沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训04期中解答压轴题(第24-25章)(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训04期中解答压轴题(第24-25章)(原卷版+解析)，共79页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是射线BA上一点，且满足DA＝DE，点F在线段CE上，联结DF，使∠EFD＝∠DAB．
(1)如图，当点E在边BA上时，
①求证：DF•CE＝AB•AD；
②若BE＝2，求线段CF的长．
(2)若△DCF是以CF为腰的等腰三角形，求此时线段CE的长．
2．（2022·上海虹口·二模）如图，在中，，，，平分交于点．点、分别在线段、上，且，联结，以、为邻边作平行四边形．
(1)求的长；
(2)当平行四边形是矩形时，求的长；
(3)过点作平行于的直线，分别交、、于点、、．当时，求的长．
3．（2021·上海市民办上宝中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B'，联结AB′，CB′，BB'，PB'，BB'与AP交于点E，PB'与AC交于点D．
(1)如图1，若AP＝PC，BC＝6，cs∠ABC＝，求CB'的长；
(2)如图2，若AB＝AC，BP＝3PC，求的值．
4．（2020·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，交边于点（点与点、都不重合），是射线上一点，且，设、两点的距离为，的面积为．
(1)求证：；
(2)求关于的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)当与相似时，求的面积．
5．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，连接CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）．
(1)当点F是线段CE的中点，求GF的长；
(2)设BE＝x，OH＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．
6．（2022·上海浦东新·九年级期末）在中，，，，点O是边AC上的一个动点，过O作，D为垂足，在线段AC上取，联结ED，作，交射线AB于点P，交射线CB于点F．

（1）如图1所示，求证：∽；
（2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，求线段AP的长．
7．（2021·上海·位育中学九年级阶段练习）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tan∠A=，点D是射线AB上的一动点，联结DC，过点C作DC⊥CE，垂足为C，联结DE使得∠CDE=∠A，联结BE；设AD=x，△BDE面积为y．
（1）如图1，求证：△ACD∽△BCE；
（2）当D在AB延长线上时，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（3）在点D的运动过程中，记射线EB与射线CD交于点P，若△EDP是等腰三角形，直接写出x的值．
8．（2021·上海市徐汇中学九年级阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果点在对角线上，联结并延长，交边于点，交线段的延长线于点（点可与点重合），，设长度是是常数，且，，，求关于的函数关系式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题的条件下，当是等腰三角形时，求的长（计算结果用含的代数式表示）
9．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
10．（2021·上海·九年级期中）已知，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD与点F，设运动时间为．
（1）当t为何值时，是等腰三角形；
（2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分?若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．
11．（2021·上海金山·二模）已知在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，△ADE的顶点D在边BC上，AE交BC于点F（点F在点D的右侧），∠DAE＝30°．
（1）求证：△ABF∽△DCA；
（2）若AD＝ED．
①联结EC，当点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）时，求．
②联结BE，当DF＝1时，求BE的长．
12．（2022·上海黄浦·二模）如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG•BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．
13．（2021·上海·九年级专题练习）（1）问题发现
如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）类比探究
如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标．
14．（2021·上海·九年级专题练习）如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
（1）如图（1），∠BAP＝20°，直接写出∠AFE的大小；
（2）如图（2），求证：BE＝CF；
（3）如图（3），连接CE，G是CE的中点，AB＝1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长．
15．（2021·上海·九年级专题练习）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
16．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．
（1）求证：△HDO≌△EAO；
（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．
17．（2021·上海·九年级专题练习）在四边形中，点E为边上的一点，点F为对角线上的一点，且．
（1）若四边形为正方形．
①如图1，请直接写出_________；
②将绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点B顺时针旋转得到，连接，请在图3中画出草图，并直接写出与的数量关系．
18．（2021·上海闵行·九年级期末）如图，在矩形中，，，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设，．
（1）求证：，并求的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接BG，当与相似时，求x的值．
19．（2020·上海浦东新·九年级阶段练习）如图，梯形ABCD中，AD//BC，，且，．点M为边BC上一动点，连接AM并延长交射线DC于点F，作交射线BC于点E、交边DC于点N，联结EF．
（1）当时，求CF的长；
（2）连接AC，求证：
（3）设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
20．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）①当α＝0°时，= ； ②当α＝180°时，= ；
（2）试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．
21．（2022·上海·八年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点（D不与B、C点重合），作DE⊥AB，垂足为E. 连接AD，设CD=x，DE=y．
(1)当E点为AB的中点时，求CD的长；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)过B作DE的平行线交AD的延长线于F，当△BDF为以BD为腰的等腰三角形时，直接写出CD的长度．
22．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是射线BC上的一个动点，过点B作BE⊥DA，垂足为点E，延长BE交射线CA于点F，设BD＝x，AF＝y．
(1)如图1，当点C是线段BD的中点时，求tan∠ADB的值；
(2)如图2，当点D在BC的延长线上，求y关于x的函数解析式及其定义域．
(3)当AE＝3EF时，求△ABD的面积．
23．（2022·上海虹口·九年级期末）已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．
(1)当点E在线段AB上时，求证：；
(2)在（1）题的条件下，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)记DE交射线AC于点G，当时，求CD的长．
24．（2022·上海崇明·九年级期末）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将ADE绕点D针旋转90°，E点落在点F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．求证：
(1)当时，求的值；
(2)当点E在线段AB上，如果，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当时，求AE的值．
25．（2020·上海浦东新·九年级阶段练习）在等腰直三角形ABC中，，已知，，M为边BC的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）设点M的坐标为（a，b），求的值；
（3）探究：在x轴上是否存在点P，使以O、P、M点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简述理由．
26．（2021·上海·九年级专题练习）（1）正方形中，对角线与相交于点，如图1，请直接猜想并写出与之间的数量关系：________；
（2）如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转得到，连接，，请猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，矩形和有公共顶点，且，，则________．
特训04 期中解答压轴题（第24-25章）
一、解答题
1．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是射线BA上一点，且满足DA＝DE，点F在线段CE上，联结DF，使∠EFD＝∠DAB．
(1)如图，当点E在边BA上时，
①求证：DF•CE＝AB•AD；
②若BE＝2，求线段CF的长．
(2)若△DCF是以CF为腰的等腰三角形，求此时线段CE的长．
【答案】(1)①见解析；②；
(2)6或
【分析】（1）①通过证明△DEF∽△CED，可得，可得结论；
②由等腰三角形的性质和勾股定理可求CE的长，由相似三角形的性质可求解；
（2）分两种情况讨论，方法同②．
（1）
①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，ABCD，
∴∠AED=∠CDE，
∵DA=DE，
∴∠DAB=∠DEA，
∵∠EFD=∠DAB，
∴∠DFE=∠DAB=∠DEA=∠EDC，
又∵∠CED=∠DEF，
∴△DEF∽△CED，
∴，
∴DF•CE=AB•AD；
②解：过点D作DH⊥AB于H，过点E作EN⊥CD于N，
∵BE=2，AB=6，
∴AE=4，
∵AD=DE，DH⊥AB，
∴AH=EH=2，
∴，
∵ABCD，DH⊥AB，EN⊥CD，
∴∠DHE=∠END=∠HDC=90°，
∴四边形DHEN是矩形，
∴EH=DN=2，EN=HD=，
∴CN=4，
∴，
∵△DEF∽△CED，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：当CF=CD时，CF=CD=6，
当CF=FD时，如图，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EN⊥CD于N，
∵CF=FD，
∴∠FCD=∠FDC，
∴∠EFD=2∠FCD，
∵∠EFD=∠DAB=∠BCD，
∴∠BCD=2∠FCD，
∴∠BCE=∠FCD，
∵ABCD，
∴∠BEC=∠FCD=∠BCE，
∴BC=BE=3，
∵AB=6，
∴AE=3，
∵AD=DE，DH⊥AB，
∴AH=EH=，
∴，
∵AB∥CD，DH⊥AB，EN⊥CD，
∴∠DHE=∠END=∠HDC=90°，
∴四边形DHEN是矩形，
∴EH=DN=，EN=HD=，
∴CN=，
∴，
综上所述：CE的值为6或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2022·上海虹口·二模）如图，在中，，，，平分交于点．点、分别在线段、上，且，联结，以、为邻边作平行四边形．
(1)求的长；
(2)当平行四边形是矩形时，求的长；
(3)过点作平行于的直线，分别交、、于点、、．当时，求的长．
【答案】(1)5
(2)
(3)
【分析】（1）由，平分，可知，利用等角对等边，可知AD=BD，证，利用相似三角形的性质，即可求解；
（2）过点D作DN⊥AB于N，如图，利用等腰三角形的性质，可得，利用矩形的性质，可得，从而可得，利用平行线分线段成比例，即可求解；
（3）可知四边形AEPQ是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，，可得，，利用相似三角形的性质，即可求解．
（1）
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴AD=BD，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：∵AD=BD，
∴AD=5，
∵，
∴，
∴，
过点D作DN⊥AB于N，如图，
∵AD=BD，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴；
（3）
解：如图，
设，
∵，
∴四边形AEPQ是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
但，此时，点E不在线段AB上，故舍去，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，解题关键是正确找到或构造相似三角形．
3．（2021·上海市民办上宝中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B'，联结AB′，CB′，BB'，PB'，BB'与AP交于点E，PB'与AC交于点D．
(1)如图1，若AP＝PC，BC＝6，cs∠ABC＝，求CB'的长；
(2)如图2，若AB＝AC，BP＝3PC，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由AP＝PC证明点P是BC的中点，然后借助cs∠ABC的值和BC＝6求得PB＝PA＝PC＝3，AB＝2，再借助折叠的性质求得PB'＝PB、∠APB'＝∠APB，进而利用勾股定理求得PE的长度，过点P作PH⊥B'C于点H，构造△CPH≌△PBE，最后利用等腰三角形的性质得到B'C的长度；
（2）先设AB＝AC＝4a，进而利用勾股定理和BP＝3CP得到BC、PC、PB的长，然后利用折叠得到∠PB'A＝∠PCD，PB＝PB'，然后得证△DCP∽△DB'A，再设CD＝n，PD＝m，再利用相似三角形的性质得到m与n的值，进而得到B'D和AD的长，最后得到结果．
(1)
解：（1）∵AP＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACP＝90°﹣∠PBA，∠PAC＝90°﹣∠PAB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB＝PC，
∴点P是BC的中点，
∵BC＝6，cs∠ABC＝ ，
∴PC＝PB＝PA＝3，AB＝BC×cs∠ABC＝6× ＝2，
由折叠得，PB'＝PB＝PC，AP⊥B'B，∠APB＝∠APB'，
设AE＝x，则PE＝PA﹣AE＝3﹣x，
在Rt△PBE中，BE2＝PB2﹣PE2，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2，
∴AB2﹣AE2＝PB2﹣PE2，即22﹣x2＝32﹣（3﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴PE＝ ，
过点P作PH⊥B'C于点H，则∠PHC＝∠BEP＝90°，
∵PB'＝PC，
∴点H是B'C的中点，∠CPH＝∠B'PH，
∵∠APB＝∠APB'，∠APB+∠APB'+∠CPH+∠B'PH＝180°，
∴∠CPH+∠APB＝90°，
∵∠APB+∠PBE＝90°，
∴∠CPH＝∠PBE，
又∵BP＝PC，∠PHC＝∠BEP，
∴△CPH≌△PBE（AAS），
∴CH＝PE＝ ，
∴B'H＝ ，
∴B'C＝CH+B'H＝ ＝ ．
(2)
设AB＝AC＝4a，则BC＝，
∵BP＝3CP，
∴CP＝ ，BP＝，
由折叠得，∠AB'P＝∠ABP＝45°，PB'＝PB＝，AB'＝AB＝4a，
∴∠AB'D＝∠PCD，
∵∠B'DA＝∠CDP，
∴△B'DA∽△CDP，
∴ ，
设CD＝n，PD＝m，则AD＝4a﹣n，B'D＝，
∴ ，
解得：m＝，n＝ ，
∴B'D＝，AD＝，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质得到相关的线段和角相等．
4．（2020·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，交边于点（点与点、都不重合），是射线上一点，且，设、两点的距离为，的面积为．
(1)求证：；
(2)求关于的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)当与相似时，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）先证明△ADP∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出，再由∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP可知△EPD∽△EAP，然后根据对应边成比例即可求解；
（2）由△EPD∽△EAP，得，得出AE与DE的关系，作EH⊥AB，由PD∥HE可得出，进而可得出y与x的关系式；
（3）由△PEH∽△BAC，得，当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
（1）
证明：，为公共角，
， ，
，，
， ，
；
（2）
解：， ，
， ，
作于点，
，，
，PH⊥AB，
，，
，
，，
即．
（3）
解：，
∴∠PEH=∠EPD，
，
∴∠PEH=∠A，
∵∠PHE=∠C，
，
，
，
当与相似时，
①当时，，
，
解得：，；
②当时，同理可得：．
综上，当与相似时，的面积为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
5．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，连接CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）．
(1)当点F是线段CE的中点，求GF的长；
(2)设BE＝x，OH＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．
【答案】(1)
(2)y＝（0＜x＜）
(3)3或
【分析】（1）首先利用勾股定理得出AC的长，证得△ACF≌△AEF，得出BE＝2，进一步得出△CBE∽△ABG，△CGF∽△CBE，利用三角形相似的性质得出CF、CG的长，利用勾股定理求得而答案即可；
（2）作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N，利用△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，建立BE、OH之间的联系，进一步整理得出y关于x的函数解析式，根据y＝0，得出x的定义域即可；
（3）分三种情况探讨：①当BH＝BG时，②当GH＝GB，③当HG＝HB，分别探讨得出答案即可．
(1)
解：∵AB＝8，BC＝6， ,
∴AC＝ 10，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC＝∠AFE＝90°，
∵点F是线段CE的中点，
∴CF＝EF，
在△ACF和△AEF中，
∴△ACF≌△AEF，
∴AE＝AC＝10，
∴BE＝2，
∵∠CGF＝∠AGB，∠GFC＝∠ABG，
∴∠FCG＝∠GAB，∠CBE＝∠ABG，
∴△CBE∽△ABG，
∴＝，
即＝，
BG＝，
∴CG＝ ，
∵∠GCF＝∠BCE，∠CFG＝∠CBE，
∴△CGF∽△CBE，
∴＝，
又CE＝2CF，
∴2CF2＝BC•CG，
∴CF＝，
∴GF＝＝；
(2)
如图，
作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N，
∵AF⊥CE，
∴ONBMCE，
∴△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，
∴＝＝，＝，＝＝，
∴＝，
又∵△CBE∽△ABG，
∴＝，BE＝x，
∴BG＝x，
∴＝，
则y＝（0＜x＜ ）．
(3)
当△BHG是等腰三角形，
①当BH＝BG时，
∵ ，
∴△AHD∽△BHG，
∴＝，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）知 时y＝ ，解得x＝3；
②当GH＝GB，
∵ABCD为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴△GBH∽△OBC，同理解得x＝；
③当HG＝HB，得出∠HGB＝∠HBG＝∠OCB不存在．
所以BE＝3或．
【点睛】此题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，知识涉及的面广，需要多方位思考解决问题，渗透分类讨论的思想．
6．（2022·上海浦东新·九年级期末）在中，，，，点O是边AC上的一个动点，过O作，D为垂足，在线段AC上取，联结ED，作，交射线AB于点P，交射线CB于点F．

（1）如图1所示，求证：∽；
（2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，求线段AP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或6．
【分析】（1）证△ADE∽△AEP，需找出两组对应相等的角．证明∠AEP=∠ADE；再加上两三角形的公共角∠A，即可证得两三角形相似；
（2）由△AOD∽△ACB，可得OD=OA，AD=OA；又由△ADE∽△AEP，可得y=x；
（3）由△PBF∽△PED和△ADE∽△AEP，得；再将y=x，BP=4-AP=4-x代入，即可求得AP的长．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∽；
（2）∵，，，
∴AC=5，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵∽，
∴，即，
∴，
∴，
∵OA+OE∴x+5，即x，
∴；
（3）①当点P在线段AB上时，，
∵∽，
∴，
∵∽，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②当点P在AB延长线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴．
过点E作，垂足是点G，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．此题还是一个综合性很强的题目，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的能力．
7．（2021·上海·位育中学九年级阶段练习）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tan∠A=，点D是射线AB上的一动点，联结DC，过点C作DC⊥CE，垂足为C，联结DE使得∠CDE=∠A，联结BE；设AD=x，△BDE面积为y．
（1）如图1，求证：△ACD∽△BCE；
（2）当D在AB延长线上时，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（3）在点D的运动过程中，记射线EB与射线CD交于点P，若△EDP是等腰三角形，直接写出x的值．
【答案】（1）见解析；（2），x＞10；（3）．
【分析】（1）由∠ACB＝∠DCE和∠CDE=∠A得出△CDE∽△CAB得出对应边成比例，等量代换得∠ACD＝∠BCE即可判断结论；
（2）由三角函数值和勾股定理求得BC、AC的值，由△ACD∽△BCE，表示出BE的长度，并得出BE⊥AD，在Rt△BDE中，由三角形面积公式表示y化简即可；
（3）先判断DP=DE,表示出，再根据勾股定理解题即可求出x的值．
【解析】解（1）证明：∵DC⊥CE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠CDE=∠A，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tan∠A=，
∴，
则设BC＝3a，AC＝4a，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝102，
解得：a＝2，
∴BC＝6，AC＝8，
由△ACD∽△BCE，AD=x，△BDE面积为y．
∴∠A＝∠CBE，，即，
∴，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠CBE＝90°，即BE⊥AD，
∴在Rt△BDE中，BD＝AD－AB＝x－10，
（x＞10），
（3）如图，
．
是等腰三角形
由（2）知
即当△EDP是等腰三角形时，．
【点睛】本题考查相似三角形综合题，涉及相似三角形的判断与性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，有难度，掌握相关知识是解题关键．
8．（2021·上海市徐汇中学九年级阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果点在对角线上，联结并延长，交边于点，交线段的延长线于点（点可与点重合），，设长度是是常数，且，，，求关于的函数关系式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题的条件下，当是等腰三角形时，求的长（计算结果用含的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或时，为等腰三角形
【分析】（1）由题意先判断出∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，进而得出∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，即可得出结论；
（2）由题意先判断出△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC，得出比例式，即可得出结论；
（3）根据题意分三种情况，①当CE=EG时，判断出点F，G和点D重合，即：AF=AB，即可得出结论，②当CG=CE时，先判断出∠FDG=∠FGD，得出FG=FD，即可得出AF=BF，进而判断出FB=AC，即可得出结论；③当EG=GE时，判断出∠CEG=∠CBF，而∠CEG=∠CBF+∠ACB，进而判断出此种情况不存在．
【解析】解：（1）证明：，
，
又平分
，，
，
四边形为平行四边形
又
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
即
；
（3）解：是等腰三角形，
①当时，
，
，
，
，
，
此时，点，和点重合，
，
，
即，
②当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
（负值已舍），
③当时，
，
，
，
，
此种情况不存在．
综上所述：或时，为等腰三角形．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分类讨论的思想，解答本题的关键是找出相关角之间关系．
9．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或．
【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案；
（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案；
（3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得．
【解析】解：（1）∵AD∥BC，
∴，．
∵DB=DC=15，DE=DF=5，
∴，
∴，
∴BG=CH．
（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．
∵DB=DC=15，BC=18，
∴BP=CP=9，DP=12．
∵，
∴BG=CH=2x，
∴BH=18+2x．
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝．
∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DBC，
∴sin∠ADN=sin∠DBC，
∴，
∴NQ＝．
∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)．
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠FHG．
（i）当∠ADN=∠FGH时，
∵∠ADN=∠DBC，
∴∠DBC=∠FGH，
∴BD∥FG，
∴，
∴，
∴BG=6，
∴AD=3．
（ii）当∠ADN=∠GFH时，
∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，
又∵∠AND=∠FGH，
∴△ADN∽△FCG．
∴，
∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0，
解得x＝，或x＝（舍去）．
综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或．
【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点．
10．（2021·上海·九年级期中）已知，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD与点F，设运动时间为．
（1）当t为何值时，是等腰三角形；
（2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分?若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或5s；（2）；（3）存在，
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，证得，再根据相似三角形的性质得到t的值，②当AP=AO=t=5，③当时，从而得到结论；
（2）先证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，再证得△AOP≌COE，证得AP=EC=t，得出△OEC的面积，从而可求五边形OECQF的面积．
（3）过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，由角平分线的性质得到，据勾股定理得到，由三角形的面积公式得到，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结论．
【解析】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，
∴AC=10，，点O到AD的距离为3，
当为等腰三角形时，分三种情况讨论：
当AP=PO=t时
过P作PM⊥AO，如图1所示：
∴，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴
∴，
∴；
②当；
③当时即点P与点D重合，．不合题意，舍去．
综上所述，当或5s时，为等腰三角形
（2）在矩形ABCD中，，，
∴
∵，
∴，
∴，
在矩形ABCD中，AD//BC， AO=CO，又得∠AOP=∠COE，
∴∠PAO=∠ECO，
∴△AOP≌COE，
∴AP=EC=t，
∴，
∴
（3）存在，理由如下：
如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
在矩形ABCD中，，，
∴，
∵∠POD=∠COD，
∴，
∴
∵
∴OP•DM=3PD，
∴
∴
∵PD2=PM2+DM2，
∴
解得：t=16（不合题意，舍去），
∴当时，OD平分∠COP．
【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
11．（2021·上海金山·二模）已知在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，△ADE的顶点D在边BC上，AE交BC于点F（点F在点D的右侧），∠DAE＝30°．
（1）求证：△ABF∽△DCA；
（2）若AD＝ED．
①联结EC，当点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）时，求．
②联结BE，当DF＝1时，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②BE为或．
【分析】(1)求出∠B、∠C,证明∠BAF=∠ADC即可；
(2)①证明△ABC∽△DAE，得到对应边成比例可证△ECF∽△ABF,从而 即可得出答案；
②作AH⊥BC于H,求出BC,利用△AB∽△DCA列方程求出BD=2或3,分情况画出图形分别求出BE．
【解析】解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠DAE＝30°，
∴∠B＝∠C＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAF＝∠DAE+∠BAD，
∴∠BAF＝∠ADC，
∴△ABF∽△DCA；
（2）①
∵△ABF∽△DCA，
∴，即，
∵AD＝ED，
∴∠DAE＝DEA，
∴∠DEA＝∠C，
∵∠DAE＝∠B，
∴△ABC∽△DAE，
∴，即，
∴，即，
∴，
∵∠EFC＝∠AFB，
∴△ECF∽△ABF，
∴，
∵点F是BC的黄金分割点（FC＞BF），
∴，
∴；
②作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝2BH，AH＝AB＝，BH＝得BC＝6，
∵△ABF∽△DCA，
∴，即CD•BF＝AB•AC，
设BD＝x，则CD＝6﹣x，
∵DF＝1，
∴BF＝x+1，
∴（6﹣x）•（x+1）＝×，解得x＝2或x＝3，
∴BD＝2或3，
当BD＝2时，BF＝3，即F为BC中点，如图：
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∵AD＝AE，
∴AF＝EF，即BC垂直平分AE，
∴BE＝BA＝，
当BD＝3时，D为BC中点，如图：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝30°，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠BAC＝60°，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°，
作DG⊥AE于G，
∴AG＝AD•cs30°＝，
∵AD＝DE，
∴AE＝2AG＝3，
∴BE＝，
综上所述，DF＝1时，BE为或．
【点睛】本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是利用相似三角形性质求出BD的长度．
12．（2022·上海黄浦·二模）如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG•BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由题目条件可证得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），进而可推出AF＝FE＝ED＝DA，可得出四边形AFED是菱形．
（2）根据条件可证得△ABG∽△CBA，即可证明结论．
（3）由条件可得△DAE∽△ABC，由相似比可得，由BE2＝EC•BC，得到点E是BC的黄金分割点，可得出，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵BA＝BE，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∴AF＝EF，
同理可得△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，
∵AG∥DE，
∴∠AFD＝∠EDF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
∴AF＝FE＝ED＝DA，
∴四边形AFED是菱形．
（2）证明：由（1）得：△ABF≌△EBF，
∴∠BAG＝∠BEF，
∵四边形AFED是菱形，
∴AD∥FE，
∴∠BEF＝∠C，
∴∠BAG＝∠C，
∵∠ABG＝∠CBA，
∴△ABG∽△CBA，
∴，
即AB2＝BG•BC．
（3）解：如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABG＝∠C，
∵∠BAG＝∠C，
∴∠ABG＝∠BAG，
∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG，
∴∠AGC＝2∠BAG，
∵BG＝CE，
∴BE＝CG，
∴CG＝CA，
∴∠CAG＝∠CGA，
∵∠CAG＝2∠DAE，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴∠DEA＝∠ACB，
∴△DAE∽△ABC，
∴，
∵AB2＝BG•BC，AB＝BE，
∴BE2＝EC•BC，
∴点E是BC的黄金分割点，
∴，
∴，
∵∠EAC＝∠C，
∴CE＝AE，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定及黄金分割点等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键．
13．（2021·上海·九年级专题练习）（1）问题发现
如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）类比探究
如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标．
【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由见详解；（2）AB=kAC， 180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值为3
【分析】（1）先证明△ABD≌△ACE，从而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，结合∠AGB＝∠FGC，即可得到结论；
（2）先证明ABCADE，从而得，结合∠BAD=∠CAE，可得BADCAE，进而即可得到结论；
（3）把OPM绕点M顺时针旋转90°得到 （与N重合），则，，(3，3)，，进而即可求解．
【解析】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC−∠DAC，∠CAE＝∠DAE−∠DAC
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AGB＝∠FGC，
∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE，
故答案是：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，
∴ABCADE，
∴，
∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴BADCAE，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵∠AGB＝∠FGC，
∴∠BFC=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β，
∴AB=kAC，直线BD和CE相交所成的较小角的度数为：180°-α-β；
（3）由题意得：MN=MP，∠NMP=90°，
把OPM绕点M顺时针旋转90°得到 （与N重合），则，，
∵点M的坐标为（3，0），
∴(3，3)
∵OPM，
∴，即线段OP长度最小时，的长度最小，
∴当⊥y轴时，的长度最小，此时(0，3)，
∴N(0，3)，OP的最小值为3 .
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键．
14．（2021·上海·九年级专题练习）如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
（1）如图（1），∠BAP＝20°，直接写出∠AFE的大小；
（2）如图（2），求证：BE＝CF；
（3）如图（3），连接CE，G是CE的中点，AB＝1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长．
【答案】(1)45°；（2）证明见解析；（3）．
【分析】(1) 连接DF，作AM⊥DF，AN⊥EF，垂足分别为M、N，证四边形AMFN是正方形即可；
(2) 连接AC，作AN⊥EF，垂足为N，证△CAF∽△BAN，列比例式即可；
(3) 连接AC，取AC中点O，连接OG，根据中位线性质确定G点运动轨迹，再根据弧长公式计算即可．
【解析】解:(1)连接DF，作AM⊥DF，AN⊥EF，垂足分别为M、N，
∵线段AE与AD关于直线AP对称，
∴∠DFA=∠EFA，
∴AM=AN，
∵AD=AB，
∴Rt△AMD≌Rt△ANB，
∴∠MAD=∠NAB，
∵∠MAD+∠MAB=90°，
∴∠NAB+∠MAB=∠MAN=90°，
∴四边形AMFN是正方形，
∴∠AFE=45°；
(2) 连接AC，作AN⊥EF，垂足为N，
由（1）可知，，∠CAB=∠FAN=45°，
∴∠CAF=∠BAN，
∴△CAF∽△BAN，
，
∴BN=FC，
∵AB=AE，
∴BE=2BN，
∴BE=FC；
(3)连接AC，取AC中点O，连接OG，
∵G是CE的中点，
∴OG=AE=，
∴点G在以O为圆心，为半径的圆上，
当点P与C重合时，G与BC中点重合，当点P与B重合时，G与BA中点重合，
点G运动的路径是以为半径，圆心角为90°的弧长，
路径长为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质，解题关键是恰当的作辅助线，构造全等三角形和相似三角形，通过线段相等或成比例解决问题．
15．（2021·上海·九年级专题练习）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题；
（2）如图2中，作GM⊥AB于M．然后证明△ABE∽△GMF即可解决问题；
（3）如图3中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．
【解析】（1）如图（1），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，
∴DG∥QF，DQ∥GF，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴DQ=GF，
∴FG=AE；
（2）．
理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴GF：AE＝GM：AB，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴GF：AE＝AD：AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，
∴GF：AE＝BC：AB，
∵，
∴．
（3）解：如图（3）中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．
由BE：BF＝3：4 ，设BE＝3k，BF＝4k，则EF＝AF＝5k，
∵，，
∴AE＝，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得，
∴
∴k＝1或﹣1（舍去），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴，
∴，
∴EM＝ ，PM＝ ，
∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，
∴PC＝=．
【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键．
16．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．
（1）求证：△HDO≌△EAO；
（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．
【答案】（1）见解析；（2）（0＜x≤4）；（3）BF＝2或
【分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD，∠EOH=90°，OE=OH，由全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，根据等腰直角三角形的性质得到AN=BN=ON=AB=2，根据勾股定理得到OF===，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
（3）①当AE=EG时，△AEG是等腰三角形，②当AE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P③当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．
【解析】解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，AO＝OD，
∵四边形OEGH是正方形，
∴∠EOH＝90°，OE＝OH，
∴∠AOE＝∠DOH，
∴△HDO≌△EAO（SAS）；
（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，则AN＝BN＝ON＝AB＝2，
∵BF＝x，
∴AF＝4﹣x，
∴FN＝2﹣x，
∴OF＝＝＝，
∴EF＝y﹣，
∵AM⊥AC，
∴AE∥OB，
∴，
∴＝，
∴；
（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，则AE＝OE，
∵∠EAO＝90°，
∴这种情况不存在；
②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，
如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE，
∴∠PAE＝∠AEO，
∴△APE∽△EAO，
∴＝，
∵AE＝AG，
∴PE＝y＝，AE＝＝，
∴＝，解得：x＝2，
②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，
如图3，过G作GQ⊥AE于Q，
∴∠GQE＝∠EAO＝90°，
∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，
∴∠EGQ＝∠AEO，
∵GE＝OE，
∴△EGQ≌△OEA（AAS），
∴EQ＝AO＝2，
∴AE＝2EQ＝4＝，∴x＝，∴BF＝2或．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．（2021·上海·九年级专题练习）在四边形中，点E为边上的一点，点F为对角线上的一点，且．
（1）若四边形为正方形．
①如图1，请直接写出_________；
②将绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点B顺时针旋转得到，连接，请在图3中画出草图，并直接写出与的数量关系．
【答案】（1）①；②DF=AE，理由见解析；（2）．
【分析】（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BD=AB，再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF=BE，所以BD-BF=AB-BE，从而得到DF=AE；
②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，结合，则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以；
（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD=AB，再证明△BEF∽△BAD得到，则，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得．
【解析】（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BF=BE，
∴BD-BF=AB-BE，
∴DF=AE，
∴，
故答案为：；
②DF=AE．理由如下：
∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，
∴∠ABE=∠DBF，
∵，，
∴，
∴△ABE∽△DBF，
∴，
∴DF=AE；
（2）如图3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=mAB，
∴BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴，
∴，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，
∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，
∴，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴，
即．
【点睛】本题属于相似形的综合题，主要考查了旋转的性质、矩形和正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用相似比表示线段之间的关系．
18．（2021·上海闵行·九年级期末）如图，在矩形中，，，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设，．
（1）求证：，并求的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接BG，当与相似时，求x的值．
【答案】（1）证明见解析；；（2）；（3）和；
【分析】（1）根据垂直关系得到，根据AA即可证明，得到，再根据正切的定义即可求解；
（2）先证明，得到，代入得到，故可求解；
（3）根据题意分和，分别列出比例式求出x的值即可求解．
【解析】解：（1）∵，
∴
在和中
∴
∵，，
∴
∴
（2）由（1）可知
∴
∴
∵ABCD
∴，
∴
∴
∴，
（3）∵，，
过点E作EM⊥CD于M点，∴四边形AEMD为矩形
∴MH=DH-DM=DH-AE=y-x，
∴，，，
∵ABCD
∴
∴
∴
∴
∵，
若，
∴
∴
即
化简得
∵
∴
化简得
解得或(舍去)
若，则有
∴
∴
∴
综上，和时与相似．
【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
19．（2020·上海浦东新·九年级阶段练习）如图，梯形ABCD中，AD//BC，，且，．点M为边BC上一动点，连接AM并延长交射线DC于点F，作交射线BC于点E、交边DC于点N，联结EF．
（1）当时，求CF的长；
（2）连接AC，求证：
（3）设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）作于H，结合题意，通过证明AHCD为平行四边形，得，；结合，推得是直角等腰三角形，，再通过证明，利用相似比计算即可得到答案；
（2）连接AC，通过证明和，求得；利用，得到；再通过三角形内角和及，得到，从而推导得，即可完成解题；
（3）根据，且，得，从而得到，再根据相似比以及直角中勾股定理，建立等式并求解，即可得到答案．
【解析】（1）作于H
∴
∵
∴
∵
∴AHCD为平行四边形
∴，
∵
∴
∴是等腰三角形
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
即
∴；
（2）连接AC，如图：
∵，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）∵，且
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵点M为边BC上一动点，连接AM并延长交射线DC于点F
∴
∴点M在点H和点C之间，即
∴．
【点睛】本题考查了梯形、平行四边形、等腰三角形、直角三角形勾股定理、相似三角形、一元一次方程、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．
20．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）①当α＝0°时，= ； ②当α＝180°时，= ；
（2）试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【答案】（1）①，②； （2）无变化，证明见解析； （3）或．
【分析】（1）①先用勾股定理求出AC，再由中点可求出BD，AE，从而得到答案；
②当α＝180°时，点E在AC的延长线上，点D在BC的延长线上，由题可知，CD＝BC，CE＝AC，即可得出结论；
（2）先找到，然后证明△ACE∽△BCD，即可得出结论；
（3）先由（2）可算出BD＝AE，然后分类讨论即可得出结论．
【解析】解：（1）①当α＝0°时，
在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1，
∴AC＝，
∵点D，E是BC，AC的中点，
∴BD＝BC＝，AE＝AC＝，
∴；
②当α＝180°时，如图，
点E在AC的延长线上，点D在BC的延长线上，
由题意可知，CD＝BC，CE＝AC，
∴BD＝BC+CD＝BC＝，AE＝AC+CE＝AC＝，
∴；
（2）无变化，
在图1中，点D，E是BC，AC的中点，
∴DE∥BA，
∴，
如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
∴仍然成立，
由旋转知，∠ACE＝∠BCD＝α，
∴△ACE∽△BCD，
∴，
∴的大小不变；
（3）由（1）知，CE＝AC＝，
在Rt△CBE中，BC＝1，根据勾股定理得，BE＝，
由（2）知，，
∴BD＝AE，
如图3，当点落在线段AB上时，
AE＝AB﹣BE＝，
∴BD＝AE＝×＝；
如图4，当点落在线段AB的延长线上时，
AE＝AB+BE＝2+＝
∴BD＝AE＝×＝，
即：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，线段BD的长为或．
【点睛】本题考查了几何变换的综合问题，主要考查了勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的思想是解题的关键．
21．（2022·上海·八年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点（D不与B、C点重合），作DE⊥AB，垂足为E. 连接AD，设CD=x，DE=y．
(1)当E点为AB的中点时，求CD的长；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)过B作DE的平行线交AD的延长线于F，当△BDF为以BD为腰的等腰三角形时，直接写出CD的长度．
【答案】(1)；
(2)（）；
(3)3或．
【分析】（1）利用条件证明DA =DB，在Rt△ACD中，利用勾股定理求解即可；
（2）利用，即可求出y关于x的函数关系式；
（3）分情况讨论：当BD=BF时，利用，解得x=3；当BD=DF时，证明BD=AD，所以，解得．
（1）
解:∵E点为AB的中点，DE⊥AB，
∴DA =DB，设CD=x，则DA=DB=8－x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
，即，
解得，即CD=；
（2）
解：根据等面积法，得，
∴，
∴（）；
（3）
解：如图3所示，
当BD=BF时，∠1=∠2=∠3，
在Rt△ABF中，，
在Rt△ACD中，，
∴，解得x=3；
当BD=DF时，∠1=∠4，又∠ABF=90，
∴∠4+∠5=90，∠1+∠6=90，
∴∠5=∠6，∴BD=AD，
∴，解得；
综上所述：当△BDF为以BD为腰的等腰三角形时，CD的长度为3或．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，一次函数的实际应用，（3）中注意分情况讨论．
22．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是射线BC上的一个动点，过点B作BE⊥DA，垂足为点E，延长BE交射线CA于点F，设BD＝x，AF＝y．
(1)如图1，当点C是线段BD的中点时，求tan∠ADB的值；
(2)如图2，当点D在BC的延长线上，求y关于x的函数解析式及其定义域．
(3)当AE＝3EF时，求△ABD的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【解析】(1)
在中，，，
∴，
如图1，过点作，垂足为，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵是线段的中点，
∴，
∴，
在中，
(2)
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图2，过点作，交于点，
∵，，
∵，，，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∴，
∴
(3)
情况一：当点在的延长线上时，
在与中
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
情况二：当点在的边上时，
在与中
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
同（2），如图5，过点作交的延长线于点，
可求得
∴，
∴，
∴，
∴
综上所述或
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正切值，求函数解析式和定义域，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23．（2022·上海虹口·九年级期末）已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．
(1)当点E在线段AB上时，求证：；
(2)在（1）题的条件下，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)记DE交射线AC于点G，当时，求CD的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理可得，，由其性质：相似三角形的对应边成比例，进行等量代换即可证明；
（2）根据正切函数设，，利用勾股定理确定三边长度，根据（1）中，代入可确定y与x的函数关系式，考虑当时，，当时，点E与点B重合，点F与点C重合，此时x取得最大值；当时，，不符合题意，不进行讨论；综合即可得出自变量的取值范围；
（3）分两种情况进行讨论：当点G在线段AC上时，延长AF交BC于点M，作于点N，根据相似三角形的性质及角之间的关系可得，再由等腰三角形三线合一的性质得出，根据三角形等面积法即可得出，由此确定CD；当点G在AC的延长线上时，根据相似三角形的性质及三角形外角的性质可得这种情况不存在，综合两种情况即可得出结果．
（1）
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：∵，，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
当时，，符合题意，
∴；
当时，点E与点B重合，点F与点C重合，此时x取得最大值，
∴，
当时，
，不符合题意，不进行讨论；
综上可得：；
（3）
解：如图所示：当点G在线段AC上时，延长AF交BC于点M，作于点N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵AM平分，
∴，
由得，
，
解得：，
∴；
如图所示：当点G在AC的延长线上时，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
这种情况不存在，
∴．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
24．（2022·上海崇明·九年级期末）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将ADE绕点D针旋转90°，E点落在点F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．求证：
(1)当时，求的值；
(2)当点E在线段AB上，如果，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当时，求AE的值．
【答案】(1)；
(2)，0≤x≤1；
(3)AE的值为或．
【分析】（1）过点E作EH⊥BD与H，根据正方形的边长为1，，求出EB=1-，根据正方形性质可求∠ABD=45°，根据EH⊥BD，得出∠BEH=180°-∠EBH-∠EHB=180°-45°-90°=45°，求出EH=BH=BEsin45=，以及 DH=DB-BH=，利用三角函数定义求解即可；
（2）解：根据AE=x，求出BE=1-x，根据旋转将△ADE绕点D针旋转90°，得到△DCF，CF=AE=x，根据勾股定理ED=FD=,EF=，可证△DEF为等腰直角三角形，先证△BEM∽△FDM，得出，再证△EMD∽△BMF，得出，两式相乘得出，整理即可；
（3）当点G在BC上，，先证△BGM∽△DAM，得出，由（2）知△BEM∽△FDM，得出，得出，结合，消去y， 当点G在CB延长线上，，过M作ML⊥BC，交直线BC于L，证明△BGM∽△DAM，得出，根据∠LBM=∠CBD=45°，ML⊥BC，证出△MLB为等腰直角三角形，再证△MLB∽△DCB，，CD=1，ML=，ML∥BE，结合△LMF∽△BEF，得出即解方程即可．
（1）解：过点E作EH⊥BD与H，∵正方形的边长为1，，∴EB=1-，∵BD为正方形对角线，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∵EH⊥BD，∴∠BEH=180°-∠EBH-∠EHB=180°-45°-90°=45°，∴EH=BH，∴EH=BH=BEsin45=，AB=BDcs45°，∴，∴DH=DB-BH=，；
（2）解：如上图，∵AE=x，∴BE=1-x，∵将△ADE绕点D针旋转90°，得到△DCF，∴CF=AE=x，ED=FD=,∴BF=BC+CF=1+x，在Rt△EBF中EF=，∵∠EDF=90°，ED=FD，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠DFE=∠DEF=45°，∴∠EBM=∠MFD=45°，∵∠EMB=∠DMF，∴△BEM∽△FDM，∴，即，∵∠DEM=∠FBM=45°，∠EMD=∠BMF，∴△EMD∽△BMF，∴，即，∴，∴，∴即，∴，0≤x≤1；
（3）解：当点G在BC上，，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BG，∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∵由（2）知△BEM∽△FDM，∴，∵DB=，∴，∴，∴，∵，∴即，解，舍去；当点G在CB延长线上，，过M作ML⊥BC，交直线BC于L，∵GB∥AD，∴∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∴，∴，∵∠LBM=∠CBD=45°，ML⊥BC，∴△MLB为等腰直角三角形，∵ML∥CD，∴∠LMB=∠CDB，∠L=∠DCB，∴△MLB∽△DCB，∴，CD=1，∴ML=∵ML∥BE，∴∠L=∠FBE，∠LMF=∠BEF，∴△LMF∽△BEF，∴，∵BE=AE-AB=x-1，LF=LB+BC+CF=，BF=BC+CF=1+x，∴，整理得：，解得，舍去，∴AE的值为或．
【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转先证，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数定义，三角形相似判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，函数关系式，本题难度大，利用辅助线狗仔三角形相似是解题关键．
25．（2020·上海浦东新·九年级阶段练习）在等腰直三角形ABC中，，已知，，M为边BC的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）设点M的坐标为（a，b），求的值；
（3）探究：在x轴上是否存在点P，使以O、P、M点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简述理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，，
【分析】（1）如图1中，作CD⊥x轴于D．证明△ABO≌△CAD（AAS），利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）过点M作轴，垂足为点H．根据平行线等分线段定理证得H是OD中点，再求出M坐标即可解决问题；
（3）在Rt△中，，得，证得OM平分∠BOD
，再由△OMB与△OMP相似，根据相似的性质求出P点坐标即可；
【解析】解：（1）过点C作轴，垂足为点D．
∵△是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又
∴，
∵，
∴△△．
∴，，
∴
（2）过点M作轴，垂足为点H．
∵，．
∴
∴，
∴
（3）存在点P，分两种情况：
∵在Rt△中，
∵，
∴
当点P在轴时，
∵，
∴当△OMB与△OMP时．有或
∴或
∴，
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．（2021·上海·九年级专题练习）（1）正方形中，对角线与相交于点，如图1，请直接猜想并写出与之间的数量关系：________；
（2）如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转得到，连接，，请猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，矩形和有公共顶点，且，，则________．
【答案】（1）AO＝CD；（2），见解析；（3）
【分析】(1)根据正方形的性质可得，,由锐角三角比可得AO与CD的关系；
(2)由正方形性质可得，△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，得,由旋转可得BC1＝BO1，易证△BDC1∽△BAO1,可得，即;
(3)由∠EBF＝∠ABD＝30°，运用锐角三角比可得，易证∠EBA＝∠FBD，可得△AEB∽△FBD，即.
【解析】解：(1) ∵四边形ABCD为正方形，
∴,
∴AO＝CD．
(2) 如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，AC＝BD，OB＝OC，∠OBC＝∠ABO＝45°，∠BOC＝90°，
∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△BO1C1，
∴∠O1BC1＝∠OBC＝45°，OB＝O1B，BC1＝BC，
∴BC1＝BO1，
∵∠1+∠3＝45°，∠2+∠3＝45°，
∴∠1＝∠2，
∴△BDC1∽△BAO1
∴，
∴
(3) 如图3 在Rt△EBF中，cs∠EBF＝
在Rt△ABD中，cs∠ABD＝，
∵∠EBF＝∠ABD＝30°，
∴，
∵∠EBF+∠FBA＝∠ABD+∠FBA，
即∠EBA＝∠FBD，
∴△AEB∽△FBD，
∴.
【点睛】本题考查了正方形的性质，锐角三角比以及相似三角形的判定与性质，较为综合，熟练分析图形，寻找相等的角与相似三角形是解题的关键.