的斜率不存在，即直线AB：x＝1，也符合上述坐标．
因为kEF＝－2t，AD⊥EF，
所以kAD＝12t，故直线AD：y＋1t＝12tx－1t2，即x－2ty－2－1t2＝0.
由y2=x， x－2ty－2－1t2=0，得y2－2ty－2－1t2＝0，
Δ＝4t2＋42+1t2＞0，
所以yA＋y0＝2t，yAy0＝－2－1t2.
所以|AD|＝1+4t2|yA－y0|＝1+4t2·yA+y02－4yAy0＝21+4t2t2+1t2+2.
点B到直线AD的距离为d＝t2－2t2－2－1t21+4t2＝t2+1t2+21+4t2.
所以S△ABD＝12|AD|·d＝t2+1t2+23≥2+23＝8，
当且仅当t2＝1t2，即t＝±1时，等号成立，
当t＝1时，直线AD的方程为x－2y－3＝0；
当t＝－1时，直线AD的方程为x＋2y－3＝0.