江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．计算:的结果是( )
A.B.C.D.
2．已知,,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,则在方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则；
③若外一条直线l与内的一条直线平行，则.
以上说法中成立的有( )个.
A.0B.1C.2D.3
5．如图,“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成,球的半径为2,圆柱的底面半径为1,高为3,则该几何体的表面积为( )
A.B.C.D.
6．一组数据按从大到小的顺序排列为8,7,x,4,4,1,若该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的平均值､方差和第60百分位数分别是( )
A.6,,5B.5,5,5C.5,,6D.4,5,6
7．在中，M是边的中点，N是线段的中点.若，的面积为，则取最小值时，则( )
A.2B.C.6D.4
8．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,羡除ABCDEF中,底面ABCD是正方形,平面ABCD,,其余棱长都为1,则这个几何体的外接球的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.，
B.
C.若，，则的最小值为1
D.若是关于x的方程的根，则
10．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是( )
A.招商引资后，工资性收入较前一年增加
B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
11．已知事件A,B发生的概率分别为,,则( )
A.
B.
C.若A与B互斥,则
D.一定有
三、填空题
12．为获得某中学高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的方差为________.
13．设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动.O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为______.
14．如图,已知在矩形ABCD中,,点E是边BC的中点,DE与AC相交于点H,现将沿AC折起,点D的位置记为,此时,则二面角的余弦值为__________.
四、解答题
15．某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：
（1）估计两组测试的平均成绩，
（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率.
16．11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求;
（2）求事件“且甲获胜”的概率.
17．龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为.已知C，D两点的海拔高度差为2米.
（1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值；
（2）计算龙光塔的高度.
18．如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折成，使平面平面BCD，F为线段PC的中点.
(1)证明：平面PDE；
(2)已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值.
19．在棱长均为的正三棱柱中,为的中点.过AE的截面与棱,分别交于点F,G.
（1）若F为的中点,求三棱柱被截面AGEF分成上下两部分的体积比;
（2）若四棱锥的体积为,求截面AGEF与底面所成二面角的正弦值;
（3）设截面AFEG的面积为,面积为,面积为,当点F在棱上变动时,求的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：
2．答案：C
解析：若,则
若,则,
将两式子相加可得,
化简得,
由两角和的正弦公式得,故C正确.
3．答案：A
解析：由,得,
所以在方向上的投影向量为.
4．答案：C
解析：对于①，设、为平面内两条相交直线，m、n为平面内两条相交直线，
且满足，，
因为，，，所以，，同理可得，
因为a、b为平面内两条相交直线，故，①对；
对于②，设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则、相交（不一定垂直），②错；
对于③，若外一条直线l与内的一条直线平行，由线面平行的判定定理可知，，③对.
所以，真命题的个数为2.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题意得,球的半径,圆柱的底面半径,高,
则该几何体的表面积为.
6．答案：C
解析：依题意,将这组数据从小到大重新排列得1,4,4,x,6,7,
则中位数,众数为,
由题意知,解得,
所以这组数据的平均数为,
则这组数据的方差是,
因为,所以这组数据的第60百分位数是6;
7．答案：D
解析：在中，由，的面积为，得，则，
由M是边的中点，N是线段的中点，得，
，
则
，
当且仅当，即,时取等号，
在中，由余弦定理得：，
所以.
故选：D
8．答案：B
解析：连接AC,BD交于点M,取EF的中点O,则OM上平面ABCD,取BC的中点G,连接FG,作,垂足为H,如图所示
由题意可知,,,所以,
所以,,所以,又,
所以,即这个几何体的外接球的球心为O,半径为1,
所以这个几何体的外接球的体积为.
9．答案：ACD
解析：对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，，D正确，
故选：ACD
10．答案：AD
解析：设招商引资前经济收入为M，而招商引资后经济收入为2M，则
对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资性收入增加了，故A正确；
对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；
对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；
对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.
故选：AD.
11．答案：AB
解析：对于A,因为,所以,故A正确;
对于B,因为,
又且,则,
所以,即,故B正确;
对于C,因为A与B互斥,所以,
则,故C错误;
对于D,记事件“抛掷一枚骰子,向上的点数小于3”,事件“抛掷一枚骰子,向上的点数为4”,
则满足,,但不成立,故D错误;
12．答案：275
解析：记男生样本为,,,,均值为,方差为,女生样本为,,,,均值为,方差为,容量为50的样本均值为,方差为，
则,，
，，
，
则
.
故答案为：275.
13．答案：
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设，，
则，
，
由于，所以，故，
故的取值范围为，
故答案为：
14．答案：
解析：在三棱锥中,,,,
所以,,,
过点C在平面内作,垂足为点F,连接FH,
平面,平面,,
因为,,平面CFH,
平面CFH,,所以,二面角的平面角为,在中,,,,
由余弦定理可得,
所以,,所以,,
因为平面,平面,,所以,,故,因此,二面角的余弦值为.
15．答案：（1）“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71
（2）
解析：（1）由田径队的频率分布直方图得：，
解得，同理可得.
其中“田径队”的平均成绩为：
，
“足球队”的平均成绩为：
.
（2）“田径队”中90分以上的有（人），
“足球队”中90分以上有（人）.
所以抽取的比例为，在“田径队”抽取（人），记作a，b，c，d；
在“足球队”抽取（人）.记作A，B，C.
从中任选2人包含的基本事件有：
ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，
正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，
故正、副队长都来自“田径队”的概率为.
16．答案：（1）;
（2）0.1
解析：（1）由题意可知,所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以
（2）由题意可知,包含的事件为“前两球甲乙各得分,后两球均为甲得分”
所以
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意，过D作交AB于E，过C作，交DE于F，如图，
则，，，
所以在中，，
又，所以，
所以的余弦值为.
（2）由（1）得，，
设龙光塔的高度，则在中，，则，
易知四边形CBEF是矩形，则，，
又在中，，则，
所以，即，故.
所以龙光塔的高度为.
18．答案：(1)见解析；
(2)2
解析：（1）取PD的中点G,连接,，
F，G分别为PC，PD的中点，,
又E为AB的中点，,，
,，FGEB为平行四边形，，
又面PDE，面PDE，平面PDE.
（2）在平行四边形中，因为，所以，
又因为，可得即，
因为平面平面，平面平面，
所以平面平面，
由（1）可知，，所以平面，连接,
即为直线MF与平面PDE所成的角，
因为,，
所以，
即直线MF与平面PDE所成的角的正切值为2.
19．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）连接EF,并延长分别交,CB延长线于点M,N,
连接AM交于点G,连接AN,GE.
易得.
故G为靠近的三等分点.,.
下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比.
三棱柱的体积.
连接,.由平面知,为定值.
.
.
.故.
（2）由及得,.
又,所以.
即点G到的距离为,G为靠近的四等分点.
因为平面平面ABC,
所以截面AGEF与平面ABC所成角即为截面AGEF与平面所成角,
在中,,,故.
又因为平面平面,且平面平面,
所以平面.则即为截面AGEF与底面ABC所成的二面角.
在中,,,.
故.
因此,截面AGEF与平面ABC所成二面角的正弦值为.
（3）设,则,.
设的面积为S,所以.
又因为,所以.
且.令则
故.
令则,所以在上单调递减,所以,,所以,
所以