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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：2.3 函数的奇偶性与周期性
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：2.3 函数的奇偶性与周期性，共10页。
2.3 函数的奇偶性与周期性
必备知识预案自诊
知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
定义
设函数y=f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且
,那么函数f(x)就叫做偶函数
,那么函数f(x)就叫做奇函数
图象特征
关于 对称
关于 成中心对称图形
2.函数的周期性
(1)周期函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).
1.函数奇偶性的五个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
(5)只有f(x)=0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数.
2.周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数):
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
(2)若f(x+a)=±1f(x),则T=2a;
(3)若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( )
(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
(3)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.( )
(4)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.( )
(5)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.( )
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=aln x+a.若f(-e)=4,则f(0)+f(1)=( )
A.-1 B.0 C.-2 D.1
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x).则当x<0时,f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x(1+x) B.f(x)=x(1-x)
C.f(x)=-x(1+x) D.f(x)=x(x-1)
4.(2020江苏,7)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x23,则f(-8)的值是 .
5.函数f(x)的定义域为R,且对于x∈R,恒有f(x+2)=f(x).当x∈[2,4]时,f(x)=x2-2x,则f(2 021)= .
关键能力学案突破
考点
函数奇偶性的判断
【例1】(1)下列函数是奇函数的是 .
①f(x)=xlg(x+x2+1);
②f(x)=-x2+2x+1,x>0,x2+2x-1,x<0;
③f(x)=4-x2|x+3|-3.
(2)(2020河南实验中学4月模拟,3)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)·g(x)是偶函数 B.|f(x)|·g(x)是奇函数
C.f(x)·|g(x)|是奇函数 D.|f(x)·g(x)|是奇函数
解题心得判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
①定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提.
②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
(2)图象法
对点训练1(1)下列函数是奇函数的是 .
①f(x)=x3-x;
②f(x)=(x+1)1-x1+x;
③f(x)=x2+x,x<0,-x2+x,x>0.
(2)(多选)(2020山东模考卷,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数
C.f(x+3)为奇函数 D.f(x+4)为偶函数
考点
函数奇偶性的应用
【例2】(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R,当x>0时,f(x)=x+1,则f(x)的解析式为 .
(2)若函数f(x)=x2-2x,x≥0,-x2+ax,x<0为奇函数,则实数a的值为( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
(3)(2020河北武邑中学三模,5)已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上单调递增,则f(x-1)≤f(2x)的解集为( )
A.-1,23 B.-1,13
C.[-1,1] D.13,1
解题心得已知函数奇偶性可以解决的几个问题
(1)求函数值:利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用函数奇偶性求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数对应相等得参数的方程或方程(组),进而得到参数的值.
(4)解不等式:利用奇偶性与单调性将抽象函数的不等式转化为基本的不等式,进而得出未知数的范围.
(5)画函数图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
对点训练2(1)若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=x2+3x+2,则f(x)+g(x)= .
(2)(2020湖南师大附中一模,理13)已知函数f(x)=ax-log2(2x+1)+cos x(a∈R)为偶函数,则a= .
(3)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)
考点
函数周期性的应用
【例3】(1)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50 B.0 C.2 D.50
(2)(2020江西名校大联考,理13)已知函数f(x)=2x,x≤4,f(x-1),x>4,则f(5+log26)的值为 .
解题心得函数周期性的判断与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.
对点训练3(1)(2020陕西西安中学八模,理8)已知函数f(x)定义域为R且满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x),若f(1)=4,则f(6)+f(7)=( )
A.-8 B.-4 C.0 D.4
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-1f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 013)+f(2 015)= .
考点
函数的对称性
【例4】已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)的图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑i=1m(xi+yi)=( )
A.0 B.m C.2m D.4m
解题心得函数对称性的判断与应用
(1)对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴或对称中心对称.
(2)轴对称的等价描述:①f(a-x)=f(a+x)⇔f(x)的图象关于直线x=a轴对称(当a=0时,恰好就是偶函数);②f(a-x)=f(b+x)⇔f(x)的图象关于直线x=a+b2轴对称;③f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),进而可得到f(x)的图象关于直线x=a轴对称.
(3)中心对称的等价描述:①f(a-x)=-f(a+x)⇔f(x)的图象关于点(a,0)中心对称(当a=0时,恰好就是奇函数);②f(a-x)=-f(b+x)⇔f(x)的图象关于点a+b2,0中心对称;③f(x+a)是奇函数,则f(x+a)=-f(-x+a),进而可得到f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
对点训练4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .
考点
函数性质的综合应用
【例5】(1)(2020江西名校大联考,理9)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(log24.1),b=g(-20.2),c=g(π),则a,b,c的大小关系为( )
A.a
(3)(2020山东潍坊二模,5)设函数f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-cos x,则不等式f(2x-1)+f(x-2)>0的解集为( )
A.(-∞,1) B.-∞,13
C.13,+∞ D.(1,+∞)
解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.
(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.
(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.
对点训练5(1)(2020河南开封三模,文12,理11)若函数f(x)对∀a,b∈R,同时满足当a+b=0时有f(a)+f(b)=0;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,则称f(x)为Ω函数.下列函数:①f(x)=x-sin x,②f(x)=ex-e-x,③f(x)=ex+e-x,④f(x)=0,x=0,-1x,x≠0,是Ω函数的为( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则( )
A.f(-25)
2.3 函数的奇偶性与周期性
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y轴
原点
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2.C 由题意f(-e)=-f(e)=-2a=4,可得a=-2.所以当x>0时,f(x)=-2lnx-2,所以f(1)=-2.又因为f(0)=0,所以f(0)+f(1)=-2.故选C.
3.B 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x[1+(-x)].又f(x)为奇函数,∴-f(x)=-x(1-x),∴f(x)=x(1-x),故选B.
4.-4 ∵y=f(x)是奇函数,
∴f(-8)=-f(8)=-823=-4.
5.3 由f(x+2)=f(x),知f(x)是周期为T=2的周期函数.∵当x∈[2,4]时,f(x)=x2-2x,∴f(2021)=f(1009×2+3)=f(3)=32-2×3=3,即f(2021)=3.
关键能力·学案突破
例1(1)②③ (2)C (1)①∵x2+1>|x|≥0,∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)lg(-x+(-x)2+1)=-xlg(x2+1-x)=xlg(x2+1+x)=f(x),
即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
②由题意知函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);
当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
③由4-x2≥0,|x+3|≠3,
解得-2≤x≤2,且x≠0.
∴函数的定义域关于原点对称.
∴f(x)=4-x2x+3-3=4-x2x.
又f(-x)=4-(-x)2-x=-4-x2x=-f(x),∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
(2)∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),故函数f(x)·g(x)是奇函数,故A错误;
|f(-x)|·g(-x)=|f(x)|·g(x),故函数|f(x)|·g(x)是偶函数,故B错误;
f(-x)·|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,故函数f(x)·|g(x)|是奇函数,故C正确;
|f(-x)·g(-x)|=|f(x)·g(x)|,故函数|f(x)·g(x)|为偶函数,故D错误.故选C.
对点训练1(1)①③ (2)ABC (1)①定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),
所以函数为奇函数.
②由1-x1+x≥0可得函数的定义域为(-1,1].
∵函数定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数.
③函数的定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(x)=-x2+x,
∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,f(x)=x2+x,
∴f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).
∴函数为奇函数.
(2)∵f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,
∴f(-x+1)=-f(x+1),①
f(-x+2)=-f(x+2),②
∴由①可得f[-(x+1)+1]=-f(x+1+1),即f(-x)=-f(x+2),③
∴由②③得f(-x)=f(-x+2),
∴f(x)的周期为2.
∴f(x)=f(x+2),则f(x)为奇函数.
∴f(x+1)=f(x+3),则f(x+3)为奇函数.故选ABC.
例2(1)f(x)=x+1,x>0,0,x=0,x-1,x<0 (2)B (3)B (1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x+1.又f(x)=-f(-x),∴f(x)=x-1.
∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0.∴f(x)=x+1,x>0,0,x=0,x-1,x<0.
(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x.
又当x<0时,f(x)=-x2+ax,
∴a=-2.
(3)∵f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,∴2b+1-b=0,∴b=-1.
∵f(x)在[-2,0]上单调递增,
∴f(x)在[0,2]上单调递减.
由f(x-1)≤f(2x)可得|x-1|≥|2x|,即(x-1)2≥4x2,且-2≤x-1≤2,-2≤2x≤2,求得-1≤x≤13,故选B.
对点训练2(1)-x2+3x-2 (2)12
(3)13,23 (1)∵f(x)-g(x)=x2+3x+2,∴f(-x)-g(-x)=x2-3x+2.又f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
∴-f(x)-g(x)=x2-3x+2,
∴f(x)+g(x)=-x2+3x-2.
(2)f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即a(-x)-log2(2-x+1)+cos(-x)=ax-log2(2x+1)+cosx,变形可得2ax=log2(2x+1)-log2(2-x+1)=x,解得a=12.
(3)∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,∴f(2x-1)
所以f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1),所以周期T=4.
因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2).
因为f(3)=-f(1),f(4)=-f(2),
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.
因为f(2)=f(-2)=-f(2),
所以f(2)=0.
从而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2.故选C.
(2)由题意当x>4时,函数f(x)=f(x-1),所以f(x)在(4,+∞)上的周期为1.因为2
(2)当x≥0时,f(x+2)=-1f(x),
∴f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.∴f(2013)=f(1)=log22=1,f(-2013)=f(2013)=1,
f(2015)=f(3)=-1f(1)=-1,
∴f(-2013)+f(2015)=0.
例4B 由f(-x)=2-f(x)得f(-x)+f(x)=2,即函数f(x)的图象关于点(0,1)中心对称.又y=x+1x=1+1x的图象也关于点(0,1)中心对称,∴x1+x2+…+xm=0,y1+y2+…+ym=m,∴∑i=1m(xi+yi)=m.
对点训练4-8 ∵f(x)是奇函数,∴f(x-4)=-f(x)可化为f(x)=-f(x-4)=f(4-x),即f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)可知函数周期为8.不妨设x1
即2019f(-x)+f(x)=1,即f(x)+f(-x)=0,故函数f(x)为奇函数,则f(x)在[-1,1]上单调递减.
所以log12m>log14(m+2),-1≤log12m≤1,-1≤log14(m+2)≤1,m>0,m+2>0,
解得12≤m<2.故选C.
(3)当x≥0时,f'(x)=ex+sinx>0,则f(x)在[0,+∞)上单调递增.f(x)为奇函数,则f(x)在区间(-∞,0]上也单调递增,故f(x)为R上的增函数.由f(2x-1)+f(x-2)>0,可得f(2x-1)>-f(x-2),即f(2x-1)>f(2-x),又因为f(x)在R上为增函数,所以2x-1>2-x,解得x>1,故选D.
对点训练5(1)A (2)D (3)(0,2) (1)当a+b=0时有f(a)+f(b)=0,即f(-a)=-f(a),则f(x)为R上的奇函数;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,即当a>-b时有f(a)>-f(b)=f(-b),可得f(x)为R上的增函数.则函数f(x)为R上的奇函数,且为增函数.
由①f(x)=x-sinx,定义域为R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-f(x),即有f(x)为奇函数;
又f'(x)=1-cosx≥0,可得f(x)为R上的增函数,故①是Ω函数.
②f(x)=ex-e-x,定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),即有f(x)为奇函数,
又f'(x)=ex+e-x>0,可得f(x)为R上的增函数,故②是Ω函数.
③f(x)=ex+e-x,定义域为R,f(-x)=e-x+ex=f(x),可得f(x)为偶函数,故③不是Ω函数.
④f(x)=0,x=0,-1x,x≠0,定义域为R,当x≠0时,f(-x)=1x=-f(x),可得f(x)为奇函数,
又f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,但在R上不为增函数,比如f(-1)>f(1),故④不是Ω函数.故选A.
(2)因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).
由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).
因为f(x)在区间[0,2]上单调递增,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上单调递增,所以f(-1)
∵f(-x)=log1ex2+1e-xe=f(x),∴f(x)是偶函数.
∵偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(x+1)
2.3 函数的奇偶性与周期性
必备知识预案自诊
知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
定义
设函数y=f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且
,那么函数f(x)就叫做偶函数
,那么函数f(x)就叫做奇函数
图象特征
关于 对称
关于 成中心对称图形
2.函数的周期性
(1)周期函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).
1.函数奇偶性的五个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
(5)只有f(x)=0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数.
2.周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数):
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
(2)若f(x+a)=±1f(x),则T=2a;
(3)若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( )
(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
(3)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.( )
(4)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.( )
(5)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.( )
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=aln x+a.若f(-e)=4,则f(0)+f(1)=( )
A.-1 B.0 C.-2 D.1
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x).则当x<0时,f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x(1+x) B.f(x)=x(1-x)
C.f(x)=-x(1+x) D.f(x)=x(x-1)
4.(2020江苏,7)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x23,则f(-8)的值是 .
5.函数f(x)的定义域为R,且对于x∈R,恒有f(x+2)=f(x).当x∈[2,4]时,f(x)=x2-2x,则f(2 021)= .
关键能力学案突破
考点
函数奇偶性的判断
【例1】(1)下列函数是奇函数的是 .
①f(x)=xlg(x+x2+1);
②f(x)=-x2+2x+1,x>0,x2+2x-1,x<0;
③f(x)=4-x2|x+3|-3.
(2)(2020河南实验中学4月模拟,3)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)·g(x)是偶函数 B.|f(x)|·g(x)是奇函数
C.f(x)·|g(x)|是奇函数 D.|f(x)·g(x)|是奇函数
解题心得判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
①定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提.
②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
(2)图象法
对点训练1(1)下列函数是奇函数的是 .
①f(x)=x3-x;
②f(x)=(x+1)1-x1+x;
③f(x)=x2+x,x<0,-x2+x,x>0.
(2)(多选)(2020山东模考卷,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数
C.f(x+3)为奇函数 D.f(x+4)为偶函数
考点
函数奇偶性的应用
【例2】(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R,当x>0时,f(x)=x+1,则f(x)的解析式为 .
(2)若函数f(x)=x2-2x,x≥0,-x2+ax,x<0为奇函数,则实数a的值为( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
(3)(2020河北武邑中学三模,5)已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上单调递增,则f(x-1)≤f(2x)的解集为( )
A.-1,23 B.-1,13
C.[-1,1] D.13,1
解题心得已知函数奇偶性可以解决的几个问题
(1)求函数值:利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用函数奇偶性求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数对应相等得参数的方程或方程(组),进而得到参数的值.
(4)解不等式:利用奇偶性与单调性将抽象函数的不等式转化为基本的不等式,进而得出未知数的范围.
(5)画函数图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
对点训练2(1)若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=x2+3x+2,则f(x)+g(x)= .
(2)(2020湖南师大附中一模,理13)已知函数f(x)=ax-log2(2x+1)+cos x(a∈R)为偶函数,则a= .
(3)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)
考点
函数周期性的应用
【例3】(1)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50 B.0 C.2 D.50
(2)(2020江西名校大联考,理13)已知函数f(x)=2x,x≤4,f(x-1),x>4,则f(5+log26)的值为 .
解题心得函数周期性的判断与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.
对点训练3(1)(2020陕西西安中学八模,理8)已知函数f(x)定义域为R且满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x),若f(1)=4,则f(6)+f(7)=( )
A.-8 B.-4 C.0 D.4
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-1f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 013)+f(2 015)= .
考点
函数的对称性
【例4】已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)的图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑i=1m(xi+yi)=( )
A.0 B.m C.2m D.4m
解题心得函数对称性的判断与应用
(1)对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴或对称中心对称.
(2)轴对称的等价描述:①f(a-x)=f(a+x)⇔f(x)的图象关于直线x=a轴对称(当a=0时,恰好就是偶函数);②f(a-x)=f(b+x)⇔f(x)的图象关于直线x=a+b2轴对称;③f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),进而可得到f(x)的图象关于直线x=a轴对称.
(3)中心对称的等价描述:①f(a-x)=-f(a+x)⇔f(x)的图象关于点(a,0)中心对称(当a=0时,恰好就是奇函数);②f(a-x)=-f(b+x)⇔f(x)的图象关于点a+b2,0中心对称;③f(x+a)是奇函数,则f(x+a)=-f(-x+a),进而可得到f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
对点训练4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .
考点
函数性质的综合应用
【例5】(1)(2020江西名校大联考,理9)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(log24.1),b=g(-20.2),c=g(π),则a,b,c的大小关系为( )
A.a
(3)(2020山东潍坊二模,5)设函数f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-cos x,则不等式f(2x-1)+f(x-2)>0的解集为( )
A.(-∞,1) B.-∞,13
C.13,+∞ D.(1,+∞)
解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.
(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.
(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.
对点训练5(1)(2020河南开封三模,文12,理11)若函数f(x)对∀a,b∈R,同时满足当a+b=0时有f(a)+f(b)=0;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,则称f(x)为Ω函数.下列函数:①f(x)=x-sin x,②f(x)=ex-e-x,③f(x)=ex+e-x,④f(x)=0,x=0,-1x,x≠0,是Ω函数的为( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则( )
A.f(-25)
2.3 函数的奇偶性与周期性
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y轴
原点
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2.C 由题意f(-e)=-f(e)=-2a=4,可得a=-2.所以当x>0时,f(x)=-2lnx-2,所以f(1)=-2.又因为f(0)=0,所以f(0)+f(1)=-2.故选C.
3.B 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x[1+(-x)].又f(x)为奇函数,∴-f(x)=-x(1-x),∴f(x)=x(1-x),故选B.
4.-4 ∵y=f(x)是奇函数,
∴f(-8)=-f(8)=-823=-4.
5.3 由f(x+2)=f(x),知f(x)是周期为T=2的周期函数.∵当x∈[2,4]时,f(x)=x2-2x,∴f(2021)=f(1009×2+3)=f(3)=32-2×3=3,即f(2021)=3.
关键能力·学案突破
例1(1)②③ (2)C (1)①∵x2+1>|x|≥0,∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)lg(-x+(-x)2+1)=-xlg(x2+1-x)=xlg(x2+1+x)=f(x),
即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
②由题意知函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);
当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
③由4-x2≥0,|x+3|≠3,
解得-2≤x≤2,且x≠0.
∴函数的定义域关于原点对称.
∴f(x)=4-x2x+3-3=4-x2x.
又f(-x)=4-(-x)2-x=-4-x2x=-f(x),∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
(2)∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),故函数f(x)·g(x)是奇函数,故A错误;
|f(-x)|·g(-x)=|f(x)|·g(x),故函数|f(x)|·g(x)是偶函数,故B错误;
f(-x)·|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,故函数f(x)·|g(x)|是奇函数,故C正确;
|f(-x)·g(-x)|=|f(x)·g(x)|,故函数|f(x)·g(x)|为偶函数,故D错误.故选C.
对点训练1(1)①③ (2)ABC (1)①定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),
所以函数为奇函数.
②由1-x1+x≥0可得函数的定义域为(-1,1].
∵函数定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数.
③函数的定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(x)=-x2+x,
∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,f(x)=x2+x,
∴f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).
∴函数为奇函数.
(2)∵f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,
∴f(-x+1)=-f(x+1),①
f(-x+2)=-f(x+2),②
∴由①可得f[-(x+1)+1]=-f(x+1+1),即f(-x)=-f(x+2),③
∴由②③得f(-x)=f(-x+2),
∴f(x)的周期为2.
∴f(x)=f(x+2),则f(x)为奇函数.
∴f(x+1)=f(x+3),则f(x+3)为奇函数.故选ABC.
例2(1)f(x)=x+1,x>0,0,x=0,x-1,x<0 (2)B (3)B (1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x+1.又f(x)=-f(-x),∴f(x)=x-1.
∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0.∴f(x)=x+1,x>0,0,x=0,x-1,x<0.
(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x.
又当x<0时,f(x)=-x2+ax,
∴a=-2.
(3)∵f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,∴2b+1-b=0,∴b=-1.
∵f(x)在[-2,0]上单调递增,
∴f(x)在[0,2]上单调递减.
由f(x-1)≤f(2x)可得|x-1|≥|2x|,即(x-1)2≥4x2,且-2≤x-1≤2,-2≤2x≤2,求得-1≤x≤13,故选B.
对点训练2(1)-x2+3x-2 (2)12
(3)13,23 (1)∵f(x)-g(x)=x2+3x+2,∴f(-x)-g(-x)=x2-3x+2.又f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
∴-f(x)-g(x)=x2-3x+2,
∴f(x)+g(x)=-x2+3x-2.
(2)f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即a(-x)-log2(2-x+1)+cos(-x)=ax-log2(2x+1)+cosx,变形可得2ax=log2(2x+1)-log2(2-x+1)=x,解得a=12.
(3)∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,∴f(2x-1)
所以f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1),所以周期T=4.
因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2).
因为f(3)=-f(1),f(4)=-f(2),
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.
因为f(2)=f(-2)=-f(2),
所以f(2)=0.
从而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2.故选C.
(2)由题意当x>4时,函数f(x)=f(x-1),所以f(x)在(4,+∞)上的周期为1.因为2
(2)当x≥0时,f(x+2)=-1f(x),
∴f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.∴f(2013)=f(1)=log22=1,f(-2013)=f(2013)=1,
f(2015)=f(3)=-1f(1)=-1,
∴f(-2013)+f(2015)=0.
例4B 由f(-x)=2-f(x)得f(-x)+f(x)=2,即函数f(x)的图象关于点(0,1)中心对称.又y=x+1x=1+1x的图象也关于点(0,1)中心对称,∴x1+x2+…+xm=0,y1+y2+…+ym=m,∴∑i=1m(xi+yi)=m.
对点训练4-8 ∵f(x)是奇函数,∴f(x-4)=-f(x)可化为f(x)=-f(x-4)=f(4-x),即f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)可知函数周期为8.不妨设x1
即2019f(-x)+f(x)=1,即f(x)+f(-x)=0,故函数f(x)为奇函数,则f(x)在[-1,1]上单调递减.
所以log12m>log14(m+2),-1≤log12m≤1,-1≤log14(m+2)≤1,m>0,m+2>0,
解得12≤m<2.故选C.
(3)当x≥0时,f'(x)=ex+sinx>0,则f(x)在[0,+∞)上单调递增.f(x)为奇函数,则f(x)在区间(-∞,0]上也单调递增,故f(x)为R上的增函数.由f(2x-1)+f(x-2)>0,可得f(2x-1)>-f(x-2),即f(2x-1)>f(2-x),又因为f(x)在R上为增函数,所以2x-1>2-x,解得x>1,故选D.
对点训练5(1)A (2)D (3)(0,2) (1)当a+b=0时有f(a)+f(b)=0,即f(-a)=-f(a),则f(x)为R上的奇函数;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,即当a>-b时有f(a)>-f(b)=f(-b),可得f(x)为R上的增函数.则函数f(x)为R上的奇函数,且为增函数.
由①f(x)=x-sinx,定义域为R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-f(x),即有f(x)为奇函数;
又f'(x)=1-cosx≥0,可得f(x)为R上的增函数,故①是Ω函数.
②f(x)=ex-e-x,定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),即有f(x)为奇函数,
又f'(x)=ex+e-x>0,可得f(x)为R上的增函数,故②是Ω函数.
③f(x)=ex+e-x,定义域为R,f(-x)=e-x+ex=f(x),可得f(x)为偶函数,故③不是Ω函数.
④f(x)=0,x=0,-1x,x≠0,定义域为R,当x≠0时,f(-x)=1x=-f(x),可得f(x)为奇函数,
又f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,但在R上不为增函数,比如f(-1)>f(1),故④不是Ω函数.故选A.
(2)因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).
由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).
因为f(x)在区间[0,2]上单调递增,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上单调递增,所以f(-1)
∵f(-x)=log1ex2+1e-xe=f(x),∴f(x)是偶函数.
∵偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(x+1)
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