沪教版七年级数学上册专题01整式及其加减(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学上册专题01整式及其加减(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各式：①1 x；②2•3；③20%x；④a-b÷c；⑤ ；⑥x-5；其中，不符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．下列代数式中单项式共有（ ）
．
A．2个B．4个C．6个D．8个
3．下列运算错误的是（ ）
A．﹣5x2+3x2＝﹣2x2B．5x+（3x﹣1）＝8x﹣1
C．3x2﹣3（y2+1）＝﹣3D．x﹣y﹣（x+y）＝﹣2y
4．下列说法中正确的有（ ）个．
①的系数是7；②与没有系数；③的次数是5；
④的系数是；⑤的次数是；⑥的系数是．
A．0B．1C．2D．3
5．已知，则多项式的值是（ ）
A．7B．2C．D．5
6．下列各组中的两个单项式不是同类项的是（ ）
A．与B．-3与0C．与D．与
7．黑板上有一道题，是一个多项式减去，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是，这道题的正确结果是（ ）．
A．B．C．D．
8．如果一个多项式是三次多项式，那么（ ）
A．这个多项式至少有两项，并且最高次项的次数是3
B．这个多项式一定是三次四项式
C．这个多项式最多有四项
D．这个多项式只能有一项次数是3
9．若，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
10．在学校温暖课程数字兴趣课中，嘉淇同学将一个边长为的正方形纸片（如图1）剪去两个相同的小长方形，得到一个的图案（如图2），剪下的两个小长方形刚好拼成一个“T”字形（如图3），则“T”字形的外围周长（不包括虚线部分）可表示为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．在下列各式①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中，其中单项式是_______，多项式是_______，整式是_______．（填序号）
12．单项式的系数是______．
13．多项式是一个______次______项式．
14．将多项式2﹣3xy2+5x3y﹣x2y3按字母y降幂排列是_____．
15．如果代数式的值为，那么代数式的值为____．
16．若多项式式是关于，的五次三项式，则常数的值是______．
17．一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，则这个三位数可表示为________．
18．一个多项式M减去多项式，小马虎却误解为先加上这个多项式，结果，得，则正确的结果是________．
19．多项式与多项式相加后不含二次项，则的值是_______．
20．已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝_____．
三、解答题
21．列代数式
（1）m，n的绝对值的和的相反数；
（2）a，b两数平方的差与它们和的平方的商；
（3）a的倒数的与b的2倍的倒数的和．
22．若，与是同类项，与的和是单项式，求值．
23．化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
24．（1）求多项式的值，其中；
（2）求多项式的值，其中．
25．有这样一道题：当，时，求多项式的值，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．
26．已知A=3a2b﹣2ab2+abc，小明同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果为4a2b﹣3ab2+4abc．
(1)计算B的表达式；
(2)求出2A﹣B的结果；
(3)小强同学说(2)中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=，b=，求(2)中式子的值．
27．如图，三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，同时放在长方形ABCD中，阴影部分对应的面积分别表示为，，，设，，且x(1)AH＝______，CI＝______，GK＝______（结果用含x、y的代数式表示）．
(2)若，求长方形ABCD的面积．
(3)在条件（2）下，若空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，求长方形ABCD的长x和宽y的值．
28．某文具批发店销售一款笔记本，一次性批发价如下表：
（1）若小明在该店一次性批发250本上述笔记本，则他需付的费用为 元；
（2）某零售店店主小强分两次向该批发店共批发1200本该款笔记本，第一次批发m本，且第二次批发的数量超过第一次批发的数量，则小强两次批发笔记本共付费多少元？（用含m的代数式表示）
29．阅读材料：
我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把(a−b)2看成一个整体，合并3(a−b)2−6(a−b)2+2(a−b)2的结果是___．
（2）已知=4，求−21的值；
（3）已知a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，求(a−c)+(2b−d)−(2b−c)的值．
30．对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“和谐数”．例如：m＝7431，满足1＋3＝4，2×3＋1＝7，所以7431是“和谐数”．例如：m＝6413，满足1＋3＝4，但2×1＋3＝5≠6，所以6413不是“和谐数”．
(1)判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由：
(2)若m是“和谐数”，且m与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数”m．
批发数量（本）
不超过200本
超过200本的部分
单价（元）
6元
5元
专题01 整式及其加减
一、单选题
1．下列各式：①1 x；②2•3；③20%x；④a-b÷c；⑤ ；⑥x-5；其中，不符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【解析】根据代数式书写规范要求可知：①中代数式应写为；②数与数相乘不能用“”连接； ④中的代数式应写为；符合书写规范要求的有：③20%x；⑤ ；⑥x-5；共计3个.
故选C.
2．下列代数式中单项式共有（ ）
．
A．2个B．4个C．6个D．8个
【答案】C
【分析】根据单项式的定义，即可得到答案．
【解析】解：中，单项式有，共6个，
故选C．
【点睛】本题主要考查单项式的定义，掌握“数字和字母，字母和字母的乘积叫做单项式，单独的字母和数字也叫单项式”是解题的关键．
3．下列运算错误的是（ ）
A．﹣5x2+3x2＝﹣2x2B．5x+（3x﹣1）＝8x﹣1
C．3x2﹣3（y2+1）＝﹣3D．x﹣y﹣（x+y）＝﹣2y
【答案】C
【分析】根据整式的加减计算法则，进行逐一求解判断即可．
【解析】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
4．下列说法中正确的有（ ）个．
①的系数是7；②与没有系数；③的次数是5；
④的系数是；⑤的次数是；⑥的系数是．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据单项式的次数和系数概念，逐一判断各个选项即可．
【解析】解：①的系数是-7，故原说法错误；
②与系数分别是：-1，1，故原说法错误；
③的次数是6，故原说法错误；
④的系数是，故原说法正确；
⑤的次数是，故原说法错误；
⑥的系数是，故原说法错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查单项式的相关概念，掌握单项式的次数和系数定义是解题的关键．
5．已知，则多项式的值是（ ）
A．7B．2C．D．5
【答案】D
【分析】根据已知可得，代入计算后即可求得结果．
【解析】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，能准确判断代数式之间的关系是解题的关键．
6．下列各组中的两个单项式不是同类项的是（ ）
A．与B．-3与0C．与D．与
【答案】C
【分析】根据同类项的定义，逐项判断即可求解．
【解析】解：A、与是同类项，故本选项不符合题意；
B、-3与0是同类项，故本选项不符合题意；
C、与中，和的指数均不相同，则不是同类项，故本选项符合题意；
D、与是同类项，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数相同的两个单项式是同类项，注意：所有的常数项都是同类项是解题的关键．
7．黑板上有一道题，是一个多项式减去，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是，这道题的正确结果是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用加法的意义列式求解原来的多项式，再列式计算减法即可得到答案.
【解析】解：


所以的计算过程是：


故选：
【点睛】本题考查的是加法的意义，整式的加减运算，熟悉利用加法的意义列式，合并同类项的法则是解题的关键.
8．如果一个多项式是三次多项式，那么（ ）
A．这个多项式至少有两项，并且最高次项的次数是3
B．这个多项式一定是三次四项式
C．这个多项式最多有四项
D．这个多项式只能有一项次数是3
【答案】A
【分析】根据多项式次数和多项式的概念，逐一判断选项即可．
【解析】解：如果一个多项式是三次多项式，那么这个多项式至少有两项，并且最高次项的次数是3，
如果一个多项式是三次多项式，这个多项式不一定是三次四项式，
如果一个多项式是三次多项式，这个多项式不一定有四项，
如果一个多项式是三次多项式，这个多项式不一定只有一项次数是3，
故选A．
【点睛】本题主要考查多项式相关概念，掌握多项式次数和项数的定义是解题的关键．
9．若，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别计算：，，，化简后可得答案.
【解析】解：，故不符合题意；
，故不符合题意；
，故符合题意；
，故不符合题意；
故选：
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，掌握合并同类项的法则与去括号的法则是解题的关键.
10．在学校温暖课程数字兴趣课中，嘉淇同学将一个边长为的正方形纸片（如图1）剪去两个相同的小长方形，得到一个的图案（如图2），剪下的两个小长方形刚好拼成一个“T”字形（如图3），则“T”字形的外围周长（不包括虚线部分）可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图形表示出小长方形的长与宽，即可确定出周长．
【解析】解：根据题意得：小长方形的长为a-b，宽为，
则“T”字形的外围周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
11．在下列各式①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中，其中单项式是_______，多项式是_______，整式是_______．（填序号）
【答案】 ①②④⑧ ③⑦ ①②③④⑦⑧
【分析】根据单项式、多项式、整式的定义，逐一判断各个代数式，即可．
【解析】解：①，②0，④，⑧，是单项式；③，⑦，是多项式；①，②0，④，⑧，③，⑦，是整式，
故答案是：①②④⑧，③⑦，①②③④⑦⑧．
【点睛】本题主要考查单项式、多项式、整式的定义，熟练掌握上述定义是解题的关键．
12．单项式的系数是______．
【答案】##
【分析】根据单项式系数的定义即得出答案．
【解析】的系数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫单项式的系数是解答此题的关键．
13．多项式是一个______次______项式．
【答案】 五##5 四##4
【分析】根据多项式的项，次数、项数定义，即可判断．
【解析】解析：多项式有四项，最高次项的次数为五．故该多项式是五次四项式．
故答案为：五，四．
【点睛】本题考查了多项式的项、项数、次数，掌握多项式的项、项数、次数是解题的关键．
14．将多项式2﹣3xy2+5x3y﹣x2y3按字母y降幂排列是_____．
【答案】﹣x2y3﹣3xy2+5x3y+2
【分析】根据多项式的项的概念和降幂排列的概念，将多项式的各项按y的指数由大到小排列可得．
【解析】解：将多项式2﹣3xy2+5x3y﹣x2y3按字母y的降幂排列是﹣x2y3﹣3xy2+5x3y+2．
故答案为：﹣x2y3﹣3xy2+5x3y+2．
【点睛】本题考查了多项式的项的概念和降幂排列的概念．（1）多项式中的每个单项式叫做多项式的项；（2）一个多项式的各项按照某个字母指数从大到小或者从小到大的顺序排列，叫做降幂或升幂排列．解题时要注意灵活运用．
15．如果代数式的值为，那么代数式的值为____．
【答案】##0.5
【分析】根据可得，从而得到 ，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∴ ，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，根据题意得到是解题的关键．
16．若多项式式是关于，的五次三项式，则常数的值是______．
【答案】-4
【分析】直接利用多项式的概念得出关于m的关系式，求出常数m的值即可．
【解析】解：∵3x2y|m+1|-（2-m）y2-1是关于x、y的五次三项式，
∴|m+1|=3，-（2-m）≠0，
解得：m=-4．
故答案为：-4．
【点睛】此题主要考查了多项式的定义，得出关于m的关系式是解题关键．单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
17．一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，则这个三位数可表示为________．
【答案】
【分析】根据题意先表示个位数为：再表示百位数为：从而可得答案.
【解析】解： 一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，
个位数为： 百位数为：
所以这个三位数为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算，一个三位数的百位，十位，个位为分别为 则这个三位数表示为： 掌握列式的方法是解题的关键.
18．一个多项式M减去多项式，小马虎却误解为先加上这个多项式，结果，得，则正确的结果是________．
【答案】
【分析】（1）根据题意可得，求出M，然后求出即可；
（2）设，，根据即，因此所求的.
【解析】【方法1】由题意，得．
易得．
∴．
则正确的结果是．
【方法2】设，．
由题意，得，故，因此所求的．
∴．
则正确的结果是．
【点睛】在整式运算应用过程中，我们可以发现，在尽量避免烦琐计算的同时要运用一些整体代入的思想，这样可以有效地将计算过程缩短，达到化繁为简的目的．方法二在进行运算之前，先采用换元的思想将运算过程简化为，这样能在优化算法的同时减少计算量．
19．多项式与多项式相加后不含二次项，则的值是_______．
【答案】4
【分析】根据整式加减法则进行计算，再根据不含二次项，二次项系数为0求解即可．
【解析】解：，
=；
∵相加后不含二次项，
∴，
∴；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整式的加减和整式不含某项的问题，解题关键是熟练进行整式加减，明确不含项的系数为0．
20．已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝_____．
【答案】22020﹣1
【分析】先令x＝1，再令x＝﹣1得出a0+a2+a4…+a2020=22021÷2，最后令x＝0，a0＝1计算即可
【解析】解：令x＝1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0+a1+a2+a3+…+a2021＝22021；①
令x＝﹣1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021＝0；②
∴①+②得：a0+a1+a2+a3+…+a2021+a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021=22021
2（a0+a2+a4…+a2020）=22021
a0+a2+a4…+a2020=22021÷2
令x＝0，
∴a0＝1；
∴a2+a4+…+a2018+a2020＝22021÷2﹣1＝22020﹣1，
故答案为：22020﹣1．
【点睛】本题考查赋值法求二项式系数和的问题，正确使用赋值法是解题关键
三、解答题
21．列代数式
（1）m，n的绝对值的和的相反数；
（2）a，b两数平方的差与它们和的平方的商；
（3）a的倒数的与b的2倍的倒数的和．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意先表示出m和n的绝对值，然后再表示出它们的和，最后取相反数即可；
（2）根据题意先表示出和，然后表示出它们的商即可；
（3）根据题意先表示出和，然后再表示出它们的和即可．
【解析】解：（1）m，n的绝对值的和的相反数为；
（2）a，b两数平方的差与它们和的平方的商为；
（3）a的倒数的与b的2倍的倒数的和为．
【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词．
22．若，与是同类项，与的和是单项式，求值．
【答案】或．
【分析】根据绝对值，同类项的含义分别求出、、的值，将不符合的值删去，再代入代数式即可得出答案．
【解析】解：
或
或
与是同类项，
当时，不成立；
当时，，解得：或；
与的和是单项式，
当时
；
当时，
综上所述，值为或．
【点睛】本题考查了求绝对值方程、同类项的含义、单项式的含义，需要掌握：同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．
23．化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】根据同类项的概念，合并同类项即可，其中第6小题将看作一个整体进行计算即可．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【点睛】本题考查了多项式的加减，掌握合并同类项的方法是解题的关键．
24．（1）求多项式的值，其中；
（2）求多项式的值，其中．
【答案】（1），；（2），1
【分析】（1）将同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变，合并完同类项再代入求值；
（2）先合并同类项再代入求值即可．
【解析】解：（1）
．
当时，原式．
（2）
．
当时，原式．
【点睛】本题考查的是合并同类项，掌握其法则及公式是解决此题的关键．
25．有这样一道题：当，时，求多项式的值，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．
【答案】理由见解析
【分析】将原多项式进行化简，即可求解．
【解析】解：原式

．
所以这个多项式的值与a，b取值无关、所以两人做出的结果一样．
【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算，熟练掌握整式混合运算的基本步骤是解题的关键．
26．已知A=3a2b﹣2ab2+abc，小明同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果为4a2b﹣3ab2+4abc．
(1)计算B的表达式；
(2)求出2A﹣B的结果；
(3)小强同学说(2)中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=，b=，求(2)中式子的值．
【答案】（1）﹣2a2b+ab2+2abc；（2） 8a2b﹣5ab2；（3）对，0．
【分析】（1）根据B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A列出关系式，去括号合并即可得到B；
（2）把A与B代入2A-B中，去括号合并即可得到结果；
（3）把a与b的值代入计算即可求出值．
【解析】解：（1）∵2A＋B＝4a2b﹣3ab2+4abc，
∴B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A
＝4a2b－3ab2＋4abc－2(3a2b－2ab2＋abc)
＝4a2b－3ab2＋4abc－6a2b＋4ab2－2abc
＝－2a2b＋ab2＋2abc；
（2）2A－B＝2(3a2b－2ab2＋abc)－(－2a2b＋ab2＋2abc)
＝6a2b－4ab2＋2abc＋2a2b－ab2－2abc
＝8a2b－5ab2；
（3）对，由（2）化简的结果可知与c无关，
将a＝，b＝代入，得
8a2b－5ab2＝8××－5××＝0．
【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项．
27．如图，三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，同时放在长方形ABCD中，阴影部分对应的面积分别表示为，，，设，，且x(1)AH＝______，CI＝______，GK＝______（结果用含x、y的代数式表示）．
(2)若，求长方形ABCD的面积．
(3)在条件（2）下，若空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，求长方形ABCD的长x和宽y的值．
【答案】(1)x-2；y-2；8-y；
(2)42；
(3)x=6，y=7
【分析】（1）根据图形中各线段的关系，用x、y的代数式表示各线段便可；
（2）根据，由长方形面积公式列出x、y的方程，求得xy便可；
（3）根据空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，可求得x+y=13，再根据xy=42求解即可．
（1）
解：∵三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，，，且x∴AH=AB-BH=x-2，CI=BC-BI=y-2，GK=AG+DK-AD=5+3-y=8-y，
故答案为：x-2；y-2；8-y；
（2）
由题意得：S1=2HE，HE=7-x，
所以S1=14-2x，
S2=3GK=24-3y，
S3=QI×QF+MN×NC=3（x-5）+（y-5）（x-3）=xy-3y-2x，
∵，
∴38-2x-3y=xy-3y-2x-4，
∴xy=42，
长方形ABCD的面积为42；
（3）
解：由题意得：DN+DG+KA+AH+EB+BI=y-5+3+y+x-2+x-5+2=2x+2y-10，
GK+NC+CI+HE=8-y+x-3+y-2+7-x=10，
∵空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，
∴（DN+DG+KA+AH+EB+BI）-（GK+NC+CI+HE）=6，
∴2x+2y-10-10=6，即x+y=13，
∵由（2）得：xy=42，
∴或，
解得：或，
∵x＜y，
∴x=6，y=7．
【点睛】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的边长和面积，是解题的关键．
28．某文具批发店销售一款笔记本，一次性批发价如下表：
（1）若小明在该店一次性批发250本上述笔记本，则他需付的费用为 元；
（2）某零售店店主小强分两次向该批发店共批发1200本该款笔记本，第一次批发m本，且第二次批发的数量超过第一次批发的数量，则小强两次批发笔记本共付费多少元？（用含m的代数式表示）
【答案】（1）1450元；（2）当0＜m≤200时，小强两次批发笔记本共付费（m+6200）元；当200＜m＜600时，小强两次批发笔记本共付费6400元．
【分析】（1）根据题意，总费用＝200本的费用+50本的费用，可得答案；
（2）根据第二次批发的数量超过第一次批发的数量，可知1200﹣m＞m，则m＜600，分两种情况分别计算：①当0＜m≤200时，1200﹣m≥1000，②当200＜m＜600时，600＜1200﹣m＜1000．
【解析】解：（1）200×6+5（250﹣200）＝1450，
答：他需付的费用为1450元；
故答案为：1450；
（2）由题意得：1200﹣m＞m，
∴m＜600，
①当0＜m≤200时，1200﹣m≥1000，
依题意，得
小强两次批发笔记本共付费为：6m+[200×6+5（1200﹣m﹣200）]＝6m+1200+5000﹣5m＝m+6200．
②当200＜m＜600时，600＜1200﹣m＜1000，依题意，得
小强两次批发笔记本共付费为：[200×6+5（m﹣200）]+[200×6+5（1200﹣m﹣200）]＝1200+5m﹣1000+1200+5000﹣5m＝6400．
综上所述，当0＜m≤200时，小强两次批发笔记本共付费（m+6200）元；
当200＜m＜600时，小强两次批发笔记本共付费6400元．
【点睛】本题考查了列代数式和整式加减法的应用，解题关键是明确题意，分段计算、分类讨论．
29．阅读材料：
我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把(a−b)2看成一个整体，合并3(a−b)2−6(a−b)2+2(a−b)2的结果是___．
（2）已知=4，求−21的值；
（3）已知a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，求(a−c)+(2b−d)−(2b−c)的值．
【答案】（1）；（2）-9；（3）8
【分析】（1）把(a−b)2看成一个整体，然后合并3(a−b)2−6(a−b)2+2(a−b)2即可得到答案；
（2）根据，利用即可求解；
（3）先根据a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，得到，即可得到，再把(a−c)+(2b−d)−(2b−c)去括哈合并同类项即可求解.
【解析】解：（1）
；
（2）∵，
∴；
（3）(a−c)+(2b−d)−(2b−c)
，
∵a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，
∴，
∴，
∴
∴(a−c)+(2b−d)−(2b−c)=8.
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练运用整体的思想进行求解.
30．对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“和谐数”．例如：m＝7431，满足1＋3＝4，2×3＋1＝7，所以7431是“和谐数”．例如：m＝6413，满足1＋3＝4，但2×1＋3＝5≠6，所以6413不是“和谐数”．
(1)判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由：
(2)若m是“和谐数”，且m与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数”m．
【答案】(1)8624是“和谐数”，9582不是“和谐数“，理由见解析；
(2)m的值为2110或5321或8532．
【分析】（1）根据“和谐数”的定义即可判断；
（2）设m的个位数为a，十位数为b，根据m是“和谐数”，则m的百位数为a+b，千位数为2b+a，再根据m与22的和能被13整除，即可解答．
(1)
8624是“和谐数”，9582不是“和谐数“，理由如下：
∵6=2+4，8=2×2+4，
∴8624是“和谐数“；
∵5≠8+2，
∴982不是“和谐数“；
(2)
设m的个位数为a，0≤a≤9，十位数为b，0≤b≤9，且a、b为整数，
∵m是“和谐数”，
∴m的百位数为a+b，千位数为2b+a；
∴m=1000 （2b+a）+100 （a+b）+10b+a=1101a+2110b，
∵m与22的和能被13整除，
∴1101a+2110b +22=13（84a+162b）+9a+4b+22能被13整除，
∴9a+4b+22能被13整除，
∵2b+a≤9且a、b为整数，
∴，
∴a只能取1、2、3、4，
∴a=0时，b=1或a=1时，b=2或a=2，b=3或a=3，b=4或a=4，b=5，
∴a+b=1，2b+a=2或a+b=3，2b+a=5或a+b=5，2b+a=8或a+b=7，2b+a=11（不合题意舍去），或a+b=9，2b+a=16（不合题意舍去），
∴m的值为2110或5321或8532．
【点睛】本题是一道新定义题目，考查了有理数整除的相关性质，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果，解题的关键是能够理解定义．
批发数量（本）
不超过200本
超过200本的部分
单价（元）
6元
5元