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沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训10二次函数其他类型难点突破(原卷版+解析)
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这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训10二次函数其他类型难点突破(原卷版+解析)，共63页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的表达式和点D的坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F．
①用m的代数式表示直线的截距；
②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．
4．已知抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向左平移m个单位（），平移后点A、B、C的对应点分别记作、、，过点作⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、为顶点的三角形与△相似，
①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形为平行四边形，求m的值．
5．已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
(3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点A(-1，0) 、B(3，0) 、C(2，3)三点，且与y轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；
(2)分别联结AD、DC、CB，直线 y = 4x + m 与线段DC交于点E，当此直线将四边形 ABCD 的面积平分时，求m的值；
(3)设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、F、B、C为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
7．已知：抛物线经过，,．
(1)求：抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为P，把翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作，折痕为EF，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)当点在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请你说明理由．
8．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．
(1)如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m＝ 时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
(2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标；
(3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标．
10．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式；
(3)若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．
11．已知：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点
(1)求抛物线的解析式的一般式；
(2)若抛物线第一象限上有一点P，满足，求P点坐标；
(3)直线与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求的面积．
12．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
(1)求m的值及这个二次函数的解析式；
(2)在x轴上找一点Q，使的周长最小，并求出此时Q点坐标；
(3)若 是x轴上的一个动点，过P作轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．设线段DE的长为，当时，求与之间的函数关系式．
13．如图1，直线交轴于点，交轴于点，过、两点的抛物线与轴的另一交点为．
(1)请直接写出该抛物线的函数解析式；
(2)点是第二象限抛物线上一点，设点横坐标为．
①如图2，连接，，，求面积的最大值；
②如图3，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作轴交直线于．求线段的最大值及此时点的坐标．
14．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ．直线 经过点 ，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点 的直线交直线 于点 ．
①当 时，过抛物线上一动点 （不与点 ， 重合），作直线 的平行线交直线 于点 ，若以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的横坐标；
②连接 ，当直线 与直线 的夹角等于 的倍时，请直接写出点 的坐标．
15．如图， 拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，直线交x轴于点B、y轴于点C，抛物线经过点B，点C，且过，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)动点P运动到什么位置时，的面积最大？若存在，请求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过点P作轴，垂足为点M，交于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．
(1)求证：；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
18．如图，、是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使， 画射线， 把绕点C逆时针旋转得，连接，抛物线（）过E两点．
(1)填空： ____________， 用 表示点的坐标：___________．
(2)当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点P，且与矩形的面积相等时，求m与n的关系式；
(3)若E与原点重合，抛物线与射线的另一个交点为M，过M作垂直轴，垂足为N：
①求满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形有公共点，线段的最大值为5，请你直接写出a的取值范围．
19．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标；
(3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值．
特训10 二次函数其他类型难点突破
与三角形、四边形结合问题、最值问题、动态几何问题
一、解答题
1．已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）．
【答案】(1)y＝﹣x2+3x；
(2)（0，4）；
(3)（2，1）或（2，﹣1）．
【分析】（1）将C（4，0）代入y＝ax2+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式，令x＝0求出y的值，进而得到点A的坐标；
（3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DMBCAO．分两种情况讨论：①当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；②当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形，再证明四边形BCMD是等腰梯形．
(1)
解：抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0），
∴16a+12＝0，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x；
(2)
解：∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点D的坐标为（2，3）．
∵点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，
∴B（4，2）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（4，2），D（2，3）代入，
得 ，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴点A的坐标为（0，4）；
(3)
解：在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形．理由如下：
设点M的坐标为（2，y）．由AOMD和BCMD都是四边形，得y＜3．
分两种情况：
①如图1所示，
∵DMBC，
∴当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形．
∵D（2，3），DM＝BC，
∴3﹣y＝2，解得y＝1，
∴当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形，
此时，∵OM＝ ，AD＝，
∴OM＝AD，
又∵AODM，AO≠DM，
∴四边形AOMD是等腰梯形；
②如图2所示，
∵DMAO，
∴当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形．
∵D（2，3），DM＝AO，
∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1，
∴当M的坐标为（2，﹣1）时，四边形AOMD是平行四边形，
此时，∵CM＝，BD＝，
∴CM＝BD，
又∵BCDM，BC≠DM，
∴四边形BCMD是等腰梯形．
综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，﹣1）．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由抛物线，得抛物线过点，设抛物线解析式，将代入上述解析式，求得a的值，整理化简即可．
（2）由（1）中条件求得抛物线顶点坐标及C点坐标，再算得，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，设，则，令，解得关于p的方程即可得到点P的坐标．
（3）由直线BC解析式为，设，其中，同理，设，其中，分两种情况分别讨论，求解即可．
(1)
解：∵抛物线，
∴抛物线过点．
∵抛物线与轴交于点和点，
∴设抛物线，
∵抛物线过点，
∴将点代入中，
得 ，解得，
故抛物线解析式为，
∴抛物线解析式为．
(2)
解：连接、，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，
∵抛物线解析式为，与轴交于点，顶点为，
∴，．
∵，，
∴直线BC为：，
∵交抛物线的对称轴于点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
∵，点P在射线DE上，
∴，
∵DP交x轴于点F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故P点坐标．
(3)
解：∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴设，其中，
又∵，点是对称轴右侧抛物线上的一点，
∴设，其中．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴分两种情况进行讨论：
①如图1，当，时，过点N作NK⊥DE于点K，过点M作ML⊥DE于点L，
∵，
∴，
∵ML⊥DE，
∴，
∵，
∴．
∵NK⊥DE，ML⊥DE，
∴，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，．
∵，，，
∴，
解得或，
∵，，
∴舍去，
∴M点坐标为．
②如图2，当，时，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴当，解得，
∵，
∴，即．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴M点坐标为．
综上，满足题意的M点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数相关的综合运用，充分运用数形结合思想是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的表达式和点D的坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F．
①用m的代数式表示直线的截距；
②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．
【答案】(1)，点D的坐标为
(2)①直线的截距是；②符合条件的直线应该是经过点E且垂直于x轴的直线，为直线和直线
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设点，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可得出答案；
②当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点，则，可得，再求得，根据题意可得：，解得，故符合条件的直线为；当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，利用待定系数法求得直线的解析式为，可得，进而可得，建立方程求解即可得出符合条件的直线为．
【解析】（1）解：抛物线与轴交于点、，
，
解得：，
抛物线的表达式为，
，
顶点的坐标为；
（2）解：①设点，直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
直线的截距为；
②抛物线顶点的坐标为，
抛物线对称轴为直线，
当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点，如图1，
则，
，
，
由①知：直线的截距为，即，
又，
，
，
由题意：，
，
解得：或，
，
，
根据同底等高的三角形面积相等可得：过点且平行轴的直线上任意一点及点、三点为顶点的三角形的面积都等于面积，
符合条件的直线为；
当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，如图2，
、，
直线的解析式为，
，
．
，
，
，
解得：（舍去）或，
符合条件的直线为，
综上所述，符合条件的直线为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点式、顶点坐标、对称轴，直线的截距，三角形面积等，运用等底等高的三角形面积相等解决问题是解题关键．
4．已知抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向左平移m个单位（），平移后点A、B、C的对应点分别记作、、，过点作⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、为顶点的三角形与△相似，
①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形为平行四边形，求m的值．
【答案】(1)y=-x²+3x-2
(2)①点E的坐标是（0，4-2m）；（0，1-m）；②m的值是5，
【分析】（1）因为抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），所以用待定系数法求出a、b的值即可；
（2）根据题意A1（1-m，0），B1（2-m，0），C1（-m，-2），D（-m，0），证明△B1OE∽△C1DA1，求出OE的长度，可得E点坐标；由y=-x²+3x-2，得平移后得抛物线表达式是，由平行四边形A1FEB1，得EF//AB，且EF=AB=1，当E点的坐标是（0，4－2m）时，得F（-1，4-2m），当E点的坐标是（0，1-m）时，得F（-1，1-m），求出m的即可．
(1)
解：由抛物线过点A（1，0）、B（2，0），得
，
解这个方程组得，
所以，抛物线的表达式为y=-x²+3x-2．
(2)
解：①由题意得，A1（1-m，0），B1（2-m，0），C1（-m，-2），D（-m，0），
∴DC1=2，DA1=1，OB1=m-2．
∵∠C1DA1=∠B1OE=90°，
∴（i）当时，△B1OE∽△A1DC1，
∴OE=2m-4，
∴E点的坐标是（0，4-2m）；
（ii）当时，△B1OE∽△C1DA1，
∴OE=m-1，
∴E点的坐标是（0，1-m）．
②由y=-x²+3x-2，
得平移后得抛物线表达式是，
由平行四边形A1FEB1，得EF//AB，且EF=AB=1，
（i）当E点的坐标是（0，4－2m）时，得F（-1，4-2m），
所以，解方程得m=2(舍去)，m=5；
（ii）当E点的坐标是（0，1-m）时，得F（-1，1-m），
所以，解方程得m=2(舍去)，m=；
所以m的值是5，．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，相似三角形的性质，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
5．已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
(3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点是坐标是
【分析】（1）先根据直线求出点A和点B的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x=1，代入y=-x+4，可求出点C坐标，再运用勾股定理求解即可；
（3）设点的坐标为，证明四边形为正方形，得点坐标是，从而可得方程，求解方程即可得到答案．
（1）
直线与轴、轴相交于点、，
当y=0，则-x+4=0，解得，x=4，
当x=0，则y=4，
∴、.，
代入得，
，
解得，，，
∴抛物线的解析式为.
（2）
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
当x=1时，
∴，
∴.
（3）
如图，设点的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴点是坐标是，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点是坐标是
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，矩形的判定和正方形的判定等知识，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点A(-1，0) 、B(3，0) 、C(2，3)三点，且与y轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；
(2)分别联结AD、DC、CB，直线 y = 4x + m 与线段DC交于点E，当此直线将四边形 ABCD 的面积平分时，求m的值；
(3)设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、F、B、C为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，x=1
(2)m=-2.5
(3)点F的坐标为（1，3）或（1，-2）或（1，-6）
【分析】（1）根据题意设交点式y=a（x+1）（x-3），再代入C(2， 3)，求出解析式，根据直线x=-，即可求出对称轴；
（2）分别求出直线与线段CD和x轴的交点坐标E和G，再求出四边形ABCD的面积和四边形BCEG的面积，再根据题意求解即可；
（3）根据梯形的性质，分情况讨论：①CF∥AB；②BF∥AC；③AF∥BC，进行讨论求点坐标．
（1）
解：∵抛物线过点 A(-1，0) 、B(3，0)
∴设抛物线交点式y=a（x+1）（x-3）
将C(2， 3)代入得a（2+1）×（2-3）=3，解得a=-1
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，对称轴为x=-=1
（2）
解：当x=0时，y=3
∴点D为（0，3）
∵点C为(2，3)
∴CD∥x轴
∵直线 y = 4x + m 与线段 DC 交于点 E
∴E点的纵坐标为3
∴E点的坐标为（，3）
令直线 y = 4x + m 与x轴交于点G
∴G点的纵坐标为0
∴G点的坐标为（，0）
∵S四边形 ABCD=（CD+AB）×OD=（2+4）×3=9
S四边形 CEGB=（CE+GB）×OD=（2-+3+）×3=
又直线将四边形 ABCD 的面积平分
∴×2=9
解得m=-2.5
（3）
解：分情况讨论
①当CF∥AB时
F在线段CD上
∴点F的坐标为（1，3）
②当BF∥AC时
设直线AC的解析式为y=kx+b
则解得
∴直线AC的解析式为y=x+1
∵BF∥AC
∴设BF的解析式为y=x+a
将点B（3，0）代入3+a=0解得a=-3
∴BF的解析式为y=x-3
当x=1时，y=1-3=-2
∴点F的坐标为（1，-2）
③当AF∥BC时
设直线BC的解析式为y=kx+b
则解得
∴直线BC的解析式为y=-3x+9
∵AF∥BC
∴设AF的解析式为y=-3x+a
将点A（-1，0）代入3+a=0解得a=-3
∴AF的解析式为y=-3x-3
当x=1时，y=-3-3=-6
∴点F的坐标为（1，-6）
综上可知，点F的坐标为（1，3）或（1，-2）或（1，-6）
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，梯形的判定和性质，梯形的面积求解，一次函数的性质等知识，最后一问是分类讨论的思想，注意不重不漏.
7．已知：抛物线经过，,．
(1)求：抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为P，把翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作，折痕为EF，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)当点在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请你说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，或．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将C点坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（2）先求出点坐标，在中，根据勾股定理便可求出关于的函数关系式；
（3）分别令轴、轴、轴进行分类讨论，便可得出满足题意得P点坐标．
(1)
解：（1）设抛物线的解析式为，
把代入得，
∴，即；
(2)
解：由题意可得：顶点，，，
∴，
∴，
作于G，
则，，
又，，
在中，，
∴；
(3)
①若轴，则，，
，（舍去），
∴；
②若轴，则，，
，（舍去），
∴；
③若轴，显然不可能．
∴或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和勾股定理等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
8．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．
(1)如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m＝ 时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
(2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系
【答案】(1)①；②h＝−m2＋m；h最大值是；
(2)
【分析】（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，先证明△ABE≌△EGF，可得FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，则EG−EC＝BC−EC，即CG＝BE＝，再在Rt△CGF中，即可求CF＝；②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，由△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，可得C、D、E'共线，由△EAQ≌△E'AQ，可得∠E'＝∠AEQ，故∠AEB＝∠AEQ，从而∠QEP＝90°−∠AEQ＝90°−∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，有PH＝PC，用△ABE∽△ECP，可求CP＝m（1−m），即可得h＝−m2＋m，根据二次函数的性质可求得h的最大值；
（2）分两种情况：①当0≤m≤时，由△ABE∽△ECP，可求HG＝−m2＋m，根据MG∥CD，G为BC中点，可得MN＝DQ，设DQ＝x，则EQ＝x＋m，CQ＝1−x，Rt△EQC中，EC2＋CQ2＝EQ2，可得MN＝，故y＝NH＝MG−HG−MN＝1−m−＋m2，②当m＞时，由MG∥AB，可得HG＝，同①可得MN＝DQ＝，即可得y＝．
(1)
解：①过F作FG⊥BC于G，连接CF，如图：
∵四边形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°−∠AEB＝∠FEG，∠B＝∠G＝90°，
∵三角形AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，
在△ABE和△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，
∴EG−EC＝BC−EC，即CG＝BE＝，
在Rt△CGF中，CF＝；
②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，如图：
∵△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，
∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，
∴∠ADC＋∠ADE'＝180°，
∴C、D、E'共线，
∵∠BAE＋∠EAD＝90°，
∴∠DAE'＋∠EAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠E'AF＝45°，
在△EAQ和△E'AQ中，
，
∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），
∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，
∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ＋DE'＝DQ＋BE，
∴∠QEP＝90°−∠AEQ＝90°−∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，
又∠C＝90°，PH⊥EQ，
∴PH＝PC，
∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴，即，
∴CP＝m（1−m），
∴PH＝h＝−m2＋m＝ ，
∴m＝时，h最大值是；
(2)
解：①当0≤m≤时，如图：
∵∠BAE＝90°−∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，
∴△ABE∽△EGH，
∴，即，
∴HG＝−m2＋m，
∵MG∥CD，G为BC中点，
∴MN为△ADQ的中位线，
∴MN＝DQ，
由（1）知：EQ＝DQ＋BE，
设DQ＝x，则EQ＝x＋m，CQ＝1−x，
Rt△EQC中，EC2＋CQ2＝EQ2，
∴（1−m）2＋（1−x）2＝（x＋m）2，
解得x＝，
∴MN＝，
∴y＝NH＝MG−HG−MN
＝
＝，
②当m＞时，如图：
∵MG∥AB，
∴，即，
∴HG＝，
同①可得MN＝DQ＝，
∴HN＝MG−HG−MN
＝
＝，
∴y＝，
综上所述，
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、勾股定理的应用等知识，解题的关键构造辅助线及分类讨论．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标；
(3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（，）
(3)（2，-4）
【分析】（1）直接把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）如图2-1所示，当点F在直线AB下方时，可证得OA∥BF，即BF⊥x轴，这种情况不存在；如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E， 由∠OAC=∠CBF，得到EA=EB，设点E的坐标为（0，m），则，求出点E的坐标为（0，4），然后求出直线BE的解析式为，联立，即可求出点F的坐标为（，）；
（3）先求出点点C的坐标为（2，0），则OC=2，OA=1，，△AOC的周长，设点P的坐标为 ，根据PE∥x轴，得到∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为，然后求出直线AB的解析式为得到点E的坐标为 ，则；证明△PDE∽△AOC，得到，则，由此求解即可．
(1)
解：把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中得：
∴，
∴抛物线解析式为；
(2)
解：如图2-1所示，当点F在直线AB下方时，
∵∠OAC=∠CBF，
∴OA∥BF，即BF⊥x轴，
∴这种情况不存在；
如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E，
∵∠OAC=∠CBF，
∴EA=EB，
设点E的坐标为（0，m），
∴，
解得，
∴点E的坐标为（0，4），
设直线BE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线BE的解析式为，
联立，
解得或，
∴点F的坐标为（，）
(3)
解：∵B点坐标为（4，1），A点坐标为（0，-1），
∴AB的中点坐标为（2，0），
又∵直线AB与x轴的交点为C，
∴点C的坐标为（2，0），
∴OC=2，OA=1，
∴，
∴△AOC的周长，
设点P的坐标为 ，
∵PE∥x轴，
∴∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为，
设直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为
∴点E的坐标为 ，
∴，
∵PD⊥AB，
∴∠PDE=∠AOC=90°，
∴△PDE∽△AOC，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴P点的坐标为（2，-4）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，两点距离公式，一次函数与二次函数的交点问题，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
10．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式；
(3)若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．
【答案】(1)点A的坐标为（4，﹣1）．
(2)y＝x2﹣4x﹣1
(3)
【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；
（2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案；
（3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．
(1)
∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，
∴，
解得：；
∴点A的坐标为（4，﹣1）．
(2)
∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1），
∴16a+4b﹣1＝﹣1，
即b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣1，
∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1，
抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝a﹣4a+1，
解得：a＝1，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1．
(3)
如图，
∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，
∴P（2，﹣4a﹣1），
∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称，
∴P'（2，4a+1），
∵a'＜0，
∴a＞0，
∴P'P＝8a+2，
又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'，
∴，
解得：a＝，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1．
【点睛】本题考查了两直线交点问题，待定系数法求抛物线解析式，抛物线平移问题，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
11．已知：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点
(1)求抛物线的解析式的一般式；
(2)若抛物线第一象限上有一点P，满足，求P点坐标；
(3)直线与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)10
【分析】（1）把C点坐标代入中求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）分两种情况，当点P在直线的下方时，过点B作交CP的延长线于点E，过点E作轴于点M，由直角三角形的性质可求得，长，求出点E的坐标，可求出直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点P的坐标；当点P在直线的上方时，过点B作交CP于点F，同理求出点F的坐标和直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求得点P的坐标；
（3）求出直线恒过定点，连结，当时，点B到直线的距离最大时，求出此时k的值，可求出点E，F的坐标，则的面积可求出．
【解析】（1）把代入，
得，解得，
所以抛物线解析式为，即；
（2）当点P在直线的下方时，如图1，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴于点M，
∵，
∴时，或，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴ ，
解得： ，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，，
把代入得，
∴ ；
当点P在直线的上方时，过点B作交于点F，如图2，
同理求出，，
∴，
求出直线的解析式为，
∴ ，
解得：，
∴．
综合以上可得点P的坐标为或；
（3）∵直线，
∴，
∴，
∴直线恒过定点，如图3，连结，当时，点B到直线的距离最大时，
求出直线的解析式为，
∴，
∴直线的解析式为，
∴ ，
解得： ， ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式；能运用直角三角形的性质；理解坐标与图形性质，学会运用方程的思想和分类讨论的数学思想解决数学问题是关键．
12．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
(1)求m的值及这个二次函数的解析式；
(2)在x轴上找一点Q，使的周长最小，并求出此时Q点坐标；
(3)若 是x轴上的一个动点，过P作轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．设线段DE的长为，当时，求与之间的函数关系式．
【答案】(1)，二次函数的解析式为：；
(2)点Q的坐标为()；
(3)当时，与之间的函数关系式为．
【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数的解析式即可求出m的值，根据题意设出二次函数的顶点式，再将点A的坐标代入二次函数的解析式，即可得出二次函数的解析式；
（2）联立一次函数和二次函数的解析式求出点B的坐标，作点B关于x轴的对应点，连接，求出直线的解析式，再令 ，即可得出答案；
（3）根据P的坐标设出点D和点E的坐标，用点D的纵坐标减去点E的纵坐标即可得出DE的函数解析式，再化为顶点式，即可得出答案．
【解析】（1）解：∵过点
∴
解得：，
又∵二次函数的顶点M的坐标为
∴设二次函数的解析式为：
又二次函数过点
∴
解得：
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：根据题意可得：
解得：或
∴点B的坐标为
作点B关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即为所求，此时周长最小，
设直线的解析式为：
∴，解得
∴直线的解析式为：
当时，
故点Q的坐标为()；
（3）解：根据题意可得点D的坐标为，点E的坐标为，
当 时，，
∴当时，与之间的函数关系式为．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解一次函数与二次函数是解题的关键．
13．如图1，直线交轴于点，交轴于点，过、两点的抛物线与轴的另一交点为．
(1)请直接写出该抛物线的函数解析式；
(2)点是第二象限抛物线上一点，设点横坐标为．
①如图2，连接，，，求面积的最大值；
②如图3，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作轴交直线于．求线段的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)①4②
【分析】（1）根据题意用一次函数解析式求出与x轴y轴交点坐标，代入即可得到答案；
（2）①链接，利用对角线将四边形分成不同的两个三角形，利用底边在轴线上的三角形面积和差即可得到所求三角形面积表达式，配方成顶点式即可得到最值；
②过作轴于，交轴于，易证，从而可以根据线段关系得到E、F点坐标，得到的表达式再根据二次函数最值即可求解．
【解析】（1）解：由题意可得，
当时，
当时，，解得
∴
代入得，
；
（2）解：①连接，
令，则
解得，
在第二象限，
当时，的面积最大，为4
②过作轴于，交轴于，
易证
∴
∴
令，则
∴当时最大为3，点的坐标
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数共存问题及二次函数实际应用题，通过数形结合最终将最值问题转换成二次函数最值问题是解题的关键．
14．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ．直线 经过点 ，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点 的直线交直线 于点 ．
①当 时，过抛物线上一动点 （不与点 ， 重合），作直线 的平行线交直线 于点 ，若以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的横坐标；
②连接 ，当直线 与直线 的夹角等于 的倍时，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)①点的横坐标为或或；②点的坐标为 或
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）①求出点坐标，判断出和均为等腰直角三角形，求出，利用平行四边形的性质，得到，作轴交直线于，得到为等腰直角三角形，设，分点在直线上方和下方，两种情况进行讨论，利用含的式子表示为，进行求解即可；②作于，轴于，作的垂直平分线交于，交于，分别求出坐标，进而求出的解析式，与直线联立，即可得到的坐标，在直线上作点关于点的对称点，利用中点坐标公式，求出的坐标，即可得解．
【解析】（1）当时，，则，
当 时，，解得 ，则 ，
把 ， 代入
得 解得
抛物线解析式为 ．
（2）①解方程 得 ，，则，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，，
，，
作轴交直线于，如图，
则 ，
，
设，则，
当点在直线上方时，
，解得 ，，
当点在直线下方时，
，解得 ，，
综上所述点的横坐标为：或或；
②作于，轴于，作的垂直平分线交于，交于，
如图2，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设解析式为：
则：，解得：
∴，
∵为的中点，
∴
设直线的解析式为 ；
则： 解得；
∴，
又∵在直线上，
∴ ，解得：
∴；
在直线上作点关于点的对称点，则
，
设，
∵，
∴，
∴ ，
综上，点的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．利用待定系数法，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
15．如图， 拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，有最大值，最大值为8，此时D；
(3)P或．
【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可；
（2）设D，根据坐标的特点，可得出点M，N的坐标，再根据三角形的面积公式可表达的面积，根据二次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意，易证，由此得出和的长，再根据题意需要分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求解即可．
【解析】（1）解：将点，点代入抛物线，
∴，
∴．
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点，点，
∴直线的解析式为：；
设D，
∵轴，点M在直线上，点N在抛物线上，
∴，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时D；
（3）解：存在，如图，过点M作轴于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴．
根据题意，需要分两种情况讨论：
①时，如图，
此时，
解得或t=0（舍），
∴，
∴，
∵，
∴点P在y轴上，
∴，
∴P；
②当时，如图，此时与互相垂直平分，设与交于点F，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴P．
综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形，此时P或．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质、分类讨论的思想等知识，能力要求较高，难度较大，关键是掌握菱形的对称性和进行正确的分类讨论．
16．如图，直线交x轴于点B、y轴于点C，抛物线经过点B，点C，且过，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)动点P运动到什么位置时，的面积最大？若存在，请求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过点P作轴，垂足为点M，交于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出B、C的坐标，然后把抛物线解析式设为交点式，代入C点坐标求解即可；
（2）如图所示，过点P作轴交x轴于E，交于F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，求出，据此利用二次函数的性质求解即可；
（3）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则由勾股定理得，，，然后分三种情况：当时，当时，当时，建立方程进行求解即可．
【解析】（1）解：对于直线，令，则，令，则，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
设抛物线解析式为，代入点C坐标得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交x轴于E，交于F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∴点P的坐标为；
（3）解：设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，，，
当时，
∴，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为；
当时，
∴，
∴或（舍去），
∴点P的坐标为；
当时，
∴，
∴（舍去）；
综上所述，点P在运动过程中，存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，此时点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．
(1)求证：；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或．
【分析】（1）分别计算三点的坐标，再利用勾股定理求得的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（2）①先解出直线的解析式，设，得出，由，得出利用二次函数的配方法求最值；
②根据直角三角形斜边的中线性质，解得的长，再证明，再分两种情况讨论以点为顶点的三角形与相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【解析】（1）解：令，得，
，
令得，
，
，
，，
，
，
，
，
（2）①设直线的解析式为：，代入，得
，
，
，
设，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
即的最大值为9；
②点是的中点，
在中，，
即为等腰三角形，
，
，
，
，
，
若以点为顶点的三角形与相似，
则①，
，
又，
，
，
，，
，
，，
或，
经检验：不符合题意，舍去，
②，
又，
，
，
，
整理得，，
，，
或，
同理：不合题意，舍去，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题关键．
18．如图，、是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使， 画射线， 把绕点C逆时针旋转得，连接，抛物线（）过E两点．
(1)填空： ____________， 用 表示点的坐标：___________．
(2)当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点P，且与矩形的面积相等时，求m与n的关系式；
(3)若E与原点重合，抛物线与射线的另一个交点为M，过M作垂直轴，垂足为N：
①求满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形有公共点，线段的最大值为5，请你直接写出a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由与的坐标求出与的长，进一步表示出的长，再证为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得，即可确定出坐标；
（2）根据点坐标为，抛物线的顶点为，可得点关于对称轴的对称点坐标为，且点在抛物线上；根据
（3）①当点与原点重合时，把与坐标代入，整理即可得到、、的关系式；抛物线与线段交于点P，点横坐标为，且点在抛物线上，可得
和为同一点，由此得点坐标为，轴；过点作轴的垂线交于点
，，，与矩形的面积相等，可得；
②抛物线与四边形有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点，此时的最大值为5，求出此时的值；若抛物线过点，求出此时的值，即可确定出抛物线与四边形有公共点时的范围．
【解析】（1）解: 、，
，，即
，
，
为等腰直角三角形，
，
由旋转的性质得：，即
；
故答案是：，
（2）解：由题意可知、，
得：，
抛物线与线段交于点P
点横坐标为
点坐标为，抛物线的顶点为，
则点关于对称轴的对称点坐标为，且点在抛物线上
点横坐标为，且点在抛物线上，可得
和为同一点
点坐标为，轴
过点作轴的垂线交于点
，与矩形的面积相等
，即
得：
（3）解：①当点与点重合时，
抛物线过点
整理得：，即
②抛物线与四边形有公共点
抛物线过点，此时的最大值为5
整理得：，即抛物线解析式为
由点可得直线解析式为
联立抛物线与直线解析式得：
解得：，即
令，即
当时，
若抛物线过点，则
解得：
则抛物线与四边形有公共点时的取值范围为
【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，通过图形确定点的坐标，利用数形结合的思想是解题关键．
19．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标；
(3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值．
【答案】(1)
(2)点P的坐标是
(3)当与内切时，
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）先证明，根据相似三角形性质可得出：．利用待定系数法可得直线的解析式为．设点，，则，，建立方程求解即可得出答案；
（3）设的中点为点，则点 的坐标，过点作轴于点，则，，运用勾股定理可得，根据两圆内切建立方程求解即可得出答案．
（1）
解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点
∴
∴
∴；
（2）
解：∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴．即．
又∵，
∴，
设直线，又直线经过点，点，
∴∴，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴设点，
∵点N在直线上，
设点，
∴，
又，
∴．解之得（不合题意，舍去），
∴点P的坐标是；
（3）
解：设的中点为点Q，则点Q的坐标，
又点，
过点作轴于点，则，，
在中，
∴，
当与内切时，，
∴，
解之得：，
∴当与内切时，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两圆内切的性质等，本题综合性强，有一定难度，第（2）问运用相似三角形周长比等于相似比建立方程求解是解题关键，第（3）问根据圆与圆内切的性质建立方程求解是解题关键．
、
一、解答题
1．已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的表达式和点D的坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F．
①用m的代数式表示直线的截距；
②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．
4．已知抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向左平移m个单位（），平移后点A、B、C的对应点分别记作、、，过点作⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、为顶点的三角形与△相似，
①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形为平行四边形，求m的值．
5．已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
(3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点A(-1，0) 、B(3，0) 、C(2，3)三点，且与y轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；
(2)分别联结AD、DC、CB，直线 y = 4x + m 与线段DC交于点E，当此直线将四边形 ABCD 的面积平分时，求m的值；
(3)设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、F、B、C为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
7．已知：抛物线经过，,．
(1)求：抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为P，把翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作，折痕为EF，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)当点在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请你说明理由．
8．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．
(1)如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m＝ 时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
(2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标；
(3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标．
10．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式；
(3)若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．
11．已知：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点
(1)求抛物线的解析式的一般式；
(2)若抛物线第一象限上有一点P，满足，求P点坐标；
(3)直线与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求的面积．
12．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
(1)求m的值及这个二次函数的解析式；
(2)在x轴上找一点Q，使的周长最小，并求出此时Q点坐标；
(3)若 是x轴上的一个动点，过P作轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．设线段DE的长为，当时，求与之间的函数关系式．
13．如图1，直线交轴于点，交轴于点，过、两点的抛物线与轴的另一交点为．
(1)请直接写出该抛物线的函数解析式；
(2)点是第二象限抛物线上一点，设点横坐标为．
①如图2，连接，，，求面积的最大值；
②如图3，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作轴交直线于．求线段的最大值及此时点的坐标．
14．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ．直线 经过点 ，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点 的直线交直线 于点 ．
①当 时，过抛物线上一动点 （不与点 ， 重合），作直线 的平行线交直线 于点 ，若以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的横坐标；
②连接 ，当直线 与直线 的夹角等于 的倍时，请直接写出点 的坐标．
15．如图， 拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，直线交x轴于点B、y轴于点C，抛物线经过点B，点C，且过，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)动点P运动到什么位置时，的面积最大？若存在，请求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过点P作轴，垂足为点M，交于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．
(1)求证：；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
18．如图，、是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使， 画射线， 把绕点C逆时针旋转得，连接，抛物线（）过E两点．
(1)填空： ____________， 用 表示点的坐标：___________．
(2)当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点P，且与矩形的面积相等时，求m与n的关系式；
(3)若E与原点重合，抛物线与射线的另一个交点为M，过M作垂直轴，垂足为N：
①求满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形有公共点，线段的最大值为5，请你直接写出a的取值范围．
19．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标；
(3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值．
特训10 二次函数其他类型难点突破
与三角形、四边形结合问题、最值问题、动态几何问题
一、解答题
1．已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）．
【答案】(1)y＝﹣x2+3x；
(2)（0，4）；
(3)（2，1）或（2，﹣1）．
【分析】（1）将C（4，0）代入y＝ax2+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式，令x＝0求出y的值，进而得到点A的坐标；
（3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DMBCAO．分两种情况讨论：①当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；②当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形，再证明四边形BCMD是等腰梯形．
(1)
解：抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0），
∴16a+12＝0，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x；
(2)
解：∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点D的坐标为（2，3）．
∵点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，
∴B（4，2）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（4，2），D（2，3）代入，
得 ，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴点A的坐标为（0，4）；
(3)
解：在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形．理由如下：
设点M的坐标为（2，y）．由AOMD和BCMD都是四边形，得y＜3．
分两种情况：
①如图1所示，
∵DMBC，
∴当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形．
∵D（2，3），DM＝BC，
∴3﹣y＝2，解得y＝1，
∴当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形，
此时，∵OM＝ ，AD＝，
∴OM＝AD，
又∵AODM，AO≠DM，
∴四边形AOMD是等腰梯形；
②如图2所示，
∵DMAO，
∴当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形．
∵D（2，3），DM＝AO，
∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1，
∴当M的坐标为（2，﹣1）时，四边形AOMD是平行四边形，
此时，∵CM＝，BD＝，
∴CM＝BD，
又∵BCDM，BC≠DM，
∴四边形BCMD是等腰梯形．
综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，﹣1）．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由抛物线，得抛物线过点，设抛物线解析式，将代入上述解析式，求得a的值，整理化简即可．
（2）由（1）中条件求得抛物线顶点坐标及C点坐标，再算得，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，设，则，令，解得关于p的方程即可得到点P的坐标．
（3）由直线BC解析式为，设，其中，同理，设，其中，分两种情况分别讨论，求解即可．
(1)
解：∵抛物线，
∴抛物线过点．
∵抛物线与轴交于点和点，
∴设抛物线，
∵抛物线过点，
∴将点代入中，
得 ，解得，
故抛物线解析式为，
∴抛物线解析式为．
(2)
解：连接、，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，
∵抛物线解析式为，与轴交于点，顶点为，
∴，．
∵，，
∴直线BC为：，
∵交抛物线的对称轴于点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
∵，点P在射线DE上，
∴，
∵DP交x轴于点F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故P点坐标．
(3)
解：∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴设，其中，
又∵，点是对称轴右侧抛物线上的一点，
∴设，其中．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴分两种情况进行讨论：
①如图1，当，时，过点N作NK⊥DE于点K，过点M作ML⊥DE于点L，
∵，
∴，
∵ML⊥DE，
∴，
∵，
∴．
∵NK⊥DE，ML⊥DE，
∴，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，．
∵，，，
∴，
解得或，
∵，，
∴舍去，
∴M点坐标为．
②如图2，当，时，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴当，解得，
∵，
∴，即．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴M点坐标为．
综上，满足题意的M点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数相关的综合运用，充分运用数形结合思想是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的表达式和点D的坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F．
①用m的代数式表示直线的截距；
②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．
【答案】(1)，点D的坐标为
(2)①直线的截距是；②符合条件的直线应该是经过点E且垂直于x轴的直线，为直线和直线
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设点，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可得出答案；
②当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点，则，可得，再求得，根据题意可得：，解得，故符合条件的直线为；当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，利用待定系数法求得直线的解析式为，可得，进而可得，建立方程求解即可得出符合条件的直线为．
【解析】（1）解：抛物线与轴交于点、，
，
解得：，
抛物线的表达式为，
，
顶点的坐标为；
（2）解：①设点，直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
直线的截距为；
②抛物线顶点的坐标为，
抛物线对称轴为直线，
当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点，如图1，
则，
，
，
由①知：直线的截距为，即，
又，
，
，
由题意：，
，
解得：或，
，
，
根据同底等高的三角形面积相等可得：过点且平行轴的直线上任意一点及点、三点为顶点的三角形的面积都等于面积，
符合条件的直线为；
当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，如图2，
、，
直线的解析式为，
，
．
，
，
，
解得：（舍去）或，
符合条件的直线为，
综上所述，符合条件的直线为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点式、顶点坐标、对称轴，直线的截距，三角形面积等，运用等底等高的三角形面积相等解决问题是解题关键．
4．已知抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向左平移m个单位（），平移后点A、B、C的对应点分别记作、、，过点作⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、为顶点的三角形与△相似，
①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形为平行四边形，求m的值．
【答案】(1)y=-x²+3x-2
(2)①点E的坐标是（0，4-2m）；（0，1-m）；②m的值是5，
【分析】（1）因为抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），所以用待定系数法求出a、b的值即可；
（2）根据题意A1（1-m，0），B1（2-m，0），C1（-m，-2），D（-m，0），证明△B1OE∽△C1DA1，求出OE的长度，可得E点坐标；由y=-x²+3x-2，得平移后得抛物线表达式是，由平行四边形A1FEB1，得EF//AB，且EF=AB=1，当E点的坐标是（0，4－2m）时，得F（-1，4-2m），当E点的坐标是（0，1-m）时，得F（-1，1-m），求出m的即可．
(1)
解：由抛物线过点A（1，0）、B（2，0），得
，
解这个方程组得，
所以，抛物线的表达式为y=-x²+3x-2．
(2)
解：①由题意得，A1（1-m，0），B1（2-m，0），C1（-m，-2），D（-m，0），
∴DC1=2，DA1=1，OB1=m-2．
∵∠C1DA1=∠B1OE=90°，
∴（i）当时，△B1OE∽△A1DC1，
∴OE=2m-4，
∴E点的坐标是（0，4-2m）；
（ii）当时，△B1OE∽△C1DA1，
∴OE=m-1，
∴E点的坐标是（0，1-m）．
②由y=-x²+3x-2，
得平移后得抛物线表达式是，
由平行四边形A1FEB1，得EF//AB，且EF=AB=1，
（i）当E点的坐标是（0，4－2m）时，得F（-1，4-2m），
所以，解方程得m=2(舍去)，m=5；
（ii）当E点的坐标是（0，1-m）时，得F（-1，1-m），
所以，解方程得m=2(舍去)，m=；
所以m的值是5，．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，相似三角形的性质，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
5．已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
(3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点是坐标是
【分析】（1）先根据直线求出点A和点B的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x=1，代入y=-x+4，可求出点C坐标，再运用勾股定理求解即可；
（3）设点的坐标为，证明四边形为正方形，得点坐标是，从而可得方程，求解方程即可得到答案．
（1）
直线与轴、轴相交于点、，
当y=0，则-x+4=0，解得，x=4，
当x=0，则y=4，
∴、.，
代入得，
，
解得，，，
∴抛物线的解析式为.
（2）
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
当x=1时，
∴，
∴.
（3）
如图，设点的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴点是坐标是，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点是坐标是
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，矩形的判定和正方形的判定等知识，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点A(-1，0) 、B(3，0) 、C(2，3)三点，且与y轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；
(2)分别联结AD、DC、CB，直线 y = 4x + m 与线段DC交于点E，当此直线将四边形 ABCD 的面积平分时，求m的值；
(3)设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、F、B、C为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，x=1
(2)m=-2.5
(3)点F的坐标为（1，3）或（1，-2）或（1，-6）
【分析】（1）根据题意设交点式y=a（x+1）（x-3），再代入C(2， 3)，求出解析式，根据直线x=-，即可求出对称轴；
（2）分别求出直线与线段CD和x轴的交点坐标E和G，再求出四边形ABCD的面积和四边形BCEG的面积，再根据题意求解即可；
（3）根据梯形的性质，分情况讨论：①CF∥AB；②BF∥AC；③AF∥BC，进行讨论求点坐标．
（1）
解：∵抛物线过点 A(-1，0) 、B(3，0)
∴设抛物线交点式y=a（x+1）（x-3）
将C(2， 3)代入得a（2+1）×（2-3）=3，解得a=-1
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，对称轴为x=-=1
（2）
解：当x=0时，y=3
∴点D为（0，3）
∵点C为(2，3)
∴CD∥x轴
∵直线 y = 4x + m 与线段 DC 交于点 E
∴E点的纵坐标为3
∴E点的坐标为（，3）
令直线 y = 4x + m 与x轴交于点G
∴G点的纵坐标为0
∴G点的坐标为（，0）
∵S四边形 ABCD=（CD+AB）×OD=（2+4）×3=9
S四边形 CEGB=（CE+GB）×OD=（2-+3+）×3=
又直线将四边形 ABCD 的面积平分
∴×2=9
解得m=-2.5
（3）
解：分情况讨论
①当CF∥AB时
F在线段CD上
∴点F的坐标为（1，3）
②当BF∥AC时
设直线AC的解析式为y=kx+b
则解得
∴直线AC的解析式为y=x+1
∵BF∥AC
∴设BF的解析式为y=x+a
将点B（3，0）代入3+a=0解得a=-3
∴BF的解析式为y=x-3
当x=1时，y=1-3=-2
∴点F的坐标为（1，-2）
③当AF∥BC时
设直线BC的解析式为y=kx+b
则解得
∴直线BC的解析式为y=-3x+9
∵AF∥BC
∴设AF的解析式为y=-3x+a
将点A（-1，0）代入3+a=0解得a=-3
∴AF的解析式为y=-3x-3
当x=1时，y=-3-3=-6
∴点F的坐标为（1，-6）
综上可知，点F的坐标为（1，3）或（1，-2）或（1，-6）
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，梯形的判定和性质，梯形的面积求解，一次函数的性质等知识，最后一问是分类讨论的思想，注意不重不漏.
7．已知：抛物线经过，,．
(1)求：抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为P，把翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作，折痕为EF，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)当点在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请你说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，或．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将C点坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（2）先求出点坐标，在中，根据勾股定理便可求出关于的函数关系式；
（3）分别令轴、轴、轴进行分类讨论，便可得出满足题意得P点坐标．
(1)
解：（1）设抛物线的解析式为，
把代入得，
∴，即；
(2)
解：由题意可得：顶点，，，
∴，
∴，
作于G，
则，，
又，，
在中，，
∴；
(3)
①若轴，则，，
，（舍去），
∴；
②若轴，则，，
，（舍去），
∴；
③若轴，显然不可能．
∴或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和勾股定理等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
8．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．
(1)如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m＝ 时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
(2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系
【答案】(1)①；②h＝−m2＋m；h最大值是；
(2)
【分析】（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，先证明△ABE≌△EGF，可得FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，则EG−EC＝BC−EC，即CG＝BE＝，再在Rt△CGF中，即可求CF＝；②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，由△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，可得C、D、E'共线，由△EAQ≌△E'AQ，可得∠E'＝∠AEQ，故∠AEB＝∠AEQ，从而∠QEP＝90°−∠AEQ＝90°−∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，有PH＝PC，用△ABE∽△ECP，可求CP＝m（1−m），即可得h＝−m2＋m，根据二次函数的性质可求得h的最大值；
（2）分两种情况：①当0≤m≤时，由△ABE∽△ECP，可求HG＝−m2＋m，根据MG∥CD，G为BC中点，可得MN＝DQ，设DQ＝x，则EQ＝x＋m，CQ＝1−x，Rt△EQC中，EC2＋CQ2＝EQ2，可得MN＝，故y＝NH＝MG−HG−MN＝1−m−＋m2，②当m＞时，由MG∥AB，可得HG＝，同①可得MN＝DQ＝，即可得y＝．
(1)
解：①过F作FG⊥BC于G，连接CF，如图：
∵四边形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°−∠AEB＝∠FEG，∠B＝∠G＝90°，
∵三角形AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，
在△ABE和△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，
∴EG−EC＝BC−EC，即CG＝BE＝，
在Rt△CGF中，CF＝；
②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，如图：
∵△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，
∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，
∴∠ADC＋∠ADE'＝180°，
∴C、D、E'共线，
∵∠BAE＋∠EAD＝90°，
∴∠DAE'＋∠EAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠E'AF＝45°，
在△EAQ和△E'AQ中，
，
∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），
∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，
∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ＋DE'＝DQ＋BE，
∴∠QEP＝90°−∠AEQ＝90°−∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，
又∠C＝90°，PH⊥EQ，
∴PH＝PC，
∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴，即，
∴CP＝m（1−m），
∴PH＝h＝−m2＋m＝ ，
∴m＝时，h最大值是；
(2)
解：①当0≤m≤时，如图：
∵∠BAE＝90°−∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，
∴△ABE∽△EGH，
∴，即，
∴HG＝−m2＋m，
∵MG∥CD，G为BC中点，
∴MN为△ADQ的中位线，
∴MN＝DQ，
由（1）知：EQ＝DQ＋BE，
设DQ＝x，则EQ＝x＋m，CQ＝1−x，
Rt△EQC中，EC2＋CQ2＝EQ2，
∴（1−m）2＋（1−x）2＝（x＋m）2，
解得x＝，
∴MN＝，
∴y＝NH＝MG−HG−MN
＝
＝，
②当m＞时，如图：
∵MG∥AB，
∴，即，
∴HG＝，
同①可得MN＝DQ＝，
∴HN＝MG−HG−MN
＝
＝，
∴y＝，
综上所述，
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、勾股定理的应用等知识，解题的关键构造辅助线及分类讨论．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标；
(3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（，）
(3)（2，-4）
【分析】（1）直接把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）如图2-1所示，当点F在直线AB下方时，可证得OA∥BF，即BF⊥x轴，这种情况不存在；如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E， 由∠OAC=∠CBF，得到EA=EB，设点E的坐标为（0，m），则，求出点E的坐标为（0，4），然后求出直线BE的解析式为，联立，即可求出点F的坐标为（，）；
（3）先求出点点C的坐标为（2，0），则OC=2，OA=1，，△AOC的周长，设点P的坐标为 ，根据PE∥x轴，得到∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为，然后求出直线AB的解析式为得到点E的坐标为 ，则；证明△PDE∽△AOC，得到，则，由此求解即可．
(1)
解：把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中得：
∴，
∴抛物线解析式为；
(2)
解：如图2-1所示，当点F在直线AB下方时，
∵∠OAC=∠CBF，
∴OA∥BF，即BF⊥x轴，
∴这种情况不存在；
如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E，
∵∠OAC=∠CBF，
∴EA=EB，
设点E的坐标为（0，m），
∴，
解得，
∴点E的坐标为（0，4），
设直线BE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线BE的解析式为，
联立，
解得或，
∴点F的坐标为（，）
(3)
解：∵B点坐标为（4，1），A点坐标为（0，-1），
∴AB的中点坐标为（2，0），
又∵直线AB与x轴的交点为C，
∴点C的坐标为（2，0），
∴OC=2，OA=1，
∴，
∴△AOC的周长，
设点P的坐标为 ，
∵PE∥x轴，
∴∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为，
设直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为
∴点E的坐标为 ，
∴，
∵PD⊥AB，
∴∠PDE=∠AOC=90°，
∴△PDE∽△AOC，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴P点的坐标为（2，-4）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，两点距离公式，一次函数与二次函数的交点问题，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
10．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式；
(3)若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．
【答案】(1)点A的坐标为（4，﹣1）．
(2)y＝x2﹣4x﹣1
(3)
【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；
（2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案；
（3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．
(1)
∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，
∴，
解得：；
∴点A的坐标为（4，﹣1）．
(2)
∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1），
∴16a+4b﹣1＝﹣1，
即b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣1，
∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1，
抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝a﹣4a+1，
解得：a＝1，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1．
(3)
如图，
∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，
∴P（2，﹣4a﹣1），
∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称，
∴P'（2，4a+1），
∵a'＜0，
∴a＞0，
∴P'P＝8a+2，
又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'，
∴，
解得：a＝，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1．
【点睛】本题考查了两直线交点问题，待定系数法求抛物线解析式，抛物线平移问题，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
11．已知：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点
(1)求抛物线的解析式的一般式；
(2)若抛物线第一象限上有一点P，满足，求P点坐标；
(3)直线与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)10
【分析】（1）把C点坐标代入中求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）分两种情况，当点P在直线的下方时，过点B作交CP的延长线于点E，过点E作轴于点M，由直角三角形的性质可求得，长，求出点E的坐标，可求出直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点P的坐标；当点P在直线的上方时，过点B作交CP于点F，同理求出点F的坐标和直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求得点P的坐标；
（3）求出直线恒过定点，连结，当时，点B到直线的距离最大时，求出此时k的值，可求出点E，F的坐标，则的面积可求出．
【解析】（1）把代入，
得，解得，
所以抛物线解析式为，即；
（2）当点P在直线的下方时，如图1，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴于点M，
∵，
∴时，或，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴ ，
解得： ，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，，
把代入得，
∴ ；
当点P在直线的上方时，过点B作交于点F，如图2，
同理求出，，
∴，
求出直线的解析式为，
∴ ，
解得：，
∴．
综合以上可得点P的坐标为或；
（3）∵直线，
∴，
∴，
∴直线恒过定点，如图3，连结，当时，点B到直线的距离最大时，
求出直线的解析式为，
∴，
∴直线的解析式为，
∴ ，
解得： ， ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式；能运用直角三角形的性质；理解坐标与图形性质，学会运用方程的思想和分类讨论的数学思想解决数学问题是关键．
12．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
(1)求m的值及这个二次函数的解析式；
(2)在x轴上找一点Q，使的周长最小，并求出此时Q点坐标；
(3)若 是x轴上的一个动点，过P作轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．设线段DE的长为，当时，求与之间的函数关系式．
【答案】(1)，二次函数的解析式为：；
(2)点Q的坐标为()；
(3)当时，与之间的函数关系式为．
【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数的解析式即可求出m的值，根据题意设出二次函数的顶点式，再将点A的坐标代入二次函数的解析式，即可得出二次函数的解析式；
（2）联立一次函数和二次函数的解析式求出点B的坐标，作点B关于x轴的对应点，连接，求出直线的解析式，再令 ，即可得出答案；
（3）根据P的坐标设出点D和点E的坐标，用点D的纵坐标减去点E的纵坐标即可得出DE的函数解析式，再化为顶点式，即可得出答案．
【解析】（1）解：∵过点
∴
解得：，
又∵二次函数的顶点M的坐标为
∴设二次函数的解析式为：
又二次函数过点
∴
解得：
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：根据题意可得：
解得：或
∴点B的坐标为
作点B关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即为所求，此时周长最小，
设直线的解析式为：
∴，解得
∴直线的解析式为：
当时，
故点Q的坐标为()；
（3）解：根据题意可得点D的坐标为，点E的坐标为，
当 时，，
∴当时，与之间的函数关系式为．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解一次函数与二次函数是解题的关键．
13．如图1，直线交轴于点，交轴于点，过、两点的抛物线与轴的另一交点为．
(1)请直接写出该抛物线的函数解析式；
(2)点是第二象限抛物线上一点，设点横坐标为．
①如图2，连接，，，求面积的最大值；
②如图3，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作轴交直线于．求线段的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)①4②
【分析】（1）根据题意用一次函数解析式求出与x轴y轴交点坐标，代入即可得到答案；
（2）①链接，利用对角线将四边形分成不同的两个三角形，利用底边在轴线上的三角形面积和差即可得到所求三角形面积表达式，配方成顶点式即可得到最值；
②过作轴于，交轴于，易证，从而可以根据线段关系得到E、F点坐标，得到的表达式再根据二次函数最值即可求解．
【解析】（1）解：由题意可得，
当时，
当时，，解得
∴
代入得，
；
（2）解：①连接，
令，则
解得，
在第二象限，
当时，的面积最大，为4
②过作轴于，交轴于，
易证
∴
∴
令，则
∴当时最大为3，点的坐标
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数共存问题及二次函数实际应用题，通过数形结合最终将最值问题转换成二次函数最值问题是解题的关键．
14．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ．直线 经过点 ，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点 的直线交直线 于点 ．
①当 时，过抛物线上一动点 （不与点 ， 重合），作直线 的平行线交直线 于点 ，若以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的横坐标；
②连接 ，当直线 与直线 的夹角等于 的倍时，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)①点的横坐标为或或；②点的坐标为 或
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）①求出点坐标，判断出和均为等腰直角三角形，求出，利用平行四边形的性质，得到，作轴交直线于，得到为等腰直角三角形，设，分点在直线上方和下方，两种情况进行讨论，利用含的式子表示为，进行求解即可；②作于，轴于，作的垂直平分线交于，交于，分别求出坐标，进而求出的解析式，与直线联立，即可得到的坐标，在直线上作点关于点的对称点，利用中点坐标公式，求出的坐标，即可得解．
【解析】（1）当时，，则，
当 时，，解得 ，则 ，
把 ， 代入
得 解得
抛物线解析式为 ．
（2）①解方程 得 ，，则，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，，
，，
作轴交直线于，如图，
则 ，
，
设，则，
当点在直线上方时，
，解得 ，，
当点在直线下方时，
，解得 ，，
综上所述点的横坐标为：或或；
②作于，轴于，作的垂直平分线交于，交于，
如图2，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设解析式为：
则：，解得：
∴，
∵为的中点，
∴
设直线的解析式为 ；
则： 解得；
∴，
又∵在直线上，
∴ ，解得：
∴；
在直线上作点关于点的对称点，则
，
设，
∵，
∴，
∴ ，
综上，点的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．利用待定系数法，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
15．如图， 拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，有最大值，最大值为8，此时D；
(3)P或．
【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可；
（2）设D，根据坐标的特点，可得出点M，N的坐标，再根据三角形的面积公式可表达的面积，根据二次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意，易证，由此得出和的长，再根据题意需要分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求解即可．
【解析】（1）解：将点，点代入抛物线，
∴，
∴．
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点，点，
∴直线的解析式为：；
设D，
∵轴，点M在直线上，点N在抛物线上，
∴，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时D；
（3）解：存在，如图，过点M作轴于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴．
根据题意，需要分两种情况讨论：
①时，如图，
此时，
解得或t=0（舍），
∴，
∴，
∵，
∴点P在y轴上，
∴，
∴P；
②当时，如图，此时与互相垂直平分，设与交于点F，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴P．
综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形，此时P或．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质、分类讨论的思想等知识，能力要求较高，难度较大，关键是掌握菱形的对称性和进行正确的分类讨论．
16．如图，直线交x轴于点B、y轴于点C，抛物线经过点B，点C，且过，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)动点P运动到什么位置时，的面积最大？若存在，请求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过点P作轴，垂足为点M，交于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出B、C的坐标，然后把抛物线解析式设为交点式，代入C点坐标求解即可；
（2）如图所示，过点P作轴交x轴于E，交于F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，求出，据此利用二次函数的性质求解即可；
（3）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则由勾股定理得，，，然后分三种情况：当时，当时，当时，建立方程进行求解即可．
【解析】（1）解：对于直线，令，则，令，则，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
设抛物线解析式为，代入点C坐标得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交x轴于E，交于F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∴点P的坐标为；
（3）解：设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，，，
当时，
∴，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为；
当时，
∴，
∴或（舍去），
∴点P的坐标为；
当时，
∴，
∴（舍去）；
综上所述，点P在运动过程中，存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，此时点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．
(1)求证：；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或．
【分析】（1）分别计算三点的坐标，再利用勾股定理求得的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（2）①先解出直线的解析式，设，得出，由，得出利用二次函数的配方法求最值；
②根据直角三角形斜边的中线性质，解得的长，再证明，再分两种情况讨论以点为顶点的三角形与相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【解析】（1）解：令，得，
，
令得，
，
，
，，
，
，
，
，
（2）①设直线的解析式为：，代入，得
，
，
，
设，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
即的最大值为9；
②点是的中点，
在中，，
即为等腰三角形，
，
，
，
，
，
若以点为顶点的三角形与相似，
则①，
，
又，
，
，
，，
，
，，
或，
经检验：不符合题意，舍去，
②，
又，
，
，
，
整理得，，
，，
或，
同理：不合题意，舍去，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题关键．
18．如图，、是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使， 画射线， 把绕点C逆时针旋转得，连接，抛物线（）过E两点．
(1)填空： ____________， 用 表示点的坐标：___________．
(2)当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点P，且与矩形的面积相等时，求m与n的关系式；
(3)若E与原点重合，抛物线与射线的另一个交点为M，过M作垂直轴，垂足为N：
①求满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形有公共点，线段的最大值为5，请你直接写出a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由与的坐标求出与的长，进一步表示出的长，再证为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得，即可确定出坐标；
（2）根据点坐标为，抛物线的顶点为，可得点关于对称轴的对称点坐标为，且点在抛物线上；根据
（3）①当点与原点重合时，把与坐标代入，整理即可得到、、的关系式；抛物线与线段交于点P，点横坐标为，且点在抛物线上，可得
和为同一点，由此得点坐标为，轴；过点作轴的垂线交于点
，，，与矩形的面积相等，可得；
②抛物线与四边形有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点，此时的最大值为5，求出此时的值；若抛物线过点，求出此时的值，即可确定出抛物线与四边形有公共点时的范围．
【解析】（1）解: 、，
，，即
，
，
为等腰直角三角形，
，
由旋转的性质得：，即
；
故答案是：，
（2）解：由题意可知、，
得：，
抛物线与线段交于点P
点横坐标为
点坐标为，抛物线的顶点为，
则点关于对称轴的对称点坐标为，且点在抛物线上
点横坐标为，且点在抛物线上，可得
和为同一点
点坐标为，轴
过点作轴的垂线交于点
，与矩形的面积相等
，即
得：
（3）解：①当点与点重合时，
抛物线过点
整理得：，即
②抛物线与四边形有公共点
抛物线过点，此时的最大值为5
整理得：，即抛物线解析式为
由点可得直线解析式为
联立抛物线与直线解析式得：
解得：，即
令，即
当时，
若抛物线过点，则
解得：
则抛物线与四边形有公共点时的取值范围为
【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，通过图形确定点的坐标，利用数形结合的思想是解题关键．
19．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标；
(3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值．
【答案】(1)
(2)点P的坐标是
(3)当与内切时，
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）先证明，根据相似三角形性质可得出：．利用待定系数法可得直线的解析式为．设点，，则，，建立方程求解即可得出答案；
（3）设的中点为点，则点 的坐标，过点作轴于点，则，，运用勾股定理可得，根据两圆内切建立方程求解即可得出答案．
（1）
解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点
∴
∴
∴；
（2）
解：∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴．即．
又∵，
∴，
设直线，又直线经过点，点，
∴∴，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴设点，
∵点N在直线上，
设点，
∴，
又，
∴．解之得（不合题意，舍去），
∴点P的坐标是；
（3）
解：设的中点为点Q，则点Q的坐标，
又点，
过点作轴于点，则，，
在中，
∴，
当与内切时，，
∴，
解之得：，
∴当与内切时，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两圆内切的性质等，本题综合性强，有一定难度，第（2）问运用相似三角形周长比等于相似比建立方程求解是解题关键，第（3）问根据圆与圆内切的性质建立方程求解是解题关键．
、
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