中考数学必考特色题型讲练(河南专用)【选择题】必考重点02圆的性质(原卷版+解析)

这是一份中考数学必考特色题型讲练(河南专用)【选择题】必考重点02圆的性质(原卷版+解析)，共46页。

关于圆的性质的考查，在江苏省各地级市中都有考查，考点主要集中在切线的性质与判定、圆周角定理，其中切线的考查较多，难度由简单到较难不等，对于圆的考查在选择题中并不仅限于考查圆的性质，垂径定理、圆与多边形以及与圆有关的计算等也都有考查，大多比较简单，没有作为一个单独的专题进行讲解。在解决圆周角有关题目时，首先要把握圆周角的概念，能够在图形中找到圆周角是解决此类题目的关键，然后运用圆周角定理及其推论找到相等的角、弧、弦等，通过转化即可求解。在解决圆的切线的有关题目时，应熟练掌握圆的切线的概念和判定定理以及圆的切线的性质，能够运用切线的性质，证明角度、线段之间的关系，重点掌握利用切线性质证明三角形相似的方法。
【2022·江苏镇江·中考母题】如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点分析】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键．
【思路分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．
【2021·江苏镇江·中考母题】如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27°B．29°C．35°D．37°
【考点分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【思路分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【2020·江苏淮安·中考母题】如图，点、、在圆上，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【考点分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，会用等边对等角求角的度数是解答的关键．
【思路分析】先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可．
【2020·江苏徐州·中考母题】如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【考点分析】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键.
【思路分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.
1．（2022·江苏南通·一模）如图，AB为⊙O的弦，C，D为⊙O上的两点，，垂足为E，．若，则AB的长为（ ）．
A．2B．C．3D．
2．（2022·江苏徐州·模拟）如图，是正方形的内切圆，切点分别为，，，，与相交于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏南京·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ）
A．70°B．55°C．35°D．20°
4．（2022·江苏连云港·二模）如图，弦CD所对的圆心角为，AB为直径，CD在半圆上滑动，F是CD的中点，过点D作AB的垂线，垂足为E，则∠DEF的值为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·江苏苏州·一模）阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
6．（2022·江苏无锡·模拟）如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC＝2：3，则sin∠ACP的值为（ ）
A．B．C．D．无法确定
7．（2022·江苏南通·二模）如图，的直径为10cm，△ABC内接于，，则下列量中不能确定的是（ ）
A．∠A的度数B．弦BC的长C．弦AC的长D．的长
8．（2022·江苏·景山中学三模）如图，AB是的直径，CD是的弦，连结AC、AD、BD，若，则的度数为
A．B．C．D．
9．（2022·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．
A．60°B．50°C．40°D．20°
10．（2022·江苏扬州·模拟）如图，点A，B，C，D在上，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ACB=（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，，与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线交于点D，于点E，延长交于点F，则下列结论正确的个数有（ ）
①；②的长为；③；④；⑤为定值
A．2个B．3个C．4个D．5个
12．（2022·江苏苏州·一模）如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法：①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．其中，一定正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．③④
13．（2022·江苏无锡·一模）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·江苏苏州·模拟）如图，点在以为直径的半圆内，连接、，并延长分别交半圆于点、，连接、并延长交于点，作直线，下列说法一定正确的是（ ）
①垂直平分；②平分；③；④．
A．①③B．①④C．②④D．③④
15．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图，是的内接三角形，，过点C的圆的切线交的延长线于点P，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·江苏徐州·模拟）如图，是的直径，切于点，交于点，连接．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，AB是的直径，点C在上，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D在弧AC上（不与点A，C重合），连接AD，CD．若，则的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°
18．（2022·江苏·南通市东方中学一模）如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，连接 OC 与半圆相交于点 D，则 CD 的长为（ ）
A．2B．3C．1D．2.5
19．（2022·江苏无锡·一模）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，过点D作DE⊥DF分别交AB、AC于E、F（不与B、C重合）．取EF的中点O，连接AO并延长交BC于G，连接EG、FG．随着点E、F的位置的变化，有以下四个结论：①DE＝DF；②四边形AEDF的面积始终为9；③∠EGF＝90°；④四边形AEGF的面积有最小值为9．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
20．（2022·江苏盐城·一模）如图，是△ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．160°
21．（2022·江苏无锡·一模）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝；④＝．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
22．（2022·江苏南京·模拟）如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（ ）个
①；
②当时，；
③以点为圆心、为半径画，当时，与相切；
④当时，．
A．B．C．D．
23．（2022·江苏南京·模拟）如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，AD平分∠CAB交BM于点D，且D为BM的中点，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H．若⊙O的半径为4，则MA―MH的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
25．（2022·江苏·苏州市第十六中学一模）如图，在中，，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2B．C．D．
【选择题】必考重点02 圆的性质
关于圆的性质的考查，在江苏省各地级市中都有考查，考点主要集中在切线的性质与判定、圆周角定理，其中切线的考查较多，难度由简单到较难不等，对于圆的考查在选择题中并不仅限于考查圆的性质，垂径定理、圆与多边形以及与圆有关的计算等也都有考查，大多比较简单，没有作为一个单独的专题进行讲解。在解决圆周角有关题目时，首先要把握圆周角的概念，能够在图形中找到圆周角是解决此类题目的关键，然后运用圆周角定理及其推论找到相等的角、弧、弦等，通过转化即可求解。在解决圆的切线的有关题目时，应熟练掌握圆的切线的概念和判定定理以及圆的切线的性质，能够运用切线的性质，证明角度、线段之间的关系，重点掌握利用切线性质证明三角形相似的方法。
【2022·江苏镇江·中考母题】如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点分析】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键．
【思路分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．
【答案】C
【详解】解：如图：
作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆
∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ
∴AO平分∠PAQ
∵∠CAB=120°
∴∠PAO=30°
∵OP=3
∴AO= =6
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠ACB=30°，CD= BC=
∴AD= =3
∴⊙A的半径为3,
∴⊙O与⊙A的半径和为6
∵AO=6
∴⊙O与⊙A相切
∵AD⊥BC
∴BC所在的直线是⊙A的切线
∴BC所在的直线与⊙O相切
∴当=360°时，BC所在的直线与⊙O相切
同理可证明当=180°时，所在的直线与⊙O相切．
当⊥AO时，即=90°时，所在的直线与⊙O相切．
∴当为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切
故答案选C．
【2021·江苏镇江·中考母题】如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27°B．29°C．35°D．37°
【考点分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【思路分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【答案】A
【详解】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴，
故选：A．
【2020·江苏淮安·中考母题】如图，点、、在圆上，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【考点分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，会用等边对等角求角的度数是解答的关键．
【思路分析】先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可．
【答案】C
【详解】∵在圆O中，∠ACB=54º，
∴∠AOB=2∠ACB=108º，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA==36º，
故选：C．
【2020·江苏徐州·中考母题】如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【考点分析】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键.
【思路分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.
【答案】B
【详解】∵，
∴∠APO=70°，
∵，
∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=20°，
又∵点C在过点B的切线上，
∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°，
故答案为：B.
1．（2022·江苏南通·一模）如图，AB为⊙O的弦，C，D为⊙O上的两点，，垂足为E，．若，则AB的长为（ ）．
A．2B．C．3D．
【答案】B
【思路分析】首先由垂径定理证得AB=2AE，△BEO是等腰直角三角形；然后利用勾股定理求得BE的长，进而求得AB的长即可．
【详解】∵OC⊥AB，
∴=，AB=2BE，∠BEO=90°，
∵∠ADC=22.5°，
∴∠COB=45°，
∴OE=BE，
在Rt△BEO中，OB2=BE2+OE2，
∵OC=2，
∴OE=BE=
∴AB=2BE=
故选：B
2．（2022·江苏徐州·模拟）如图，是正方形的内切圆，切点分别为，，，，与相交于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【思路分析】连接EG，根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．
【详解】解：连接EG，
∵EG是切点，
∴EG过圆心O，
∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，
∴AEAB，EG＝BC，
根据同弧所对的圆周角相等可得：∠MFG＝∠MEG．
∴tan∠MFG＝tan∠MEG．
故选：B．
3．（2022·江苏南京·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ）
A．70°B．55°C．35°D．20°
【答案】C
【思路分析】根据圆内接四边形的对角互补可得，再由三角形内角和定理及等弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】四边形ABCD内接于⊙O，
，
∠B＝70°，
，
，
D是的中点，
，
．
故选：C．
4．（2022·江苏连云港·二模）如图，弦CD所对的圆心角为，AB为直径，CD在半圆上滑动，F是CD的中点，过点D作AB的垂线，垂足为E，则∠DEF的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【思路分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再判断出点四点共圆，然后根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
弦所对的圆心角为，
，
，且点是的中点，
，（等腰三角形的三线合一），
又，
点四点共圆，
则由圆周角定理得：，
故选：C．
5．（2022·江苏苏州·一模）阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【思路分析】连结OD、过点D作DF⊥AC于F，根据是半圆弧的，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-∠AOD=30°，根据，求出OD=OC=OA=，利用三角函数ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．
【详解】解：连结OD、OC，过点D作DF⊥AC于F，
∵是半圆弧的，
∴∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠DAO=60°，AD=OA，
∵点C在半圆弧的中点处，
∴=半圆弧的一半，
∴∠CAO=45°，
∵，
∴AD=OA=，
∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA==30°，
∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，
∴CD=2ADsin15°=2（）（sin60°cs45°-cs60°sin45°）=2×=1．
故选择：D．
6．（2022·江苏无锡·模拟）如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC＝2：3，则sin∠ACP的值为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【思路分析】连接BC，OC，先证明△PAC∽△PCB，则，设AC＝2k，BC＝3k，AB，从而求出sin∠ACP．
【详解】解：如图，连接BC，OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠PCA=∠BCO，
∵OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠PCA=∠CBO，
∵∠CPA=∠BPC，
∴△PAC∽△PCB，
于是，
设AC＝2k，BC＝3k，
由∠ACB＝90°得，AB，
∴sin∠ACP＝sin∠ABC．
故选：B．
7．（2022·江苏南通·二模）如图，的直径为10cm，△ABC内接于，，则下列量中不能确定的是（ ）
A．∠A的度数B．弦BC的长C．弦AC的长D．的长
【答案】C
【思路分析】连接CO并延长交于点D，连接BD，OB．由可知的度数是确定的，由圆周角定理可知，，，通过解可知弦BC的长是确定的，通过弧长公式可以推出的长是确定的，的度数不确定导致弦AC的长不能确定．
【详解】解：如图所示，连接CO并延长交于点D，连接BD，OB，
∵，
∴的度数是确定的；
∵是的直径，
∴，
∵，
∴的值是确定的，
∴是定值，即弦BC的长是确定的；
∵，
∴是确定的，
∴的长，
∴的长是确定的；
∵的度数不确定，
∴弦AC的长不能确定，
故选：C．
8．（2022·江苏·景山中学三模）如图，AB是的直径，CD是的弦，连结AC、AD、BD，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】B
【思路分析】先求出，由，可得．
【详解】是的直径，
，
又圆周角定理，
．
故选：B．
9．（2022·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．
A．60°B．50°C．40°D．20°
【答案】B
【思路分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
10．（2022·江苏扬州·模拟）如图，点A，B，C，D在上，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ACB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC，进而得出答案．
【详解】∵，∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∴∠DBC=∠DAC=30°，
∵∠ACD=50°，
∴∠ABD=50°，
∴∠ADB=∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-50°-30°-30°=70°．
故选：C．
11．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，，与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线交于点D，于点E，延长交于点F，则下列结论正确的个数有（ ）
①；②的长为；③；④；⑤为定值
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【思路分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD=PB，得出P为的中点，与实际不符，即可判定正误；
②先求出∠BOC，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误；
③由∠BOC=60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误；
④证明∠CPB=∠CBF=30°，∠PCB=∠BCF，可得△BCF∽△PCB相似；
⑤由等边△OBC得BC=OB=4，再由相似三角形得CF•CP=BC2，便可判断正误．
【详解】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，
∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BAH=30°，
∵BD与半圆O相切于点B．
∴∠ABD=90°，
∴∠H=60°，
∵∠ACP=∠ABP，∠ACP=∠DCH，
∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°，
∵∠PBD=90°-∠ABP，
若∠PDB=∠PBD，则∠ABP+60°=90°-∠ABP，
∴∠ABP=15°，
∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合，
∴∠PDB不一定等于∠ABD，
∴PB不一定等于PD，
故①错误；
②∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BOC=×180°＝60°，
∵直径AB=8，
∴OB=OC=4，
∴的长度=，
故②正确；
③∵∠BOC=60°，OB=OC，
∴∠ABC=60°，OB=OC=BC，
∵BE⊥OC，
∴∠OBE=∠CBE=30°，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBE=60°，
故③错误；
④∵M、C是的三等分点，
∴∠BPC=30°，
∵∠CBF=30°，
∠PCB=∠BCF，
∴△BCF∽△PCB
故④正确；
⑤∵∠CBF=∠CPB=30°，∠BCF=∠PCB，
∴△BCF∽△PCB，
∴，
∴CF•CP=CB2，
∵CB＝OB＝OC＝AB＝4，
∴CF•CP=16，
故⑤正确．
故选：B．
12．（2022·江苏苏州·一模）如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法：①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．其中，一定正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．③④
【答案】D
【思路分析】①AB为直径，所以∠ACB＝90°，就是AC⊥BF，但不能得出AC平分BF，故错，
②只有当FP通过圆心时，才平分，所以FP不通过圆心时，不能证得AC平分∠BAF，
③证出D、P、C、F四点共圆，再利用△AMP∽△FCP，得出结论．
④由直径所对的圆周角是直角即可得到结论．
【详解】解：①∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，
故①错误，
②如图，连接CD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDF＝90°，
假设AC平分∠BAF成立，则有DC＝BC，
∴在Rt△FDB中，DC＝BC＝FC，
∴AC⊥BF，且平分BF，与①中的AC⊥BF，但不能得出AC平分BF相矛盾，
故②错误，
③∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴D、P、C、F四点共圆，
∴∠CFP和∠CDB都对应，
∴∠CFP＝∠CDB，
∵∠CDB＝∠CAB，
∴∠CFP＝∠CAB，
又∵∠FPC＝∠APM，
∴△AMP∽△FCP，
∵∠ACF＝90°，
∴∠AMP＝90°，
∴FP⊥AB，
故③正确，
④∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AF．
故④正确，
综上所述只有③④正确．
故选：D．
13．（2022·江苏无锡·一模）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．
【详解】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，
故选：A．
14．（2022·江苏苏州·模拟）如图，点在以为直径的半圆内，连接、，并延长分别交半圆于点、，连接、并延长交于点，作直线，下列说法一定正确的是（ ）
①垂直平分；②平分；③；④．
A．①③B．①④C．②④D．③④
【答案】D
【思路分析】①AB为直径，所以∠ACB＝90°，就是AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，故错，
②只有当FP通过圆心时，才平分，所以FP不通过圆心时，不能证得AC平分∠BAF，
③先证出D、P、C、F四点共圆，再利用△AMP∽△FCP，得出结论．
④直径所对的圆周角是直角．
【详解】证明：①为直径，
，
垂直，但不能得出平分，
故①错误，
②如图1，连接，
为直径，
，
，
假设平分成立，则有，
在中，，
，且平分，
垂直，但不能得出平分，与①中的垂直，但不能得出平分相矛盾，
故②错误，
③如图
为直径，
，，
、、、四点共圆，
和都对应，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故③正确，
④为直径，
，
．
故④正确，
综上所述只有③④正确．
故选：D．
15．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图，是的内接三角形，，过点C的圆的切线交的延长线于点P，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路分析】连接OC，BP与圆交于点D，连接CD，利用切线的性质和圆周角定理得出∠PCD=∠OCB；再由△PCD∽△PBC，得出∠PDC=∠PCB=115°，进而求得∠PCD便可解答．
【详解】解：如图，连接OC，BP与圆交于点D，连接CD，
∵PC是圆的切线，
∴∠PCO=90°，
∵BD是圆的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠PCD+∠DCO=90°，∠BOC+∠DCO=90°，
∴∠PCD=∠OCB，
∵OC=OB，则∠OCB=∠OBC，
∴∠PCD=∠PBC，
∵∠P=∠P，
∴△PCD∽△PBC，
∴∠PDC=∠PCB；
∵∠A=∠BDC=65°，
∴∠PDC=∠PCB=115°，
∴∠PCD=115°-90°=25°，
∴∠P=∠BDC-∠PCD=65°-25°=40°，
故选：D．
16．（2022·江苏徐州·模拟）如图，是的直径，切于点，交于点，连接．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路分析】先由，，求得的度数，再结合是的直径，切于点A，即可得到结论．
【详解】解：，
是的直径，切于点A，
，
即，
故选：D．
17．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，AB是的直径，点C在上，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D在弧AC上（不与点A，C重合），连接AD，CD．若，则的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°
【答案】B
【思路分析】连接，由圆内接四边形的性质求出的度数，由等腰三角形的性质可求出的度数，再根据切线的性质求出答案即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴．
故选：B
18．（2022·江苏·南通市东方中学一模）如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，连接 OC 与半圆相交于点 D，则 CD 的长为（ ）
A．2B．3C．1D．2.5
【答案】A
【思路分析】连接，根据勾股定理逆定理的性质，得，根据切线和相似三角形的性质，推导得、，再根据全等三角形的性质，推导得，通过计算即可得到答案．
【详解】如图，设切线AC与半圆的切点为E，连接
根据题意，得，，
∵AB=10，AC=8，BC=6
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
和中

∴
∴
∴
故选：A．
19．（2022·江苏无锡·一模）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，过点D作DE⊥DF分别交AB、AC于E、F（不与B、C重合）．取EF的中点O，连接AO并延长交BC于G，连接EG、FG．随着点E、F的位置的变化，有以下四个结论：①DE＝DF；②四边形AEDF的面积始终为9；③∠EGF＝90°；④四边形AEGF的面积有最小值为9．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】A
【思路分析】证明△BDE≌△ADF，即可判断①正确；根据①的结论判断②正确；以点O为圆心，OE为半径作圆O，由∠BDA=90°，证得AG为圆O的直径，即点G在圆O上，即可判断③正确；设AF=x，则BE=AF=x，AE=6-x，证明四边形AEGF是矩形，利用矩形面积公式求出四边形AEGF的面积=，利用二次函数的性质得到四边形AEGF的面积有最大值为9，即可判断④错误．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，
∴AD=BD=CD，∠B=∠CAD=45°，∠ADB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，故①正确；
∴四边形AEDF的面积==，
∴四边形AEDF的面积始终为9，故②正确；
以点O为圆心，OE为半径作圆O，连接OD，
∵∠EDF=90°，点O为EF的中点，
∴OD=OE=OF=OA，
∵∠ADG=90°，
∴∠GAO+∠AGD=∠ADO+∠GDO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠AGD=∠ODG，
∴OA=OD=OA，
∴AG为圆O的直径，即点G在圆O上，
∴∠EGF=90°，故③正确；
设AF=x，则BE=AF=x，AE=6-x，
∵OA=OG=OE=OF，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵∠EAF=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∴四边形AEGF的面积=，
∴当x=3时，四边形AEGF的面积有最大值，最大值为9，
故④错误；
正确的有①②③．
故选：A．
20．（2022·江苏盐城·一模）如图，是△ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．160°
【答案】B
【思路分析】连接OB和OC，作OD⊥BC，求出∠BOD=∠DBO=45°，再求出∠BOC的度数，最后利用圆周角定理得出∠A．
【详解】解：连接OB和OC，作OD⊥BC，
∵圆O半径为，BC=6，OD⊥BC，
∴OB=，BD=3，∠BDO=90°，
∴，
∴∠BOD=∠DBO=45°，
∴∠BOC=90°，
∴∠A=135°，
故选：B．
21．（2022·江苏无锡·一模）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝；④＝．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
【答案】C
【思路分析】①易求得DF长度，即可判定；
②连接OP，易证OP∥CD，根据平行线性质即可判定；
③易证AE=2EF，EF=2EC即可判定；
④连接OG，作OH⊥FG，易证△OFG为等边△，即可求得S阴影即可解题.
【详解】解：①∵△ABE沿AE折叠得△AFE，
∴AF=AB=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，
∴DF===3，
∴DF=CF=3
∴F是CD中点；
∴①正确；
②连接OP，
∵⊙O与AD相切于点P，
∴OP⊥AD，
∵AD⊥DC，
∴OP∥CD，
∴，
设OP=OF=x，则，
解得：x=2，
∴⊙O的半径是2；
∴②正确；
③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3，
∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，
∴∠EAF=∠EAB=30°，
∴AE=2EF；
∵∠AFE=90°，
∴∠EFC=90°-∠AFD=30°，
∴EF=2EC，
∴AE=4CE，
∴③错误；
④连接OG，PG，作OH⊥FG，
∵∠AFD=60°，OF=OG，
∴△OFG为等边三角形；
∴∠GOF=60°，
∵OP∥CD，
∴∠AOP=∠AFD=60°，
∴∠POG=180°-∠AOP-∠GOF=60°，
∵OP=OG，
∴△OPG为等边三角形；
∴∠POG=∠FOG=60°，OH=，S扇形OPG=S扇形OGF，
∴S阴影=（S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH）+（S扇形OGF-S△OFG）=S矩形OPDH-S△OFG=2×-××2×=．
∴④正确；
其中正确的结论有：①②④，3个；
故选C．
22．（2022·江苏南京·模拟）如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（ ）个
①；
②当时，；
③以点为圆心、为半径画，当时，与相切；
④当时，．
A．B．C．D．
【答案】D
【思路分析】利用锐角三角函数求出BC可判断①，利用勾股定理求AC，BD，AG，再用正切锐角三角函数定义求值可判断②，利用相似三角形判定与性质，可判断③，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断④
【详解】解：在中，． ，
故①正确；
作AG⊥BD于G，
在Rt△ABC中，，
∵AD=AB=5，AG⊥BD
∴CD=AD-AC=5-3=2，DG=BG，
在Rt△DCB中，，
∴DG=BG=，
在Rt△BGA中，，
∴，
故②当时，正确；
AD=t，BE=2t，csA=，
当时，，，
∴，
∵，
∴csA=，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠DEB=90°，
∴与相切，
故③以点为圆心、为半径画，当时，与相切正确；
过E作EH⊥AC于H，
当时，
∵∠EHD=∠DCB=90°，
∴△EHD∽△DCB，
∴，
∵AE=5-2t，
∴AH=，EH=，，，
∴，
整理得，
因式分解得，
∴或（舍去），
故④当时，正确；
正确的结论有4个．
故选择D．
23．（2022·江苏南京·模拟）如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，AD平分∠CAB交BM于点D，且D为BM的中点，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路分析】作MH⊥AB于H，连接AM、OM．根据AB是直径，点M是的中点，AD平分∠CAB，可得∠ADM＝45°，从而得到MA＝MD，进而得到BM＝2AM，然后根据勾股定理可得AM＝2，BM＝4，从而得到OH＝，再证得△OAF≌△OMH，可得到OF＝OH＝，再由OF∥BC，可得△AOF∽△ABC，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，作MH⊥AB于H，连接AM、O M．
∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点M是的中点，
∴，
∴∠CBM＝∠ABM，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，
∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，
∴∠DAM=∠ADM=45°，
∴MA＝MD，
∵DM＝DB，
∴BM＝2AM，
设AM＝x，则BM=2x，
∵AB＝2，
∴x2+4x2＝20，
∴x＝2或x＝-2（舍去），
∴AM＝2，BM＝4，
∵
∴MH＝，
∴OH＝，
∵，
∴OM⊥AC，
∴AF＝FC，
∵OA＝OB，
∴BC＝2OF，
∵∠OHM＝∠OFA＝90°，∠AOF＝∠MOH，
∴△OAF≌△OMH（AAS），
∴OF＝OH＝，
∵∠OFA＝90°，∠ACB=90°，
∴OF∥BC，
∴△AOF∽△ABC，
∴，
∴BC＝2OF＝．
故选：C
24．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H．若⊙O的半径为4，则MA―MH的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【思路分析】如图，作直径AB，连接BM，得到△ABM∽△MAH，由得到，根据函数的性质求解最值即可．
【详解】解：如图，作直径AB，连接BM，
∴，
∵⊙O的半径为4，
∴，
∵直线l与⊙O相切于点A，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴,
∴，
∵，
∴的最大值是2，
故选D．
25．（2022·江苏·苏州市第十六中学一模）如图，在中，，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【思路分析】由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因为∠AED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，
∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠AED=∠CEG，
∴∠ADE=∠CGE=90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB=4，AB=AC，
∴AC=2，
∴OA=OC=，
∵DA=DC，OA=OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴点G的运动轨迹的长为
故选：D．