沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期末试卷01(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期末试卷01(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数属于二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，、、所对的边分别为a、b、c，如果a=3b，那么∠A的余切值为（ ）
A．B．3C．D．
3．如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ）
A．向右平移4个单位，向上平移11个单位
B．向左平移4个单位，向上平移11个单位
C．向左平移4个单位，向上平移5个单位
D．向右平移4个单位，向下平移5个单位．
4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是
A．B．C．D．
5．下列判断错误的是（ ）．
A．若或，则B．若m为实数，则
C．若，则D．在平行四边形中，
6．如图，在中，于点D，于点E，，，，则（ ）
A．4.8B．3.6C．6.4D．3
二、填空题
7．如果，那么锐角__．
8．在比例尺为1:8000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为____________千米
9．已知线段，，若线段是线段、的比例中项，则＝__________．
10．二次函数的图像与y轴的交点坐标为____________
11．已知点P是线段AB上的一点，且，如果AB=10cm，那么BP=_____cm
12．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1_____y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
13．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米
14．如图，在中，点是边上的点，且，如果，，那么________（用、表示）．
15．已知点G是的重心，过点G作MN//BC分别交边AB、AC于点M、N，那么________
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝，则CD＝_____．
17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
18．如图， 已知在 Rt 中， ， 将 绕点 逆时针旋转 后得 ， 点 落在点 处， 点 落在点 处， 联结 ， 作 的平分线 ， 交线段 于点 ， 交线 段 于点 ， 那么 的值为____________．
三、解答题
19．计算
．
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1 y2．
21．如图，已知，点、、、分别在和上，．
（1）求的值；
（2）若，，用向量与表示．
22．如图，已知在四边形中，，，与相交于点，，．
（1）求证：∠=∠；
（2）求的值．
23．已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足．
(1)求证：
(2)求证：
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点与轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与轴交于点E．
(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标
(2)如果，求抛物线的表达式；
(3)在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标
25．如图1，在中，已知，，．点D是边上一动点，过点D作交射线于点E，把沿翻折，点C落在点G处，和相交于点F．
(1)若点G和点B重合，请在图2中画出相应的图形，并求CE的长．
(2)在（1）的条件下，求证：．
(3)是否存在这样的点D，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出这时的正切值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年九年级上册数学期末试卷01
一、单选题
1．下列函数属于二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义：形如，则是的二次函数，从而可得答案．
【解析】解：A．不是整式，故A错误；
B．整理后得到，是一次函数，故B错误
C．，当时，是一次函数，故C错误；
D．是二次函数的顶点式解析式，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，、、所对的边分别为a、b、c，如果a=3b，那么∠A的余切值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出ctA=，即可得出答案．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=3b，
∴；
故选择：A.
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
3．如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ）
A．向右平移4个单位，向上平移11个单位
B．向左平移4个单位，向上平移11个单位
C．向左平移4个单位，向上平移5个单位
D．向右平移4个单位，向下平移5个单位．
【答案】D
【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解析】解：抛物线的顶点坐标为：（0，），
∵，则顶点坐标为：（4，），
∴顶点由（0，）平移到（4，），需要向右平移4个单位，再向下平移5个单位，
故选择：D.
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例，相似三角形性质，以及合比性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.
【解析】解：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，则
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A错误；
则，故B正确；
则，故C错误；
则，故D错误.
故选择：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行线分线段成比例，合比性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质.
5．下列判断错误的是（ ）．
A．若或，则B．若m为实数，则
C．若，则D．在平行四边形中，
【答案】C
【分析】根据向量的定义，性质和运算法则计算判断即可．
【解析】因为或，则，
故A正确，不符合题意；
因为m为实数，则，
故B正确，不符合题意；
因为，则或，
故C错误，符合题意；
在平行四边形中，则，
所以，
故D正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了向量的定义，性质和运算法则，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．
6．如图，在中，于点D，于点E，，，，则（ ）
A．4.8B．3.6C．6.4D．3
【答案】B
【分析】先证，得到，推出，，利用勾股定理求出，再根据，利用对应边长成比例即可求解．
【解析】解：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是证明．
二、填空题
7．如果，那么锐角__．
【答案】30
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可求解．
【解析】解：，
锐角．
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角三角函数值，是解题的关键．
8．在比例尺为1:8000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为____________千米
【答案】320
【分析】根据比例尺=代入数据计算即可．
【解析】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，
∵比例尺=，
∴1：8000000=4：x，
∴x=32000000，
∴甲、乙两地的实际距离为是320km.
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=是解题的关键．
9．已知线段，，若线段是线段、的比例中项，则＝__________．
【答案】12
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【解析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，
所以c=ab，即6=3b，
解得b=12.
故答案为12.
【点睛】此题考查比例线段，解题关键在于掌握其定义
10．二次函数的图像与y轴的交点坐标为____________
【答案】（0，-1）
【分析】求出二次函数，当x=0时y的值，即可得出答案．
【解析】解：∵，当x=0时，y=-1，
∴二次函数的图象与y轴交点坐标是（0，-1）.
故答案为：（0，-1）．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，求出二次函数当x=0时y的值是解题的关键．
11．已知点P是线段AB上的一点，且，如果AB=10cm，那么BP=_____cm
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义，可得BP=AB，代入数据即可得出BP的长度．
【解析】解：∵点P在线段AB上，BP2=AP•AB，
∴点P为线段AB的黄金分割点，
又AB=10cm，
∴BP=10×=（5）cm．
故答案为 5.
【点睛】此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关键．
12．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1_____y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．
【解析】∵y＝（x﹣2）2，
∴a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，
∵x1＜x2＜2，
∴y1＞y2．
故答案为＞．
【点睛】考查了二次函数的性质，解题关键是熟记其性质：函数图象对称轴为直线x=-，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
13．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米
【答案】2.4
【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD=AB=3.5m，OD=OA=3m，CH=0.3m，
∴OC=0.5m，
∴，
∴DG=1.8m，
∵OE=0.6m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m)．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
14．如图，在中，点是边上的点，且，如果，，那么________（用、表示）．
【答案】
【分析】利用三角形法则求得，则，即可求解．
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了平面向量的线性运算．掌握三角形法则的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
15．已知点G是的重心，过点G作MN//BC分别交边AB、AC于点M、N，那么________
【答案】
【分析】延长AG交BC于H．由G是△ABC的重心，推出AG：GH=2：1，推出AG：AH=2：3，由MN∥BC，推出△AMN∽△ABC，，可得，即可解决问题．
【解析】解：如图，延长AG交BC于H．
∵G是△ABC的重心，
∴AG：GH=2：1，
∴AG：AH=2：3，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，，
∴.
【点睛】本题考查三角形的重心，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝，则CD＝_____．
【答案】
【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．
【解析】如图，延长AD、BC相交于点E，
∵∠B=90°，
∴，
∴BE=，
∴CE=BE-BC=2，AE=，
∴，
又∵∠CDE=∠CDA=90°，
∴在Rt△CDE中，，
∴CD=．
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．
17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
【答案】145
【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.
【解析】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，
△ABD与△DBC相似，但不全等，
∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.
又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，
∴∠ADB+∠BDC=145°，
即∠ADC=145°.
【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.
18．如图， 已知在 Rt 中， ， 将 绕点 逆时针旋转 后得 ， 点 落在点 处， 点 落在点 处， 联结 ， 作 的平分线 ， 交线段 于点 ， 交线 段 于点 ， 那么 的值为____________．
【答案】
【分析】根据题意以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q，由可设，，，由旋转可得，，，则，，写出点坐标，由角平分线的性质得，即可得出，即可得，故可推出，求出点P坐标，由得，推出，故得，由相似三角形的性质即可得解．
【解析】
如图，以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q，
∵，
∴设，，，
由旋转可得：，，，
∴，，
∴，，，
∵AN是平分线，
∴，
∴，即可得，
∴，
设直线BE的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、正切值、角平分线的性质以、用待定系数法求一次函数及相似三角形的判定与性质，根据题意建立出适当的坐标找线段长度是解题的关键．
三、解答题
19．计算
．
【答案】
【分析】将cs30°= ，ct60°= ，sin60°= ，tan45°=1分别代入，然后化简即可得出答案．
【解析】解：原式=
=
【点睛】此题考查特殊角的三角函数值，解题关键在于掌握运算法则和特殊三角函数值
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1 y2．
【答案】(1)y=-x2-2x+8
(2)＞
【分析】（1）由题意直接根据待定系数法即可求得；
（2）根据题意先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
(1)
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（-1，9），C（0，8），
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为y=-x2-2x+8.
(2)
∵y=-x2-2x+8=-（x+1）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
21．如图，已知，点、、、分别在和上，．
（1）求的值；
（2）若，，用向量与表示．
【答案】（1）；（2）=.
【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合，即可得出答案；（2）先表示出CB，结合（1）的结论即可得出AG．
【解析】（1）∵
∴.
∵，
∴
∴.
（2）∵，，
∴.
∵，
∴=.
【点睛】此题考查平面向量，解题关键在于掌握运算法则
22．如图，已知在四边形中，，，与相交于点，，．
（1）求证：∠=∠；
（2）求的值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】（1）先由∠BAC=∠BDC=90°与∠AEB=∠DEC，证得△ABE∽△DCE；即可证得，又由∠AED=∠BEC，证得△AED∽△BEC，故可得出∠DAC=∠CBD；
（2）由（1）知△AED∽△BEC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得AE与BE的比值，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解析】（1）∵，，
∴∠CAB=∠BDC=90°.
∵∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△DEC.
∴，即 ,
∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC.
∴∠DAC=∠CBD
(2) ∵△AED∽△BEC ∴
∵， ∴
∴RtΔABE中，=
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键在于证明△ABE∽△DCE.
23．已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足．
(1)求证：
(2)求证：
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据DFBC，得，由AB⋅AF=DF⋅BC，得，∠AFE=∠DFA，可证△AEF∽△DAF，即可得答案；
（2）根据ABCD，得，由，得，再证四边形DFBC是平行四边形，得，最后根据DFBC，即可得答案．
(1)
解：∵DFBC，
∴ ，
∴，
∵AB⋅AF=DF⋅BC，
∴，
∴，
∵∠AFE=∠DFA，
∴△AEF∽△DAF，
∴∠AEF=∠DAF；
(2)
∵ABCD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵DFBC，ABCD，
∴四边形DFBC是平行四边形，
∴DF=BC，
∴，
∵DFBC，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，做题的关键是相似三角形性质的灵活运用．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点与轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与轴交于点E．
(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标
(2)如果，求抛物线的表达式；
(3)在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标
【答案】(1)对称轴是，B(4，0)
(2)y=
(3)F( ，)
【分析】（1）根据二次函数抛物线的性质，可求出对称轴，即可得点的坐标；
（2）二次函数的轴平行于对称轴，根据平行线分线段成比例用含的代数式表示的长，= ，可表示的纵坐标，然后把的横坐标代入=2−3−4，可得到关于的方程，求出的值，即可得答案；
（3）先证△BCF∽△BFD，得BF2=BD•BC，则BE2+EF2=BD•BC，可得答案．
(1)
解：∵二次函数=2−3−4，
∴对称轴是 ，
∵(−1，0)，
∵1+1.5=2.5，
∴1.5+2.5=4，
∴(4，0)；
(2)
∵二次函数=2−3−4，在轴上，
∴的横坐标是0，纵坐标是−4，
∵轴平行于对称轴，
∴ ，
∴，
∵ ，
∵=，
∵的纵坐标是+
∵的横坐标是对称轴，
∴ ，
∴+=，
解这个方程组得： ，
∴=2−3−4= 2-3×（）-4×（）=；
(3)
∵点B（4，0），点C（0，2），点E
∴OB=4，OC=2，BE=
∴
∵DE∥OC，
∵∠BFC=∠BCO=∠BDF，∠CBF=∠CBF，
∴△BCF∽△BFD，
∴BF2=BD•BC，
∴BE2+EF2=BD•BC，
∴点F坐标为
【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行线分线段成比例、一元一次方程的解法、一元二次方程方程的解法、相似三角形的判定与性质，做题的关键是相似三角形的判定与性质的灵活运用．
25．如图1，在中，已知，，．点D是边上一动点，过点D作交射线于点E，把沿翻折，点C落在点G处，和相交于点F．
(1)若点G和点B重合，请在图2中画出相应的图形，并求CE的长．
(2)在（1）的条件下，求证：．
(3)是否存在这样的点D，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出这时的正切值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)图形见解析；
(2)见解析
(3)，或，或，或
【分析】（1）根据，判定是直角三角形，，当点G和点B重合时，由折叠知，设，得到，，根据勾股定理得到，解得，得到；
（2）由折叠知，，，根据直角三角形斜边上中线性质得到，推出，根据，推出，根据，推出，推出，结合，推出；
（3）过点A作于点H，过点D作于点L，根据，得到，根据，得到，当时，，结合，推出，推出，推出，，得到，得到；当时，，根据等角的余角相等得到，推出，得到，得到，推出，，得到，推出；当时，分点G在点B的左侧和右侧两种情况：若点G在点B的右侧，推出，得到，推出，，得到，推出；若点G在点B的左侧，推出，推出，得到，根据，推出．
【解析】（1）∵在中， ，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∵点G和点B重合，
∴，
由折叠知，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由折叠知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）过点A作于点H，过点D作于点L，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
①当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
③当时，若点G在点B的右侧，
则，
∴，
∴，，
∴，
∴；
若点G在点B的左侧，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
综上，，或，或，或．
【点睛】本题主要考查了三角形折叠，勾股定理与勾股定理的逆定理，相似三角形，等腰三角形，锐角三角函数等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握折叠图形全等的性质，勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数定义和计算，分类讨论．