高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用精品课后测评

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1．下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位置关系的结论，其中正确的是（ ）
A．两条直线，的方向向量分别是，，则
B．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则
C．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则
D．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则
【答案】C
【分析】根据题意，结合线、面位置关系的向量判断方法，一一判断即可
【解析】A项，因为，，即，所以，所以或重合，故A项错误；
B项，因为，所以，所以或在面内，故B错误；
C项，因为，，即，所以，所以，故C项正确；
D项，因为，所以，所以或在面内，故D项错误.
故选：C
2．已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．
C．D．l与相交，但不垂直
【答案】B
【分析】根据平面的法向量与直线的方向向量的关系即可求解.
【解析】因为直线l经过点，
所以，又因为平面的一个法向量为，
且，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行，
则，
故选：.
3．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．垂直B．平行
C．相交但不垂直D．平行或线在面内
【答案】A
【分析】根据得到与共线，即可得到直线与平面垂直.
【解析】因为，所以与共线，直线与平面垂直.
故选：A.
4．已知直线l和平面ABC，若直线l的方向向量为，向量，，则下列结论一定正确的为（ ）
A．平面ABCB．l与平面ABC相交，但不垂直
C．直线BCD．平面ABC或平面ABC
【答案】D
【分析】计算可判断A，判断与是否平行可判断C，求出平面的一个法向量，由法向量与的关系可判断BD．
【解析】，与不垂直，也即与不垂直，所以直线与平面不垂直，A错；
，因此不存在实数，使得，所以与不平行，即直线与直线不平行，C错；
设是平面的一个法向量，
则，取，则，，
所以，所以直线与平面平行或在平面内，B错D正确．
故选：D．
5．已知直线与平面，若直线的方向向量为，向量，，则有（ ）
A．直线平面B．直线平面
C．直线与平面相交但不垂直D．直线平面或直线平面
【答案】B
【分析】根据空间向量点乘为0，判定线线垂直，从而判定线面垂直.
【解析】由条件可得:
，
,所以,
于是,又,且平面,
所以直线平面,
故选：B.
6．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若分别是平面α，β的法向量，则⇔α∥β；
②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔；
③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断①；由法向量的概念判断②③④.
【解析】①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确
故选：C
7．不重合的两条直线，的方向向量分别为，．不重合的两个平面，的法向量分别为，，直线，均在平面，外．下列说法中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线与平面的位置关系得到直线的方向向量与平面的法向量的关系，进而推导出答案.
【解析】A选项，因为，A正确；
B选项，，所以，故错误；
C选项，，C正确；
D选项，，D正确.
故选：B
8．已知正方体，是线段上一点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线平面
D．若，则直线平面
【答案】A
【分析】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，1为单位长度，利用直线和平面法向量的关系判断各选项即可.
【解析】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，,，，，，,则，，，，，,
当时，，
设平面的法向量为，
则取，则，，
则为平面的一个法向量，因为，所以，又因为平面，所以直线平面，故A正确，B不正确．
当时，，
设平面的一个法向量为，
则，取则，，
则为平面的一个法向量，
因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
当时，，
因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确．
故选：A．
9．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【解析】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（ ）
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系；
【解析】解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为1，则，，，，，，，，
∴，，，，
∴，，，
从而，，，
故选：B．
11．在正方体中，为上一动点，则下列各选项正确的是（ ）
A．存在点使得与平面垂直B．存在点使得与平面垂直
C．存在点使得与平面垂直D．存在点使得与平面垂直
【答案】D
【分析】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，求出平面的法向量，设，然后逐个分析判断即可.
【解析】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设，
对于A，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，则，所以，方程组不成立，所以与不共线，所以与平面不垂直，所以A错误，
对于B，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，则，所以，得不合题意，所以与不共线，所以与平面不垂直，所以B错误，
对于C，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，则，所以，方程组不成立，所以与不共线，所以与平面不垂直，所以C错误，
对于D，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，则，所以，得符合题意，所以当时，与共线，此时与平面垂直，所以D正确，
故选：D
12．如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是（ ）
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD
【答案】D
【分析】以点A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐个求解判断即可
【解析】以点A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，
则=(1，0，1)，，.
设平面A1BD的一个法向量为，则取，则x=2，y=1，所以平面A1BD的一个法向量为.
假设DQ⊥平面A1BD，且=λ，则.
因为也是平面A1BD的一个法向量，
所以与共线，
则成立，所以
但此关于λ的方程组无解.
故不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD.
故选：D.
【点睛】此题考查了利用空间向量判断线面垂直的方法，属于中档题.
二、多选题
13．以下命题正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l不能与m垂直
B．直线l的方向向量，平面的法向量，则
C．两个不同平面，的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】ACD
【分析】由空间位置关系的向量证明判断A，B，C；利用平面的法向量计算判断D作答.
【解析】对于A，，，则，则有不垂直，即直线与不垂直，A正确；
对于B，因，，则，有，于是得，直线l与平面不垂直，B不正确；
对于C，由，得，，即与共线，则， C正确；
对于D，点，，，则，，
又向量是平面的法向量，则，解得，D正确.
故选：ACD
14．在正方体中，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．平面
C．D．
【答案】BCD
【分析】设正方体的棱长为1，以D为原点，、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建系，写出所需点的坐标，可求得所需向量的坐标，逐一检验各个选项即可得答案.
【解析】设正方体的棱长为1，以D为原点，、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，
所以，所以与不垂直，故A错误；
显然平面的一个法向量.
所以，所以平面，故B正确；
，所以，故C正确；
，所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查利用空间向量判断线线垂直、线线平行、线面平行，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
15．在长方体中，，，、、分别是、、 上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．对于任意给定的点，存在点使得
B．对于任意给定的点，存在点使得
C．当时，
D．当时，平面
【答案】ABD
【分析】本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可.
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，
设，得到，.
，，，当时，，正确；
，，取时，，正确；
，则，解得：，此时，不成立，错误；
，则，，设平面的法向量为，则，解得，故，故平面，正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.
16．如图，在正方体中，点在线段上移动，为棱的中点，则下列结论中正确的有（ ）
A．平面
B．的大小可以为
C．直线与直线恒为异面直线
D．存在实数，使得成立
【答案】ABD
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量的方法逐一计算各个选项.
【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为2，
设
所以又平面所以平面
的法向量为因为
所以所以平面故正确
对于B，当为的中点时
所以
所以
所以平面所以的大小可以为，故正确；
对于当为线段的中点时，直线与共面，故不正确
对于三点共线
故正确.
故选:ABD.
三、填空题
17．已知､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________.
①；②；③；④.
【答案】①②③④
【分析】根据直线的方向向量与平面向量的法向量的定义判断即可；
【解析】解：因为､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量；
直线，的方向向量平行（垂直）等价于直线､平行（垂直），故①、②正确；
平面，的法向量平行（垂直）等价于平面，平行（垂直）、故③、④正确；
故答案为：①②③④
18．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________.
【答案】垂直
【分析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出与平面PBC的一个法向量坐标，利用数量积为零即可作出判断.
【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则E ，F ，∴＝，
平面PBC的一个法向量＝(0,1,1)．
∵＝－，∴∥.∴EF⊥平面PBC．
故答案为：垂直
【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查向量数量积与垂直的关系，考查逻辑推理与计算能力，属于中档题.
19．如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为____.
【答案】##
【分析】构建空间直角坐标系，由已知确定相关点的坐标并设，进而得到、、的坐标，根据线面垂直有求参数t，即可知线段的长.
【解析】以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意，，，，，，设，，
∴，，，
平面，
∴，即，
，解得
线段的长为
故答案为：
20．如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为_________．
【答案】##
【分析】连接EO，证明OB，OD，OE两两垂直，再建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.
【解析】连接EO，因，则，而平面，且平面平面，
平面平面，于是得平面，又平面，平面，
即有，，而四边形BCDO是边长为1的正方形，
以O为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，
因，，则，
则，
设，，，
设平面BMN的一个法向量，则，令，得，
设平面ABE的一个法向量，则，令，得，
因为平面平面ABE，则有，即，解得，
所以线段AN的长为．
故答案为：
四、解答题
21．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．
(1)求证：平面PBC；
(2)求证：平面BDE．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证；
（2）设平面BDE的法向量为，证明即得证.
（1）
证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
因为，所以，所以，
所以，，
所以，，即，，
又因为，平面PBC．
所以平面PBC．
（2）
证明：由（1）可得，，．
设平面BDE的法向量为，
则，即令，得，，
则是平面BDE的一个法向量，
因为，所以，
因为平面BDE，所以平面BDE．
22．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先由面面垂直的性质定理及正方形的性质推得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得，，由此利用空间向量垂直的坐标表示即可得证；
（2）结合（1）中结论得到，，，从而利用空间向量垂直的坐标表示证得，，由此利用线面垂直的判定定理证得平面.
【解析】（1）因为面面，面面，，面，
所以面，又面，所以，
又因为在正方形中，，所以两两垂直，
以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为M为EC的中点，所以，
故，，
所以，故即.
（2）由（1）得，，，
所以，则即，
又，故即，
又，平面，
所以平面.
23．已知在正四棱柱中，,，点E为的中点，点F为的中点．
(1)求证：且；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明（1）和（2）.
【解析】（1）在正四棱柱中，可以建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
（1）由，，，
得且，
所以且．
（2），由于，显然，故．
24．如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，证明见解析
【分析】（1）由线面垂直得到，再由，即可得到平面，从而证得，又为等腰直角三角形，故，从而得平面，结论可证；
（2）以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，可求得点，点的坐标，从而得、的坐标，由空间向量的坐标运算即可得到答案．
（1）
证明：平面，平面，
，
又，，平面
平面，平面，
．
又，为等腰直角三角形，为斜边的中点，
，又，平面，
平面，平面，
平面平面；
（2）
解：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，
设存在点，使，点的坐标设为，
所以，，
由相似三角形得，即，
．
，
又，
．
，
，
故存在点，使．
25．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)在侧面内找一点，使平面．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设，则，根据异面直线所成角的定义可知即为与所成的角或其补角，在中利用余弦定理，求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，设，由于平面，利用空间互相垂直的向量数量积为零，建立关于、的方程组，求出点的坐标，即可得解．
（1）
设，连、，则，
∴即为与所成的角或其补角．
在中，，，，
∴．
即与所成角的余弦值为．
（2）
分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图，
则可得、、、、、，
，
设，则，由于平面，
所以，化简得，可得，，
因此，点的坐标为，
从而侧面内存在一点，当到、的距离分别为1和时，平面．
26．如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)在上存在点使得平面，且为的中点．
【分析】（1）本题首先以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出、，最后根据即可证得；
（2）本题可假设点存在，则，然后通过得出，最后求出的值，即可得出结论.
【解析】（1）因为，，，所以，
如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，
所以，，即.
（2）若存在点使平面，则，，
，，，，
因为平面，所以存在实数、，使成立，
则，解得，
故在上存在点使平面，此时点为中点.
27．如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在 ，
【分析】（1）根据线面垂直先证得，再结合可证得结论；
（2）设，根据平面与平面的法向量垂直建立等量关系求得即可．
（1）
证明：，
，
又平面平面，
所以平面，
平面，
，
又平面平面，
平面；
（2）
解：存在，理由如下：
平面，
∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，
假设在线段上存在一点，使得平面平面，
设，
则，
，
，
设平面的法向量，
由，
得，
令，
得．
设平面的法向量为，
，
故，
取，
得．
因为平面平面，
所以，
解得，
所以在线段上存在点，使得平面平面，且．