人教A版普通高中数学一轮复习第三章第二节第一课时导数与函数的单调性学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第三章第二节第一课时导数与函数的单调性学案，共20页。

3．会用导数求函数的极大值、极小值．
4．会求闭区间上函数的最大值、最小值．
第1课时 导数与函数的单调性
自查自测,
知识点 函数的单调性与导数
1．(教材改编题)函数f(x)＝cs x－x在(0，π)上的单调性是( D )
A．先增后减B．先减后增
C．单调递增D．单调递减
2．已知导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
,A ,B ,C ,D
D 解析：由题图可知，当x＜0时，f′(x)＜0，当x＞0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．故选D.
3．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－2，2)B．(0，2)
C．−12，12D．0，12
D 解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－1x＝4x2−1x．令f′(x)＜0，解得0＜x＜12，故f(x)的单调递减区间为0，12．故选D.
核心回扣
1．函数单调性与导数的关系
设函数f(x)在(a，b)内可导，f′(x)是f(x)的导函数，则
2．(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．
(3)函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验．
【常用结论】
(1)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．
(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件．
(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．
应用1 命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)＞0；命题乙：函数f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A 解析：由题易知，甲可推出乙，但乙不能推出甲．例如，函数f(x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1＜x＜1)，故甲是乙的充分不必要条件．
应用2 若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
[－3，0] 解析：题意等价于f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.
求函数的单调区间
1．(2024·齐齐哈尔模拟)若函数f(x)＝12x2－3x－4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为( )
A．(4，＋∞)B．(0，1)
C．(0，4)D．(1，4)
C 解析：函数f(x)＝12x2－3x－4ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－3－4x＝x2−3x−4x＝x−4x+1x．令f′(x)＜0，解得0＜x＜4，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，4)．
2．已知函数y＝f(x)与其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝fxex的单调递减区间为( )
A．(0，4) B．(－∞，1)，43，4
C．0，43D．(0，1)，(4，＋∞)
D 解析：由题可得g′(x)＝f'xex−fxexex2＝f'x−fxex．令g′(x)＜0，得f′(x)＜f(x)．由题图可知，当x∈(0，1)∪(4，＋∞)时，f′(x)＜f(x)，g′(x)＜0，所以函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，(4，＋∞)．
3．函数f(x)＝ex－ln (1＋x)的单调递增区间为 ．
(0，＋∞)(或[0，＋∞)) 解析：函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ex－11+x．令g(x)＝ex－11+x，则g′(x)＝ex＋11+x2＞0，所以g(x)在(－1，＋∞)上单调递增．因为g(0)＝0，所以当x＞0时，f′(x)＞0，故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)(或[0，＋∞))．
求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x)．
(3)解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，解集在定义域内的部分为单调递增(或递减)区间．
讨论函数的单调性
【例1】已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b，讨论f(x)的单调性．
解：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a3．
①若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪a3，+∞时，f′(x)＞0；当x∈0，a3时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，0)，a3，+∞上单调递增，在0，a3上单调递减．
②若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
③若a＜0，则当x∈−∞，a3∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈a3，0时，f′(x)＜0.
故f(x)在−∞，a3，(0，＋∞)上单调递增，在a3，0上单调递减．
综上所述，当a＞0时，f(x)在(－∞，0)，a3，+∞上单调递增，在0，a3上单调递减；当a＝0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＜0时，f(x)在−∞，a3，(0，＋∞)上单调递增，在a3，0上单调递减．
[变式] 将本例函数改为“f(x)＝x22－a ln x，a∈R”，求f(x)的单调区间．
解：因为f(x)＝x22－a ln x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝x－ax＝x2−ax．
(1)当a≤0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)当a＞0时，f′(x)＝x+ax−ax，
①当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
②当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；
当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．
解决含参函数的单调性问题的注意点
(1)研究含参函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
1．(2024·大连模拟)已知函数f(x)＝ex－12x2，讨论函数f(x)的单调性．
解：依题意，函数f(x)＝ex－12x2的定义域为R，
f′(x)＝ex－x.
令m(x)＝ex－x，则m′(x)＝ex－1.
令m′(x)＝0，解得x＝0.
当x＜0时，m′(x)＜0，当x＞0时，m′(x)＞0，故m(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以m(x)≥m(0)＝1＞0，即f′(x)＞0.
故函数f(x)在R上单调递增．
2．已知函数f(x)＝ax2－ln x－x(a≠0)，试讨论函数f(x)的单调性．
解：函数f(x)＝ax2－ln x－x(a≠0)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－1x－1＝2ax2−x−1x．
设g(x)＝2ax2－x－1.
当a＜0时，因为函数g(x)的图象的对称轴为x＝14a＜0，g(0)＝－1，
所以当x＞0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，令g(x)＝0，
得x1＝1−1+8a4a＜0，x2＝1+1+8a4a＞0，
当0＜x＜1+1+8a4a时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，所以f(x)在0，1+1+8a4a上单调递减；
当x＞1+1+8a4a时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，所以f(x)在1+1+8a4a，+∞上单调递增．
所以函数f(x)在0，1+1+8a4a上单调递减，在1+1+8a4a，+∞上单调递增．
综上所述，当a＜0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞0时，f(x)在0，1+1+8a4a上单调递减，在1+1+8a4a，+∞上单调递增．
函数单调性的应用
考向1 利用函数的单调性解不等式
【例2】(2024·成都模拟)已知函数f(x)＝ex＋e2-x＋x2－2x，则不等式f(2x＋1)＜f(x)的解集为( )
A．13，1
B．−1，13
C．−∞，13∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪13，+∞
B 解析：函数f(x)＝ex＋e2-x＋x2－2x的定义域为R，显然f(2－x)＝ e2-x＋ex＋(2－x)2－2(2－x)＝ex＋e2-x＋x2－2x＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．f′(x)＝ex－e2-x＋2x－2，当x＞1时，显然x＞2－x，则有ex－e2-x＞0，2x－2＞0，于是f′(x)＞0，即函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又由对称性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以不等式f(2x＋1)＜f(x)等价于|2x＋1－1|＜|x－1|，即|2x|＜|x－1|，整理得3x2＋2x－1＜0，解得－1＜x＜13．所以不等式f(2x＋1)＜f(x)的解集为−1，13．
利用导数解不等式的关键是用导数判断函数的单调性，或者构造函数后再使用导数．同时根据奇偶性变换不等式为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性得出关于g(x)，h(x)的不等式，解此不等式得出范围．
考向2 利用函数的单调性比较大小
【例3】(1)已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，则fπ 5，f(1)，f−π 3的大小关系为( )
A．f−π 3＞f(1)＞fπ 5
B．f(1)＞f−π 3＞fπ 5
C．fπ 5＞f(1)＞f−π 3
D．f−π 3＞fπ 5＞f(1)
A 解析：因为f(x)＝x sin x，x∈R，且f(－x)＝(－x)·sin (－x)＝x sin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f−π 3＝fπ 3．当x∈0，π 2时，f′(x)＝sin x＋x cs x＞0，所以函数f(x)在0，π 2上单调递增，所以fπ 5＜f(1)＜fπ 3，即f−π 3＞f(1)＞fπ 5．
(2)已知a＝ln 33，b＝e-1，c＝3ln28，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＞c＞aB．a＞c＞b
C．a＞b＞cD．b＞a＞c
D 解析：依题意，得a＝ln 33＝ln33，b＝e-1＝lnee，c＝3ln28＝ln88．令f(x)＝lnxx(x＞0)，则f′(x)＝1−lnxx2，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(e)＝1e＝b，且f(3)＞f(8)，即a＞c，所以b＞a＞c.
利用导数比较大小的方法
(1)若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，根据单调性比较大小．
(2)若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小．
考向3 利用函数的单调性求参数的取值范围
【例4】(2024·烟台模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝12ax2＋2x，a≠0.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
解：(1)因为h(x)＝ln x－12ax2－2x(x＞0)，
所以h′(x)＝1x－ax－2.
因为h(x)存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－2＜0有解，即a＞1x2－2x有解．
设H(x)＝1x2－2x，所以只要a＞H(x)min即可，而H(x)＝1x−12－1，1x∈(0，＋∞)，
所以H(x)min ＝－1，此时x＝1，
所以a＞－1.
又a≠0，所以－1＜a＜0或a＞0.
所以实数a的取值范围为(－1，0)∪(0，＋∞)．
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
解：因为h(x)＝ln x－12ax2－2x(x＞0)在[1，4]上单调递减，
所以当x∈[1，4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．
令G(x)＝1x2－2x，
则a≥G(x)max，而G(x)＝1x−12－1.
因为x∈[1，4]，所以1x∈14，1．
所以G(x)max＝G(4)＝－716，所以a≥－716．
当a＝－716时，h′(x)＝1x＋716x－2＝16+7x2−32x16x＝7x−4x−416x．
因为x∈[1，4]，所以h′(x)＝7x−4x−416x≤0，即h(x)在[1，4]上单调递减．
又a≠0，所以实数a的取值范围是−716，0∪(0，＋∞)．
[变式] 本例第(2)问中，若h(x)“在[1，4]上单调递减”改为“在[1，4]上存在单调递减区间”，求实数a的取值范围．
解：若h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，
则h′(x)＜0在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，a＞1x2－2x有解．
又当x∈[1，4]时，1x2−2xmin＝－1，
所以a＞－1.
又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：若y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)在区间(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一子区间内，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
1．已知函数f(x)＝sin x＋cs x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．b＞a＞c D．c＞b＞a
A 解析：因为f(x)的定义域为R，f′(x)＝cs x－sin x－2＝2cs x+π 4－2＜0，所以f(x)在R上单调递减．又因为2e＞1，0＜ln 2＜1，所以－π＜ln 2＜2e，故f(－π)＞f(ln 2)＞f(2e)，即a＞c＞b.
2．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＜1，f(1)＝1，则不等式f(x)＞x的解集为( )
A．(－∞，1)B．(0，1)
C．(1，＋∞)D．(e，＋∞)
A 解析：由题意知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＜1，则f′(x)－1＜0.令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1＜0，所以F(x)在R上单调递减．因为f(1)＝1，所以F(1)＝f(1)－1＝0.因为f(x)＞x，所以f(x)－x＞0，即F(x)＞0＝F(1)，所以x＜1，即不等式f(x)＞x的解集为(－∞，1)．
3．(2024·菏泽模拟)已知函数g(x)＝－13x3＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递减，设实数a的取值范围为M.
(1)求M；
解：(1)因为g(x)＝－13x3＋x2－ax，所以g′(x)＝－x2＋2x－a.
因为函数g(x)＝－13x3＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递减，
所以g′(x)＝－x2＋2x－a≤0对任意x∈(0，＋∞)成立，
所以a≥－x2＋2x＝－(x－1)2＋1对任意x∈(0，＋∞)成立．
又－(x－1)2＋1≤1，所以a≥1.
所以实数a的取值范围为M＝[1，＋∞)．
(2)若函数y＝lg 2−mx在区间M上单调递增，求实数m的取值范围．
解：因为函数y＝lg 2−mx在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以函数y＝2－mx在[1，＋∞)上单调递增， 且当x≥1时，2－mx＞0恒成立．
由函数的性质可得m＞0，2−m＞0，解得0＜m＜2.
所以实数m的取值范围为(0，2)．
[试题呈现]
若函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围．
[四字程序]
[一题多解]
思路参考：等价转化为f′(x)≤0对∀x∈[1，2]恒成立，分离变量求最值．
解：由题可得f′(x)＝3x2－2ax.
f(x)在[1，2]上单调递减等价于f′(x)＝3x2－2ax≤0在[1，2]上恒成立，即a≥32x在[1，2]上恒成立，
故a≥32xmax＝3，即a≥3.
所以a的取值范围是[3，＋∞)．
思路参考：等价转化为f′(x)≤0对∀x∈[1，2]恒成立，数形结合列不等式组求范围．
解：由题可得f′(x)＝3x2－2ax.
f(x)在[1，2]上单调递减等价于f′(x)＝3x2－2ax≤0在[1，2]上恒成立．
结合二次函数的图象和性质，
可得f'1=3−2a≤0，f'2=12−4a≤0，解得a≥3.
所以a的取值范围是[3，＋∞)．
思路参考：分类讨论f(x)的单调性，根据区间[1，2]是单调递减区间的子集求参数范围．
解：由题可得f′(x)＝3x2－2ax.
当a＝0时，f′(x)≥0，故f(x)在R上单调递增，与f(x)在区间[1，2]上单调递减不符．
当a＜0时，由f′(x)≤0，得23a≤x≤0，即f(x)的单调递减区间为23a，0 ，与f(x)在区间[1，2]上单调递减不符．
当a＞0时，由f′(x)≤0，得0≤x≤23a，即f(x)的单调递减区间为0，23a．
由f(x)在[1，2]上单调递减，得23a≥2，解得a≥3.
综上可知，a的取值范围是[3，＋∞)．
课时质量评价(十六)
1．如图所示为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，－1)
B．(－2，0)
C．(－2，0)，(2，＋∞)
D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
C 解析：当f′(x)＜0时，f(x)单调递减，从图可知，当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递减区间为(－2，0)，(2，＋∞)．故选C.
2．函数f(x)＝x－2ln (2x)的单调递减区间为( )
A．(－∞，1)B．(0，1)
C．(0，2)D．(2，＋∞)
C 解析： f(x)＝x－2ln (2x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－2x＝x−2x．由f′(x)＜0，可得x∈(0，2)，故f(x)＝x－2ln (2x)的单调递减区间为(0，2)．故选C.
3．已知函数f(x)＝2x－sin x，则下列选项正确的是( )
A．f(2.7)＜f(π)＜f(e)B．f(π)＜f(e)＜f(2.7)
C．f(e)＜f(2.7)＜f(π)D．f(2.7)＜f(e)＜f(π)
D 解析：由f(x)＝2x－sin x，得f′(x)＝2－cs x．因为cs x∈[－1，1]，所以f′(x)＝2－cs x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为2.7＜e＜π，所以f(2.7)＜f(e)＜f(π)．
4．(2024·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)＝12x2－16ln x在区间(2a－1，2a＋1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．12，32B．12，32
C．52，+∞D．52，+∞
B 解析：f′(x)＝x－16x＝x+4x−4x(x＞0)，当f′(x)≤0，解得0＜x≤4.由条件可知(2a－1，2a＋1)⊆(0，4]，所以2a−1≥0，2a+1≤4，解得12≤a≤32．故选B.
5．函数f(x)的定义域为R，f(2)＝5，对任意x∈R，f′(x)＜3，则f(x)＜3x－1的解集为( )
A．RB．(－∞，－2)
C．(2，＋∞)D．(－2，2)
C 解析：令g(x)＝f(x)－3x＋1，则g′(x)＝f′(x)－3＜0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递减．因为g(2)＝f(2)－5＝0，所以原不等式即为g(x)＜0＝g(2)，可得x＞2，故原不等式的解集为(2，＋∞)．故选C．
6．(2024·南昌模拟)函数f(x)＝lnxx2的单调递增区间为 ．
(0，e) 解析：函数f(x)＝lnxx2的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝1−2lnxx3．令f′(x)＞0，解得0＜x＜e，故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)．
7．已知函数f(x)＝x3＋x－sin x，则满足不等式f(2m2)≤f(1－m)成立的实数m的取值范围是 ．
−1，12 解析：由f(x)＝x3＋x－sin x，得f′(x)＝3x2＋1－cs x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增．由f(2m2)≤f(1－m)，得2m2≤1－m，所以2m2＋m－1≤0，解得－1≤m≤12，所以实数m的取值范围是−1，12．
8．若函数f(x)＝x3－12ax2＋x在[1，3]上存在单调递减区间，则a的取值范围为 ．
(4，＋∞) 解析：因为f(x)＝x3－12ax2＋x，所以f′(x)＝3x2－ax＋1.由题意可得f′(x)＜0在[1，3]上有解，即3x2－ax＋1＜0在[1，3]上有解，即a＞3x＋1x在[1，3]上有解，所以a＞3x+1xmin.令g(x)＝3x＋1x，x∈[1，3]，则g′(x)＝3－1x2＝3x2−1x2＞0，即g(x)在[1，3]上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝4，所以a＞4，故a的取值范围为(4，＋∞)．
9．(2024·六盘水模拟)已知幂函数f(x)＝(m－2)2xm2－6在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求m的值；
解：(1)已知函数f(x)＝(m－2)2xm2－6为幂函数，得(m－2)2＝1，解得m＝1或m＝3.
当m＝1时，f(x)＝x-5在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；
当m＝3时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．
综上可得m＝3.
(2)若函数g(x)＝f(x)－x2－ax在[0，2]上单调递减，求a的取值范围．
解：由(1)可知g(x)＝f(x)－x2－ax＝x3－x2－ax，则g′(x)＝3x2－2x－a.
因为g(x)在[0，2]上单调递减，
所以g′(x)＝3x2－2x－a≤0在[0，2]上恒成立．
故g'0=−a≤0， g'2=8−a≤0，解得a≥8.
因此a的取值范围为[8，＋∞)．
10．(2024·连云港模拟)已知函数f(x)＝ex－a(x－1)，其中a∈R，e是自然对数的底数．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝ex＋x－1，f′(x)＝ex＋1，k＝f′(0)＝2，f(0)＝0，
所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.
(2)讨论函数f(x)的单调性，并写出相应的单调区间．
解：因为f′(x)＝ex－a，
所以当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数f(x)在R上单调递增．
当a＞0时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a，所以x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
综上，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln a)．
11．已知a＝23＋ln 32，b＝1＋1e，c＝12＋ln 2，则( )
A．c＜b＜a B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
D 解析：构造函数f(x)＝1x＋ln x，因为f′(x)＝－1x2＋1x＝x−1x2(x＞0)，所以当x＞1时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为1＜32＜2＜e，所以f32＜f(2)＜f(e)，即23＋ln 32＜12＋ln 2＜1＋1e，所以a＜c＜b.故选D.
12．(多选题)(2024·临沂模拟)函数f(x)＝ax3＋3x2＋x－1恰有3个单调区间的充分不必要条件是( )
A．a∈(－∞，3) B．a∈(0，3)
C．a∈(－∞，0)∪(0，3)D．a∈(－∞，0)
BD 解析：f′(x)＝3ax2＋6x＋1，因为函数f(x)＝ax3＋3x2＋x－1恰有3个单调区间，所以函数f′(x)＝3ax2＋6x＋1有两个不同的零点，所以a≠0， Δ=36−12a＞0，解得a＜3且a≠0，所以a∈(－∞，0)∪(0，3)，则函数f(x)＝ax3＋3x2＋x－1恰有3个单调区间的充分不必要条件是BD两个选项．故选BD.
13．函数f(x)＝x1x(x＞0)的单调递增区间是 ．
(0，e) (或(0，e]) 解析：令g(x)＝ln (f(x))＝1xln x，由复合函数的单调性可知g(x)的单调递增区间即为所求，令g′(x)＝1−lnxx2＞0，解得0＜x＜e.
14．已知函数f(x)＝2x－m sin x在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是 ．
m＜－2或m＞2 解析：因为f(x)＝2x－m sin x，所以f′(x)＝2－m cs x．又f(x)不是单调函数，所以函数f(x)有极值点，即f′(x)在R上有变号零点，则2－m cs x＝0成立．当cs x＝0时，2－m cs x＝0可化为2＝0，显然不成立；当cs x≠0时，m＝2csx．因为x∈R，－1≤cs x≤1，所以2csx≤－2或2csx≥2，所以实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，经检验，满足要求．
15．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝a1−xx，
当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；
当a＝0时，f(x)＝－3为常函数，无单调区间．
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·f'x+m2在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围．
解：由(1)及题意得f′(2)＝－a2＝1，即a＝－2，
所以f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝2x−2x(x＞0)，
所以g(x)＝x3＋m2+2x2－2x，所以g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
因为g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g′(x)在区间(t，3)上有变号零点．
又g′(0)＝－2＜0，所以g't＜0，g'3＞0.
g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1，2]恒成立，由g′(0)＜0，
则g'1＜0，g'2＜0，解得m＜－9.
g′(3)＞0，即37＋3m＞0，解得m＞－373，
所以－373＜m＜－9.
故实数m的取值范围是−373，−9．
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)内单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)内单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)内为常数函数
读
求实数a的取值范围
想
1.利用导数研究函数单调性的方法．
2．从什么角度列不等式求取值范围
算
1.求f′(x)．
2．解不等式f′(x)≤0
思
转化与化归、数形结合