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苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算优秀同步测试题
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这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算优秀同步测试题，文件包含苏教版数学高一必修第二册92向量运算分层练习原卷版docx、苏教版数学高一必修第二册92向量运算分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
分层练习
基础篇
一、单选题
1．等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.故选：B
2．在平行四边形ABCD中，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：.
故选：D.
3．设，是两个不共线的向量，已知，，，则（ ）
A．A、B、C三点共线B．B、C、D三点共线
C．A、B、D三点共线D．A、C、D三点共线
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
所以A、B、D三点共线.
与没有倍数关系，所以三点不共线.
与没有倍数关系，所以三点不共线.
，
与没有倍数关系，所以三点不共线.
故选：C
4．在平行四边形中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接AC，BD相交于点O，则
故选：C
5．若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是的中点，由向量的平行四边形法则可得：，
故选：D
6．已知向量，，若与的夹角为，则为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为向量，，若与的夹角为，
所以，
故选：B.
7．向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由两边平方得，
，.
故选：A
8．已知向量，，且，，与的夹角为，则（ ）
A．36B．C．54D．
【答案】D
【解析】．故选：D．
二、多选题
9．下列能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项正确.
C选项，，C选项正确.
D选项，，D选项错误.
故选：ABC
10．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】
.
故选：ABD
11．边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】根据向量加法法则可知，，故A正确；
根据向量减法法则可得，故B错误；
由向量数量积公式得，故C正确；
根据向量加法法则可知，，所以D正确.
故选：ACD.
12．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，，则
【答案】AB
【解析】 ，故A正确；
可得
，则 ，故B正确
表示与共线的向量，表示与共线的向量，故C错误
对于D选项，当均与垂直时，此时 ，但与不一定相等，故D错误
故选：AB
三、填空题
13．已知非零向量满足，且，则__________．
【答案】
【解析】由两边平方得，
，.
所以.
故答案为：
14．已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______.
【答案】
【解析】，，
所以在方向上的数量投影为.
故答案为：
15．已知，，，则与所成的夹角大小是______.
【答案】
【解析】因为，，，记与所成的夹角为，
所以，
因此.
故答案为：.
16．平面向量与的夹角为，，则___．
【答案】
【解析】，
所以
故答案为：
四、解答题
17．如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，，，试用向量表示向量，，.
【答案】，，
【解析】解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以，，
所以.
18．已知，设，．
(1)求作：，，，．
(2)向量，分别与有什么关系？
【答案】(1)答案见解析
(2)，
【解析】(1)解：在线段AB、AC上分别取点、，使得，，
在BA、CA的延长线上分别取点、，使得，，
则，，，对应的图形如下图所示：
(2)解：∵，，
∴，
∴，=，
∴，
∴，同理可得.
19．已知向量满足，且．
(1)求与的夹角；
(2)求．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由，
得，因为，所以．
（2）由题意得
20．已知平面向量满足，且．
(1)求向量的夹角；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)；(2)﹒
【解析】(1)由平方得，
∵，∴，解得，
∵，∴；
(2)由(1)知．
∵，∴，
化简得，
∴，解得．
提升篇
一、单选题
1．已知向量表示“向东航行”，向量表示“向南航行”，则表示（ ）
A．向东南航行B．向东南航行
C．向东北航行D．向东北航行
【答案】B
【解析】如图，设，，则，，以，为邻边作平行四边形，
由平行四边形法则可知．∵，，∴平行四边形是正方形，∴方向为东南方向．
∵，∴．
故选：B．
2．若非零向量满足，则( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，
∴.
若与共线，由则中有一个必为零向量，
与不共线，即，
.
同理知无法判断之间的大小关系.
故选：C.
3．在中，，则P点（ ）
A．在线段BC上，且B．在线段CB的延长线上，且
C．在线段BC的延长线上，且D．在线段BC上，且
【答案】B
【解析】由题设，，则，
所以共线且在延长线上，.
故选：B
4．在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则下列关系式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题意知：，又，，
即，由三点共线，可得，即.
故选：D.
5．已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ）
A．7B．6C．3D．2
【答案】A
【解析】解： 因为，所以.
因为，所以，
所以，
所以，因为，
所以，，故.
故选：A
6．已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】向量，是两个单位向量，
由为锐角可得，
，
反过来，由两边平方可得，
，，
，不一定为锐角，
故“为锐角”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
7．设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】解：因为在方向上的投影向量为，
所以，
所以，
因为与垂直，
所以，
即，解得.
故选：B.
8．已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
【答案】B
【解析】因为，所以
，
所以，所以
，
所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上，
同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心，
故选：B.
二、多选题
9．已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与可能平行B．点P在线段EF上
C．D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确；
设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错.
故选：BC.
10．下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．已知向量，若与的夹角为锐角，则
【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，单位向量方向不同，则不相等，故A错误；
对于B选项，向量与是共线向量，也可能是，故B错误；
对于C选项，两个非零向量，若，则与共线且反向，故C正确；
对于D选项，向量，若与的夹角为锐角，则且与不共线，故，解得且，故D错误；
故选：ABD
11．已知向量，满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为向量，满足，且与的夹角为，
所以．
因为与的夹角为钝角，
所以，化简得：，解得：且.
对照四个选项，实数的值可以是和.
故选：BC
12．下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．，且，则与一定共线
B．，且，则
C．，且，，则
D．，且，，则
【答案】BC
【解析】对于A选项，若、中至少有一个零向量时，，
若、均为非零向量，当时，则，则，
可得，此时，
若与不垂直，设，则，可设，
由可得，可得，此时，
综上所述，，A对；
对于B选项，因为，，则，则或当时，，B错；
对于C选项，由已知、、均为非零向量，不妨取，
则，，此时，C错；
对于D选项，因为，且，，则，D对.
故选：BC.
三、填空题
13．已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__.
【答案】
【解析】由题意得，
所以.
故答案为：
14．已知平面向量满足，则的最大值是__.
【答案】
【解析】由，得，
所以，当和共线时等号成立，
所以，即，所以，
又，当时取等号.
所以的最大值是.
故答案为：
15．如图中，，，，，且，则__.
【答案】
【解析】由中，，，，
则，，
又，且，即，
故，即，
从而，
故，
因为，
所以.
故答案为：.
16．满足下述条件的两组基底与叫做一组“对偶基底”：，i，，当，均为单位向量，且时，______．
【答案】
【解析】如图：设，,由知,
由知，，故可知，因此根据图可知，分别在直线上，又，因为，因此可知与同向，此时,故，同理可得与同向，，因此，故，
故答案为：
四、解答题
17．已知是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，．求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】如下图，由于为等腰直角三角形，可知.
由是斜边的中点，得.
（1）在中，，于是，由，得；
（2）在中，，，
从而由，得.
18．两个非零向量不共线．
(1)若，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使与共线．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】(1)证明：因为，
所以，则，
所以共线，两个向量有公共点，
所以A、B、D三点共线.
(2)若与共线，则存在实数，使得，
所以，
所以.
19．已知，，且与夹角为120°．求：
(1)；
(2)
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，，，
所以，，
所以.
（2）因为，
所以.
20．已知向量，，与的夹角为.
(1)求及；
(2)求．
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1），
分层练习
基础篇
一、单选题
1．等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.故选：B
2．在平行四边形ABCD中，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：.
故选：D.
3．设，是两个不共线的向量，已知，，，则（ ）
A．A、B、C三点共线B．B、C、D三点共线
C．A、B、D三点共线D．A、C、D三点共线
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
所以A、B、D三点共线.
与没有倍数关系，所以三点不共线.
与没有倍数关系，所以三点不共线.
，
与没有倍数关系，所以三点不共线.
故选：C
4．在平行四边形中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接AC，BD相交于点O，则
故选：C
5．若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是的中点，由向量的平行四边形法则可得：，
故选：D
6．已知向量，，若与的夹角为，则为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为向量，，若与的夹角为，
所以，
故选：B.
7．向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由两边平方得，
，.
故选：A
8．已知向量，，且，，与的夹角为，则（ ）
A．36B．C．54D．
【答案】D
【解析】．故选：D．
二、多选题
9．下列能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项正确.
C选项，，C选项正确.
D选项，，D选项错误.
故选：ABC
10．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】
.
故选：ABD
11．边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】根据向量加法法则可知，，故A正确；
根据向量减法法则可得，故B错误；
由向量数量积公式得，故C正确；
根据向量加法法则可知，，所以D正确.
故选：ACD.
12．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，，则
【答案】AB
【解析】 ，故A正确；
可得
，则 ，故B正确
表示与共线的向量，表示与共线的向量，故C错误
对于D选项，当均与垂直时，此时 ，但与不一定相等，故D错误
故选：AB
三、填空题
13．已知非零向量满足，且，则__________．
【答案】
【解析】由两边平方得，
，.
所以.
故答案为：
14．已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______.
【答案】
【解析】，，
所以在方向上的数量投影为.
故答案为：
15．已知，，，则与所成的夹角大小是______.
【答案】
【解析】因为，，，记与所成的夹角为，
所以，
因此.
故答案为：.
16．平面向量与的夹角为，，则___．
【答案】
【解析】，
所以
故答案为：
四、解答题
17．如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，，，试用向量表示向量，，.
【答案】，，
【解析】解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以，，
所以.
18．已知，设，．
(1)求作：，，，．
(2)向量，分别与有什么关系？
【答案】(1)答案见解析
(2)，
【解析】(1)解：在线段AB、AC上分别取点、，使得，，
在BA、CA的延长线上分别取点、，使得，，
则，，，对应的图形如下图所示：
(2)解：∵，，
∴，
∴，=，
∴，
∴，同理可得.
19．已知向量满足，且．
(1)求与的夹角；
(2)求．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由，
得，因为，所以．
（2）由题意得
20．已知平面向量满足，且．
(1)求向量的夹角；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)；(2)﹒
【解析】(1)由平方得，
∵，∴，解得，
∵，∴；
(2)由(1)知．
∵，∴，
化简得，
∴，解得．
提升篇
一、单选题
1．已知向量表示“向东航行”，向量表示“向南航行”，则表示（ ）
A．向东南航行B．向东南航行
C．向东北航行D．向东北航行
【答案】B
【解析】如图，设，，则，，以，为邻边作平行四边形，
由平行四边形法则可知．∵，，∴平行四边形是正方形，∴方向为东南方向．
∵，∴．
故选：B．
2．若非零向量满足，则( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，
∴.
若与共线，由则中有一个必为零向量，
与不共线，即，
.
同理知无法判断之间的大小关系.
故选：C.
3．在中，，则P点（ ）
A．在线段BC上，且B．在线段CB的延长线上，且
C．在线段BC的延长线上，且D．在线段BC上，且
【答案】B
【解析】由题设，，则，
所以共线且在延长线上，.
故选：B
4．在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则下列关系式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题意知：，又，，
即，由三点共线，可得，即.
故选：D.
5．已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ）
A．7B．6C．3D．2
【答案】A
【解析】解： 因为，所以.
因为，所以，
所以，
所以，因为，
所以，，故.
故选：A
6．已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】向量，是两个单位向量，
由为锐角可得，
，
反过来，由两边平方可得，
，，
，不一定为锐角，
故“为锐角”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
7．设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】解：因为在方向上的投影向量为，
所以，
所以，
因为与垂直，
所以，
即，解得.
故选：B.
8．已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
【答案】B
【解析】因为，所以
，
所以，所以
，
所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上，
同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心，
故选：B.
二、多选题
9．已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与可能平行B．点P在线段EF上
C．D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确；
设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错.
故选：BC.
10．下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．已知向量，若与的夹角为锐角，则
【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，单位向量方向不同，则不相等，故A错误；
对于B选项，向量与是共线向量，也可能是，故B错误；
对于C选项，两个非零向量，若，则与共线且反向，故C正确；
对于D选项，向量，若与的夹角为锐角，则且与不共线，故，解得且，故D错误；
故选：ABD
11．已知向量，满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为向量，满足，且与的夹角为，
所以．
因为与的夹角为钝角，
所以，化简得：，解得：且.
对照四个选项，实数的值可以是和.
故选：BC
12．下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．，且，则与一定共线
B．，且，则
C．，且，，则
D．，且，，则
【答案】BC
【解析】对于A选项，若、中至少有一个零向量时，，
若、均为非零向量，当时，则，则，
可得，此时，
若与不垂直，设，则，可设，
由可得，可得，此时，
综上所述，，A对；
对于B选项，因为，，则，则或当时，，B错；
对于C选项，由已知、、均为非零向量，不妨取，
则，，此时，C错；
对于D选项，因为，且，，则，D对.
故选：BC.
三、填空题
13．已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__.
【答案】
【解析】由题意得，
所以.
故答案为：
14．已知平面向量满足，则的最大值是__.
【答案】
【解析】由，得，
所以，当和共线时等号成立，
所以，即，所以，
又，当时取等号.
所以的最大值是.
故答案为：
15．如图中，，，，，且，则__.
【答案】
【解析】由中，，，，
则，，
又，且，即，
故，即，
从而，
故，
因为，
所以.
故答案为：.
16．满足下述条件的两组基底与叫做一组“对偶基底”：，i，，当，均为单位向量，且时，______．
【答案】
【解析】如图：设，,由知,
由知，，故可知，因此根据图可知，分别在直线上，又，因为，因此可知与同向，此时,故，同理可得与同向，，因此，故，
故答案为：
四、解答题
17．已知是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，．求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】如下图，由于为等腰直角三角形，可知.
由是斜边的中点，得.
（1）在中，，于是，由，得；
（2）在中，，，
从而由，得.
18．两个非零向量不共线．
(1)若，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使与共线．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】(1)证明：因为，
所以，则，
所以共线，两个向量有公共点，
所以A、B、D三点共线.
(2)若与共线，则存在实数，使得，
所以，
所以.
19．已知，，且与夹角为120°．求：
(1)；
(2)
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，，，
所以，，
所以.
（2）因为，
所以.
20．已知向量，，与的夹角为.
(1)求及；
(2)求．
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1），
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