2024-2025学年度北师版七上数学-总复习-期末复习课（二）【课件】

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数学 七年级上册 BS版
（第二章　有理数及其运算）
1. 正数和负数.（1）日常生活中，通常用正数和负数表示 的量.（2） 既不是正数，也不是负数.通常情况下，正数前的正 号“＋”可省略不写.
2. 有理数的分类.（1）有理数可以分为 和 两类.正整数、负整 数、零统称为 ；正分数和负分数统称为 ⁠.（2）有理数可以分为正有理数、 、负有理数三类.3. 有理数的有关概念.（1）数轴：规定了 、正方向、单位长度的直线.（2）相反数： a 的相反数是 ，0的相反数是0.若 a 与 b 互为相反数，则 a ＋ b ＝ ⁠.
（4）倒数：乘积为 的两个数互为倒数. a （ a ≠0）的倒数是 ，0没有倒数.
4. 科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式， 其中1≤ a ＜10， n 为正整数.5. 比较有理数的大小.（1）利用数轴比较有理数的大小：①在数轴上表示的两个有理数， 边的数总比 ⁠边的 数大；② 都大于零， 都小于零，正数大于负数；③所有的有理数从小到大在数轴上按从左到右的顺序排列.
（2）利用绝对值比较有理数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
6. 有理数的运算.（1）①有理数加法法则：先定符号，再计算.同号两数相加， 取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较 大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数 同0相加，仍得这个数.②有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
（2）有理数的乘除法法则：两个有理数相乘（除），同号 得 ，异号得 ，并把绝对值相乘（除）.注意：①0与任何数相乘的积为0；②0除以任何非零的数都得 0；③0不能作除数.（3）数的乘方： an ＝ ，其中 a 叫作 ⁠ ， n 叫作 ⁠.
（4）有理数的混合运算：先算 ，再算 ，最后 算 ；如果有括号，先算 里面的；同一级运 算，按照从 到 的顺序依次进行.（5）有理数的运算律：①加法的交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ；②加法的结合律： a ＋ b ＋ c ＝ ⁠；③乘法的交换律： a · b ＝ b · a ；④乘法的结合律： a · b · c ＝ a ·（ b · c ）；⑤乘法对加法的分配律： a ·（ b ＋ c ）＝ a · b ＋ a · c .
a ＋（ b ＋ c ）　
类型一　有理数的相关概念
给出下列各数：
（1）将上面各数填在相应的集合里.整数集合：{ …}；分数集合：{ …}；正数集合：{ …}；负数集合：{ …}.【思路导航】（1）根据整数、分数、正数和负数的概念填写﹔
解：（1）整数集合：{42，0，－32，…}；
【点拨】（1）解答本题的关键是掌握有理数的相关概念.
（2）按照从大到小的顺序用“＞”把这些数连接起来.【思路导航】（2）先化简各数，再比较大小.
【点拨】（2）比较数的大小时，要先化简，再比较.
（2）以上7个数中，绝对值最大的数为 ，绝对 值最小的数为 ，有 对互为相反数.
类型二　相反数与绝对值
（2）绝对值大于1而小于4的整数有 个；已知点 A 在数轴 上表示的数是－2，则与点 A 的距离等于3的点表示的数是 ⁠ ⁠.
【思路导航】（1）根据相反数、倒数、绝对值的概念求解即 可；（2）利用数轴，根据绝对值的概念、数轴上两点的距离分 类讨论即可；
【解析】（2）绝对值大于1而小于4的整数有±2，±3，共 有4个.若该点在点 A 的左边，则为－2－3＝－5；若该点在点 A 的右边，则为－2＋3＝1.故答案为4，－5或1.
（3）若｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝4，且 a ＞ b ，则 a － b ＝ ⁠.【思路导航】（3）根据绝对值的性质，结合 a ＞ b 得出 a ， b 可 能的值，相减即可.
【解析】（3）因为｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝4，所以 a ＝±3， b ＝±4.又因为 a ＞ b ，所以 a ＝±3， b ＝－4.
①当 a ＝3， b ＝－4时， a － b ＝3－（－4）＝7；
②当 a ＝－3， b ＝－4时， a － b ＝－3－（－4）＝1.故答案为7或1.
【点拨】求值计算时，当给出的字母的值不唯一时，必须分情 况讨论，一个绝对值分两种情况，两个绝对值分四种情况.
【解析】因为｜ a －2｜≤ b ＋3，所以 b ＋3≥0.又因为｜ a －2｜＋ b ＝－3，所以｜ a －2｜＋ b ＋3＝0.所以 a －2＝0， b ＋3＝0，
解得 a ＝2， b ＝－3.所以 ab ＝2×（－3）＝－6.故答案为－6.
类型三　有理数的混合运算
计算：
（2）｜－45｜＋（－71）＋｜－5｜＋（－9）；
解：（2）原式＝45－71＋5－9＝（45＋5）－（71＋9）＝50－80＝－30.
【点拨】进行有理数的混合运算时，互为相反数的两数先结 合；同号的两数先结合；同分母或易通分的分数先结合；其和 为整数的小数先结合.同时可巧妙应用运算法则和运算律，降低 运算难度和减少运算量.
计算：（1）－22－（－2）2－8＋（－2）3－42＋｜－4｜；
解：（1）原式＝－4－4－8－8－16＋4＝－36.
已知有理数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示，所对应的 点分别为点 A ， B ， C .
（1）在数轴上表示2的点与表示5的点之间的距离为 ⁠；在数轴上表示－1的点与表示3的点之间的距离为 ⁠；在数轴上表示－3的点与表示－5的点之间的距离为 ⁠；由此可得，点 A ， B 之间的距离为 ，点 B ， C 之间的 距离为 ，点 A ， C 之间的距离为 ⁠.
【思路导航】（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（（2）化简：－｜ a ＋ b ｜＋｜ c － b ｜－｜ b － a ｜.
【思路导航】（2）结合数轴，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并同类项即可；
解：（2）由数轴可知， c ＜ b ＜0＜ a ，且｜ a ｜＞｜ b ｜.则 a ＋ b ＞0， c － b ＜0， b － a ＜0.所以原式＝－（ a ＋ b ）＋（ b － c ）－（ a － b ）＝－ a － b ＋ b － c － a ＋ b ＝－2 a ＋ b － c .
（3）若 c2＝4，－ b 的倒数是它本身， a 的绝对值的相反数是－ 2，求－ a ＋2 b － c －（ a －4 c － b ）的值.【思路导航】（3）求出 a ， b ， c 的值，再将其代入化简后的代数式即可.
解：（3）因为 c2＝4，－ b 的倒数是它本身， a 的绝对值的相反数是－2，所以 c ＝－2， b ＝－1， a ＝2.所以原式＝－2 a ＋3 b ＋3 c ＝－2×2＋3×（－1）＋3×（－2）＝－4－3－6＝－13.
【点拨】（1）｜ a 一 b ｜可表示数轴上两点的距离；（2）去绝 对值符号时，要考虑绝对值符号里面部分的正负性，若不能确 定，则需分类讨论.
已知有理数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示.解答下列问题：（1）比较 a ，｜ b ｜， c 的大小（用“＜”连接）；
解：（1）根据数轴上点的位置， 得 a ＜ c ＜｜ b ｜.
（2）若 m ＝｜ a ＋ b ｜－｜ b －1｜－｜ a － c ｜，试化简等式的 右边；
解：（2）根据数轴可知， a ＋ b ＜ 0， b －1＜0， a － c ＜0.所以 m ＝－ a － b ＋ b －1＋ a － c ＝ －1－ c .
解：（3）原式＝－1－1＋1－ 2024×（－1）2024＝－1－2024＝－2025.
类型五　数轴上的动态问题
已知 b 是最小的正整数，且 a ， b ， c 满足｜ c －5｜＋（ a ＋ b ）2＝0，请解答下面问题：
（1）求 a ， b ， c 的值.
【思路导航】（1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负 性求解；
（1）解：因为 b 是最小的正整数，所以 b ＝1.因为｜ c －5｜＋（ a ＋ b ）2＝0，所以 c －5＝0， a ＋ b ＝0.所以 c ＝5， a ＝－ b ＝－1.即 a ＝－1， b ＝1， c ＝5.
（2） a ， b ， c 在数轴上所对应的点分别为点 A ， B ， C ，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x ，点 P 在0到1之间运动时（即 0＜ x ＜1时），则｜ x ＋1｜－｜ x －1｜＋2｜ x －5｜的值 为 ⁠.
【思路导航】（2）由0＜ x ＜1可知， x ＋1， x －1， x －5的正负，再根据绝对值的意义进行化简计算；
（2）【解析】因为0＜ x ＜1，所以 x ＋1＞0， x －1＜0， x －5＜0.所以｜ x ＋1｜－｜ x －1｜＋2｜ x －5｜＝ x ＋1－（1－ x ）＋2（5－ x ）＝ x ＋1－1＋ x ＋10－2 x ＝10.故答案为10.
（3）在（2）的条件下，点 A ， B ， C 开始在数轴上运动，点 A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点 B 和点 C 分别以 每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度向右运动.假设 t 秒 过后，点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC ，点 A 与点 B 之间的距 离表示为 AB . 请问： BC － AB 的值是否随着时间 t 的变化而改 变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.
【思路导航】（3）先分别表示出点 A ， B ， C 在运动过程中所表示的数，然后利用数轴上两点间的距离公式列式计算.
（3）解：不变.根据题意可知， t 秒时，点 A 对应的数为－1－ t ，点 B 对应的数 为2 t ＋1，点 C 对应的数为5 t ＋5.所以 BC ＝（5 t ＋5）－（2 t ＋1）＝3 t ＋4， AB ＝（2 t ＋1）－（－1－ t ）＝3 t ＋2.所以 BC － AB ＝（3 t ＋4）－（3 t ＋2）＝2.所以 BC － AB 的值不随着时间 t 的变化而改变，且 BC － AB ＝2.
【点拨】解决这类问题的关键是用字母表示出运动的点所表示 的数，再根据条件列出方程求解.
如图，已知 A ， B ， C 三个点在数轴上表示的数分别为 a ， b ， c ，且｜ a ＋16｜＋｜ b ＋6｜＋（ c －8）2＝0.动点 P 从点 B 出 发，以每秒1个单位长度的速度向终点 C 运动.（1）求 a ， b ， c 的值.
解：（1）因为｜ a ＋16｜＋｜ b ＋6｜ ＋（ c －8）2＝0，所以 a ＋16＝0， b ＋6＝0， c －8＝0.所以 a ＝－16， b ＝－6， c ＝8.
（2）点 P 运动到点 C 前，若点 P 到点 A 距离是到点 C 距离的3 倍，求点 P 运动的时间.
所以点 P 表示的数为8－6＝2.所以 BP ＝2－（－6）＝8.因为点 P 以每秒1个单位长度的速度运动，所以当点 P 的运动时间为8÷1＝8（秒）时，点 P 到点 A 距离 是到点 C 距离的3倍.
（3）若点 P 运动的同时，点 Q 从点 A 出发，以每秒3个单位长度 的速度向点 C 运动，点 Q 到达点 C 后，再立即以同样的速度返 回，运动到终点 A ，在点 P 开始运动后， P ， Q 两点之间的距离 能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点 P 表示的数；如果 不能，请说明理由.