高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05讲平面向量基本定理(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05讲平面向量基本定理(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了用基向量表示向量的三个依据等内容，欢迎下载使用。

知识点1 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
注：平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
知识点2 基底的性质
(1)不共线性
平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底．
(2)不唯一性
对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示．
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到．
考点一 对基向量概念的理解
解题方略：
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．
【例1】下列关于基底的说法正确的序号是( )
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
变式1：如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则eq \f(λ1,λ2)＝eq \f(μ1,μ2)；
④若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
变式2：设是同一个平面内的两个向量，则有（ ）
A．平行
B．的模相等
C．同一个平面内的任一向量，有
D．若不共线，则对于同一个平面内的任一向量，有
【例2】若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
变式1：如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2
变式2：设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3：设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A.eq \(AD,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→)) B.eq \(DA,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))
C.eq \(CA,\s\up7(―→))与eq \(DC,\s\up7(―→)) D.eq \(OD,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))
变式5：如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是( )
A.eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(BC,\s\up7(―→)) B.eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(CD,\s\up7(―→))
C.eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(CF,\s\up7(―→)) D.eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(DE,\s\up7(―→))
变式6：已知,,,,则不能作基底的条件为
A．B．C．D．或
变式7：已知不共线，，要使能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________.
考点二 用基底表示向量
解题方略：
1．用基向量表示向量的三个依据
(1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)向量减法的几何意义；
(3)数乘向量的几何意义．
2．关于基底的一个结论
设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.
【例3】在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝c，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，若点D满足eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，以b与c作为基底，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D.eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c
【解析】∵eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，∴eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝2(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))，∴eq \(AD,\s\up7(―→))－c＝2(b－eq \(AD,\s\up7(―→)))，∴eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)c＋eq \f(2,3)b.故选A.
变式1：如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))表示eq \(AD,\s\up7(―→)).
变式2：已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，用a，b表示eq \(AG,\s\up7(―→))＝________.
变式3：如图，平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量eq \(AM,\s\up7(―→))＝________.
变式4：如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，试以a，b为基底表示eq \(DE,\s\up7(―→))，eq \(BF,\s\up7(―→)).
变式5：如图所示，已知是圆的直径，点是半圆弧的两个三等分点，，则（ ）
A．B．C．D．
变式6：【多选】四边形中，，则下列表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
考点三 平面向量基本定理的应用
解题方略：
1.利用平面向量基本定理解题的策略：
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．
2.向量问题中的常见结论：
（1）两个向量能作为基底的条件：同一平面内不共线的非零向量；
（2）共线向量定理：若向量与非零向量共线，则有且仅有一个实数使得；
（3）已知平面中三点共线 (O在该直线外)，若，则必有.
【例4】已知向量a，b不共线，若λ1a＋b＝－a＋μ1b，则λ1＝________，μ1＝________.
变式1：设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0 B．1,1
C．3,0 D．3,4
变式2：设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.
【例5】 如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点R，CR的中点为P，若，则m，n对应的值为（ ）
A． B． C．D．
变式1：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,7eq \(AE,\s\up7(―→))＝5eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))＝4eq \(AF,\s\up7(―→))，EF交AC于点K，eq \(AK,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))，则实数λ的值为________．
变式2：如图所示，|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(OC,\s\up7(―→))|＝eq \r(3)，∠AOB＝60°，OB⊥OC，设eq \(OC,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))，则( )
A．x＝－2，y＝－1 B．x＝－2，y＝1
C．x＝2，y＝－1 D．x＝2，y＝1
变式3：在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若 (m，n∈R)，则＝( )
A．－3B．－
C．D．3
变式4：如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
变式5：在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记、分别为a，b，则__________（用a，b表示）.
变式6：如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
变式7：如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N为AC的中点，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
变式8：已知点为的重心，过点的直线与射线，分别交于点，，且满足，，则的最小值为__________．
变式9：平行四边形ABCD中，F是CD边中点，，点M在线段EF（不包括端点）上，若，则的最小值为______．
变式10：已知为所在平面内的一点，且，若点在的内部（不含边界），则实数的取值可以是_____
练习一 对基向量概念的理解
1、【多选】是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
2、【多选】如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法正确的是（ ）
A．若存在实数，使得，则
B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个
C．若向量与共线（），则
D．若向量与垂直（），则
3、【多选】下列结论正确的是（ ）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若（，，是单位向量），则，．
C．向量与共线存在不全为零的实数，，使
D．已知，，三点共线，为直线外任意一点，若，则
4、【多选】下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若是平面向量的一组基底，则也是平面向量的一组基底
B．，，均为非零向量，若，，则
C．若，则存在唯一的实数，使得
D．若，，则的取值范围
5、平面内任一向量都可以表示成的形式，下列关于向量的说法中正确的是（ ）
A．向量的方向相同B．向量中至少有一个是零向量
C．向量的方向相反D．当且仅当时，
6、设，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的有（ ）
A．若，，那么
B．若，则.
C．如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使.
D．有且只有一对实数，，使.
7、若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8、已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
9、设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__________.(写出所有满足条件的序号)
10、如果与是一组基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
11、设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）
A．①②B．①③
C．①④D．③④
12、若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断正确的是( )
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0
练习二 用基底表示向量
1、已知矩形ABCD中,对角线交于点O,若,则（ ）
A．B．C．D．
2、已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______．
3、如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（ ）
A．B．
C．D．
4、如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD上靠近D的三等分点，点F为线段BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
练习三 平面向量基本定理的应用
1、已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
2、已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________．
3、已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则_________.
4、已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（ ）
A．B．C．D．
5、在平行四边形中，为的中点，点为线段上的一点，且，则实数__________．
6、已知梯形中，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7、在中，AC=3,AB=4,∠BAC=π3，，P为上一点，且满足，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8、在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍.若存在正实数使得成立，则的值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
9、如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________.
10、设是不共线的非零向量，且.
（1）证明：可以作为一组基底；
（2）若，求λ，u的值.
11、如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
第5讲 平面向量基本定理
知识点1 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
注：平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
知识点2 基底的性质
(1)不共线性
平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底．
(2)不唯一性
对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示．
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到．
考点一 对基向量概念的理解
解题方略：
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．
【例1】下列关于基底的说法正确的序号是( )
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【解析】由基底的定义可知①③正确. 故选B.
变式1：如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则eq \f(λ1,λ2)＝eq \f(μ1,μ2)；
④若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【解析】由平面向量的基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．故选B.
变式2：设是同一个平面内的两个向量，则有（ ）
A．平行
B．的模相等
C．同一个平面内的任一向量，有
D．若不共线，则对于同一个平面内的任一向量，有
【解析】A. 是同一个平面内的两个向量，不一定平行，所以A错；
B.向量长度不一定相等，即模不一定相等，所以B错；
C.如果是平面内的两个共线向量，所以C错；
D.由平面向量基本定理可得，D正确；
故选D
【例2】若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【解析】对于A， ，能作为基底；
对于B，，不能作为基底；
对于C，，能作为基底；
对于D， ，能作为基底；
故选：B.
变式1：如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2
【解析】由e1，e2为不共线向量，可知e1与e1＋e2，e1－2e2与e1＋2e2，e1＋e2与e1－e2必不共线，都可作为平面向量的基底，而e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，故e1－2e2与－e1＋2e2共线，不能作为该平面所有向量的基底．故选D.
变式2：设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于A，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以A不合题意；
对于B，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以B不合题意；
对于C，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以且，所以不存在，所以不共线，所以可以作为基底，所以C符合题意；
对于D，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以D不合题意，
故选：C
变式3：设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A.eq \(AD,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→)) B.eq \(DA,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))
C.eq \(CA,\s\up7(―→))与eq \(DC,\s\up7(―→)) D.eq \(OD,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))
【解析】由题意作平行四边形ABCD，如图．因为eq \(AD,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→))不共线，eq \(CA,\s\up7(―→))与eq \(DC,\s\up7(―→))不共线，所以它们均可作为这个平行四边形所在平面的一组基底，eq \(DA,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))共线，eq \(OD,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))共线，故这两组向量不能作为该平面的一组基底，故选A、C.
变式5：如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是( )
A.eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(BC,\s\up7(―→)) B.eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(CD,\s\up7(―→))
C.eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(CF,\s\up7(―→)) D.eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(DE,\s\up7(―→))
【解析】由题中图形可知eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))，eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CF,\s\up7(―→))，eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(DE,\s\up7(―→))共线，不能作为基底向量，eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))不共线，可作为基底向量．故选B.
变式6：已知,,,,则不能作基底的条件为
A．B．C．D．或
【解析】若，，.，
∴与共线，不能作基底.
若与不共线，要使不能作基底，则，即，
亦即，.
故选：D
变式7：已知不共线，，要使能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________.
【解析】当平面向量共线时，有，即，因此有，
因此要想能作为平面内的一组基底，则必有平面向量不共线，所以，
故答案为：
考点二 用基底表示向量
解题方略：
1．用基向量表示向量的三个依据
(1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)向量减法的几何意义；
(3)数乘向量的几何意义．
2．关于基底的一个结论
设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.
【例3】在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝c，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，若点D满足eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，以b与c作为基底，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D.eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c
【解析】∵eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，∴eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝2(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))，∴eq \(AD,\s\up7(―→))－c＝2(b－eq \(AD,\s\up7(―→)))，∴eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)c＋eq \f(2,3)b.故选A.
变式1：如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))表示eq \(AD,\s\up7(―→)).
【解析】∵D是BC边的四等分点，∴eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))，∴eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)).
变式2：已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，用a，b表示eq \(AG,\s\up7(―→))＝________.
【解析】eq \(AG,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＋eq \(EG,\s\up7(―→))＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up7(―→))＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,4)b－eq \f(1,4)a＝eq \f(3,4)a＋eq \f(3,4)b.
答案：eq \f(3,4)a＋eq \f(3,4)b
变式3：如图，平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量eq \(AM,\s\up7(―→))＝________.
【解析】eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DM,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝b＋eq \f(1,2)a.
变式4：如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，试以a，b为基底表示eq \(DE,\s\up7(―→))，eq \(BF,\s\up7(―→)).
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＝2eq \(BE,\s\up7(―→))，eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(BA,\s\up7(―→))＝2eq \(CF,\s\up7(―→))，
∴eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)b，
eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)a.
∴eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \(DA,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝－eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))
＝－b＋a＋eq \f(1,2)b＝a－eq \f(1,2)b，
eq \(BF,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))＝b－eq \f(1,2)a.
变式5：如图所示，已知是圆的直径，点是半圆弧的两个三等分点，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】连接，因为是圆的直径，点是半圆弧的两个三等分点，
所以，
因为，
所以是等边三角形，
所以四边形是菱形，
所以
故选：D
变式6：【多选】四边形中，，则下列表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于选项A：，故选项A不正确；
故选项B正确；
，故选项C不正确，
，故选项D正确；
故选：BD
考点三 平面向量基本定理的应用
解题方略：
1.利用平面向量基本定理解题的策略：
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．
2.向量问题中的常见结论：
（1）两个向量能作为基底的条件：同一平面内不共线的非零向量；
（2）共线向量定理：若向量与非零向量共线，则有且仅有一个实数使得；
（3）已知平面中三点共线 (O在该直线外)，若，则必有.
【例4】已知向量a，b不共线，若λ1a＋b＝－a＋μ1b，则λ1＝________，μ1＝________.
【解析】∵λ1a＋b＝－a＋μ1b，
∴(λ1＋1)a＋(1－μ1)b＝0，又∵a，b不共线，
∴λ1＋1＝0且1－μ1＝0，即λ1＝－1，μ1＝1.
答案：－1 1
变式1：设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0 B．1,1
C．3,0 D．3,4
【解析】∵向量e1与e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＝4y－7，,10－y＝2x，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4.))故选D.
变式2：设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.
【解析】设e1＋e2＝m a＋n b(m，n∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.∵e1与e2不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))∴e1＋e2＝eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b.
答案：eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
【例5】 如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点R，CR的中点为P，若，则m，n对应的值为（ ）
A． B． C．D．
【解析】由题意可得 ，①
，②
由①②解方程求得 ,即，对应的值为，
变式1：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,7eq \(AE,\s\up7(―→))＝5eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))＝4eq \(AF,\s\up7(―→))，EF交AC于点K，eq \(AK,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))，则实数λ的值为________．
【解析】因为eq \(AK,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＝－λeq \(AO,\s\up7(―→))＝－eq \f(λ,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))，所以eq \(AK,\s\up7(―→))＝－eq \f(λ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)\(AE,\s\up7(―→))＋4\(AF,\s\up7(―→)))). 又E，F，K三点共线，所以－eq \f(λ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)＋4))＝1，解得λ＝－eq \f(10,27).
答案：－eq \f(10,27)
变式2：如图所示，|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(OC,\s\up7(―→))|＝eq \r(3)，∠AOB＝60°，OB⊥OC，设eq \(OC,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))，则( )
A．x＝－2，y＝－1 B．x＝－2，y＝1
C．x＝2，y＝－1 D．x＝2，y＝1
【解析】过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D，连接BC(图略)．由|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(OC,\s\up7(―→))|＝eq \r(3)，∠AOB＝60°，OB⊥OC，知∠COD＝30°.在Rt△ODC中，可得OD＝2CD＝2，则eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OD,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＝－2eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)).故选B.
变式3：在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若 (m，n∈R)，则＝( )
A．－3B．－
C．D．3
【解析】过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以m＋n＝＝＝＋＝－＋＝－＋，所以＝-3
答案：A
变式4：如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【解析】选取为基底，
则，
又，
将以上两式比较系数可得．
故选D．
变式5：在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记、分别为a，b，则__________（用a，b表示）.
【解析】如图，E，F分别为BC，CD的中点，
∵A，H，F三点共线，∴存在实数λ，使，∵D，H，E三点共线，∴存在μ，使，
∴，
∴根据平面向量基本定理得：，解得，∴．故答案为：．
变式6：如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
【解析】设eq \(BM,\s\up7(―→))＝e1，eq \(CN,\s\up7(―→))＝e2，
则eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CM,\s\up7(―→))＝－3e2－e1，eq \(BN,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CN,\s\up7(―→))＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＝－λe1－3λe2，
eq \(BP,\s\up7(―→))＝μeq \(BN,\s\up7(―→))＝2μe1＋μe2.
故eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \(BP,\s\up7(―→))＋eq \(PA,\s\up7(―→))＝eq \(BP,\s\up7(―→))－eq \(AP,\s\up7(―→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))
∴eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up7(―→))，eq \(BP,\s\up7(―→))＝eq \f(3,5)eq \(BN,\s\up7(―→))，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq \f(3,2).
变式7：如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N为AC的中点，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
【解析】如图，设eq \(BM,\s\up7(―→))＝e1，eq \(CN,\s\up7(―→))＝e2，
则eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CM,\s\up7(―→))＝－2e2－e1，
eq \(BN,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CN,\s\up7(―→))＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＝－λe1－2λe2，
eq \(BP,\s\up7(―→))＝μeq \(BN,\s\up7(―→))＝2μe1＋μe2.
故eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \(BP,\s\up7(―→))＋eq \(PA,\s\up7(―→))＝eq \(BP,\s\up7(―→))－eq \(AP,\s\up7(―→))
＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋2μ＝2，,2λ＋μ＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3).))
∴eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))，eq \(BP,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(BN,\s\up7(―→))，
∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
变式8：已知点为的重心，过点的直线与射线，分别交于点，，且满足，，则的最小值为__________．
【解析】在内有一点，
满足．
得知为三角形的重心．
且．
．
．
∵、、共线．
∴，
∴，
∴．．
变式9：平行四边形ABCD中，F是CD边中点，，点M在线段EF（不包括端点）上，若，则的最小值为______．
【解析】如图所示，设，
所以,
所以，
因为，
所以.
所以.
当且仅当时等号成立.
故答案为：
变式10：已知为所在平面内的一点，且，若点在的内部（不含边界），则实数的取值可以是_____
【解析】
如图，
由得，
,
所以,
所以,
所以解得，
故实数的取值范围是
故答案为：.
练习一 对基向量概念的理解
1、【多选】是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.
对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.
对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.
故选:BC.
2、【多选】如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法正确的是（ ）
A．若存在实数，使得，则
B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个
C．若向量与共线（），则
D．若向量与垂直（），则
【解析】因为，是平面内两个不共线的向量，所以，可以作为平面的一组基底.
对于A：按照基底的概念，若存在实数，使得，则，故A正确；
对于B：按照基底的概念，对于平面内任一向量，使的实数对有且只有一组，故B错误；
对于C：若向量与共线，则存在实数k，使得=，所以消去k得：，故C正确；
对于D：若向量与垂直，则有，即
，因为，是平面内任意两个不共线的向量，所以不一定成立，故D错误.
故选：AC
3、【多选】下列结论正确的是（ ）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若（，，是单位向量），则，．
C．向量与共线存在不全为零的实数，，使
D．已知，，三点共线，为直线外任意一点，若，则
【解析】A．一个平面内不共线的非零向量有无数对，每一对都可以作为表示该平面内所有向量的基底，故错误；
B．当共线时，如：，可取，此时，故错误；
C．当与均为零向量时，显然符合要求，且存在不全为零的实数，，使；
当时，由与共线可知，即，符合题意，故正确；
D．不妨设，所以，所以，
所以，故正确；
故选：CD.
4、【多选】下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若是平面向量的一组基底，则也是平面向量的一组基底
B．，，均为非零向量，若，，则
C．若，则存在唯一的实数，使得
D．若，，则的取值范围
【解析】由基底向量的概念，，两向量平行，不能做基底，故A错误；
由于，，均为非零向量，所以，，则一定平行于，B正确；
若，使得，要强调，C错误；
由定义可知，，所以的取值范围，故D选项正确.
故选：AC.
5、平面内任一向量都可以表示成的形式，下列关于向量的说法中正确的是（ ）
A．向量的方向相同B．向量中至少有一个是零向量
C．向量的方向相反D．当且仅当时，
【解析】因为任一向量，
根据平面向理的基本定理得，
所以向量不共线，故A，C不正确.
是一个基底，所以不能为零向量，故B不正确.
因为不共线，且不能为零向量，所以若，当且仅当，故D正确.
故选：D
6、设，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的有（ ）
A．若，，那么
B．若，则.
C．如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使.
D．有且只有一对实数，，使.
【解析】A选项由平面向量平行的传递性可知成立；
B选项中若，则错误；
C选项是向量的共线定理成立；
D选项中若要使用作为基底，必须满足不共线，错误.
故选：AC
7、若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解析】不共线的向量能作为基底，
因为，所以向量，共线，故排除A；
假设，解得，无解，
所以向量，不共线，故B正确；
因为，所以，共线，故排除C；
因为，所以，共线，故排除D，
故选：B
8、已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【解析】只要两向量不共线便可作为基底，
故对于A选项，，共线，不满足；
对于B选项，，共线，不满足；
对于C选项，共线，不满足；
对于D选项，与不共线，故满足.
故选：D.
9、设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__________.(写出所有满足条件的序号)
【解析】对于③，，
∴与共线，不能作为基底.
故答案为：①②④
10、如果与是一组基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【解析】如下图所示，
由于与不共线，则与不共线，A选项中的两个向量不共线，可以作为基底；
如下图所示：
由于与不共线，则与不共线，B选项中的两个向量不共线，可以作为基底；
由题意知，与不共线，，C选项中的两个向量共线，不能作为基底；
与不共线，D选项中的两个向量可以作为基底.
故选：C.
11、设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）
A．①②B．①③
C．①④D．③④
【解析】如下图所示：
①与不共线；②，则与共线；③与不共线；④，则与共线．
由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
故选：B.
12、若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断正确的是( )
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0
【解析】由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.故选B.
练习二 用基底表示向量
1、已知矩形ABCD中,对角线交于点O,若,则（ ）
A．B．C．D．
【解析】根据题意画出图如下，
因为是矩形，
所以，
所以
故选A.
2、已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______．
【解析】设，则
所以
又与不平行，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
3、如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】.
故选：B
4、如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD上靠近D的三等分点，点F为线段BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】



故选：B
练习三 平面向量基本定理的应用
1、已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
【解析】∵e1，e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝0，,3x＋2y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0.))
∴x＋y＝0.
答案：0
2、已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________．
【解析】∵e1，e2不共线，∴由平面向量基本定理可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3)) ⇒x－y＝3.
答案：3
3、已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则_________.
【解析】是平面向量的一组基底，且，
，解得，
.
故答案为：2.
4、已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以设，
因为，，
所以，可得，
所以，
故选：C．
5、在平行四边形中，为的中点，点为线段上的一点，且，则实数__________．
【解析】设，
，
依题意，
所以.
故选：
6、已知梯形中，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，
所以
又，
所以.
故选：D.
7、在中，AC=3,AB=4,∠BAC=π3，，P为上一点，且满足，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则AP−AC=k(23AB−AP)，
将代入化简得，
则m=11+k,n=2k31+k.
又，则(mAC+nAB)⋅(23AB−AC)=1312，化简得143n−5m=1312，
将m=11+k,n=2k3(1+k)代入得，
所以，则的值是．
故选：B．
8、在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍.若存在正实数使得成立，则的值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【解析】如图，连接，设与交于点，过点作于点，过点作与点.
若的面积是的面积的3位，则.
根据相似三角形的性质可知，，
所以，所以
设因为，
所以，所以.
故选：A.
9、如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________.
【解析】因为在中，，
所以,
即.
因为点在线段上移动（不含端点），所以设.
所以，对比可得.
代入，得；
代入可得，根据二次函数性质知当时，.
故答案为：
10、设是不共线的非零向量，且.
（1）证明：可以作为一组基底；
（2）若，求λ，u的值.
【解析】（1）证明：假设＝λ (λ∈R)，
由，不共线，得
∴λ不存在，故与不共线，可以作为一组基底，
（2）解：由4－3＝λ＋u，得
4－3＝λ(－2)＋u(＋3)
＝(λ＋u)＋(－2λ＋3u)，
所以解得
11、如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
【解析】因为三点共线，所以存在实数，使得
，
又三点共线，所以存在实数，使得,
由于不共线，所以,解得.
故.
因为三点共线，所以存在实数，使得,
消去,得＋＝1.