2024-2025学年度北师版七上数学-专题1-数轴与绝对值【课件】

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第二章　有理数及其运算专题1　数轴与绝对值数学 七年级上册 BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS◎问题综述数轴是一个非常重要的数学工具，它使数与直线上的点建立起对应关系，可以用来揭示数与形之间的内在联系，它是数形结合的基础，通常与绝对值问题综合考查.◎要点归纳1. 数轴的三要素： 、 和 ⁠.原点　正方向　单位长度　（1）有理数 a 的相反数为 ；若 a ， b 互为相反数，则 a ＋ b ＝ ⁠.（2）在数轴上表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离 ⁠.－ a 　0　相等　2. 相反数.3. 绝对值.（1）正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ⁠ ，0的绝对值是 ⁠；（2）几何意义：一个数的绝对值，就是在数轴上表示这个数的点到原点的 ⁠.它本身　它的相反数　0　距离　数学 七年级上册 BS版典例讲练0 2类型一　有理数在数轴上的表示 【思路导航】先化简这些数，在数轴上表示出来；再根据数轴上，右边的点表示的数总比左边的大将它们连接起来. 在数轴上表示数，如图所示： 【点拨】解答此类问题的步骤：（1）化简；（2）按规范画出数轴，并在数轴上标记各数；（3）根据“数轴上，右边的数始终比左边的数大”，按大小顺序排列连接各数. 如图，已知数轴上的刻度为1个单位长度，点 A 表示的数是－3.（1）在数轴上标出原点，并指出点 B 所表示的数是 ⁠；（1）【解析】如图，点 O 为原点，点 B 所表示的数是4.故答案为4.4　（2）在数轴上找一点 C ，使它与点 B 的距离为2个单位长度，则点 C 表示的数为 ⁠；（2）【解析】由题意，知点 C 表示的数为4－2＝2或4＋2＝6.故答案为2或6.2或6　 （3）解：在数轴上表示数，如图所示： （3）在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来.类型二　利用数轴、绝对值比较大小 如图，已知 a ＜0， b ＞0，且｜ a ｜＞｜ b ｜，试把 a ，－ a ， b ，－ b 这四个数用“＜”连接起来.【思路导航】在数轴上找到表示数－ a ，－ b 的点，按照在数轴上右边的数大于左边的数排列即可.解：如图所示：由数轴可知， a ＜－ b ＜ b ＜－ a .【点拨】（1）我们常常通过图形（如此题中的数轴）来帮助理解，以数的形式（如此题中的答案）作答；（2）数形结合是初中数学一种重要的思想方法. 若有理数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　D　）D类型三　利用数轴、相反数和绝对值进行计算 已知有理数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空： b ＋ c 0， c － a 0；＜　＞　【思路导航】（1）先判断 a ， b ， c 的正负，再根据加法、减法法则确定 b ＋ c ， c － a 的正负；（2）化简：－｜－ a ｜＋｜ c － a ｜＋｜ b ＋ c ｜.【思路导航】（2）先判断正负，再化简绝对值，进行加减.（1）【解析】由数轴可知， b ＜ a ＜0＜ c ，且｜ b ｜＞｜ c ｜.所以 b ＋ c ＜0， c － a ＞0.故答案为＜，＞.（2）解：由（1）可知， a ＜0， b ＋ c ＜0， c － a ＞0，所以｜－ a ｜＝－ a ，｜ b ＋ c ｜＝－（ b ＋ c ）＝－ b － c ，｜ c － a ｜＝ c － a .所以原式＝－（－ a ）＋ c － a ＋（－ b － c ）＝ a ＋ c － a － b － c ＝－ b .【点拨】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.我们常用这一规律去掉绝对值符号. 有理数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示，且表示数 a 的点、数 b 的点与原点的距离相等.（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：① b 0； ② a ＋ b 0；＜　＝　③ b － c 0； ④1－ a 0.（1）【解析】由有理数 a ， b ， c 在数轴上的位置可知， b ＜－1＜ c ＜0＜1＜ a .又因为表示数 a 的点、数 b 的点与原点的距离相等，所以 b ＜0， a ＋ b ＝0， b － c ＜0，1－ a ＜0.故答案为＜，＝，＜，＜.＜　＜　（2）化简：｜ a ＋ b ｜＋｜ a － c ｜＋｜ b ｜－｜ b － c ｜.（2）解：由（1）可知， a ＋ b ＝0， a － c ＞0， b － c ＜0， b ＜0，所以原式＝0＋ a － c － b ＋ b － c ＝ a －2 c .类型四　利用数轴、绝对值解决距离问题 我们知道｜ a ｜的几何意义是：数轴上表示数 a 的点与原点的距离，即｜ a ｜＝｜ a －0｜.这个结论可以推广为：①｜ a － b ｜表示在数轴上表示数 a ， b 的两点间的距离；②｜ a ＋ b ｜表示在数轴上表示数 a ，－ b 的两点间的距离.根据以上结论探究下面问题：（1）数轴上表示3和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示－3和－8的两点之间的距离是 ；数轴上表示3和－8的两点之间的距离是 ⁠.4　5　11　【思路导航】（1）分别根据结论列式计算即可得解；【解析】（1）｜3－7｜＝4，｜（－3）－（－8）｜＝｜－3＋8｜＝5，｜3－（－8）｜＝｜3＋8｜＝11.故答案为4，5，11.（2）数轴上表示 x 和－3的点 A 和点 B 之间的距离是 ；如果｜ AB ｜＝5，那么 x 为 ⁠.｜ x ＋ 3｜2或－8　【思路导航】（2）根据结论列出绝对值式子，再根据绝对值的性质计算即可得解；【解析】（2）由题意，得｜ x －（－3）｜＝｜ x ＋3｜.因为｜ AB ｜＝5，所以｜ x ＋3｜＝5.所以 x ＋3＝5或 x ＋3＝－5.所以 x ＝2或 x ＝－8.故答案为｜ x ＋3｜，2或－8.（3）当｜ x ＋2｜＋｜ x －1｜取最小值时，相应的整数 x 的值是 ⁠.【思路导航】（3）根据两点间的距离的表示，数 x 在－2和1之间时有最小值即可求解.－2，－1，0，1　【解析】（3）因为｜ x ＋2｜＋｜ x －1｜表示数 x 到－2和1的距离的和，所以当 x 在－2和1之间时，有最小值.所以相应的整数 x 的值是－2，－1，0，1.故答案为－2，－1，0，1.【点拨】若点 A 表示的数为 x ，点 B 表示的数为 y ，则 A ， B 两点间的距离可表示为｜ x － y ｜＝｜ y － x ｜. 结合数轴与绝对值的知识解决下面问题：（1）｜5－2｜表示5与2这两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以｜5－2｜＝ ；｜5＋2｜表示5与－2这两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以｜5＋2｜＝ ⁠.（2）数轴上表示数 x 的点在1与5之间移动时，｜ x －1｜＋｜ x －5｜的值是一个固定的值，为 ⁠.3　7　4　（3）｜ x ＋1｜可理解为 x 与 ⁠这两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，要使｜ x －3｜＋｜ x ＋2｜＝7，则 x ＝ ⁠ ⁠.－1　－ 3或4（3）【解析】｜ x ＋1｜可理解为 x 与－1这两个数在数轴上所对应的两点之间的距离.｜ x －3｜＋｜ x ＋2｜所表示的意义为数轴上表示 x 的点到表示数3，－2这两个点距离的和.因为｜ x －3｜＋｜ x ＋2｜＝7，所以 x ＜－2或 x ＞3.当 x ＞3时，方程可变为 x －3＋ x ＋2＝7，解得 x ＝4；当 x ＜－2时，方程可变为3－ x － x －2＝7，解得 x ＝－3.故答案为－1，－3或4.（4）当式子｜ x ＋1｜＋｜ x －2｜＋｜ x －3｜取最小值时，求出 x 的值.（4）解：式子｜ x ＋1｜＋｜ x －2｜＋｜ x －3｜所表示的意义为数轴上表示数 x 的点到表示数－1，2，3的点的距离的和.因为当－1≤ x ≤3时，｜ x ＋1｜＋｜ x －3｜取得最小值，所以当 x ＝2时，式子｜ x ＋1｜＋｜ x －2｜＋｜ x －3｜取得最小值.演示完毕 谢谢观看