2024年高三培优讲义37---解三角形中的计算求值问题

这是一份2024年高三培优讲义37---解三角形中的计算求值问题，共71页。试卷主要包含了中线或比例端点的处理策略，高线问题的处理策略，角平分线问题的处理策略，解三角形多解情况 . . 4等内容，欢迎下载使用。

目录
知识点梳理. ..2
一、中线或比例端点的处理策略: . . 2
二、高线问题的处理策略: .3
三、角平分线问题的处理策略: .3
四、解三角形多解情况 . . 4
高考真题梳理与回顾 . . 5
2023 年新课标全国II卷真题: 已知中线长 . . 5
2023 年高考全国甲卷数学 (理)真题. T16 角平分线相关计算 . . 6
2021 新高考一卷 T20: 三等分线相关计算 ..7
题型▱ 周长与面积相关计算 1.11
2022 . 佛山二模 .. 11
2024 届. 广东省六校第二次联考 1.11
2023. 福州二模 .12
2023. 湛江. 一模 1.12
2023. 湖北 5 月联考 . 12
2022. 深圳二模 .13
题型二 给值求角型. .13
2023. 广东. 二模 .13
2023. 广州一模 .13
2023. 重庆. 三模 .13
题型三 角平分线相关计算 1.14
2023. 厦门第四次质检 1.14
2023·广东省六校高三第四次联考 .15
2024 届·云南省昆明市五华区高三上期中 .15
题型@ 中线相关计算. .15
2023. 广州天河区一模 .15
2023 广州市. 一模 1.16
2023. 重庆九龙坡二模 .16
2023. 莆田市二模 .16
2023. 青岛. 三模 .17
2023. 福州三模 .17
题型五 三等分线或其它等分线 1.18
2023. 广州市二模 . 18
2023 届. 巴蜀中学适应性月考 (十) 1.18
2023. 雅礼中学二模 1.18
2023. 重庆一中高三 5 月月考 .19
2023. 深圳二模 .19
题型穴 高线线相关计算 . 20
题型它，其它中间线 . 22
2023. 台州二模 . . 22
2023 上. 肇庆. 二模 .23
题型八 二倍角的处理策略 .. 24
广东省六校 2024 届第一次联考 .. 24
题型: λ 三角形解的个数问题 . 25
题型中 解三角形的实际应用 . 26
类型 1 距离问题 . 26
类型 2 高度问题
题型中一 与三角函数结合 .29
题型十三 重心，外心相关计算 . 30
知识点 ⋅ 梳理
知识点梳理
中间线的处理通用策略: 用 2 次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即 cs∠ADB+cs∠ADC=0
一、中线或比例端点的处理策略:
如图, △ABC 中, AD 为 BC 的中线,已知 AB,AC ,及 ∠A ,求中线 AD 长.
策略一: 如图, 倍长中线构造全等, 再用余弦定理即可
策略二: 向量法, AD=12AB+AC ,等式两边再进行平方
策略三: 两次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即 cs∠ADB+cs∠ADC=0
补充: 若或将条件 “AD 为 BC 的中线” 换为 “ BDCD=λ ” 也适用,此时需要倍长等分线构造相似
二、高线问题的处理策略:
策略一: 等面积法: AD⋅BC=AB⋅AC⋅sin∠BAC
策略二: AD=AB⋅sin∠ABD=AC⋅sin∠ACD
策略三: a=c⋅COSB+b⋅COSC
三、角平分线问题的处理策略:
△ABC 中, AD 平分 ∠BAC .
策略一: 角平分线定理: ABAC=BDCD
证法 1 (等面积法) SABDSACD=BD⋅h1CD⋅h1=AB⋅h2AC⋅h2 ,得 ABAC=BDCD
注: h1 为 A 到 BC 的距离, h2 为 D 到 AB,AC 的距离.
证法 2 (正弦定理)
如图, ABsin∠3=BDsin∠1,ACsin∠4=CDsin∠2 ,而 sin∠1=sin∠2,sin∠3=sin∠4
整理得 ABAC=BDCD
策略二: 利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理
S△ABC=S△ABD+S△ADC⇒12×AB×AC×sinA=12×AB×AD×sinA2+12×AB×AD×sinA2,
策略三: 角互补:
∠ABD+∠ADC=π⇒cs∠ABD+cs∠ADC=0,
在 △ABD 中, cs∠ABD=DA2+DB2−AB22DA×DB ,
在 △ADC 中, cs∠ADC=DA2+DC2−AC22DA×DC ,
四、解三角形多解情况
在 △ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下:
高考真题梳理与回顾
2023 年新课标全国 II 卷真题: 已知中线长
记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 △ABC 的面积为 3,D 为 BC 中点,且 AD=1 .
(1) 若 ∠ADC=π3 ,求 tanB ;
(2) 若 b2+c2=8 ,求 b,c .
【答案】 135;2b=c=2 .
【详解】（1）方法 1: 在 △ABC 中,因为 D 为 BC 中点, ∠ADC=π3,AD=1 ,
则 S△ADC=12AD⋅DCsin∠ADC=12×1×12a×32=38a=12S△ABC=32 ,解得 a=4 ,
在 △ABD 中, ∠ADB=2π3 ,由余弦定理得 c2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB ,
即 c2=4+1−2×2×1×−12=7 ,解得 c=7 ,则 csB=7+4−127×2=5714 ,
sinB=1−cs2B=1−57142=2114,
所以 tanB=sinBcsB=35 .
方法 2: 在 △ABC 中,因为 D 为 BC 中点, ∠ADC=π3,AD=1 ,
则 S△ADC=12AD⋅DCsin∠ADC=12×1×12a×32=38a=12S△ABC=32 ,解得 a=4 ,
在 △ACD 中,由余弦定理得 b2=CD2+AD2−2CD⋅ADcs∠ADB ,
即 b2=4+1−2×2×1×12=3 ,解得 b=3 ,有 AC2+AD2=4=CD2 ,则 ∠CAD=π2 ,
C=π6 ,过 A 作 AE⊥BC 于 E ,于是 CE=ACcsC=32,AE=ACsinC=32,BE=52 ,
所以 tanB=AEBE=35 .
（2）方法 1: 在 △ABD 与 △ACD 中,由余弦定理得 c2=14a2+1−2×12a×1×csπ−∠ADCb2=14a2+1−2×12a×1×cs∠ADC ,
整理得 12a2+2=b2+c2 ,而 b2+c2=8 ,则 a=23 ,
又 S△ADC=12×3×1×sin∠ADC=32 ,解得 sin∠ADC=1 ,而 0<∠ADC<π ,于是 ∠ADC=π2 ,
所以 b=c=AD2+CD2=2 .
方法 2: 在 △ABC 中,因为 D 为 BC 中点,则 2AD=AB+AC ,又 CB=AB−AC ,
于是 4AD2+CB2=AB+AC2+AB−AC2=2b2+c2=16 ,即 4+a2=16 ,解得 a=23 ,
又 S△ADC=12×3×1×sin∠ADC=32 ,解得 sin∠ADC=1 ,而 0<∠ADC<π ,于是 ∠ADC=π2 ,
所以 b=c=AD2+CD2=2 .
2023 年高考全国甲卷数学(理)真题・T16 角平分线相关计算
在 △ABC 中, ∠BAC=60∘,AB=2,BC=6 , ∠BAC 的角平分线交 BC 于 D ,则 AD= ___.
【答案】 2
【详解】
如图所示: 记 AB=c,AC=b,BC=a ,
方法一: 由余弦定理可得, 22+b2−2×2×b×cs60∘=6 ,
因为 b>0 ,解得: b=1+3 ,
由 S△ABC=S△ABD+S△ACD 可得,
12×2×b×sin60∘=12×2×AD×sin30∘+12×AD×b×sin30∘,
解得: AD=3b1+b2=231+33+3=2 .
故答案为: 2 .
方法二: 由余弦定理可得, 22+b2−2×2×b×cs60∘=6 ,因为 b>0 ,解得: b=1+3 ,
由正弦定理可得, 6sin60∘=bsinB=2sinC ,解得: sinB=6+24,sinC=22 ,
因为 1+3>6>2 ,所以 C=45∘,B=180∘−60∘−45∘=75∘ ,
又 ∠BAD=30∘ ,所以 ∠ADB=75∘ ,即 AD=AB=2 . 2021 新高考一卷 T20: 三等分线相关计算
记 △ABC 是内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知 b2=ac ,点 D 在边 AC 上,
BDsin∠ABC=asinC .
（1）证明: BD=b ;
（2）若 AD=2DC ,求 cs∠ABC .
【答案】（1）证明见解析; (2) cs∠ABC=712 .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 BD=acb ,结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理,求得边 a 与 c 的关系,然后利用余弦定理即可求得 cs∠ABC 的值.
【详解】（1）设 △ABC 的外接圆半径为 R ,由正弦定理,
得 sin∠ABC=b2R,sinC=c2R ,
因为 BDsin∠ABC=asinC ,所以 BD⋅b2R=a⋅c2R ,即 BD⋅b=ac .
又因为 b2=ac ,所以 BD=b .
（2）[方法一]【最优解】: 两次应用余弦定理
因为 AD=2DC ,如图,在 △ABC 中, csC=a2+b2−c22ab ,(
在 △BCD 中, csC=a2+b32−b22a⋅b3 . ②
由①②得 a2+b2−c2=3a2+b32−b2 ,整理得 2a2−113b2+c2=0 .
又因为 b2=ac ,所以 6a2−11ac+3c2=0 ,解得 a=c3 或 a=3c2 ,
当 a=c3,b2=ac=c23 时, a+b=c3+3c3当 a=3c2,b2=ac=3c22 时, cs∠ABC=3c22+c2−3c222⋅3c2⋅c=712 .
所以 cs∠ABC=712 . [方法二]: 等面积法和三角形相似
如图,已知 AD=2DC ,则 S△ABD=23S△ABC ,
即 12×23b2sin∠ADB=23×12ac×sin∠ABC ,
而 b2=ac ,即 sin∠ADB=sin∠ABC ,
故有 ∠ADB=∠ABC ,从而 ∠ABD=∠C .
由 b2=ac ,即 ba=cb ,即 CACB=BABD ,即 △ACB∽△ABD ,
故 ADAB=ABAC ,即 2b3c=cb ,
又 b2=ac ,所以 c=23a ,
则 cs∠ABC=c2+a2−b22ac=712 .
[方法三]: 正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 BD=b=AC ,再由 AD=2DC 得 AD=23b,CD=13b .
在 △ADB 中,由正弦定理得 ADsin∠ABD=BDsinA .
又 ∠ABD=∠C ,所以 23bsinC=bsinA ,化简得 sinC=23sinA .
在 △ABC 中,由正弦定理知 c=23a ,又由 b2=ac ,所以 b2=23a2 .
在 △ABC 中,由余弦定理,得 cs∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+49a2−23a22×23a2=712 .
故 cs∠ABC=712 .
[方法四]: 构造辅助线利用相似的性质
如图,作 DE//AB ,交 BC 于点 E ,则 △DEC∽△ABC .
由 AD=2DC ,得 DE=c3,EC=a3,BE=2a3 .
在 △BED 中, cs∠BED=2a32+c32−b22⋅2a3⋅c3 .
在 △ABC 中 cs∠ABC=a2+c2−b22ac .
因为 cs∠ABC=−cs∠BED ,
所以 a2+c2−b22ac=−2a32+c32−b22⋅2a3⋅c3 ,
整理得 6a2−11b2+3c2=0 .
又因为 b2=ac ,所以 6a2−11ac+3c2=0 ,
即 a=c3 或 a=32c .
下同解法 1.
[方法五]: 平面向量基本定理
因为 AD=2DC ,所以 AD=2DC .
以向量 BA,BC 为基底,有 BD=23BC+13BA .
所以 BD2=49BC2+49BA⋅BC+19BA2 ,
即 b2=49a2+49accs∠ABC+19c2 ,
又因为 b2=ac ,所以 9ac=4a2+4ac⋅cs∠ABC+c2 . ③
由余弦定理得 b2=a2+c2−2accs∠ABC ,
所以 ac=a2+c2−2accs∠ABC ④
联立③④,得 6a2−11ac+3c2=0 .
所以 a=32c 或 a=13c . 下同解法 1 .
重点题型。归类精练
题型一 周长与面积相关计算
2022 . 佛山二模
1. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B=2π3 ,且 5a=3c ,若 △ABC 的面积为 153 ,求 c
2024 届 - 广东省六校第二次联考
2. 已知 △ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,sinC=223,a=b+2,c=32 ,求 △ABC 的面积.
2023. 福州二模
3. △ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,AB⋅AC=−1,△ABC 的面积为 2 ,若 a=22 ,求 △ABC 的周长.
2023. 湛江. 一模
4. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 A=π6,△ABC 的面积为 332,b=2 , 求 a . 2023. 湖北 5 月联考
5. 已知在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 A=C ,若 B=π6,△ABC 的面积为 4,求 △ABC 的周长.
2022. 深圳二模
6. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 B=2A ,当 a=4,b=6 时,求 △ABC 的面积 S .
题型二 给值求角型
2023. 广东. 二模
7. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 C=π3 ,若 a+b=3c ,求 sinA .
2023. 广州一模
8. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,c=2b,2sinA=3sin2C ,求 sinC .
2023. 重庆. 三模
9. 已知 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,sinA−BtanC=sinAsinB .
(1) 求 a2+c2b2 ; (2) 若 csB=23 ,求 sinA .
题型三 角平分线相关计算
2023 . 厦门第四次质检
10. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 B=2π3 ,若 b=7,c=2a,D 是 AC 上一点, BD 为角 B 的平分线,求 BD .
2023 - 广东省六校高三第四次联考
11. 已知 △ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 A=23π ,若 AD 平分 ∠BAC 交线段 BC 于点 D , 且 AD=1,BD=2CD ,求 △ABC 的周长.
2024 届 - 云南省昆明市五华区高三上期中
12. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,AD 平分 ∠BAC 且交 BC 于点 D . 已知 AD=1,△ACD 的面积为 1,若 CD=2BD ,求 tan∠BAC .
题型@ 中线相关计算
2023. 广州天河区一模
13. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c ,且满足 A=2π3,a=19,BA⋅AC=3,AD 是 △ABC 的中线,求 AD 的长. 2023 广州市. 一模
14. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,sinC=144,2sinA=3sin2C ,
若 △ABC 的面积为 372 ,求 AB 边上的中线 CD 的长.
2023. 重庆九龙坡二模
15. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 A=2π3,b2−a2+c2+3c=0,△ABC 的面积为 1534 , 求边 BC 的中线 AD 的长.
2023 . 莆田市二模
16. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2,D 为 AB 的中点,且 CD=2 .
(1) 证明: c=2b ; (2)若 ∠ACB=π4 ,求 △ABC 的面积.
2023. 青岛. 三模
17. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 B=π3 ,若 c=3a,D 为 AC 中点, BD=13 , 求 △ABC 的周长.
18. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知 B=2π3,c=2,D 为 AC 的中点, BD2=34BC ,求 △ABC 的面积.
题型五 三等分线或其它等分线
2023. 广州市二模
19. 记 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 A=π3 ,点 D 在 BC 边上,且 CD=2BD,csB=33 , 求 tan∠BAD .
2023 届・巴蜀中学适应性月考 (十)
20. 已知 △ABC 的三内角 A,B,C 所对边分别是 a,b,c ,且满足 a=b ,若点 D 是边 AC 上一点, BD=13BC+23BA, c=15, BD=23 ,求边 a 的大小.
2023 . 雅礼中学二模
21. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 sinA=3sinB ,点 D 在边 BC 上,若 DC=DA=13BC ,求 csA .
2023 . 重庆一中高三 5 月月考
22. 如图,在 △ABC 中,若 AB=AC,D 为边 BC 上一点, BD=2DC,AD=2,sin∠ADCsin∠ACD=3 ,则
2023. 深圳二模
23. 已知 a,b,c 分别为 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 a2=b2+2c2 ,若 A=2π3,a=3,BC=3BM ,求 AM 的长度.
题型穴 高线线相关计算
24. (2023 秋. 山东泰安. 高三统考阶段练习) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 A=135∘,b=2,c= 2 .
(1) 求 sinC 的值; (2) 若 D 是 BC 上一点, AC⊥AD ,求 △ABD 的面积.
25. △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cs2B+C=1,∠A 的平分线交 BC 边于 D ,过 D 作 DE⊥AC ,垂足为点 E .
(1) 求角 A 的大小; (2) 若 b=2,c=4 ,求 AE 的长.
26. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=6,bsin2A=45sinB .
(1) 若 b=1 ,证明: C=A+π2 ; (2) 若 BC 边上的高为 853 ,求 △ABC 的周长.
27. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 c−3bsinA=a2+c2−b22c−b .
(1) 求 A ; (2) 若 b=14c ,且 BC 边上的高为 23 ,求 a .
28. 已知 H 为锐角 △ABC 的垂心, AD,BE,CF 为三角形的三条高线,且满足 9HD⋅HE⋅HF=HA⋅HB⋅HC .
(1) 求 csAcsBcsC 的值. (2) 求 cs∠CAB⋅cs∠CBA 的取值范围.
题型(c) 其它中间线
2023. 台州二模
29. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 A=π3 ,若点 D 为边 BC 上的一个点,且满足 cs∠BAD=45 ,求 △ABD 与 △ACD 的面积之比.
30. 如图,在 △ABC 中,若 AB=AC,D 为边 BC 上一点, BD=2DC,AD=2,sin∠ADCsin∠ACD=3 ,则
31. 如图,在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知 A=π3 . 若 D 为线段 BC 延长线上一点,且 ∠CAD=π4,BD=3CD ,求 tan∠ACB .
题型八 二倍角的处理策略
广东省六校 2024 届第一次联考
32. 在 △ABC 中, AB=4,D 为 AB 中点, CD=7,∠BAC=2∠ACD ,求 AC 的长.
33. 在 △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 A=2B ,求证: a2−b2=bc ;
34. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 b=4 . 若 A=2B ,且 △ABC 的边长均为正整数,求 a .
35. 已知 a,b,c 分别是 △ABC 的角 A,B,C 的对边, bsinB−asinA=sinC2bcs2B−c .
(1) 求证: A=2B ; (2) 求 ca 的取值范围.
36. 在 △ABC 中, c=2,acsC=csinA ,若当 a=x0 时的 △ABC 有两解,则 x0 的取值范围是
37. 若满足 ∠ABC=π3,AC=3,BC=m 的 △ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围是___.
38. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别 a,b,c ,且 B=π3 ,若 b=23,c=xx>0 ,当 △ABC
仅有一解时,写出 x 的范围,并求 a−c 的取值范围.
39. 已知 △ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c,A=60∘ ,若 a=3,b=mm>0 ,当 △ABC 有且只有一解时,求实数 m 的范围及 △ABC 面积 S 的最大值.
题型中 解三角形的实际应用
类型 1 距离问题
40. 一游客在 A 处望见在正北方向有一塔 B ,在北偏西 45∘ 方向的 C 处有一寺庙,此游客骑车向西行 1 km 后到达 D 处，这时塔和寺庙分别在北偏东 30∘ 和北偏西 15∘ ，则塔 B 与寺庙 C 的距离为___ km .
41. (2023・全国・高三专题练习) 山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标 (如图 1), 其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计,将数学符号 “ ∞ ” 完美嵌入其中,寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新. 如图 2,为了测量科技馆最高点 A 与其附近一建筑物楼顶 B 之间的距离,无人机在点 C 测得点 A 和点 B 的俯角分别为 75∘,30∘ ,随后无人机沿水平方向飞行 600 米到点 D ,此时测得点 A 和点 B 的俯角分别为 45∘ 和 60∘ ( A,B,C,D 在同一铅垂面内),则 A,B 两点之间的距离为___米.
(图1)
(图2)
42. 如图,为了测量 A,C 两点间的距离,选取同一平面上的 B,D 两点,测出四边形 ABCD 各边的长度 (单位: km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5 ,且 A,B,C,D 四点共圆,则 AC 的长为___ km .
43. 如图,一条巡逻船由南向北行驶,在 A 处测得灯塔底部 C 在北偏东 15∘ 方向上,匀速向北航行 20 分钟到达 B 处,此时测得灯塔底部 C 在北偏东 60∘ 方向上,测得塔顶 P 的仰角为 60∘ ,已知灯塔高为 23 km . 则巡逻船的航行速度为___ km/h .
类型 2 高度问题
44. 如图,某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度,先在山脚 A 处测得山顶 C 处的仰角为 60∘ ,又利用无人机在离地面高 300 m 的 M 处 (即 MD=300 m ),观测到山顶 C 处的仰角为 15∘ ,山脚 A 处的俯角为 45∘ ,则山高 BC= ___m.
45. 如图,某沿海地区计划铺设一条电缆联通 A、B 两地, A 处位于东西方向的直线 MN 上的陆地处, B 处位于海上一个灯塔处,在 A 处用测角器测得 tan∠BAN=34 ,在 A 处正西方向 1 km 的点 C 处,用测角器
测得 tan∠BCN=1 . 现有两种铺设方案: ①沿线段 AB 在水下铺设; ② 在岸 MN 上选一点 P ,设 ∠BPN=θ , θ∈0,π2 ,先沿线段 AP 在地下铺设,再沿线段 PB 在水下铺设,预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元/km、 4 万元/km.
(1) 求 A、B 两点间的距离; (2) 请选择一种铺设费用较低的方案,并说明理由.
46. 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C 与 D . 现测得 ∠BCD=α=35∘,∠BDC=β=100∘,CD=400 m . 在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 50.5∘ .
(1) 求 B 与 D 两点间的距离 (结果精确到 1 m ); (2) 求塔高 AB (结果精确到 1 m ).
参考数据: 取 2sin35∘=0.811,2sin80∘=1.393,tan50.5∘=1.2 .
47. 中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题 (如图 1): 今有望海岛, 立两表齐, 高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直. 从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合. 从后表却行百二十七步, 人目着地取望岛峰, 亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题,如图 2,要测量海岛上一座山峰的高度 AH ,立两根高 48 丈的标杆 BC 和 DE ,两竿相距 BD=800 步, D,B,H 三点共线且在同一水平面上,从点 B 退行 100 步到点 F ,此时 A,C,F 三点共线,从点 D 退行 120 步到点 G ,此时 A,E,G 三点也共线,则山峰的高度 AH= ___步. (古制单位:180 丈 =300 步)
图1
图2
题型十一 与三角函数结合
48. 已知函数 fx=2sinωx+φω>0,φ<π2 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 ,且 fx 的图
象的一个对称中心为 5π12,0 .
(1) 求 fx 的解析式;
(2) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 A=π3,a=fA ,且 △ABC 的面积为 312 ,求 △ABC 的周长.
49. 已知向量 m=csx,sinx,n=csx,3csx,x∈R ,设函数 fx=m⋅n+12
(1) 求函数 fx 的单调递增区间;
(2) 设 a,b,c 分别为 △ABC 的内角 A,B,C 的对边,若 fA=2,b+c=22,△ABC 的面积为 12 ,求 a 的值.
50. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,fx=4csxsinx−π6 的最大值为 fA .
(1)求角 A ；
(2)若点 D 在 BC 上，满足 BC=3DC ，且 AD=7，AB=3 ，求角 C .
题型十三 重心，外心相关计算
51. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 3c2=a2+8b2 .
(1) 求 csB 的最小值; (2)若 M 为 △ABC 的重心, ∠AMC=90∘ ,求 sin∠AMBsin∠CMB .
52. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 3asinB−acsC=ccsA,b=6,G 为 △ABC 的重心.
(1) 若 a=2 ,求 c 的长;
(2) 若 AG=33 ,求 △ABC 的面积.
53. △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=6,bsinB+C2=asinB .
(1) 求 A 的大小;
(2) M 为 △ABC 内一点, AM 的延长线交 BC 于点 D ,___,求 △ABC 的面积.
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上,使 △ABC 存在,并解决问题.
① M 为 △ABC 的重心, AM=23 ;
② M 为 △ABC 的内心, AD=33 ;
③ M 为 △ABC 的外心, AM=4 .
54. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 a,b,c 是公差为 2 的等差数列.
(1) 若 2sinC=3sinA ,求 △ABC 的面积.
(2)是否存在正整数 b ,使得 △ABC 的外心在 △ABC 的外部? 若存在,求 b 的取值集合; 若不存在,请说明理由.
55. 在 △ABC 中,角 A,B,C 对应的三边分别为 a,b,c,tanA+1tanB+1=2,c=22,a=2,O
为 △ABC 的外心,连接 OA,OB,OC .
（1）求 △OAB 的面积; (2) 过 B 作 AC 边的垂线交于 D 点,连接 OD ,试求 cs∠OBD 的值.
56. 在 △ABC 中,三内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,a=6 .
(1)求 bcsC+ccsB 的值; (2)若 O 是 △ABC 的外心,且 3⋅OA+OB+2⋅OC=0 ,求 △ABC 外接圆的半径.
专题 7-2 解三角形中的计算求值问题 - 12 类题型
题型 ⋅ 归纳
目录
知识点梳理. ..2
一、中线或比例端点的处理策略: . . 2
二、高线问题的处理策略: .3
三、角平分线问题的处理策略: .3
四、解三角形多解情况 . . 4
高考真题梳理与回顾 . . 5
2023 年新课标全国II卷真题: 已知中线长 . . 5
2023 年高考全国甲卷数学 (理) 真题. T16 角平分线相关计算 . . 6
2021 新高考一卷 T20: 三等分线相关计算 ..7
题型▱ 周长与面积相关计算 1.11
2022 . 佛山二模 .. 11
2024 届. 广东省六校第二次联考 1.11
2023·福州二模 1.11
2023. 湛江. 一模 .12
2023. 湖北 5 月联考 . 12
2022. 深圳二模 .13
题型二 给值求角型. .13
2023. 广东. 二模 .13
2023. 广州一模 1.14
2023. 重庆. 三模 1.15
题型三 角平分线相关计算 .15
2023. 厦门第四次质检 .15
2023. 广东省六校高三第四次联考 .16
2024 届·云南省昆明市五华区高三上期中 .17
题型@ 中线相关计算. . 18
2023. 广州天河区一模 1.18
2023 广州市. 一模 1.18
2023. 重庆九龙坡二模 .19
2023. 莆田市二模 .19
2023. 青岛. 三模 . . 20
2023. 福州三模 .. 21
题型五 三等分线或其它等分线 .. 21
2023. 广州市二模 .. 21
2023 届. 巴蜀中学适应性月考 (十) . . 22
2023. 雅礼中学二模 .23
2023. 重庆一中高三 5 月月考 .23
2023. 深圳二模 .. 24
题型穴 高线线相关计算 .. 25
题型它，其它中间线 . . 28
2023. 台州二模 .. 28
2023 上. 肇庆. 二模 .. 29
题型八 二倍角的处理策略 . 30
广东省六校 2024 届第一次联考 .30
题型: λ 三角形解的个数问题 . 32
题型中 解三角形的实际应用 .. 35
类型 1 距离问题 . 35
类型 2 高度问题 . 37
题型中一 与三角函数结合 .. 40
题型十三 重心，外心相关计算 .. 43
知识点。梳理
知识点梳理
中间线的处理通用策略：用 2 次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即 cs∠ADB+cs∠ADC=0
一、中线或比例端点的处理策略:
如图, △ABC 中, AD 为 BC 的中线,已知 AB,AC ,及 ∠A ,求中线 AD 长.
策略一: 如图, 倍长中线构造全等, 再用余弦定理即可
策略二: 向量法, AD=12AB+AC ,等式两边再进行平方
策略三: 两次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即 cs∠ADB+cs∠ADC=0
补充: 若或将条件 “AD 为 BC 的中线” 换为 “ BDCD=λ ” 也适用,此时需要倍长等分线构造相似
二、高线问题的处理策略:
策略一: 等面积法: AD⋅BC=AB⋅AC⋅sin∠BAC
策略二: AD=AB⋅sin∠ABD=AC⋅sin∠ACD
策略三: a=c⋅COSB+b⋅COSC
三、角平分线问题的处理策略:
△ABC 中, AD 平分 ∠BAC .
策略一: 角平分线定理: ABAC=BDCD
证法 1 (等面积法) SABDSACD=BD⋅h1CD⋅h1=AB⋅h2AC⋅h2 ,得 ABAC=BDCD
注: h1 为 A 到 BC 的距离, h2 为 D 到 AB,AC 的距离.
证法 2 (正弦定理)
如图, ABsin∠3=BDsin∠1,ACsin∠4=CDsin∠2 ,而 sin∠1=sin∠2,sin∠3=sin∠4
整理得 ABAC=BDCD
策略二: 利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理
S△ABC=S△ABD+S△ADC⇒12×AB×AC×sinA=12×AB×AD×sinA2+12×AB×AD×sinA2,
策略三: 角互补:
∠ABD+∠ADC=π⇒cs∠ABD+cs∠ADC=0,
在 △ABD 中, cs∠ABD=DA2+DB2−AB22DA×DB ,
在 △ADC 中, cs∠ADC=DA2+DC2−AC22DA×DC ,
四、解三角形多解情况
在 △ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下:
高考真题梳理与回顾
2023 年新课标全国 II 卷真题: 已知中线长
记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 △ABC 的面积为 3,D 为 BC 中点,且 AD=1 .
(1) 若 ∠ADC=π3 ,求 tanB ;
(2) 若 b2+c2=8 ,求 b,c .
【答案】 135;2b=c=2 .
【详解】（1）方法 1: 在 △ABC 中,因为 D 为 BC 中点, ∠ADC=π3,AD=1 ,
则 S△ADC=12AD⋅DCsin∠ADC=12×1×12a×32=38a=12S△ABC=32 ,解得 a=4 ,
在 △ABD 中, ∠ADB=2π3 ,由余弦定理得 c2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB ,
即 c2=4+1−2×2×1×−12=7 ,解得 c=7 ,则 csB=7+4−127×2=5714 ,
sinB=1−cs2B=1−57142=2114,
所以 tanB=sinBcsB=35 .
方法 2: 在 △ABC 中,因为 D 为 BC 中点, ∠ADC=π3,AD=1 ,
则 S△ADC=12AD⋅DCsin∠ADC=12×1×12a×32=38a=12S△ABC=32 ,解得 a=4 ,
在 △ACD 中,由余弦定理得 b2=CD2+AD2−2CD⋅ADcs∠ADB ,
即 b2=4+1−2×2×1×12=3 ,解得 b=3 ,有 AC2+AD2=4=CD2 ,则 ∠CAD=π2 ,
C=π6 ,过 A 作 AE⊥BC 于 E ,于是 CE=ACcsC=32,AE=ACsinC=32,BE=52 ,
所以 tanB=AEBE=35 .
（2）方法 1: 在 △ABD 与 △ACD 中,由余弦定理得 c2=14a2+1−2×12a×1×csπ−∠ADCb2=14a2+1−2×12a×1×cs∠ADC ,
整理得 12a2+2=b2+c2 ,而 b2+c2=8 ,则 a=23 ,
又 S△ADC=12×3×1×sin∠ADC=32 ,解得 sin∠ADC=1 ,而 0<∠ADC<π ,于是 ∠ADC=π2 ,
所以 b=c=AD2+CD2=2 .
方法 2: 在 △ABC 中,因为 D 为 BC 中点,则 2AD=AB+AC ,又 CB=AB−AC ,
于是 4AD2+CB2=AB+AC2+AB−AC2=2b2+c2=16 ,即 4+a2=16 ,解得 a=23 ,
又 S△ADC=12×3×1×sin∠ADC=32 ,解得 sin∠ADC=1 ,而 0<∠ADC<π ,于是 ∠ADC=π2 ,
所以 b=c=AD2+CD2=2 .
2023 年高考全国甲卷数学(理)真题・T16 角平分线相关计算
在 △ABC 中, ∠BAC=60∘,AB=2,BC=6,∠BAC 的角平分线交 BC 于 D ,则 AD=
【答案】 2
【详解】
如图所示: 记 AB=c,AC=b,BC=a ,
方法一: 由余弦定理可得, 22+b2−2×2×b×cs60∘=6 ,
因为 b>0 ,解得: b=1+3 ,
由 S△ABC=S△ABD+S△ACD 可得,
12×2×b×sin60∘=12×2×AD×sin30∘+12×AD×b×sin30∘,
解得: AD=3b1+b2=231+33+3=2 .
故答案为: 2 .
方法二: 由余弦定理可得, 22+b2−2×2×b×cs60∘=6 ,因为 b>0 ,解得: b=1+3 ,
由正弦定理可得, 6sin60∘=bsinB=2sinC ,解得: sinB=6+24,sinC=22 ,
因为 1+3>6>2 ,所以 C=45∘,B=180∘−60∘−45∘=75∘ ,
又 ∠BAD=30∘ ,所以 ∠ADB=75∘ ,即 AD=AB=2 . 2021 新高考一卷 T20: 三等分线相关计算
记 △ABC 是内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知 b2=ac ,点 D 在边 AC 上,
BDsin∠ABC=asinC .
（1）证明: BD=b ;
（2）若 AD=2DC ,求 cs∠ABC .
【答案】（1）证明见解析; (2) cs∠ABC=712 .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 BD=acb ,结合已知即可证结论.
（2）方法一: 两次应用余弦定理,求得边 a 与 c 的关系,然后利用余弦定理即可求得 cs∠ABC 的值.
【详解】（1）设 △ABC 的外接圆半径为 R ,由正弦定理,
得 sin∠ABC=b2R,sinC=c2R ,
因为 BDsin∠ABC=asinC ,所以 BD⋅b2R=a⋅c2R ,即 BD⋅b=ac .
又因为 b2=ac ,所以 BD=b .
（2）[方法一]【最优解】: 两次应用余弦定理
因为 AD=2DC ,如图,在 △ABC 中, csC=a2+b2−c22ab ,(
在 △BCD 中, csC=a2+b32−b22a⋅b3 . ②
由①②得 a2+b2−c2=3a2+b32−b2 ,整理得 2a2−113b2+c2=0 .
又因为 b2=ac ,所以 6a2−11ac+3c2=0 ,解得 a=c3 或 a=3c2 ,
当 a=c3,b2=ac=c23 时, a+b=c3+3c3当 a=3c2,b2=ac=3c22 时, cs∠ABC=3c22+c2−3c222⋅3c2⋅c=712 .
所以 cs∠ABC=712 . [方法二]: 等面积法和三角形相似
如图,已知 AD=2DC ,则 S△ABD=23S△ABC ,
即 12×23b2sin∠ADB=23×12ac×sin∠ABC ,
而 b2=ac ,即 sin∠ADB=sin∠ABC ,
故有 ∠ADB=∠ABC ,从而 ∠ABD=∠C .
由 b2=ac ,即 ba=cb ,即 CACB=BABD ,即 △ACB∽△ABD ,
故 ADAB=ABAC ,即 2b3c=cb ,
又 b2=ac ,所以 c=23a ,
则 cs∠ABC=c2+a2−b22ac=712 .
[方法三]: 正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 BD=b=AC ,再由 AD=2DC 得 AD=23b,CD=13b .
在 △ADB 中,由正弦定理得 ADsin∠ABD=BDsinA .
又 ∠ABD=∠C ,所以 23bsinC=bsinA ,化简得 sinC=23sinA .
在 △ABC 中,由正弦定理知 c=23a ,又由 b2=ac ,所以 b2=23a2 .
在 △ABC 中,由余弦定理,得 cs∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+49a2−23a22×23a2=712 .
故 cs∠ABC=712 .
[方法四]: 构造辅助线利用相似的性质
如图,作 DE//AB ,交 BC 于点 E ,则 △DEC∽△ABC .
由 AD=2DC ,得 DE=c3,EC=a3,BE=2a3 .
在 △BED 中, cs∠BED=2a32+c32−b22⋅2a3⋅c3 .
在 △ABC 中 cs∠ABC=a2+c2−b22ac .
因为 cs∠ABC=−cs∠BED ,
所以 a2+c2−b22ac=−2a32+c32−b22⋅2a3⋅c3 ,
整理得 6a2−11b2+3c2=0 .
又因为 b2=ac ,所以 6a2−11ac+3c2=0 ,
即 a=c3 或 a=32c .
下同解法 1.
[方法五]: 平面向量基本定理
因为 AD=2DC ,所以 AD=2DC .
以向量 BA,BC 为基底,有 BD=23BC+13BA .
所以 BD2=49BC2+49BA⋅BC+19BA2 ,
即 b2=49a2+49accs∠ABC+19c2 ,
又因为 b2=ac ,所以 9ac=4a2+4ac⋅cs∠ABC+c2 . ③
由余弦定理得 b2=a2+c2−2accs∠ABC ,
所以 ac=a2+c2−2accs∠ABC ④
联立③④,得 6a2−11ac+3c2=0 .
所以 a=32c 或 a=13c . 下同解法 1 .
重点题型。归类精练
题型一 周长与面积相关计算
2022 . 佛山二模
1. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B=2π3 ,且 5a=3c ,若 △ABC 的面积为 153 ,求 c 【答案】 10.
【详解】由 a=35c ,故 △ABC 的面积为 S△ABC=12acsinB=12×35×c2×32=153
得 c2=100 ,解得 c=10 或 c=−10 (舍)
故 c=10 .
2024 届 - 广东省六校第二次联考
2. 已知 △ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,sinC=223,a=b+2,c=32 ,求 △ABC 的面积. 【答案】 42
【分析】已知条件结合余弦定理求出 ab ,由公式 S=12absinC 求 △ABC 的面积.
【详解】由余弦定理 c2=a2+b2−2abcsC ,及 c=32,csC=13 ,得 a2+b2−23ab=18 ,
即 a−b2+43ab=18 ,又 a=b+2 ,得 2+43ab=18 ,所以 ab=12 .
所以 △ABC 的面积 S=12absinC=12×12×223=42
2023. 福州二模
3. △ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,AB⋅AC=−1,△ABC 的面积为 2 ,若 a=22 ,求 △ABC 的周长.
【答案】 23+22
【详解】因为 AB⋅AC=−1 ,得 bccsA=−1 ①,
又因为 △ABC 的面积为 2 ,所以有 12bcsinA=2 ②,
显然 csA≠0 ,由①②得 tanA=sinAcsA=−22 ,
所以 csA=−13,sinA=223 ,代入 bccsA=−1 得 bc=3 ,
在 △ABC 中,因为 b2+c2−a2=2bccsA,a=22 ,
所以 b2+c2=6 ,得 b+c=b2+c2+2bc=23 ,
所以 △ABC 的周长为 23+22 .
2023. 湛江. 一模
4. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 A=π6,△ABC 的面积为 332,b=2 , 求 a .
【答案】 a=13
S△ABC=12bcsinA=12×2c×12=332 ,所以 c=33 .
由余弦定理可得 a2=b2+c2−2bccsA=4+27−2×2×33×32=13 ,
所以 a=13
2023. 湖北 5 月联考
5. 已知在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 A=C ,若 B=π6,△ABC 的面积为 4,求 △ABC 的周长.
【答案】 8+26−22
【详解】 A=C,∴a=c ,
∵B=π6 ,且 △ABC 的面积为 4,∴12acsinB=4 ,解得 a=c=4 ,
所以 b2=a2+c2−2accsB=32−163 ,
解得 b=42−3=462−222=26−22 ,
故 △ABC 的周长为 a+b+c=8+26−22 .
2022. 深圳二模
6. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 B=2A ,当 a=4,b=6 时,求 △ABC 的面积 S .
【答案】 1574
【详解】由题意可得:
asinA=bsinB,∴4sinA=6sin2A,∵π>A>0,sinA≠0 ,
∴csA=34,sinA=74,sinB=378,csB=18 ,
∴sinC=sinA+B=74×18+378×34=5716 ,
则 S△ABC=12basinC=12×6×4×5716=1574
题型二 给值求角型
2023. 广东. 二模
7. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 C=π3 ,若 a+b=3c ,求 sinA .
【答案】 12 或 1 .
【详解】方法一: 因为 a+b=3c ,由正弦定理 asinA=bsinB=csinC ,得 sinA+sinB=3sinC=32 ,
因为 A+B=π−π3=2π3 ,
所以 sinA+sinB=sinA+sin2π3−A
=sinA+32csA+12sinA=32sinA+32csA=3sinA+π6=32,
即 sinA+π6=32 .
因为 A∈0,π ,则 A+π6∈π6,7π6 ,所以 A+π6=π3 或 2π3 ,
所以 A=π6 或 π2 ,故 sinA=12 或 1 .
方法二: 因为 C=π3 ,由余弦定理得 c2=a2+b2−ab* ,
将 c=33a+b 代入 (*) 式得 13a+b2=a2+b2−ab ,整理得 2a2−5ab+2b2=0 ,
因式分解得 2a−ba−2b=0 ,解得 a=2b 或 b=2a ,
① 当 a=2b 时, c=3b ,
所以 csA=b2+c2−a22bc=b2+3b2−4b223b2=0 ,
因为 A∈0,π ,所以 A=π2 ,
② 当 b=2a 时, c=3a ,
所以 csA=b2+c2−a22bc=4a2+3a2−a243a2=32 ,
因为 A∈0,π ,所以 A=π6 ,
所以 sinA 的值为 12 或 1 .
2023. 广州一模
8. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,c=2b,2sinA=3sin2C ,求 sinC .
【答案】 144
【详解】因为 2sinA=3sin2C ,
所以 2sinA=6sinCcsC ,
所以 2a=6ccsC ,
即 a=3ccsC ,
所以 csC=a3c ,
由余弦定理及 c=2b 得:
csC=a2+b2−c22ab=a2+b2−4b22ab=a2−3b22ab,
又 csC=a3c=a6b ,
所以 a2−3b22ab=a6b⇒2a2=9b2 ,
即 a=322b ,
所以 csC=a6b=322b6b=24 ,
所以 sinC=1−cs2C=1−242=144 . 2023. 重庆. 三模
9. 已知 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,sinA−BtanC=sinAsinB .
(1) 求 a2+c2b2 ; (2) 若 csB=23 ,求 sinA .
【答案】(1) 32306
【详解】（1）因为 sinA−BtanC=sinAsinB ,
所以 sinA−BsinCcsC=sinAsinB ,所以 sinA−BsinC=sinAsinBcsC ,
即 sinAcsBsinC−csAsinBsinC=sinAsinBcsC ,
由正弦定理可得 accsB−bccsA=abcsC ,
由余弦定理可得 ac⋅a2+c2−b22ac−bc⋅b2+c2−a22bc=ab⋅a2+b2−c22ab ,
所以 a2+c2−b2−b2−c2+a2=a2+b2−c2 ,
即 a2+c2=3b2 ,
所以 a2+c2b2=3 .
（2）由题意可知 csB=a2+c2−b22ac=23 ,又 a2+c2=3b2 ,可得 a2+c2−2ac=0 ,
所以 a=c ,即 △ABC 为等腰三角形,
由 csB=2cs2B2−1=23 ,解得 csB2=306 或 csB2=−306 ,
因为 B∈0,π2 ,所以 B2∈0,π4 ,所以 csB2=306 ,
所以 sinA=sinπ2−B2=csB2=306 .
题型三 角平分线相关计算
2023 . 厦门第四次质检
10. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 B=2π3 ,若 b=7,c=2a,D 是 AC 上一点, BD 为角 B 的平分线,求 BD .
【答案】 23
【详解】 △ABC 中, b2=a2+c2−2accsB,b=7,c=2a,B=2π3 ,
所以 7=a2+4a2+2a2 ,解得 a=1 ,则 c=2 .
又因为 BD 为角 B 的平分线, S△ABD+S△CBD=S△ABC ,
所以 12BD⋅c⋅sinπ3+12BD⋅a⋅sinπ3=12a⋅c⋅sin2π3 ,
即 12BD×2×32+12BD×1×32=12×1×2×32 ,所以 BD=23 . 2023 - 广东省六校高三第四次联考
11. 已知 △ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 A=23π ,若 AD 平分 ∠BAC 交线段 BC 于点 D , 且 AD=1,BD=2CD ,求 △ABC 的周长.
【答案】 9+372
【详解】因为 AD 平分 ∠BAC ,所以 ∠BAD=∠CAD=π3 ,
由 S△ABC=S△BAD+S△CAD⇒12b⋅csin23π=12c⋅ADsinπ3+12b⋅ADsinπ3 ,
得 bc=b+c ,
作 AE⊥BC 于 E ,
则 S△ABDS△ACD=12c⋅ADsinπ312b⋅ADsinπ3=12BD⋅AE12CD⋅AE⇒cb=BDDC=2 ,
由 bc=b+cc=2b ,解得 c=3b=32 ,
由余弦定理,得 a2=b2+c2−2bccsA=634 ,所以 a=372 ,
故 △ABC 的周长为 9+372 . 2024 届・云南省昆明市五华区高三上期中
12. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,AD 平分 ∠BAC 且交 BC 于点 D . 已知 AD=1,△ACD 的面积为 1,若 CD=2BD ,求 tan∠BAC .
【答案】
【法一】面积+余弦 (向量)
【简证】易知 b=2c ,延长 AD 至点 E ,使 2AD=DE ,易得 CE=2AB=2c ,
记 ∠BAC=α,∠ACE=π−α ,则有 12⋅2c⋅2csinπ−α=23+43=2csπ−α=4c2+4c2−92⋅2c⋅2c ,化简得 sinα=1c2−csα=8c2−98c2
同除得 tanα=89−8c2 ,记 c2=t ,代入化简计算即可
补充: 也可以不做延长线直接用面积和向量得出等量关系 12⋅cbsinα=1AD=23AB+13AC
【法二等面积】设 ∠BAC=θ ,根据三角形面积公式结合条件可得 tanθ2=43 ,然后利用二倍角公式即得.
【详解】因为 CD=2BD ,所以 S△ABD=12S△ACD=12,S△ABC=32 ,
设 ∠BAC=θ ,则
S△ABC=12⋅b⋅c⋅sinθ=32S△ACD=12⋅b⋅1⋅sinθ2=1,得b⋅c⋅sinθ=3b⋅c⋅sin2θ2=2,S△ABD=12⋅c⋅1⋅sinθ2=12
所以 tanθ2=43 ,所以 tan∠BAC=tanθ=2tanθ21−tan2θ2=−247
题型@ 中线相关计算
2023. 广州天河区一模
13. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c ,且满足 A=2π3,a=19,BA⋅AC=3,AD 是 △ABC 的中线,求 AD 的长.
【答案】 72
【分析】由 BA⋅AC=3 可得 bc=6 ,根据 AD=12AB+AC 以及余弦定理即可求出 AD .
【详解】 ∵BA⋅AC=3 ,
∴bccsπ−A=3 ,得 bc=6 ,
由余弦定理得: b2+c2=a2+2bccsA=13 ,
AD=12AB+AC,
∴AD2=14AB+AC2=14c2+b2+2bccsA=74
所以 AD=72 ,
即 AD 的长为 72 .
2023 广州市. 一模
14. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,sinC=144,2sinA=3sin2C ,
若 △ABC 的面积为 372 ,求 AB 边上的中线 CD 的长.
【答案】 7
【详解】由 S△ABC=12absinC=12×ab×144=372 ,
所以 ab=62 ,
由 (1) a=322b ,
所以 b=2,a=32 ,
因为 CD 为 AB 边上的中线,
所以 CD=12CA+CB ,
所以 CD2=14CA2+CB2+2CA⋅CB
=14×b2+a2+2abcsC
=14×4+18+2×2×32×24
=7 ,
所以 CD=7 ,
所以 AB 边上的中线 CD 的长为: 7 .
2023. 重庆九龙坡二模
15. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 A=2π3,b2−a2+c2+3c=0,△ABC 的面积为 1534 ,
求边 BC 的中线 AD 的长.
【答案】 AD=192
【详解】因为 S△ABC=12bcsinA=12bc×32=1534 ,所以 bc=15 ,
因为余弦定理得 a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc ,又已知 b2−a2+c2+3c=0 ,
可得 bc=3c ,即得 b=3,c=5 . 因为 BC 的中线 AD ,可得 2AD=AB+AC ,
2AD2=AB+AC2=AB2+AC2+2AB⋅AC=9+25+2×3×5×−12=19
AD=192 .
2023 . 莆田市二模
16. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2,D 为 AB 的中点,且 CD=2 .
(1)证明: c=2b ; (2)若 ∠ACB=π4 ,求 △ABC 的面积.
【答案】(1)证明见解析; (2) −1+3
【详解】（1）如图,在 △ACD 中,由余弦定理可知:
cs∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD=c24+2−b22×2×c2=c24+2−b22c,
在 △BCD 中,由余弦定理可知:
cs∠BDC=BD2+CD2−BC22BD⋅CD=c24+2−a22×2×c2=c24+2−a22c,
因为 ∠ADC+∠BDC=π ,所以 cs∠ADC+cs∠BDC=0 ,
则 c24+2−b22c+c24+2−a22c=0 ,整理化简可得: c22=b2 ,
所以 c=2b .
（2）由（1）可知: c=2b ,因为 ∠ACB=π4 ,
在 △ABC 中,由余弦定理可知:
cs∠ACB=a2+b2−c22ab=4+b2−2b24b=22,
整理可得: b2+22b−4=0 ,解得: b=−2±6 ,因为 b>0 ,
所以 b=−2+6 ,
则 c=2b=−2+23 ,所以 S△ABC=12absin∠ACB=12×2×−2+6×22=−1+3 .
2023. 青岛. 三模
17. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 B=π3 ,若 c=3a,D 为 AC 中点, BD=13 ,
求 △ABC 的周长.
【答案】 8+27 .
【详解】 c=3a ,由余弦定理得 b2=a2+c2−2accsB=a2+9a2−2a×3a×csπ3=7a2,b=7a ,
D 是 AC 中点,则 AD=CD=72a ,
在 △ABD 中由余弦定理得, cs∠ADB=7a24+13−9a22×72a×13 ,
在 △CBD 中由余弦定理得, cs∠CDB=7a24+13−a22×72a×13 ,
∠CDB+∠ADB=π, cs∠CDB+cs∠DB=0,
∴7a24+13−9a22×72a×13+7a24+13−a22×72a×13=0 ,解得 a=2 ,
所以 △ABC 的周长为 a+b+c=a+7a+3a=8+27 .
2023. 福州三模
18. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知 B=2π3,c=2,D 为 AC 的中点, BD2=34BC ,求 △ABC 的面积.
【答案】 23 或, 32
【详解】 D 为 AC 的中点, ∴2BD=BA+BC ,
∴4BD2=BA+BC2=c2+a2+2ac×−12,∵BD2=34BC=34a ,
∴3a=c2+a2+2ac×−12,∵c=2 ,
∴a2−5a+4=0,∴a=1 或 a=4 ,
当 a=4 时, S△ABC=12BA⋅BC⋅sinB=12×4×2×32=23 ,
a=1 时, S△ABC=12BA⋅BC⋅sinB=12×1×2×32=32
所以 △ABC 的面积为 S△ABC=32 或 S△ABC=23 .
题型五 三等分线或其它等分线
2023. 广州市二模
19. 记 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 A=π3 ,点 D 在 BC 边上,且 CD=2BD,csB=33 , 求 tan∠BAD .
【答案】 tan∠BAD=3−2
【分析】求出 sinB、sinC 的值,设 ∠BAD=θ ,则 ∠CAD=2π3−θ ,分别在 △ABD 和 △ACD 中,利用正弦定理结合等式的性质可得出 sinθ、csθ 的等式,即可求得 tanθ 的值,即为所求.
【详解】解: 因为 csB=33 ,则 B 为锐角,所以, sinB=1−cs2B=1−332=63 ,
因为 A+B+C=π ,所以, C=2π3−B ,
所以, sinC=sin2π3−B=sin2π3csB−cs2π3sinB=32×33+12×63=12+66 ,
设 ∠BAD=θ ,则 ∠CAD=2π3−θ ,
在 △ABD 和 △ACD 中,由正弦定理得 BDsinθ=ADsinB=3AD6,CDsinπ3−θ=ADsinC=6AD3+6 ,
因为 CD=2BD ,上面两个等式相除可得 6sinπ3−θ=3+6sinθ ,
得 632csθ−12sinθ=3+6sinθ ,即 2csθ=2+6sinθ ,
所以, tan∠BAD=tanθ=22+6=3−2 .
法二: 作垂线, 用三边之比
如图,再继续求出 AD 用余弦定理即可求出 cs∠BAD
AD 的 3 种求法: 1、向量数量积; 2、倍长构造相似再用余弦; 3、两次余弦定理
2023 届・巴蜀中学适应性月考 (十)
20. 已知 △ABC 的三内角 A,B,C 所对边分别是 a,b,c ,且满足 a=b ,若点 D 是边 AC 上一点,
BD=13BC+23BA,c=15,BD=23 ,求边 a 的大小.
【答案】 32
【详解】 BD=13BC+23BA=13BA+AC+23BA=BA+13AC ,
则 AD=13AC ,
令 AD=x ,则 CB=CA=3x,CD=2x ,
在 △CBD 和 △CBA 中用余弦定理得:
csC=9x2+4x2−BD22⋅2x⋅3x=9x2+9x2−AB22⋅3x⋅3x,
则 13x2−1212x2=18x2−1518x2 ,解得 x=2 或 x=−2 (舍), ∴a=32 .
2023 . 雅礼中学二模
21. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 sinA=3sinB ,点 D 在边 BC 上,若
DC=DA=13BC ,求 csA .
【答案】 csA=−714
【详解】由 DC=DA=13BC=13a ,由 (1) 可知 a=3b ,
则 DC=DA=b=AC ,可得 △ADC 为等边三角形,
则 ∠ADC=60∘ ,从而 ∠ADB=120∘ ,
在 △ADB 中,由余弦定理可得 −12=b2+23a2−c22b⋅23a ,
又 a=3b ,所以 c=7b ,
所以 csA=b2+7b2−9b22×b×7b=−714 . 2023 . 重庆一中高三 5 月月考
22. 如图,在 △ABC 中,若 AB=AC,D 为边 BC 上一点, BD=2DC,AD=2,sin∠ADCsin∠ACD=3 ,则
【答案】 6
【详解】 △ACD 中,由正弦定理得 ACsin∠ADC=ADsin∠ACDsin∠ADCsin∠ACD=3 ,
ACAD=3 ,则 AC=23 ,
设 DC=m ,则 DB=2m ,
又 △ABD 中,由余弦定理得
cs∠ADB=AD2+BD2−AB22AD?BD=4+2m2−2322×2×2m.
在 △ACD 中,由余弦定理得
cs∠ADC=AD2+DC2−AC22AD⋅DC=22+m2−2322×2×m,
又因为 cs∠ADC=−cs∠ADB ,
即: 4+2m2−2322×2×2m=−22+m2−2322×2×m ,
则 m=2 ,
故 BC=3m=6 .
2023. 深圳二模
23. 已知 a,b,c 分别为 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 a2=b2+2c2 ,若 A=2π3,a=3,BC=3BM ,求 AM 的长度.
【答案】 AM=1
【详解】在 △ABC 中, a2=b2+c2+bc=9 ,
又因为 a2=b2+2c2 ,所以 b2+2c2=b2+c2+bc=9 ,所以 b=c=3 ,
所以 B=C=π6 ,
由 BC=3BM ,得 BM=a3=1 ,
在 △ABM 中, AM2=c2+a32−2c×a3⋅csB=3+1−3=1 ,
所以 AM=1 .
题型穴 高线线相关计算
24. (2023 秋. 山东泰安. 高三统考阶段练习) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 A=135∘,b=2,c= 2 .
(1) 求 sinC 的值;
(2) 若 D 是 BC 上一点, AC⊥AD ,求 △ABD 的面积.
【答案】 11010
(2) 13
【分析】（1）利用余弦定理求得 a ,利用正弦定理求得 sinC .
（2）根据三角形的面积公式求得 △ABD 的面积.
【详解】（1）在 △ABC 中,由余弦定理 a2=b2+c2−2bccsA 得
a2=4+2+2×2×2×22=10 ,所以 a=10 .
由正弦定理 asinA=csinC ,得 sinC=csinAa=2×2210=1010 .
（2）因为 AC⊥AD ,所以 ∠CAD=90∘,C 为锐角,
由 sinC=1010 ,得 tanC=13 .
在 Rt△ACD 中, tanC=ADAC ,得 AD=ACtanC=23 ,
因为 ∠BAD=45∘ ,所以 S△ABD=12AB⋅AD⋅sin∠BAD=12×2×23×22=13 .
25. △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cs2B+C=1,∠A 的平分线交 BC 边于 D ,过 D 作 DE⊥AC ,垂足为点 E .
(1)求角 A 的大小;
(2) 若 b=2,c=4 ,求 AE 的长.
【答案】 1A=2π32132
【分析】（1）利用二倍角余弦公式结合正弦定理角化边化简可得 b2+c2−a2=−bc ,再利用余弦定理即可求得答案;
（2）根据三角形面积关系可求得 AD 的长,解直角三角形即得答案.
【详解】（1） ∵2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cs2B+C=1 ,
∴sin2B+sin2C+sinBsinC=1−cs2B+C2=sin2B+C=sin2A ,
由正弦定理可得: b2+c2+bc=a2 ,即 b2+c2−a2=−bc ,
由余弦定理可得: csA=b2+c2−a22bc=−12 ,
∵A∈0,π,∴A=2π3 .
（2） ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,AD 是 △ABC 的角平分线,
∴12bcsin2π3=12c⋅ADsinπ3+12b⋅ADsinπ3 ,
∵b=2,c=4,∴AD=43 ,
在 Rt△AED 中, AD=43,∠DAE=π3,∴AE=ADcsπ3=23 .
26. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=6,bsin2A=45sinB .
(1) 若 b=1 ,证明: C=A+π2 ;
(2) 若 BC 边上的高为 853 ,求 △ABC 的周长.
【解析】（1）由已知可得 bsinB=45sin2A=25sinAcsA ,
由正弦定理 asinA=bsinB 可得, bsinB=asinA=6sinA ,
所以有 25sinAcsA=6sinA .
又 sinA>0 ,所以 csA=53,sinA=1−cs2A=23 .
又 b=1 ,所以 sinB=bsinAa=1×236=19 .
∵a>b, ∴csB=1−sin2B=459
∴csC=−csA+B=−csAcsB+sinAsinB=−23 ,
∴csC=−sinA=csA+π2 .
又 C∈0,π,A+π2∈0,π ,函数 y=csx 在 0,π 上单调递减,
则 C=A+π2 .
（2）由题意得 △ABC 的面积 S=12×6×853=85 .
又 S=12bc⋅sinA=13bc ,则 bc=245 .
由余弦定理 a2=b2+c2−2bccsA=b+c2−2bccsA+1 ,
得 b+c2=2bc1+csA+a2=485×1+53+62=6+452 ,
所以, b+c=6+45 .
所以, △ABC 的周长为 12+45 .
27. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 c−3bsinA=a2+c2−b22c−b .
(1) 求 A ;
(2) 若 b=14c ,且 BC 边上的高为 23 ,求 a .
【解析】（1）因为 c−3bsinA=a2+c2−b22c−b ,
所以由余弦定理得 c−3bsinA=acsB−b ,
由正弦定理得 sinC−3sinAsinB=sinAcsB−sinB ,
由于 sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB ,
整理得 csAsinB−3sinAsinB=−sinB .
又因为 sinB≠0 ,所以 csA−3sinA=−1 ,即 sinA−π6=12 ,
因为 A∈0,π ,所以 A−π6∈−π6,5π6 ,
所以 A−π6=π6 ,即 A=π3 .
（2）由 S△ABC=12×a×23=12bcsinπ3 得 bc=4a ,
又 b=14c ,所以 c2=16a,b2=a ,
由余弦定理知 a2=b2+c2−2bccsA=a+16a−4a=13a
28. 已知 H 为锐角 △ABC 的垂心, AD,BE,CF 为三角形的三条高线,且满足 9HD⋅HE⋅HF=HA⋅HB⋅HC .
(1) 求 csAcsBcsC 的值. (2) 求 cs∠CAB⋅cs∠CBA 的取值范围.
【答案】 119216,13
【分析】（1）先得到 ∠ABC=∠CHD ,得到 cs∠ABC=DHCH ,同理得到 cs∠BAC=FHBH,cs∠ACB=EHAH ,相乘后结合题目条件得到答案;
（2）结合（1）中结论及 csBcsA+sinAsinB=csB−A≤1 得到 csAcsB1−2csAcsB≥19 ,从而求出 16≤csA⋅csB≤13 .
【详解】（1）记 △ABC 的三个内角为 A,B,C .
因为 H 为锐角 △ABC 的垂心, AD,BE,CF 为三角形的三条高线,
所以 ∠ABC+∠BCH=∠BCH+∠CHD=90∘ ,故 ∠ABC=∠CHD ,
所以 cs∠ABC=cs∠CHD=DHCH ,
同理可得 cs∠BAC=cs∠BHF=FHBH,cs∠ACB=cs∠AHE=EHAH ,
所以 cs∠ABCcs∠BACcs∠ACB=DHCH⋅FHBH⋅EHAH=DH⋅FH⋅EHCH⋅BH⋅AH ,
因为 9HD⋅HE⋅HF=HA⋅HB⋅HC ,
所以 cs∠ABCcs∠BACcs∠ACB=DH⋅FH⋅EHCH⋅BH⋅AH=19
题型(c) 其它中间线
2023. 台州二模
29. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 A=π3 ,若点 D 为边 BC 上的一个点,且满足 cs∠BAD=45 ,求 △ABD 与 △ACD 的面积之比.
【答案】 83+613
【详解】因为 bcsC=ccsB ,所以 sinBcsC=sinCcsB ,即 sinB−C=0 .
在三角形中, B、C∈0,π,∴B−C∈−π,π ,所以 B=C ,所以 b=c ,
因为 cs∠BAD=45 ,所以 sin∠BAD=35 ,
所以 sin∠CAD=sinπ3−∠BAD=43−310 ;
所以 sin∠BADsin∠CAD=643−3=83+613 ;
所以由正弦定理得: △ABD 与 △ACD 的面积之比等于
12×AB×AD×sin∠BAD÷12×AC×AD×sin∠CAD=83+613.
30. 如图,在 △ABC 中,若 AB=AC,D 为边 BC 上一点, BD=2DC,AD=2,sin∠ADCsin∠ACD=3 ,则 BC= ___.
【答案】 6
【分析】利用正弦定理解出 AC=23 ,再利用 cs∠ADC=−cs∠ADB ,结合余弦定理即可求出结果.
【详解】 △ACD 中,由正弦定理得 ACsin∠ADC=ADsin∠ACDsin∠ADCsin∠ACD=3 ,
ACAD=3 ,则 AC=23 ,
设 DC=m ,则 DB=2m ,
又 △ABD 中,由余弦定理得
cs∠ADB=AD2+BD2−AB22AD?BD=4+2m2−2322×2×2m.
在 △ACD 中,由余弦定理得
cs∠ADC=AD2+DC2−AC22AD⋅DC=22+m2−2322×2×m,
又因为 cs∠ADC=−cs∠ADB ,
即: 4+2m2−2322×2×2m=−22+m2−2322×2×m ,
则 m=2 ,
故 BC=3m=6 .
2023 上. 肇庆. 二模
31. 如图,在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知 A=π3 . 若 D 为线段 BC 延长线上一点,且 ∠CAD=π4,BD=3CD ,求 tan∠ACB .
【答案】 −9−63
【详解】设 ∠ACB=α ,在 △ABD 和 △ACD 中,由正弦定理可得
BDsinπ3+π4=ADsin2π3−α,CDsinπ4=ADsinπ−α
于是 BD⋅sin2π3−αsinπ3+π4=CD⋅sinπ−αsinπ4 ,又 BD=3CD ,
则 3sinπ4sinπ3+π4=sinπ−αsin2π3−α,∴33+12=sinα32csα+12sinα ,
∴tanα=−9−63 ;
综上, A=π3,tanα=−9−63 .
题型八 二倍角的处理策略
广东省六校 2024 届第一次联考
32. 在 △ABC 中, AB=4,D 为 AB 中点, CD=7,∠BAC=2∠ACD ,求 AC 的长.
【答案】 32
【详解】
法一: 在 △ACD 中,设 ∠ACD=θ,∠BAC=2θ ,
则由正弦定理 CDsin2θ=ADsinθ ,
即 72sinθcsθ=2sinθ ,得 csθ=74,∵θ∈0,π ,所以 sinθ=34 ,
sin2θ=2sinθcsθ=378,cs2θ=2cs2θ−1=−18,
所以 ∠ADC=π−θ−2θ ,
所以 sin∠ADC=sinθ+2θ=378×74−18×34=916 ,
由正弦定理得: ACsin∠ADC=ADsin∠ACD ,即 AC=2×91634=32 .
法二: 可以延长 DA 至点 E ,使 AE=AC ,下略
33. 在 △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 A=2B ,求证: a2−b2=bc ;
【解析】 ∵A=2B,∴sinA=sin2B=2sinBcsB
∴a=2b×a2+c2−b22ac, ∴b−ca2−b2−bc=0
∴a2−b2−bc=0 或 b=c
当 b=c 时, C=B,A=2B=2C=π2,∴a2=b2+c2=b2+bc 即 a2−b2=bc ,
综上 a2−b2=bc
34. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 b=4 . 若 A=2B ,且 △ABC 的边长均为正整数,求 a .
【答案】 6
【解析】由 A=2B ,得 sinA=sin2B=2sinBcsB ,由正弦定理,可得 a=2bcsB ;
由余弦定理,得 a=2b⋅a2+c2−b22ac,∵b=4,a2c−4=4c2−16 .
若 c=4 ,则 B=C ,故 A=2BB=CA+B+C=π ,
则 B=C=π4,A=π2 ,此时 a=42 ,不符合题意.
∴c≠4 ,由 a2c−4=4c2−16 ,得 a=2c+4 ,
又 c−a∵a,c∈N* ,故当 c=5 时,有 a=6 ,而 b=4 ,故能构成三角形,故 a=6 .
35. 已知 a,b,c 分别是 △ABC 的角 A,B,C 的对边, bsinB−asinA=sinC2bcs2B−c .
(1)求证: A=2B ;
(2) 求 ca 的取值范围.
【解析】（1）由正弦定理及知,
∵bsinB−asinA=sinC2bcs2B−c
∴b2+c2−a2=2bccs2B ,
由余弦定理得, b2+c2−a2=2bccsA ,
∴2bccsA=2bccs2B,∴csA=cs2B
∵A,B∈0,π,∴2B∈0,2π
∴A=2B 或 A+2B=2π .
∵B（2）由（1）和正弦定理得, ca=sinCsinA=sinA+BsinA=sin3Bsin2B=sin2BcsB+cs2BsinB2sinBcsB
=2sinBcs2B+2cs2B−1sinB2sinBcsB=4cs2B−12csB=2csB−12csB,
∵C=π−3B∈0,π,∴B∈0,π3,∴csB∈12,1 ,
设 csB=t ,则 t∈12,1 ,则 ca=2t−12t12设 ft=2t−12t,t∈12,1 ,
则 ft 在 12,1 上单调递增,则 f12即 0 题型: 三角形解的个数问题
36. 在 △ABC 中, c=2,acsC=csinA ,若当 a=x0 时的 △ABC 有两解,则 x0 的取值范围是
【答案】 2,22
【解答】解: ∵acsC=csinA ,由正弦定理可得: sinAcsC=sinCsinA,sinA≠0 ,
∴tanC=1, C∈0,π .
∴C=π4 .
∵ 当 a=x0 时的 △ABC 有两解,
∴x0sinπ4<2则 x0 的取值范围是 2,22
37. 若满足 ∠ABC=π3,AC=3,BC=m 的 △ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围是 0,3]⋃{23 ___.
【解答】解: ∵∠ABC=π3,AC=3,BCm ,
∴ 由正弦定理得: sin∠BAC=BCACsin∠ABC=m3×32=3m6 ,
∵0<∠BAC<2π3 ,
若 3m6=1 ,即 m=63=23 时, ∠BAC 为直角,只有一解;
若 32<3m6<1 ,即 3若 0<3m6≤32 ,即 0综上, m 的范围为 (0,3]⋃{23} .
38. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别 a,b,c ,且 B=π3 ,若 b=23,c=xx>0 ,当 △ABC 仅有一解时,写出 x 的范围,并求 a−c 的取值范围.
【解答】法一: 由正弦定理,得 csinC=bsinB ,
则 sinC=x4,B=π3 ,
则 0做正弦曲线如图所示,
则当 0故 x=4 或 0法二: 由正弦定理,如图,当 b=csinB 或 b≥c 时, △ABC 仅有一解,
故 x=4 或 0当 x=4 时, a−c=2−4=−2 ;
当 0可得 a−c=4sinA−sinC=4sinC+π3−sinC=4−12sinC+32csC=−4sinC−π3 ,
因为 0所以 −32所以, a−c=−4sinC−π3∈[0,23) .
综上, a−c∈{−2}⋃[0,23) .
39. 已知 △ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c,A=60∘ ,若 a=3,b=mm>0 ,当 △ABC
有且只有一解时,求实数 m 的范围及 △ABC 面积 S 的最大值.
【答案】 m∈(0,3]⋃{2} Smax=334
【解答】由已知,当 △ABC 有且只有一解时, msinπ3=3 或 0∴m∈(0,3]⋃{2} ,
① 当 m=2 时, △ABC 为直角三角形, S=12⋅1⋅3=32 ;
② 当 0由余弦定理可得 a2=b2+c2−2bccsA≥2bc−bc=bc ,
∴bc≤3 ,当且仅当 b=c 时等号成立,
∴ 三角形面积为 S=12bcsinA≤334 ,
∴△ABC 面积的最大值 Smax=334 .
题型中 解三角形的实际应用
类型 1 距离问题
40. 一游客在 A 处望见在正北方向有一塔 B ,在北偏西 45∘ 方向的 C 处有一寺庙,此游客骑车向西行 1 km 后到达 D 处，这时塔和寺庙分别在北偏东 30∘ 和北偏西 15∘ ，则塔 B 与寺庙 C 的距离为___ km .
【答案】 2
【解析】如图,在 △ABD 中,由题意可知 AD=1,∠BDA=60∘ ,可得 AB=3 .
在 △ACD 中, AD=1,∠ADC=105∘,∠DCA=30∘ , ∴ACsin∠ADC=ADsin∠DCA ,
∴AC=AD⋅sin∠ADCsin∠DCA=6+22 .
在 △ABC 中,
BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cs45∘=8+434+3−2×6+22×3×22=2,
∴BC=2 km .
41. (2023・全国・高三专题练习) 山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标 (如图 1), 其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计,将数学符号 “ ∞ ” 完美嵌入其中,寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限
的科技创新. 如图 2,为了测量科技馆最高点 A 与其附近一建筑物楼顶 B 之间的距离,无人机在点 C 测
得点 A 和点 B 的俯角分别为 75∘,30∘ ,随后无人机沿水平方向飞行 600 米到点 D ,此时测得点 A 和点 B 的俯角分别为 45∘ 和 60∘ ( A,B,C,D 在同一铅垂面内),则 A,B 两点之间的距离为___米.
(图1)
【答案】 10015
【解析】由题意, ∠DCB=30∘,∠CDB=60∘ ,所以 ∠CBD=90∘ ,
所以在 Rt △CBD 中, BD=12CD=300,BC=32CD=3003 ,
又 ∠DCA=75∘,∠CDA=45∘ ,所以 ∠CAD=60∘ ,
在 △ACD 中,由正弦定理得, ACsin45∘=CDsin60∘ ,所以 AC=60032×22=2006 ,
在 △ABC 中, ∠ACB=∠ACD−∠BCD=75∘−30∘=45∘ ,
由余弦定理得, AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cs∠ACB
=20062+30032−2×2006×3003×22=150000,
所以 AB=10015 .
42. 如图,为了测量 A,C 两点间的距离,选取同一平面上的 B,D 两点,测出四边形 ABCD 各边的长度 (单位: km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5 ,且 A,B,C,D 四点共圆,则 AC 的长为___ km .
【答案】 7
【解析】 ∵A,B,C,D 四点共圆,圆内接四边形的对角和为 π .
∴∠B+∠D=π ,
∴ 由余弦定理可得 AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcs∠D=52+32−2×5×3cs∠D=34−30cs∠D ,
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠B=52+82−2×5×8cs∠B=89−80cs∠B,
∵∠B+∠D=π ,即 cs∠B=−cs∠D ,
∴89−AC280=−34−AC230 ,解得 AC=7
43. 如图,一条巡逻船由南向北行驶,在 A 处测得灯塔底部 C 在北偏东 15∘ 方向上,匀速向北航行 20 分钟到达 B 处,此时测得灯塔底部 C 在北偏东 60∘ 方向上,测得塔顶 P 的仰角为 60∘ ,已知灯塔高为
23 km . 则巡逻船的航行速度为___ km/h .
【答案】 63+1
【解析】由题意知在 △BCP 中, PC=23,∠PBC=60∘ ,故 tan∠PBC=PCBC ,即 3=23BC ,
解得 BC=2 ,
在 △ABC 中, ∠BCA=180∘−15∘−120∘=45∘ ,
则 BCsin∠BAC=ABsin∠BCA,∴2sin15∘=ABsin45∘ ,而 sin15∘=sin45∘−30∘=6−24 ,
所以 AB=2×46−2=23+1 ,
所以 23+1÷13=63+1 ,
即船的航行速度是每小时 63+1 千米
类型 2 高度问题
44. 如图,某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度,先在山脚 A 处测得山顶 C 处的仰角为 60∘ ,又利用无人机在离地面高 300 m 的 M 处 (即 MD=300 m ),观测到山顶 C 处的仰角为 15∘ ,山脚 A 处的俯角为 45∘ ,则山高 BC= ___m.
【答案】 450
【解析】依题意 ∠AMD=45∘ ,则 AM=2MD=3002,∠CMA=45∘+15∘=60∘,∠CAB=60∘ ,
故 ∠MAC=180∘−60∘−45∘=75∘,∠ACM=180∘−75∘−60∘=45∘ ,
在 △MAC 中,由正弦定理得 ACsin∠AMC=MAsin∠ACM ,即 ACsin60∘=3002sin45∘ ,
解得 AC=3003 ,则 BC=ACsin60∘=450 .
45. 如图,某沿海地区计划铺设一条电缆联通 A、B 两地, A 处位于东西方向的直线 MN 上的陆地处, B 处位于海上一个灯塔处,在 A 处用测角器测得 tan∠BAN=34 ,在 A 处正西方向 1 km 的点 C 处,用测角器测得 tan∠BCN=1 . 现有两种铺设方案: ①沿线段 AB 在水下铺设; ② 在岸 MN 上选一点 P ,设 ∠BPN=θ , θ∈0,π2 ,先沿线段 AP 在地下铺设,再沿线段 PB 在水下铺设,预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元/km、4 万元/km.
(1) 求 A、B 两点间的距离;
(2)请选择一种铺设费用较低的方案, 并说明理由.
【答案】(1)5 千米; (2)选择方案②, P 在 A 点正西方 4−3 千米处,理由见解析.
【解析】
(1)
由 tan∠BCN=1 ,若 BC=2x 千米,则 tan∠BAN=xx+1=34 ,可得 x=3 ,
所以 AB=32+42=5 千米.
(2)
方案 ①: 铺设费用为 5×4=20 万元;
方案②: AP=4−3tanθ,BP=3sinθ ,
铺设费用为 2AP+4BP=12sinθ+8−6tanθ=8+62−csθsinθ ,
令 fθ=2−csθsinθ ,则 f′θ=1−2csθsin2θ ,
当 csθ∈0,12,θ∈π3,π2 时 f′θ>0 ,当 csθ∈12,1,θ∈0,π3 时 f′θ<0 ,
所以 fθ 在 0,π3 上递减, π3,π2 上递增,则 fθmin=fπ3=3 ,
故铺设费用最小为 8+63 万元 <20 万元,
综上,选择方案 2, P 在 A 点正西方 4−3 千米处
46. 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C 与 D . 现测得 ∠BCD=α=35∘,∠BDC=β=100∘,CD=400 m . 在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 50.5∘ .
(1) 求 B 与 D 两点间的距离 (结果精确到 1 m );
(2)求塔高 AB (结果精确到 1 m ).
参考数据: 取 2sin35∘=0.811,2sin80∘=1.393,tan50.5∘=1.2 .
【答案】 1324 m2669 m
【解析】(1) 在 △BCD 中, ∠CBD=180∘−α−β=45∘ ,
由正弦定理得 CDsin∠CBD=BDsinα ,
则 BD=CDsinαsin∠CBD=400sin35∘sin45∘=4002sin35∘=400×0.811=324.4≈324 m
(2) 由正弦定理得 CDsin∠CBD=BCsinβ ,
则 BC=CDsinβsin∠CBD=400sin100∘sin45∘=400sin80∘sin45∘=4002sin80∘=400×1.393=557.2 m . 故塔高 AB=BCtan50.5∘=557.2×1.2≈668.64≈669 m
47. 中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题 (如图 1): 今有望海岛, 立两表齐, 高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合. 从后表却行百二十七步, 人目着地取望岛峰, 亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题,如图 2,要测量海岛上一座山峰的高度 AH ,立两根高 48 丈的标杆 BC 和 DE ,两竿相距 BD=800 步, D,B,H 三点共线且在同一水平面上,从点 B 退行 100 步到点 F ,此时 A,C,F 三点共线,从点
D 退行 120 步到点 G ,此时 A,E,G 三点也共线,则山峰的高度 AH= ___步. (古制单位:180 丈 =300 步 )
图1
【答案】 3280
图2
【解析】由题可知 BC=DE=48×300180=80 步, BF=100 步, DG=120 步. BD=800 步.
在 Rt△AHF 中 AHHF=BCBF=45 ,在 Rt△AHG 中 AHHG=DEDG=23 .
所以 HF=54AH,HG=32AH ,
则 HG−HF=800−100+120−820=14AH .
所以 AH=3280 步.
题型十一 与三角函数结合
48. 已知函数 fx=2sinωx+φω>0,φ<π2 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 ,且 fx 的图
象的一个对称中心为 5π12,0 .
(1) 求 fx 的解析式;
(2) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 A=π3,a=fA ,且 △ABC 的面积为 312 ,求 △ABC 的周长.
【答案】 1fx=2sin2x+π6
(2) 1+2
【分析】(1) 先由 fx 图象的相邻两条对称轴之间距离求出 ω ,再根据正弦函数的图象的对称中心可求出 φ , 求出 fx 即可.
（2）根据 a=fA 求出 a=1 ,再由面积为 312 求出 bc=13 ,再根据余弦定理得 b+c=2,△ABC 周长得解.
【详解】（1）因为 fx 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 ,所以 T2=π2 ,即 T=π ,
所以 ω=2πT=2ππ=2 ,所以 fx=2sin2x+φ ,
fx 的图象的一个对称中心为 5π12,0,2×5π12+φ=kπ,k∈Z ,即 φ=kπ−5π6,k∈Z ,
因为 φ<π2 ,所以 φ=π6 ,
所以 fx=2sin2x+π6 ;
（2）由（1）知, fx=2sin2x+π6 ,
因为 A=π3 ,所以 a=fπ3=2sin2π3+π6=2sin5π6=2×12=1 ,
因为 △ABC 的面积为 312 ,所以 S=12bcsinπ3=12bc×32=312,∴bc=13 .
因为 a2=b2+c2−2bc⋅csA, 1=b+c2−2bc−2bc×12 ,
所以 1=b+c2−1 ,即 b+c2=2,b+c=2 ,
所以 a+b+c=1+2 ,即 △ABC 周长为 1+2 .
49. 已知向量 m=csx,sinx,n=csx,3csx,x∈R ,设函数 fx=m⋅n+12
(1) 求函数 fx 的单调递增区间;
(2) 设 a,b,c 分别为 △ABC 的内角 A,B,C 的对边,若 fA=2,b+c=22,△ABC 的面积为 12 ,求 a 的值.
【答案】(1) kT−π3,kT+π6,k∈Z
(2) a=3−1
【分析】（1）根据向量数量积公式及三角恒等变换得到 fx=sin2x+π6+1 ,从而利用整体法求出函数单调递增区间;
（2）在（1）基础上，求出 A=π6 ,结合三角形面积公式求出 bc=2 ,进而由余弦定理求出答案.
【详解】（1） ∵m=csx,sinx,n=csx,3csx ,
∴fx=m⋅n+12=cs2x+3sinxcsx+12
=1+cs2x2+32sin2x+12=12cs2x+32sin2x+1
=sin2x+π6+1
令 2kTI−π2≤2x+π6≤2kTI+π2,k∈Z ,
解得 kTI−π3≤x≤kTI+π6,k∈Z ,
∴fx 的单调递增区间是 kTI−π3,kTI+π6,k∈Z
（2）由（1）知: fx=sin2x+π6+1
∵fA=2 ,
∴sin2A+π6+1=2 ,即 sin2A+π6=1
∵0∴0<2A<2TI ,
∴π6<2A+π6<136π ,
∴2A+π6=π2 ,
∴A=π6 ,
∵△ABC 的面积为 12 ,
∴12bcsinA=14bc=12 ,解得 bc=2 ,
∵b+c=22 ,
∴ 由余弦定理得 a2=b2+c2−2bccsA
=b2+c2−23=b+c2−2bc−23=8−4−23=4−23
∵a>0 ,
∴a=4−23=3−1 ,
综上所述,结论是: a=3−1 .
50. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,fx=4csxsinx−π6 的最大值为 fA .
(1)求角 A ；
(2)若点 D 在 BC 上，满足 BC=3DC ，且 AD=7，AB=3 ，求角 C .
【答案】 1A=π32C=π6
【详解】（1）由 fx=4csxsinx−π6⇒fx=4csxsinxcsπ6−csxsinπ6
=23sinxcsx−2cs2x=3sin2x−cs2x+1=2sin2x−π6−1,
由题意及三角函数的性质知: 2A−π6=π2+2kπ ,即 A=π3+kπk∈Z ,又 A∈0,π ,
∴A=π3 ;
（2）如图所示,易得 AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23AC−AB=13AB+23AC ,
∴AD​2=49b2+2×29bccs∠BAC+19c2⇒7=49b2+239b+13⇒b=23 (负值舍去),
由余弦定理得: a2=b2+c2−2bccs∠BAC=12+3−6=9 ,即 a=3 ,
显然 a2+c2=b2 ,由勾股定理逆定理得 B=π2 ,故 C=π6 .
题型十三 重心，外心相关计算
51. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 3c2=a2+8b2 .
(1) 求 csB 的最小值;
(2) 若 M 为 △ABC 的重心, ∠AMC=90∘ ,求 sin∠AMBsin∠CMB .
【解析】（1）因为 3c2=a2+8b2 ,所以
csB=a2+c2−b22ac=a2+c2−3c2−a282ac=98a2+58c22ac≥298a2×58c22ac=358,
当且仅当 98a2=58c2 ,即 a=53c 时,等号成立.
（2）记边 AC 的中点为 D ,边 AB 的中点为 E ,边 BC 的中点为 F ,因为点 M 为 △ABC 的重心,
所以 AMMF=BMDM=CMME=2 ,
在 △AMC 中, ∠AMC=90∘,D 为边 AC 的中点,所以 DM=12AC=b2 ,所以 BM=2DM=b ,设
ME=x,MF=y ,则 MC=2x,MA=2y ,
在 △AMC 中, MC2+MA2=2x2+2y2=AC2=b2 ,即 x2+y2=b24 ,
在 △AME 中, ME2+MA2=x2+2y2=AE2=c22=14c2 ,即 x2+4y2=c24 ,
在 △CMF 中, MC2+MF2=2x2+y2=CF2=a22 ,即 4x2+y2=a24 ,
消去 x,y 得 a2+c2=5b2 ,又 3c2=a2+8b2 ,所以 a=72b,c=132b ,
从而解得 x=14b,y=3b4 ,即 MC=12b,MA=32b ,
在 △AMB 中, cs∠AMB=MA2+BM2−AB22MA×BM=34b2+b2−c22×32b×b=74b2−134b23b2=−32 ,
所以 sin∠AMB=1−cs2∠AMB=12 ,
在 △CMB 中, cs∠CMB=MC2+BM2−BC22MC×BM=14b2+b2−a22×12b×b=54b2−74b2b2=−12 ,
所以 sin∠CMB=1−cs2∠CMB=32 ,
所以 sin∠AMBsin∠CMB=1232=33 .
52. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 3asinB−acsC=ccsA,b=6,G 为 △ABC 的重心.
(1) 若 a=2 ,求 c 的长;
(2) 若 AG=33 ,求 △ABC 的面积.
【解析】（1）因为 3asinB−acsC=ccsA ,
所以, 3sinAsinB−sinAcsC=sinCcsA ,
所以, 3sinAsinB=sinAcsC+sinCcsA=sinA+C=sinB
因为 B∈0,π,sinB≠0 ,
所以 sinA=33 ,
因为 a=2所以 A∈0,π2,csA=63 ,
因为 csA=b2+c2−a22bc=6+c2−426c=63 ,整理得 c2−4c+2=0 ,解得 c=2±2 ,
所以 c=2±2
（2）由（1）知 sinA=33 ,记边 BC 的中点为 D
因为 G 为 △ABC 的重心, AG=33 ,
所以, BC 边上的中线长 AD 为 32 ,即 AD=32 ,
因为 AD=12AB+AC ,
所以 AD2=14AB2+AC2+2AB⋅AC=14c2+b2+2bccsA ,
因为 b=6 ,
所以,当 A 为锐角时, csA=63 ,则由 AD2=14c2+b2+2bccsA 得 c2+4c+3=0 ,解得 c=−1 或 c=−3 ,
不满足题意，舍去；
当 A 为钝角时, csA=−63 ,则由 AD2=14c2+b2+2bccsA 得 c2−4c+3=0 ,解得 c=1 或 c=3 ,
所以,当 c=1,△ABC 的面积为 S=12bcsinA=12×6×1×33=22
当 c=3,△ABC 的面积为 S=12bcsinA=12×6×3×33=322 .
53. △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=6,bsinB+C2=asinB .
(1) 求 A 的大小;
(2) M 为 △ABC 内一点, AM 的延长线交 BC 于点 D ,___,求 △ABC 的面积.
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上,使 △ABC 存在,并解决问题.
① M 为 △ABC 的重心, AM=23 ;
② M 为 △ABC 的内心, AD=33 ;
③ M 为 △ABC 的外心, AM=4 .
【解析】(1) ∵bsinB+C2=asinB,∴bsinπ−A2=asinB ,即 bcsA2=asinB
由正弦定理得, sinBcsA2=sinAsinB ,即 sinBcsA2=2sinA2csA2sinB ,
∵A,B∈0,π,∴sinB>0,csA2≠0,∴sinA2=12 ,又 A2∈0,π2,∴A2=π6,∴A=π3
（2）设 △ABC 外接圆半径为 R ,则根据正弦定理得, asinA=2R⇒R=62×32=23 ,
若选①: ∵M 为该三角形的重心,则 D 为线段 BC 的中点且 AD=32AM=33 ,
又 AD=12AB+AC,∴AD2=14AB2+AC2+2AB⋅AC⋅csA ,
即 27=14c2+b2+bc ,又由余弦定理得 a2=b2+c2−2bccsA ,即 36=b2+c2−bc ,解得 b=c=6,∴
S△ABC=12bcsinA=93;
若选②: ∵M 为 △ABC 的内心, ∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=π6 ,由 S△ABC=S△ABD+S△ACD 得
12bcsinπ3=12c⋅ADsinπ6+12b⋅ADsinπ6,∵AD=33,∴32bc=33×12b+c ,即 b+c=bc3 ,
由余弦定理可得 b2+c2−36=bc ,即 b+c2−3bc=36,∴bc29−3bc−36=0 ,
即 bc+9bc9−4=0,∵bc>0,∴bc=36, ∴S△ABC=12bcsinπ3=12×36×32=93 .
若选③: M 为 △ABC 的外心,则 AM 为外接圆半径, AM=23 ,与所给条件矛盾,故不能选③.
54. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 a,b,c 是公差为 2 的等差数列.
(1) 若 2sinC=3sinA ,求 △ABC 的面积.
(2)是否存在正整数 b ,使得 △ABC 的外心在 △ABC 的外部?若存在,求 b 的取值集合; 若不存在,请说明理由.
【解析】（1） ∵2sinC=3sinA,∴ 由正弦定理得 2c=3a ,
∵a,b,c 是公差为 2 的等差数列, ∴a=b−2,c=b+2 ,
∴2b+2=3b−2,∴b=10,∴a=8,c=12 ,
∴csC=a2+b2−c22ab=64+100−1442×8×10=18 ,
∵C∈0,π ,且 sin2C+cs2C=1,∴sinC=378 ,
故 △ABC 的面积为 12×8×10×378=157 .
（2）假设存在正整数 b ,使得 △ABC 的外心在 △ABC 的外部,则 △ABC 为钝角三角形,
依题意可知 c>b>a ,则 C 为钝角,则 csC=b−22+b2−b+222bb−2=b−82b−2<0 ,
所以 b−8b−2<0 ,解得 2∵b+b−2>b+2,∴b>4 ,
∴455. 在 △ABC 中,角 A,B,C 对应的三边分别为 a,b,c,tanA+1tanB+1=2,c=22,a=2,O 为 △ABC 的外心,连接 OA,OB,OC .
（1）求 △OAB 的面积;
（2）过 B 作 AC 边的垂线交于 D 点,连接 OD ,试求 cs∠OBD 的值.
【解析】（1） ∵tanA+1tanB+1=2∴tanA⋅tanB+tanA+tanB=1
∴tanA+B=tanA+tanB1−tanA⋅tanB=1 ∴A+B=π4 ∴C=3π4
在 △ABC 中, 2sinA=22sin3π4=4=2OA ,则 sinA=12 ,
∴A=π6, B=π12
S△OAB=12AB⋅OH=12⋅22⋅2=2OH是O到AB的距离
（2） ∵OA=OB=BC=2 ∴∠OBC=π3
又 ∵∠DBC=π4 ∴∠OBD=∠OBC+∠DBC=π3+π4
∴cs∠OBD=csπ3+π4=2−64
56. 在 △ABC 中,三内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,a=6 .
(1) 求 bcsC+ccsB 的值;
(2)若 O 是 △ABC 的外心,且 3⋅OA+OB+2⋅OC=0 ,求 △ABC 外接圆的半径.
【解析】（1） bcsC+ccsB=b⋅a2+b2−c22ab+c⋅c2+a2−b22ca
=a2+b2−c2+c2+a2−b22a=2a22a=a=6.
（2）设 △ABC 外接圆的半径是 R .
3⋅OA+OB+2⋅OC=0⇒3⋅OA=−2OC−OB⇒3R2=2R2+R2+22OC⋅OB
⇒OC⋅OB=0⇒R2cs∠BOC=0⇒∠BOC=π2⇒A=π4 .
因此 2R=asinA=6sin45∘=62,∴R=32 .A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
a=bsinA
bsinAa≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
a=bsinA
bsinAa≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解