中考数学必考特色题型讲练(河南专用)二次函数压轴题型解读(原卷版+解析)

这是一份中考数学必考特色题型讲练(河南专用)二次函数压轴题型解读(原卷版+解析)，共31页。

二次函数在中考中占的比重还是比较大的，一般在选择填空部分出题会相对基础比较容易得分，在解答题中会出一道中等难度实际应用问题，考察二次函数的图像性质以及在实际问题中的应用，26题可以说是代数部分最难的一道题了，这道题想要得满分比较困难，需要学生熟练掌握二次函数基础知识以及函数区间最值、分段函数、新定义函数、交点问题等。
【知识点1】二次函数交点问题：
问题引入：平面直角坐标系中xOy中，已知点A(−1，2)，点B(3，2)，若直线y=kx+3与线段AB有公共点，结合函数图像,求出k的取值范围.
在二次函数中：
（1）抛物线的解析式系数不全为定值时，分类讨论，确定函数图像怎么变化，进而确定与线段交点。
（2）利用函数中的特殊值：对称轴（确定a、b关系），与y轴交点纵坐标（确定c值），顶点轨迹等。
（3）解题思路：确定三个临界点，及抛物线过线段两端点以及与线段所在直线只有一个交点时的点。
例题1、在平面直角坐标系xOy中，已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=x2−4x−3+c与线段AB有公共点，结合函数图像，求出c的取值范围.
变式练习1、已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=x2−2bx+b2−1与线段AB有公共点，结合函数图像，求出b的取值范围.
变式练习2、已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=ax2−4ax−5a与线段AB恰有一个公共点，结合函数图像，求出a的取值范围.
【知识点2】区间最值问题：
解题思路：
（1）二次函数区间最值问题的核心思想：数形结合
（2）找对称轴，找到顶点、交点，根据a的值（判断开口方向）画出图像。
（3）判断给出的区间x值距对称轴的远近求出最大值最小值。
分情况讨论：
①取值范围包含对称轴；
②取值范围在对称轴左侧；
③取值范围在对称轴右侧，判断y随x的变化情况求最值。
例题1、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知点A(-1,0)、B(4,0)、C(0,-3)
(1)求二次函数的解析式；
(2)当y>0时，请直接写出自变量x的取值范围；
(3)当3≤x≤4时，求函数y的最大与最小值
变式练习1、在平面直角坐标系中，直线l1：y=12mx+mm≠0与直线l2：y=nxn≠0且n≠12m相交于点A，直线l1与x轴相交于点B，直线x=-1与直线l1、l2分别相交于点C、D，点P是线段CD的中点，以点P为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过点A.
（1） ①点B的坐标是_____________;
②点P的坐标是_____________(用含m、n的代数式表示)；
（2）求a的值(用含m、n的代数式表示)；
（3）若n=1，当-2≤x≤1时，ax2+bx+c≤1，求m的取值范围.
变式练习2、已知二次函数y=−x2+bx+c（b、c为常数）
(1)当b=-2，c=3时，此二次函数图像的顶点坐标是_______.
(2)当c=5时，若在函数值y=9的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的表达式.
(3)当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为15，求此时二次函数的表达式.
【知识点3】双抛问题：
（1）解二次函数双抛问题一般性步骤：
①审题，审清题意，求解析式；
②数形结合，画出图形，利用图像性质进行解题；
③对于计算能力的考查，“快、准”。
（2）解题过程中使用数形结合，对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，在代数和几何的结合上找出解题思路。
例题1、定义：对于给定的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），把形如y=ax2+bx+c（x≥0）−ax2+bx+c（x＜0）的函数称为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的衍生函数.
（1）已知二次函数y=x2−2x−2.
①直接写出这个二次函数的衍生函数的表达式：
②若点P(m，−32)在这个二次函数的衍生函数的图像上，求m的值；
③当时，求这个二次函数的衍生函数的最大值和最小值；
（2）①当二次函数y=1ax2+2x−2（a＜0）的衍生函数的图像与以A(-3，2)、B(5，2)为端点的线段只有一个公共点时，求出a的取值或取值范围；
②当a=-1时，当t-1≤x≤t+1时，伴随抛物线的最大值为-1，直接写出t的值或t的取值范围.
变式练习1、已知函数y=−x2+nx+nx≥n−12x2+n2x+n2x＜n(n为常数）
（1)若n=5，
①点P(4,b)在此函数图像上，求b的值：
②求此函数的最大值。
（2)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(2，2)、B(4，2)，当此函数的图像与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围；
（3)当此函数图像上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围，
变式练习2、如图在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+3（a≠0）与抛物线y=12（x+1）2+k均经过点A（1,0）。直线x=m在着两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴结合），函数y=ax2-4ax+3（x≥m）的图像记为G1，函数y=12（x+1）2+k（x≤m）的图像记为G2，图像G1 与G2合起来的图形记为G.
（1）求a、k的值；
（2）当m= 12时，求图形G上y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）当-2≤x≤72时，图形G上最高点在纵坐标为2，求m的值；
（4）当直线y=2m-1与图形G有2个公共点时，直接写出m的取值范围.
变式练习3、定义:点P（m,m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图像位于直线x=m左侧部分，以直线y=m为对称轴翻折，得到新的函数l'的图像，我们称函数l'是函数l的相关函数，函数l'的图像记作F1,函数l的图像未翻折的部分记作F2,图像F1和图像F2合起来记作图像F，例如函数l的解析式为y=x2−1,当m=-1时,它的相关函数l'的解析式为y=−x2+3（x＜1）.
(1) 如图，函数l的解析式为y=−12x+2,当m=-1时，求它的相关函数l'的解析式
(2)函数l的解析式为y=−3x，当m=0时，图像F上某点的纵坐标为-2,求该点的横坐标;
(3)已知函数l的解析式为y=x2−4x+3,
已知点A、B坐标分别为（0，2）、（6，2），当图像F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图像，求的取值范围m;
若点C（x，n）是图像F上任意一点，当m-2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）.
1、把函数C1：y=ax2−2ax−3a（a≠0）的图像绕点P（m，0）旋转180°得到新函数C2的图像，我们称C2是C1关于点P的相关函数. C2的图像的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）.
（1）填空：t的值为 （用含m的代数式表示）
（2）若a=-1，当12≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值y2，且y1−y2=1，求C2的解析式；
2、在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图像关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）相交于点P、Q．
（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）函数F1为y＝，当PQ＝6时，t的值为 ；
（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），
①当t＝时，求△OPQ的面积；
②若c＞0，函数F1和F2的图像与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．
3、已知函数y＝−12x2+12x+m（x＜m）x2−mx+m（x≥m），记该函数图像为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图像上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝12m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．
4、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相
于点C，连接AC．
（1）求点B、点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
5、如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣14＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．
（1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含m的代数式表示）；
（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；
（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
二次函数压轴题型解读
二次函数在中考中占的比重还是比较大的，一般在选择填空部分出题会相对基础比较容易得分，在解答题中会出一道中等难度实际应用问题，考察二次函数的图像性质以及在实际问题中的应用，26题可以说是代数部分最难的一道题了，这道题想要得满分比较困难，需要学生熟练掌握二次函数基础知识以及函数区间最值、分段函数、新定义函数、交点问题等。
【知识点1】二次函数交点问题：
问题引入：平面直角坐标系中xOy中，已知点A(−1，2)，点B(3，2)，若直线y=kx+3与线段AB有公共点，结合函数图像,求出k的取值范围.
【解析】可将A、B两点坐标代入一次函数解析式中，求出对应的k值，即为k的取值范围。
在二次函数中：
（1）抛物线的解析式系数不全为定值时，分类讨论，确定函数图像怎么变化，进而确定与线段交点。
（2）利用函数中的特殊值：对称轴（确定a、b关系），与y轴交点纵坐标（确定c值），顶点轨迹等。
（3）解题思路：确定三个临界点，及抛物线过线段两端点以及与线段所在直线只有一个交点时的点。
例题1、在平面直角坐标系xOy中，已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=x2−4x−3+c与线段AB有公共点，结合函数图像，求出c的取值范围.
【答案】c的取值范围为0≤c≤9．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线顶点所在直线及抛物线经过定点，结合图像求解．
【解析】解：∵抛物线的解析式为y=x2-4x-3+c=（x−2）2-7+c,
∴抛物线的顶点坐标为（2，c-7），
如解图，
①当抛物线的顶点在线段AB上时，c-7=2，
解得c=9；
②当抛物线过点A时，将A（-1，2）代入y=x2-4x-3+c中，
解得c=0；
③当抛物线过点B时，将B（3，2）代入y=x2-4x-3+c中，
解得c=8．
结合函数图像，c的取值范围为0≤c≤9．
变式练习1、已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=x2−2bx+b2−1与线段AB有公共点，结合函数图像，求出b的取值范围.
【答案】−3−1≤b≤−3+3 或 3−1≤b≤3+3
【分析】先求得顶点的坐标，可知抛物线的顶点在直线y=-1上移动，分别求出抛物线过点A、点B时b的值，画出此时函数的图像，结合图像即可求出b的取值范围．
【解析】解：如图：
y=x2-2bx+b2-1=（x-b）2-1，
∴抛物线顶点坐标为（b,-1），
∴抛物线y=x2-2bx+b2-1的顶点在直线y=-1上，
把A（-1，2）的坐标代入y=x2-2bx+b2-1，
得2=1+2b+b2-1，即b2+2b-2=0，
解得b=b=3−1 或 b=−3−1
把B（3，2）的坐标代入y=x2-2bx+b2-1，
得2=32-2b×3+b2-1，即b2-6b+6=0，
解得b=3+3 或b=−3+3
结合函数图像可知： −3−1≤b≤−3+3 或 3−1≤b≤3+3
变式练习2、已知点A−1，2，点B3，2，若抛物线y=ax2−4ax−5a与线段AB恰有一个公共点，结合函数图像，求出a的取值范围.
【答案】a=-29 或 a＜-14
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线顶点所在直线及抛物线经过定点，结合图像求解．
【解析】∵y=ax2-4ax-5a=a（x-2）2-9a,
∴抛物线顶点坐标为（2，-9a），
当-9a=2时，a=-29，
抛物线顶点在线段AB上，符合题意，
∵y=ax2-4ax-5a=a（x+1）（x-5），
∴抛物线经过定点（-1，0），（5，0），
a减小，抛物线顶点上升，当点B（3，2）经过抛物线时，2=9a-12a-5a,
解得a=-14，
∴a＜-14时满足题意，
综上所述，a=-29 或 a＜-14
【知识点2】区间最值问题：
解题思路：
（1）二次函数区间最值问题的核心思想：数形结合
（2）找对称轴，找到顶点、交点，根据a的值（判断开口方向）画出图像。
（3）判断给出的区间x值距对称轴的远近求出最大值最小值。
分情况讨论：
①取值范围包含对称轴；
②取值范围在对称轴左侧；
③取值范围在对称轴右侧，判断y随x的变化情况求最值。
例题1、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知点A(-1,0)、B(4,0)、C(0,-3)
(1)求二次函数的解析式；
(2)当y>0时，请直接写出自变量x的取值范围；
(3)当3≤x≤4时，求函数y的最大与最小值
【分析】通过已知三点坐标抛物线解析式可求；由图像可以看出y＞0时x的取值范围，并且也能够看出3≤x≤4这个区间上的增减性，从而确定y的最值
【答案】（1）y=34x²-94x-3 （2）x＜-1或x＞4（3）y最小值为-3， y最大值为0.
【解析】
（1）二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点A（-1，0）和点B（4,0），
设函数解析式为y=a（x+1）（x-4）
代入点C（0，-3）解得：a=34
∴二次函数解析式为：y=34x²-94x-3
(2)当y>0时，x＜-1或x＞4
(3)函数对称轴为x=32，当32＜3≤x≤4时，由图像可知，y随x的增大而增大
∴x=3时，y有最小值；x=4时，y有最大值
y最小值为-3， y最大值为0.
变式练习1、在平面直角坐标系中，直线l1：y=12mx+mm≠0与直线l2：y=nxn≠0且n≠12m相交于点A，直线l1与x轴相交于点B，直线x=-1与直线l1、l2分别相交于点C、D，点P是线段CD的中点，以点P为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过点A.
（1） ①点B的坐标是_____________;
②点P的坐标是_____________(用含m、n的代数式表示)；
（2）求a的值(用含m、n的代数式表示)；
（3）若n=1，当-2≤x≤1时，ax2+bx+c≤1，求m的取值范围.
【答案】（1）（-2,0） （-1，m−2n4） （2）a=2n−m4（3）23≤m<2 或 2【解析】（2）设抛物线的解析式为y=a(x+1)²+m−2n4
∵直线l1：y=12mx+m与直线l2：y=nx交于点A
∴ y=12mx+my=nx 解得：x=2m2n−my=2mn2n−m
∴点A的坐标是（2m2n−m，2mn2n−m）
∴2m2n−m=a（2mn2n−m+1）2+m−2n4
解得：a=2n−m4
（3）当n=1时，a=2n−m4=2−m4
∴抛物线解析式可以转化为y=a(x+1)²-a=ax²+2ax
∴点P的坐标可以表示为（-1，-a）。
当a<0时，抛物线开口向下，
∴当x=-1时，ax²+bx+c有最大值，最大值为-a,
∴-a≤1,解得a≥-1.
∴-1≤ a<0 ,即-1≤2−m4<0
解得2当a>0时，抛物线开口向上，
∴当x=1时，ax²+bx+c有最大值，最大值为a+2a=3a
∴3a≤1,解得a≤13
0解得：23≤m<2.
综上，m的取值范围是23≤m<2 或 2变式练习2、已知二次函数y=−x2+bx+c（b、c为常数）
(1)当b=-2，c=3时，此二次函数图像的顶点坐标是_______.
(2)当c=5时，若在函数值y=9的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的表达式.
(3)当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为15，求此时二次函数的表达式.
【答案】（1）（﹣1，4）；
（2）y＝﹣x2+4x+5或y＝﹣x2﹣4x+5；
（3）y＝﹣x2+15x+15或y＝﹣x2﹣23x+12．
【解析】
（1）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴二次函数图像的顶点坐标是：（﹣1，4）；
故答案为：（﹣1，4）；
（2）当c＝5时，二次函数的表达式为y＝﹣x2+bx+5，
由题意，得方程﹣x2+bx+5＝9有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣16＝0，
解得：b＝±4，
∴此时二次函数的表达式为：y＝﹣x2+4x+5或y＝﹣x2﹣4x+5；
（3）当c＝b2时，y＝﹣x2+bx+b2，
它的图像开口向下，对称轴为：x＝b2，
①若b2＜b，即b＞0，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而减小
故当x＝b时，y＝﹣b2+b•b+b2＝b2为最大值，
∴b2＝15，
解得：b＝15或b＝﹣15（舍去），
②若b≤b2≤b+3，即﹣6≤b≤0，
故当x＝b2时，y＝﹣（b2）2+b•b2+b2＝54b2为最大值，
∴54b2＝15，
解得：b＝23（舍去） 或b＝﹣23，
③若b2＞b+3，即b＜﹣6，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大
故当x＝b+3时，y＝﹣（b+3）2+b•（b+3）+b2＝b2﹣3b﹣9为最大值，
∴b2﹣3b﹣9＝15，
解得：b＝3±1052（舍去）
综上所述，b＝15或b＝﹣23，此时二次函数的表达式为：y＝﹣x2+15x+15或y＝﹣x2﹣23x+12．
【知识点3】
双抛问题：
（1）解二次函数双抛问题一般性步骤：
①审题，审清题意，求解析式；
②数形结合，画出图形，利用图像性质进行解题；
③对于计算能力的考查，“快、准”。
（2）解题过程中使用数形结合，对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，在代数和几何的结合上找出解题思路。
例题1、定义：对于给定的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），把形如y=ax2+bx+c（x≥0）−ax2+bx+c（x＜0）的函数称为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的衍生函数.
（1）已知二次函数y=x2−2x−2.
①直接写出这个二次函数的衍生函数的表达式：
②若点P(m，−32)在这个二次函数的衍生函数的图像上，求m的值；
③当时，求这个二次函数的衍生函数的最大值和最小值；
（2）①当二次函数y=1ax2+2x−2（a＜0）的衍生函数的图像与以A(-3，2)、B(5，2)为端点的线段只有一个公共点时，求出a的取值或取值范围；
②当a=-1时，当t-1≤x≤t+1时，伴随抛物线的最大值为-1，直接写出t的值或t的取值范围.
【答案】（1）①y=x2−2x−2（x≥0）−x2−2x−2（x＜0）②1+62 或 −1+22 或 −1−22．
③最大值为1，最小值为-3
（2）①a＝－4或a＜−256或−910≤a＜0②1≤t≤2或t=−2.
【解析】（1）①y=x2−2x−2（x≥0）−x2−2x−2（x＜0）
②当m≥0时，m2−2m−2=−32
解得：m1=1+62，m2=1−62（舍去）
当m＜0时， −m2−2m−2=−32
解得：m1=−1+22，m2=−1−22，
综上所述，m的值为1+62 或 −1+22 或 −1−22．
③当-2≤x＜0时，y=−x2−2x−2=−x+12−1
x=-1时，y的最大值为-1；x=-2时，y的最小值为y=-1-1=-2.
当-2≤x≤3时，y=x2−2x−2=x−12−3
x=1时，y的最小值为-3；x=3时，y的最大值为1
综上所述，当-2≤x≤3时，这个二次函数的最大值为1，最小值为-3．
（2）如图，二次函数y=1ax2+2x−2（a＜0）的衍生函数为y=1ax2+2x−2（x≥0）−1ax2+2x−2（x＜0）
∵a＜0，即1a＜0，-1a＞0，
∴当x≥0时，即y轴右侧，y=1ax2+2x−2=1ax+a2−a−2，∴图像开口向下，有最高点M'(-a, -a-2)
当x＜0时，=−1ax2+2x−2=−1ax−a2+a−2即y轴左侧，图像开口向上，有最低点M''(a, a-2)
由题意，得－a－2＝2，a＝－4，此时抛物线与AB只有一个交点；
B(5，2)代入y=1ax2+2x−2（a＜0）解得a=−256
∵顶点(-a，-a-2)，a越小，顶点越往上，
∴a＜−256时，图像与线段AB只有一个交点；
A（－3,2）在伴随抛物线y=−1ax2+2x−2上时，代入得a=−910，∴当伴随抛物线与线段AB只有一个交点时， −910≤a＜0
∴当伴随抛物线y=1ax2+2x−2（x≥0）−1ax2+2x−2（x＜0）与线段AB有一个公共点时，a＝－4或a＜−256或−910≤a＜0②如图，当a＝－1时，y=1ax2+2x−2=1ax+a2−a−2=−x−12−1，顶点坐标（1，－1）.
∵对称轴为x＝1，∴当t－1≤1，且t－1≥0,即1≤ t ≤2时满足条件.
当t＜0时，y=1ax2+2x−2=1ax+a2−a−2=−x+12−3，在y轴左侧，当x=t-1时，t1=−2， t2=2（舍去）。
∴满足条件的t的值或范围为1≤t≤2或t=−2.
变式练习1、已知函数y=−x2+nx+nx≥n−12x2+n2x+n2x＜n(n为常数）
（1)若n=5，
①点P(4,b)在此函数图像上，求b的值：
②求此函数的最大值。
（2)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(2，2)、B(4，2)，当此函数的图像与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围；
（3)当此函数图像上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围，
【答案】（1）①b=92②458（2）185＜n＜4或 2≤n≤83（3）n≤-8或n=-2-25或n=4或n≥8．
【解析】（1)当n=5时，①将P(4, b)代入得b=92
②当x≥5时，y=−x−522+254 开口向下，y随x的增大而减小，当x=5时 y=0
当x＜5时，y=−12x−522+458 当x=52时，y有最大值458
综上所述，y的最大值为458
（2）185＜n＜4时 或 2≤n≤83时，图像与线段AB只有一个交点；
（3）n＞0时，n＞n2，函数图像如图实线所示．
①如图1中，当点A的纵坐标为4时，
将点（4，2）代入y=−18x2+n2x+n2中，
则有−18n2+n24+n2=n28+n2=4时，解得n=4或n=-8（舍去），
观察图像可知：n=4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A，B，C，D．
②如图2中，观察图像可知，当n ≥ 8时，恰好有四个点满足条件，分别是A、B、C、D．
n＜0时，n＜n2，函数图像如图中实线．
③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．
则有：n24+n22+n=4时，解得n=-2-25 或n=-2+25（舍弃）
④如图4中，当n≤-8时，观察图像可知，恰好有四个点满足条件，分别为A，B，C，D．
综上所述，函数图像上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤-8或n=-2-25或n=4或n≥8．
变式练习2、如图在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+3（a≠0）与抛物线y=12（x+1）2+k均经过点A（1,0）。直线x=m在着两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴结合），函数y=ax2-4ax+3（x≥m）的图像记为G1，函数y=12（x+1）2+k（x≤m）的图像记为G2，图像G1 与G2合起来的图形记为G.
（1）求a、k的值；
（2）当m= 12时，求图形G上y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）当-2≤x≤72时，图形G上最高点在纵坐标为2，求m的值；
（4）当直线y=2m-1与图形G有2个公共点时，直接写出m的取值范围.
【答案】（1）a=1,k=-2.（2）x≤-1或12≤x≤2.（3）（4）
【解析】
（1）抛物线y-a2 - 4ax+3(a≠0)与抛物线y= (x+1)2 +k图像G1与G2均经过点，A(1.0)，
∴a-4a+3=0,解得a=1,k=-2.
（2）∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1
∴图像G1的对称轴为直线x=2
图像G2的对称轴为直线x=- 1.
当m=12时，图形G上y随的增大而减小时x的取值范围是x≤-1或12≤x≤2.
(3)当-1解得.m2=>1(舍去).
当1解得；<1(舍去)
(4)当直线y=2m-1与y=(x -2)2-1,x= m相交时，
2m-1=(m-2)2- 1,解得；
当直线y=2m-1与y=-(x+1)2-2,x=m相交时，
2m-1= (m+1)2-2，解得,.
当y=2m- 1=-2时,m=-2
当y=2m-1=-1时,m=0.
∵x=m在两条抛物线中间，
∴-1/2＜m≤，m=0, ≤m＜2.
变式练习3、定义:点P（m,m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图像位于直线x=m左侧部分，以直线y=m为对称轴翻折，得到新的函数l'的图像，我们称函数l'是函数l的相关函数，函数l'的图像记作F1,函数l的图像未翻折的部分记作F2,图像F1和图像F2合起来记作图像F，例如函数l的解析式为y=x2−1,当m=-1时,它的相关函数l'的解析式为y=−x2+3（x＜1）.
(1) 如图，函数l的解析式为y=−12x+2,当m=-1时，求它的相关函数l'的解析式
(2)函数l的解析式为y=−3x，当m=0时，图像F上某点的纵坐标为-2,求该点的横坐标;
(3)已知函数l的解析式为y=x2−4x+3,
已知点A、B坐标分别为（0，2）、（6，2），当图像F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图像，求的取值范围m;
若点C（x，n）是图像F上任意一点，当m-2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）.
【答案】（1）（2）；
（3）①，或 ②
【解析】
(1) ;
(2)图像: ,
当时，，
解得: ，
该点的横坐标为或；
(3)①图像:
当经过点或当时, ,解得: ;
当经过点或当时，, 解得: 或; ----6分
当经过点时，,解得:
当经过点时，,解得:
随着的增大，图像的左端点先落在上(两个交点)，的端点落在上(一个交点)，图像经过点 (两个交点),图像的左端点再次落在上(一个交点),图像的端点落在上(无交点)，图像经过点(一个交点),
的取值范围为: ，或，

1、把函数C1：y=ax2−2ax−3a（a≠0）的图像绕点P（m，0）旋转180°得到新函数C2的图像，我们称C2是C1关于点P的相关函数. C2的图像的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）.
（1）填空：t的值为 （用含m的代数式表示）
（2）若a=-1，当12≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值y2，且y1−y2=1，求C2的解析式；
【答案】（1）t＝2m﹣1；（2）C2的解析式y＝x2﹣4x
【解析】
（1）∵函数C1的顶点坐标为（1，﹣4a），
∴顶点y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图像绕点P（m，0）旋转180°后的顶点坐标为（2m﹣1，4a），
∵C2图像的对称轴与x轴交点坐标为（t，0），
∴t＝2m﹣1，
（2）∵a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∴函数的对称轴为x＝1，
①当12≤t＜1时，x＝t时，有最大值y1＝﹣t2+2t+3，
x＝12时，有最小值y2＝154，
∵y1﹣y2＝1，
∴﹣t2+2t+3﹣154＝1，此时t无解；
②当1≤t≤32时，x＝1时，有最大值y1＝4，
x＝32时，有最小值y2＝154，
∴y1﹣y2＝14，不符合题意；
③当t＞32时，x＝1时，有最大值y1＝4，
x＝t时，有最小值y2＝﹣t2+2t+3，
∵y1﹣y2＝1，
∴4﹣t2﹣2t﹣3＝1，
∴t＝2或t＝0（舍），
∴C2的解析式y＝x2﹣4x．
2、在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图像关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）相交于点P、Q．
（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）函数F1为y＝，当PQ＝6时，t的值为 ；
（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），
①当t＝时，求△OPQ的面积；
②若c＞0，函数F1和F2的图像与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．
【答案】（1）4（2）1（3）①S△OPQ＝1 ②h=
【解析】
（1）∵F1：y＝x+1，
F1和F2关于y轴对称，
∴F2：y＝﹣x+1，
分别令x＝2，则2+1＝3，﹣2+1＝﹣1，
∴P（2，3），Q（2，﹣1），
∴PQ＝3﹣（﹣1）＝4，
（2）∵F1：，
可得：F2：，
∵x＝t，可得：P（t，），Q（t，），
∴PQ＝﹣＝＝6，
解得：t＝1，
经检验：t＝1是原方程的解，
（3）①∵F1：y＝ax2+bx+c，
∴F2：y＝ax2﹣bx+c，
∵t＝，分别代入F1，F2，
可得：P（，），Q（，），
∴PQ＝|-|＝，
∴S△OPQ＝1；
②∵函数F1和F2的图像与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），
而函数F1和F2的图像关于y轴对称，
∴函数F1的图像经过A（5，0）和（﹣1，0），
∴设F1：y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，
则F2：y＝ax2+4ax﹣5a，
∴F1的图像的对称轴是直线x＝2，且c＝﹣5a，
∴a＝，
∵c＞0，则a＜0，c+1＞1，
而F2的图像在x＞0时，y随x的增大而减小，
当0＜c＜1时，
F1的图像y随x的增大而增大，F2的图像y随x的增大而减小，
∴当x＝c+1时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a，
y＝ax2+4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣8ac﹣8a，
又∵a＝，
∴h＝；
当1≤c≤2时，
F1的最大值为＝﹣9a，F2的图像y随x的增大而减小，
∴F2的最小值为：a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝﹣9a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣4a＝﹣ac2﹣6ac﹣9a，
又∵a＝，
∴h＝
当c＞2时，
F1的图像y随x的增大而减小，F2的图像y随x的增大而减小，
∴当x＝c时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为ac2﹣4ac﹣5a，
当x＝c+1时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a，
则h＝ac2﹣4ac﹣5a﹣[a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a]，
又∵a＝，
∴h＝2c2+c；
综上所述，h关于c的解析式为：h=．
3、已知函数y＝−12x2+12x+m（x＜m）x2−mx+m（x≥m），记该函数图像为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图像上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝12m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．
【答案】（1）①10②178（2）6或14（3）209或﹣1621
【解答】
（1）当m＝2时，y＝−12x2+12x+2（x＜2）x2−2x+2（x≥2），
①∵M（4，n）在该函数图象上，
∴n＝42﹣2×4+2＝10；
②当0≤x＜2时，y＝﹣12x2+12x+2＝﹣12（x﹣12）2+218，
∵﹣12＜0，
∴当x＝12时，y有最大值是218，
当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2，
∵2＜218，
∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是218；
（2）分两种情况：
①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OP＝12m，
∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OP＝PQ，
∴12m＝﹣12·（12m）2+12·12m+m，
解得：m1＝0，m2＝6，
∵m＞0，∴m＝6；
②当Q在x轴下方时，同理得：12m＝12·（12m）2﹣12·12π﹣m
解得：m1＝0，m2＝14，
∵m＞0，∴m＝14；
综上，m的值是6或14；
（3）分两种情况：
①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D，
当x＝0时，y＝m，
∴OB＝m，
∵CD＝m，
∴CD＝OB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD，
∵∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴△ABO≌△BCD（ASA），
∴OA＝BD，
当x＜m时，y＝0，即﹣12x2+12x+m＝0，
x2﹣x﹣2m＝0，
解得：x1＝1−1+8m2，x2＝1+1+8m2，
∴OA＝1+8m−12，且﹣18≤m≤3，
∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，
∴OD＝c＝﹣13a，
∴BD＝m﹣OD＝m+13a，
∵OA＝BD，
∴1+8m−12＝m+13·1−1+8m2，
解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2＝209；
②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D，
同理得：OA＝BD，
当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0，
解得：x1＝m+m2−4m2，x2＝m−m2−4m2（舍），
∴OA＝m+m2−4m2＝a，
∴m+m2−4m2＝c﹣m＝﹣13a﹣m，
解得：m1＝0，m2＝﹣1621；
综上，m的值是209或﹣1621．
4、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相
于点C，连接AC．
（1）求点B、点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）B（3，0），C（0，﹣3）（2）1（3）（4，5）
【解答】
（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）；
当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴OA＝1，OB＝OC＝3．
∵点E的坐标为（m，0），OE＝OF，
∴OE＝OF＝m，BE＝CF＝3﹣m，
∴S＝S1+S2
＝12•CF•OA+12•BE•OF
＝12×（3﹣m）×1+12×（3﹣m）×m
＝﹣12m2+m+32
＝﹣12（m﹣1）2+2．
∵﹣12＜0，
∴当m＝1时，S取得最大值，
即当S取最大值时，m的值为1．
（3）存在，
设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．在图（2）中，连接BD，
过点Q作QM⊥x轴于点M，过点D作DN∥x轴，
过点P作PN∥y轴交DN于点N．
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，BC＝32．
∵抛物线的顶点为D，
∴点D的坐标为（1，﹣4），
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴BD＝（3−1）2+0−（−4）2＝25，CD＝（1−0）2+−4−（−3）2＝2，
∵BC2+CD2＝（32）2+（2）2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝45°+90°＝135°．
∵QM∥OC，
∴∠CQM＝180°﹣∠OCB＝180°﹣45°＝135°．
∵∠PQC＝∠ACD，∠PQC＝∠PQM+∠CQM，∠ACD＝∠ACO+∠OCD，
∴∠PQM＝∠ACO．
又∵QM∥PN，
∴∠DPN＝∠PQM＝∠ACO．
又∵∠AOC＝∠DNP＝90°，
∴△AOC∽△DNP，
∴DNAO=PNCO，即n−11=n2−2n−3−（−4）3，
解得：n1＝1（不合题意，舍去），n2＝4，
∴点P的坐标为（4，5）．
5、如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣14＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．
（1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含m的代数式表示）；
（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；
（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
【答案】（1）（m，2m﹣5）（2）﹣8a+2a（3）72或10+210
【解答】
（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．
（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．
∵AB∥x轴，且AB=4，
∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．
∵∠ABC=135°，
∴设BD=t，则CD=t，
∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．
∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，
∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，
整理，得：at2+（4a+1）t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=﹣4a+1a，
∴S△ABC=12AB•CD=﹣8a+2a．
（3）∵△ABC的面积为2，
∴﹣8a+2a=2，
解得：a=﹣15，
∴抛物线的解析式为y=﹣15（x﹣m）2+2m﹣5．
分三种情况考虑：
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣15（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，
整理，得：m2﹣14m+39=0，
解得：m1=7﹣10（舍去），m2=7+10（舍去）；
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，
解得：m=72；
③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣15（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，
整理，得：m2﹣20m+60=0，
解得：m3=10﹣210（舍去），m4=10+210．
综上所述：m的值为72或10+210．