沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训08相似三角形在二次函数中的应用(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训08相似三角形在二次函数中的应用(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系中（如图），抛物线的顶点是，且经过点，过点B作轴，交抛物线的对称轴于点C．
(1)求抛物线的表达式和点C的坐标；
(2)连接，如果点D是该抛物线上一点，且位于第一象限，当时，求点D的坐标．
2．已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标；
(2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标；
(3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标．
3．已知：在直角坐标系中，直线与x轴交与点A，与y轴交与点B，抛物线的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C．
(1)若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式；
(2)若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且，求比值；
(3)在第（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称轴于点P，使得，求点P的坐标．
4．如图，抛物线过点B（3，0），C（0，-3），D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)连接BC，CD，DB，求的正切值；
(3)点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，直线与对称轴交于点，在（2）的条件下，点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点使和相似，若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝12．
(1)求抛物线的解析式以及点D的坐标．
(2)联结BD，F为抛物线上一点，当∠FAB＝∠ACO时，求点F的坐标．
(3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长．
6．已知抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向左平移m个单位（），平移后点A、B、C的对应点分别记作、、，过点作⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、为顶点的三角形与△相似，
①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形为平行四边形，求m的值．
7．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-2，0）．与点C（0，4）．与x轴的正半轴交于点B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如果D是抛物线上一点，AD与线段BC相交于点E，且AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，求的值；
(3)如果P是x轴上一点，∠PCB=∠ACO，求∠PCO的正切值．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
9．如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
10．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为，是抛物线上一点（点与点、、都不重合）．
(1)求抛物线解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得，试确定点的横坐标．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQCH，交对称轴l于点Q，且，求直线PQ的表达式．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，抛物线经过点和点，且其顶点为，点为抛物线与轴的另一个交点
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的正切值；
(3)点在抛物线上，若，求点的坐标．
(4)连接，延长交轴于点，点是直线上的动点，如果与是相似三角形，求点的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标；
(3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，，且与y轴交于点A．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q，如果，求证：；
(3)若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点恰好在上述抛物线上，求直线的解析式．
15．在平面直角坐标系中，点、两点在直线上，如图．二次函数的图像也经过点、两点，并与轴相交于点，如果轴，点的横坐标是．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设这个二次函数图像的对称轴与交于点，点在轴的负半轴上，如果以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为，求点的坐标；
(3)设这个二次函数图像的顶点是，求的值．
16．如图，抛物线与x轴相交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
(1)求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
(2)当以B，E，D为顶点的三角形与相似时，求点C的坐标；
(3)当时，求与的面积之比．
17．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求ABC的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点与轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与轴交于点E．
(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标
(2)如果，求抛物线的表达式；
(3)在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标
19．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
特训08 相似三角形在二次函数中的应用
一、解答题
1．在平面直角坐标系中（如图），抛物线的顶点是，且经过点，过点B作轴，交抛物线的对称轴于点C．
(1)求抛物线的表达式和点C的坐标；
(2)连接，如果点D是该抛物线上一点，且位于第一象限，当时，求点D的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为，
(2)
【分析】（1）根据抛物线的顶点是，可设抛物线的表达式为，将点的坐标代入表达式，即可得出结论；
（2）设过点D作，垂足为点H，所以，，根据题意可证明，所以，即，解之即可．
【解析】（1）解：由抛物线的顶点是，
可设抛物线的表达式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为，
∵轴，交抛物线的对称轴于点C，
∴；
（2）解：∵抛物线的一般式
∴设
如图，连接BA，过点D作，垂足为点H，连接，
∴，
在与中，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍），
即点D的横坐标为，代入，解得，
∴D
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程等相关知识，得出二次函数的解析式是解题关键．
2．已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标；
(2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标；
(3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可得到顶点D的坐标；
（2）先求出点C的坐标进而得到，如图所示，取中点E，作直线OE，则是线段的垂直平分线，，即可推出点P即为直线与抛物线的交点，据此求解即可；
（3）如图所示，连接，先利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，证明，求出，则，
同理可求出直线的解析式为，设点E的坐标为，则，据此求解即可．
【解析】（1）解：由题意得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴顶点D的坐标为
（2）解：令，则，
∴，
∴，
如图所示，取中点E，作直线OE，
∴是线段的垂直平分线，，
∵，
∴点P即为直线与抛物线的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
∴点P的坐标为或
（3）解：如图所示，连接，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理可求出直线的解析式为，
设点E的坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴点E的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
3．已知：在直角坐标系中，直线与x轴交与点A，与y轴交与点B，抛物线的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C．
(1)若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式；
(2)若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且，求比值；
(3)在第（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称轴于点P，使得，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)P．
【分析】（1）利用直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求得点A、B坐标，顶点D在直线上，由抛物线顶点式得出，进一步代入B点求得答案即可；
（2）由题意表示出点D和点C坐标，进一步利用等腰直角三角形的性质求得答案即可；
（3）由（2）的图形延长交对称轴于点F，求得直线的解析式，进一步证得，利用相似的性质求得，进一步确定点P的坐标即可．
【解析】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A，点B，
∵顶点D在直线上，
∴，
∵点C（非顶点）与点B重合，
把点B代入得
，
解得：或（不合题意舍去），
∴；
（2）解：如图，
由题意可知：
点，
∵在中，，
∴为等腰直角三角形，
作，则，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：延长交对称轴于点F，
设直线的解析式为：，
把A代入得，
∴
∴直线的解析式为：，
则F，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵点，
∴P．
【点睛】此题考查二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似的判定与性质，画出图形，利用数形结合的思想解决问题．
4．如图，抛物线过点B（3，0），C（0，-3），D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)连接BC，CD，DB，求的正切值；
(3)点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，直线与对称轴交于点，在（2）的条件下，点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点使和相似，若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，D（1，-4）
(2)
(3)存在，（1，0）或（1，）
【分析】（1）将点B、的坐标代入，即可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）求得BC，CD，DB的长，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）根据二次函数的对称性得，可得直线为，则，由（2）可知是直角三角形，，若和相似，可分和两种情况进行分析，借助相似三角形的性质求解即可．
（1）
解：将点B、的坐标代入抛物线表达式，
可得，解得，
故抛物线的解析式为；
∵，
∴；
（2）
解：如下图，连接BC，CD，DB，

∵，
∴，，
，，
，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）
解：∵点关于抛物线对称轴的对称点为点，的对称轴为，
∴，
又∵，可设直线BE的解析式为，将点B、E的坐标代入，
得，
解得，
∴直线为，当时，，
∴，
由（2）知是直角三角形，，
若和相似，可分两种情况进行解析：
①时，点在轴上，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴和，
∴；
②时，

∵，
∴，
∵和，
∴，
∴，
解得，
∴点的纵坐标为，
∴．
综上所述，存在，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、勾股定理及逆定理的应用、求正切值、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质，用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键．
5．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝12．
(1)求抛物线的解析式以及点D的坐标．
(2)联结BD，F为抛物线上一点，当∠FAB＝∠ACO时，求点F的坐标．
(3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长．
【答案】(1)y＝x2﹣5x﹣12，点D的坐标为（5，﹣）
(2)点F的坐标为（，）或（，﹣）
(3)菱形对角线MN的长为或
【分析】（1）先求得B、C的坐标，然后运用待定系数法可求得函数解析式，进而求得顶点D的坐标；
（2）过F作FG⊥x轴于点G，设出F点坐标，再证△FAG∽△ACO，然后由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，进而求得F点的坐标；
（3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长．
（1）
解：∵OB＝OC＝12，
∴B（12，0），C（0，﹣12），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x﹣12，
∵y＝x2﹣5x﹣12＝（x﹣5）2﹣，
∴点D的坐标为（5，﹣）．
（2）
解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x，x2﹣5x﹣12），则FG＝|x2﹣5x﹣12|，
在y＝x2﹣5x﹣12中，令y＝0可得x2﹣5x﹣12＝0，解得x＝﹣2或x＝12，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，则AG＝x+2，
∵C（0，﹣12），
∴OC＝12，
当∠FAB＝∠ACO时，
∵∠FGA＝∠AOC＝90°，
∴△FAG∽△ACO，
∴，即，
∴＝＝，
当点F在x轴上方时，则有＝，解得x＝﹣2（舍去）或x＝，此进F点坐标为（，）；
当点F在x轴下方时，则有＝﹣，解得x＝﹣2（舍去）或x＝，此进F点坐标为（，﹣）；
综上可知，点F的坐标为（，）或（，﹣）．
（3）
解：∵点P在x轴上，
∴由菱形的对称性可知P（5，0），
如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，
∵PQ＝MN，
∴MT＝PT，
设PT＝n，则MT＝n，
∴M（5+n，n），
∵M在抛物线上，
∴n＝（5+n）2﹣5（5+n）﹣12，解得n＝或n＝（舍去），
∴MN＝2MT＝3n＝；
当MN在x轴下方时，同理可设PT＝n，则M（5+n，﹣n），
∴﹣n＝（5+n）2﹣5（5+n）﹣12，解得n＝或n＝（舍去），
∴MN＝2MT＝3n＝；
综上可知，菱形对角线MN的长为或．
【点睛】本题属于二次函数的综合，主要考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键．
6．已知抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向左平移m个单位（），平移后点A、B、C的对应点分别记作、、，过点作⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、为顶点的三角形与△相似，
①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形为平行四边形，求m的值．
【答案】(1)y=-x²+3x-2
(2)①点E的坐标是（0，4-2m）；（0，1-m）；②m的值是5，
【分析】（1）因为抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），所以用待定系数法求出a、b的值即可；
（2）根据题意A1（1-m，0），B1（2-m，0），C1（-m，-2），D（-m，0），证明△B1OE∽△C1DA1，求出OE的长度，可得E点坐标；由y=-x²+3x-2，得平移后得抛物线表达式是，由平行四边形A1FEB1，得EF//AB，且EF=AB=1，当E点的坐标是（0，4－2m）时，得F（-1，4-2m），当E点的坐标是（0，1-m）时，得F（-1，1-m），求出m的即可．
(1)
解：由抛物线过点A（1，0）、B（2，0），得
，
解这个方程组得，
所以，抛物线的表达式为y=-x²+3x-2．
(2)
解：①由题意得，A1（1-m，0），B1（2-m，0），C1（-m，-2），D（-m，0），
∴DC1=2，DA1=1，OB1=m-2．
∵∠C1DA1=∠B1OE=90°，
∴（i）当时，△B1OE∽△A1DC1，
∴OE=2m-4，
∴E点的坐标是（0，4-2m）；
（ii）当时，△B1OE∽△C1DA1，
∴OE=m-1，
∴E点的坐标是（0，1-m）．
②由y=-x²+3x-2，
得平移后得抛物线表达式是，
由平行四边形A1FEB1，得EF//AB，且EF=AB=1，
（i）当E点的坐标是（0，4－2m）时，得F（-1，4-2m），
所以，解方程得m=2(舍去)，m=5；
（ii）当E点的坐标是（0，1-m）时，得F（-1，1-m），
所以，解方程得m=2(舍去)，m=；
所以m的值是5，．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，相似三角形的性质，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
7．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-2，0）．与点C（0，4）．与x轴的正半轴交于点B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如果D是抛物线上一点，AD与线段BC相交于点E，且AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，求的值；
(3)如果P是x轴上一点，∠PCB=∠ACO，求∠PCO的正切值．
【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+x+4；
(2)；
(3)∠PCO的正切值或3．
【分析】（1）利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）设D（a，-a2+a+4），根据AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分可得S四边形ABDC=S△AOC+S△DOC+S△BOD=2S△ABD，可得关于a的方程，解方程求得a的值，可得点D的坐标，过D作DF∥AB，可得△DEF∽△AEB，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况：根据锐角三角函数以及等腰直角三角形的性质即可求解．
（1）
解：由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+x+4；
（2）
解：连接OD，
∵抛物线解析式为y=-x2+x+4，
令y=0，则0=-x2+x+4，解得x=-2或4，
∴A（-2，0），B（4，0），
∴AB=6，
设D（a，-a2+a+4），
∵AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，
∴S四边形ABDC=S△AOC+S△DOC+S△BOD=2S△ABD，
∴×2×4+×4a+×4（-a2+a+4）=2××6（-a2+a+4），
化简得a2-a-6=0，解得a1=-2（舍去），a2=3，
∴D（3，），
可过D作DF∥AB交BC于F，
∴△DEF∽△AEB，
∴，
设直线BC的解析式为y=kx+m，把B点和C点坐标代入得，
解得，
∴直线l的解析式为y=-x+4，
∵DF∥AB，D（3，），
当y=时，x=，
∴F（，），
∴DF=，
∴；
（3）
解：①当点P在点B左侧时，如图，作PM⊥BC于点M，
∵B（4，0），C（0，4）．
∵OB=OC，BC=4，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠BPM=∠OBC=45°，
∴PM=BM，
∵∠PCB=∠ACO，
∴tan∠PCB=tan∠ACO，
∴，
∴CM=2PM=2BM，
∵BC=4，
∴CM+BM=3BM=4，
∴BM=PM=，
∴BP=BM=，
∴OP=4-BP=4-=，
∴tan∠PCO=；
②当点P在点B右侧时，如图，作BN⊥BC交PC于点N，作NH⊥x轴于H，
∵∠OBC=45°，
∴∠NBH=180°-∠CBN-∠OBC=45°，
∴BH=NH，
∵∠PCB=∠ACO，
∴tan∠PCB=tan∠ACO，
∴，
∴BC=2BN，
∵BC=4，
∴BN=2，
∴BH=NH=2，
∴OH=OB+BH=4+2=6，
∴N（6，2），
设直线CN的解析式为y=sx+t，把N点和C点坐标代入得，
解得，
∴直线CN的解析式为y=-x+4，
当y=0时，0=-x+4，解得x=12，
∴P（12，0），
∴tan∠PCO==3；
综上所述，∠PCO的正切值或3．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数以及等腰直角三角形的性质等相关知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由求，，将A、B代入即可求解；
（2）设①设点的坐标为，点的坐标为，由轴，轴，可得，，当时，即可求解；
②过点作轴，延长交轴于点，则，当点是的中点时，可得，由轴，轴，得，，设点的坐标为，则，，由，即可求解；
（1）
解：将代入得，y=8，
将y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以，，
，在抛物线上，
∴，解得
抛物线的解析式
（2）
①设点的坐标为，
轴，且点在直线上，
点的坐标为
，，
，，
轴，轴，
，，
，
，
当时，
，解得
点的坐标为
②过点作轴，延长交轴于点，则.
当点是的中点时，可得
轴，轴，
，
点是的中点
，
设点的坐标为，则，
∵，
∴△OCD∽△OPE，
，
即，
.
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
9．如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)N的的坐标是
【分析】（1）根据抛物线过点A，对称轴为直线列方程计算即可；
（2）求出B、C坐标及直线BC解析式，由可得，再设E、F的坐标，根据相似计算即可；
（3）由翻折结合EF∥y轴可得，设E、F坐标计算即可．
（1）
由题意得：
解得：
∴所求的抛物线的解析式是：
（2）
由题意得：，
∴直线BC的解析式为：
∴，
∴
设，则
当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，
①若，则，
∴或 （舍去）
∴
②若，则，
∴或 （舍去）
∴
（3）
∵是由沿直线CE翻折而得
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，则
∵，
解得：或 （舍去）
∴
∴
∴N的的坐标是
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解．
10．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为，是抛物线上一点（点与点、、都不重合）．
(1)求抛物线解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得，试确定点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）求出时，的值即可得；
（3）过点作轴，交直线于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可得．
（1）
解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）
解：当时，，
解得或，
则点的坐标为．
（3）
解：如图，过点作轴，交直线于点，
对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
，
设点的坐标为，
将代入得：，
即，
，
，
，
，即，
即或，
解得或，
故点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了求二次函数和一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和相似三角形的性质是解题关键．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQCH，交对称轴l于点Q，且，求直线PQ的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意将抛物线表达式设为顶点式，将A、H坐标代入即可求出；
（2）过点C向对称轴和x轴作垂线，设C点坐标为，根据角度相等，所以正切值相等，分别在两个直角三角形中构造线段等比例关系，以m表示各线段长度，代入等比例式中，求出m即可；
（3）分别作OM、AN垂直于PQ，OM、AN即为两个三角形的高，因为底PQ相同，所以两三角形面积比等于OM与AN的比，延长PQ交x轴于点D，则，得到三角形相似，继而得到OM与AN的比等于OD与AD的比，从而求出D点坐标，因为PQCH，先求出CH表达式为，则可将PQ的表达式设为形式，将D点坐标代入即可求出表达式．
【解析】（1）∵抛物线经过点，顶点为，
∴设，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的表达式为．
（2）分别过点C作，轴，垂足为点G、F，
设，
则：，，，，
∵，
∴，
∴．
∴，
解得，
经检验，m=1是方程的解，
则，
∴C点坐标为．
（3）延长PQ交x轴于点D．分别过点O、A作直线PQ的垂线，垂足分别为点M、N．
∵点C坐标为，点H坐标为，
∴设直线CH的表达式为，将C、H坐标代入得 ，
解得，
∴直线CH表达式为：，
①当、在直线PQ的两侧时，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D点坐标为．
又∵，
∴设直线PQ的表达式为，
将D点坐标代入得，
解得，
∴PQ表达式为；
②当、在直线PQ的同侧时，
∵，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∴，
∴此时D点坐标为，
∴设直线PQ的表达式为，
将代入解得，
∴直线PQ的表达式为
综上所述，满足条件的直线PQ的表达式为或．
【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，需熟练掌握二次函数数形结合的综合应用．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，抛物线经过点和点，且其顶点为，点为抛物线与轴的另一个交点
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的正切值；
(3)点在抛物线上，若，求点的坐标．
(4)连接，延长交轴于点，点是直线上的动点，如果与是相似三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据一次函数可以求出点和点坐标，把点和点坐标代入即可求出抛物线的表达式；
（2）先利用（1）中所得到的抛物线的表达式求出点和顶点的坐标，再利用勾股定理分别求出、、的长度，再根据勾股定理逆定理可以证明是直角三角形，从而可以求出的正切值；
（3）根据，再结合（2）的结论，可得出的正切值，可知满足的点在点的左侧，可以在轴的上方或下方，又点在抛物线上，可设出点的坐标，利用正切值的定义建立方程求解即可；
（4）过点作交于点，首先设直线的解析式为，再将点和点的坐标代入解析式即可求出和的值，从而求出直线与轴的交点的坐标，从而确定的长度，再利用勾股定理求出和的长度，然后在中，根据，可求出的长，然后在和分别求出和的正弦值，从而确定，根据条件与是相似三角形，则点在点的右侧，然后分和两种情况进行讨论即可得到答案．
（1）
解：∵直线分别交轴、轴于、两点，
当时，，
当时，，
∴，，
∵抛物线经过点和点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）
如图：∵，
∴，，
又∵，，
∴，
，
，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴的正切值为．
（3）
如图：点在抛物线上，过点作交轴于点，设，
∴是直角三角形，，
∵，
∴点在点的左侧，且满足条件的点有两个，
∵
∴，
解得：，（舍去），，（舍去），
当时，，
当时，，
∴点的坐标为或．
（4）
过点作交于点，设抛物线的对称轴交轴于点，设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∵，，，，
在中，
，，，
∵，
∴，
∴，
在中，
，，，
∴，
∴，
若与是相似三角形，则点在点的右侧，又点在直线上，设（），
在中，
，
，
，
有以下两种情况：
①，则，
即，
解得：，
∴
∴；
②，则，
即，
解得，
∴
∴．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题．考查了一次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理以及勾股定理逆定理、锐角三角函数、相似三角形的性质、分类讨论思想．灵活运用相关知识和分类讨论的思想方法是解决问题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标；
(3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（，）
(3)（2，-4）
【分析】（1）直接把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）如图2-1所示，当点F在直线AB下方时，可证得OA∥BF，即BF⊥x轴，这种情况不存在；如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E， 由∠OAC=∠CBF，得到EA=EB，设点E的坐标为（0，m），则，求出点E的坐标为（0，4），然后求出直线BE的解析式为，联立，即可求出点F的坐标为（，）；
（3）先求出点点C的坐标为（2，0），则OC=2，OA=1，，△AOC的周长，设点P的坐标为 ，根据PE∥x轴，得到∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为，然后求出直线AB的解析式为得到点E的坐标为 ，则；证明△PDE∽△AOC，得到，则，由此求解即可．
(1)
解：把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中得：
∴，
∴抛物线解析式为；
(2)
解：如图2-1所示，当点F在直线AB下方时，
∵∠OAC=∠CBF，
∴OA∥BF，即BF⊥x轴，
∴这种情况不存在；
如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E，
∵∠OAC=∠CBF，
∴EA=EB，
设点E的坐标为（0，m），
∴，
解得，
∴点E的坐标为（0，4），
设直线BE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线BE的解析式为，
联立，
解得或，
∴点F的坐标为（，）
(3)
解：∵B点坐标为（4，1），A点坐标为（0，-1），
∴AB的中点坐标为（2，0），
又∵直线AB与x轴的交点为C，
∴点C的坐标为（2，0），
∴OC=2，OA=1，
∴，
∴△AOC的周长，
设点P的坐标为 ，
∵PE∥x轴，
∴∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为，
设直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为
∴点E的坐标为 ，
∴，
∵PD⊥AB，
∴∠PDE=∠AOC=90°，
∴△PDE∽△AOC，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴P点的坐标为（2，-4）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，两点距离公式，一次函数与二次函数的交点问题，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，，且与y轴交于点A．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q，如果，求证：；
(3)若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点恰好在上述抛物线上，求直线的解析式．
【答案】(1)抛物线的解析式为；点A的坐标
(2)证明见解析
(3)直线的解析式为：
【分析】（1）将，代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解得m、n的值，即可得到抛物线解析式，再令，即可求出点A的坐标；
（2）根据题意画出图形，通过坐标证明为直角三角形，且，利用及角的关系证明，结合，即可证明两个三角形相似；
（3）作B关于AC的对称点B’，则A、F’、B’三点共线，先求直线A B’的解析式，与抛物线解析式联立求得F’的坐标，再求直线BB’的解析式，利用及求得的F’的坐标，即可求的解析式．
（1）
解：将，代入抛物线解析式，得：
，解得
∴抛物线的解析式为
当时，，
∴点A的坐标
（2）
如图所示，点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q
∵，，
∴
∴
即为直角三角形，且
∵，
∴OA=OC
∴
当时，点P只能在点B的右侧，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
（3）
如图所示，作B关于AC的对称点B’，则A、F’、B’三点共线
∵，点B’和点B关于AC的对称，
∴
设直线A B’的解析式为：，代入得：
解得：
∴直线A B’的解析式为：
联立
解得：（舍去）
则
设直线BB’的解析式为：，代入，得：
，解得
∴直线BB’的解析式为：
由题意可知
∴设直线的解析式为：，代入得：
解得：
∴直线的解析式为：．
【点睛】本题是二次函数综合题．涉及勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，待定系数法求解函数解析式，难度较大，综合性强．
15．在平面直角坐标系中，点、两点在直线上，如图．二次函数的图像也经过点、两点，并与轴相交于点，如果轴，点的横坐标是．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设这个二次函数图像的对称轴与交于点，点在轴的负半轴上，如果以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为，求点的坐标；
(3)设这个二次函数图像的顶点是，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先确定点C的坐标，根据//轴，判定B，C两点的纵坐标相等，借助直线可以确定A，B的坐标，用待定系数法确定解析式即可；
（2）根据，选择两边对应成比例且夹角相等，分两种情形求解；
（3）过点作,垂足为，设直线与轴、轴的交点分别为点、，根据两点间距离公式确定MQ的长，确定直线AM的解析式，计算MH，CH的长度，根据正切的定义计算即可．
(1)
解：∵二次函数的图像与轴相交于点，
∴点的坐标为，
∵ //轴，
∴点的纵坐标是，
∵点、两点在直线上，点的横坐标是，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∵二次函数的图像也经过点、，得
，
解这个方程组，得 ，，
∴二次函数的解析式是；
(2)
根据（1）得，二次函数图像的对称轴是直线，
∴点的坐标为，
∴, ，
∵//轴，
∴，
∴以点、、组成的三角形与△相似有以下两种可能：
当时，△∽△，
显然这两相似三角形的相似比为，
与已知相似比不为矛盾，这种情况应舍去；
当时，△∽△，
∴，
∴，
又点在轴的负半轴上，
∴点的坐标为．
(3)
过点作,垂足为
根据（1）得，二次函数的解析式是的顶点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为
设直线与轴、轴的交点分别为点、，
则点的坐标为,点的坐标为，
∴△是等腰直角三角形，45°，OQ=OP=1，
∵，
∴45°，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形相似的判定与性质，正切值的计算，熟练掌握待定系数法，灵活选择相似的判定是解题的关键．
16．如图，抛物线与x轴相交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
(1)求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
(2)当以B，E，D为顶点的三角形与相似时，求点C的坐标；
(3)当时，求与的面积之比．
【答案】(1),，
(2)，或，
(3)
【分析】（1）求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由题意可知是直角三角形，设，分两种情况讨论①当，时，，此时，由此可求；②当时，过点作轴交于点，可证明，则，可求，再由点在抛物线上，则可求，进而求点坐标；
（3）作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，则有，在中，，求出，，则，设，则，，则有，求出，即可求．
(1)
解：令，则，
或，
，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，；
(2)
解：，，
是直角三角形，
设，
①如图1，
当，时，，
，
，
（舍或，
，；
②如图2，
当时，
过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
，
，
（舍或，
，；
综上所述：点的坐标为，或，；
(3)
解：如图3，作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，，，，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，求一次函数的解析式，解题的关键熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的性质与判定，分类讨论，数形结合也是解题的关键．
17．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求ABC的面积．
【答案】(1)
(2)①2；②
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）①证明△ADE∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DAE＝∠DBC，证出AE∥BC，得出C点的纵坐标为2，则可求出答案；
②设C（t，），过点B作BH⊥CE于点H，得出tan∠BCH＝tan∠ACE，则，解方程求出t的值，则可求出答案．
（1）
解：由y=-x+2可得：
当x=0时，y=2；当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入y=-x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+2；
（2）
①如图1，
∵DE∥OB，
∴，
∵，
∴，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴△ADE∽△BDC，
∴∠DAE=∠DBC，
∴AE∥BC，
∴C点的纵坐标为2，
∴2=-x2+x+2，
∴x=0或x=2，
∴C（2，2），
∴t=2；
②如图2，设C（t，-t2+t+2），
过点B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH=∠ACE，
∴tan∠BCH=tan∠ACE，
∴，
∴，
∴t=，
∴C（，），
∴S△ACB=S△ACE+S梯形BOCE-S△ABO
=．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点与轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与轴交于点E．
(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标
(2)如果，求抛物线的表达式；
(3)在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标
【答案】(1)对称轴是，B(4，0)
(2)y=
(3)F( ，)
【分析】（1）根据二次函数抛物线的性质，可求出对称轴，即可得点的坐标；
（2）二次函数的轴平行于对称轴，根据平行线分线段成比例用含的代数式表示的长，= ，可表示的纵坐标，然后把的横坐标代入=2−3−4，可得到关于的方程，求出的值，即可得答案；
（3）先证△BCF∽△BFD，得BF2=BD•BC，则BE2+EF2=BD•BC，可得答案．
(1)
解：∵二次函数=2−3−4，
∴对称轴是 ，
∵(−1，0)，
∵1+1.5=2.5，
∴1.5+2.5=4，
∴(4，0)；
(2)
∵二次函数=2−3−4，在轴上，
∴的横坐标是0，纵坐标是−4，
∵轴平行于对称轴，
∴ ，
∴，
∵ ，
∵=，
∵的纵坐标是+
∵的横坐标是对称轴，
∴ ，
∴+=，
解这个方程组得： ，
∴=2−3−4= 2-3×（）-4×（）=；
(3)
∵点B（4，0），点C（0，2），点E
∴OB=4，OC=2，BE=
∴
∵DE∥OC，
∵∠BFC=∠BCO=∠BDF，∠CBF=∠CBF，
∴△BCF∽△BFD，
∴BF2=BD•BC，
∴BE2+EF2=BD•BC，
∴点F坐标为
【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行线分线段成比例、一元一次方程的解法、一元二次方程方程的解法、相似三角形的判定与性质，做题的关键是相似三角形的判定与性质的灵活运用．
19．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当a=时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）m的变化范围为：﹣≤m≤5
【解析】解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）令，
∴x1= -1，x2=3，即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），
∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB
∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）；
（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，
当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，
则△MNF∽△NCH，
∴，
设FN=n，则NH=3-n，
∴，
即n2-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，
得m≥，
当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为：≤m≤5．
【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数的应用是中考的必考题型，考生在解此类问题时一定要注意分析求最大值和最小值所需要函数解决的问题．