江苏省海安高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省海安高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列关系中正确的是( )
A.B.C.D.
2．设a,,则“且”是“且”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3．已知,则( )
A.5B.C.D.
4．已知函数,则函数的解析式是( )
A.,B.,
C.,D.,
5．已知,．则( )
A.B.C.D.
6．若两个正实数x,y满足且存在这样的x,y使不等式有解,则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
7．中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式,它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信通带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,由于技术提升,带宽W在原来的基础上增加20%,信噪比从1000提升至4000,则C大约增加了( )
（附：）
A.22%B.33%C.44%D.55%
8．若函数是R上的单调函数,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设,则( )
A.B.C.D.
10．下列命题正确的是( )
A.集合有6个非空子集
B.,
C.“”是“”的必要不充分条件
D.已知,则的范围为
11．下列命题中为真命题的是( )
A.不等式的解集为;
B.若函数有两零点,一个大于2,另一个小于,则a的取值范围是;
C.函数与为同一个函数;
D.若的定义域为,则的定义域为．
12．早在西元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算中项,几何中项以及调和中项.毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项,其中,算术中项,几何中项的定义与今天大致相同,而今我们称为正数a,b的算术平均数,为正数a,b的几何平均数,并把这两者结合的不等式叫做基本不等式,下列与基本不等式有关的命题中正确的是( )
A.若,,则
B.若实数,满足,则的最小值为
C.若,,则的最小值为
D.若,,则的最小值为2
三、填空题
13．命题“,”的否定为__________.
14．已知集合,,若是的必要不充分条件,则实数a的所有可能取值构成的集合为__________．
15．已知函数的定义域为,且满足,则的最小值为___________．
16．若对任意, 恒成立,则ab的最大值为_________．
四、解答题
17．数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养,因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．
（1）试利用对数运算性质计算的值;
（2）已知x,y,z为正数,若,求的值．
18．已知集合,.
（1）若,求;
（2）若“”是“”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
19．已知函数,,满足条件,且.
（1）求a,b的值;
（2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增;
（3）若,求实数a的取值范围.
20．函数
（1）当时恒成立,求实数a的取值范围;
（2）当时恒成立,求实数x的取值范围;
21．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时,该公司对函数模型的基本要求是：当时,①是增函数;②恒成立;③恒成立.
(1)现有两个奖励函数模型：①;②.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.
22．已知定义在R的函数满足：①对,,;②当时,;③.
（1）求,判断并证明的单调性;
（2）若,使得,对成立,求实数m的取值范围;
（3）解关于x的不等式.
参考答案
1．答案：B
解析：是无理数,所以A选项错误.
空集是任何集合的子集,所以B选项正确.
集合与集合的元素不相同,所以没有包含关系,所以C选项错误.
,所以D选项错误.
故选：B.
2．答案：A
解析：若且,由不等式的同向可加性可得,由不等式的同向同正可乘性可得,所以“且”可以推出“且”,即充分性成立;
反之,若,,满足且”,所以 “且”不可以推出“且”,即必要性不成立;
所以“且”是“且”的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：D
解析：易知,而
故
故选：D.
4．答案：B
解析：,且,所以,.
故选：B.
5．答案：C
解析：由解得且,所以.
由,解得,所以,
所以.
故选：C.
6．答案：C
解析：由可得,
则,
即,则,则,
故选：C.
7．答案：C
解析：由题意可知：C大约增加了
,
故选：C.
8．答案：A
解析：函数,
当时,,
当时,,函数图像的对称轴为,函数不是单调函数,不满足题意,排除B、C;
当时,,
当时,,函数图像对称轴为,函数不是单调函数,排除D.
故选：A．
9．答案：BD
解析：因为,故,故A错误,
而,故,故B正确.
又,故即,故D正确.
取,此时,但,故C错误.
故选：BD.
10．答案：BCD
解析：集合非空子集的个数为,故A错误;
当时,,符合题意,故B正确;
由条件可得,反之,不成立,所以“”是“”的必要不充分条件,故C正确;
因为,则,所以,故D正确;
故选：BCD.
11．答案：BCD
解析：对于A选项,由,等价于,解得或,故A错误;
对于B选项,由有两个零点,一个大于2,一个小于-1,则,即,解得,故B正确;
对于C选项,由,定义域为R,而的定义域为R,所以它们是同一函数,故C正确;
对于D选项,由的定义域为,,解得,所以函数的定义域为,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：ACD
解析：对于A选项：因为,,
所以
当且仅当,即时,等号成立,故正确;
对于B选项：
,
,当且仅当时等号成立,故错误．
对于C选项：原式
（当且仅当,时取等号）．故正确;
对于D选项．令,则,由,得,
则,
而,
当且仅当,即时,等号成立,故正确;
故选：ACD.
13．答案：,使得
解析：根据全称命题的否定为特称命题,所以命题“,”的否定为“,使得”.
故答案为：,使得.
14．答案：
解析：依题意,,
若,则,满足是的必要不充分条件.
当时,,
由于是的必要不充分条件,所以或,
解得或,
综上所述,a的所有可能取值构成的集合为.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为,所以
两式联立得得,
当且仅当,即时取等号.所以的最小值为.
故答案为：.
16．答案：
解析：令,则,故,
对任意,,则恒成立,
,此时,
,
当,,时取等号,
此时成立,
ab的最大值为．
故答案为：．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）原式;
（2）由题意知,令,则,
所以,,,
所以;
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）时,集合,
．
;
（2）若“”是“”的充分不必要条件,则,
集合,
,解得,
实数a的取值范围是．
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）因为,,,
所以,解得,
所以,.
（2）由（1）得,
,且,
有,
由于,,,即,
所以函数在区间上单调递增.
（3）由得
又函数在区间上单调递增,
所以,解得,故,
所以实数a的取值范围是.
20．答案：(1)
(2)
解析：（1）①当,即时
,所以,此时a不存在;
②当,即时
,所以,解得
此时
③当,即时
,所以．
此时
综上所述：实数a的取值范围是
（2）令
所以
解得
所以
21．答案：(1)函数模型：②符合公司要求;
(2)．
解析：(1)对于函数模型：①,验证条件③：当时而即不成立,故不符合公司要求;
对于函数模型：②,当时,条件①是增函数满足;
,满足条件②;
对于条件③：记
则
,当时,
恒成立,即条件③也成立.
故函数模型： ②符合公司要求.
(2) ,函数符合条件①;
由函数符合条件②,得,解得：;
由函数符合条件③,得对恒成立,
即对恒成立.
,当且仅当,即时等号成立,
综上所述,实数a的取值范围．
22．答案：（1）,单调递减区间为R,无单调递增区间;
（2）;
（3）时,解集为;时,解集为;时,解集为;时,解集为.
解析：（1）令,得,解得：;
令,即,
则,
因为时,,所以时,,
所以在R上的单调递减;
故单调递减区间为R,无单调递增区间.
（2）由（1）知,时,单调递减,
又,则时,;
因为,使得,对成立,
所以,则,
即对,成立;
设,
则对,恒成立,
即解得：或;
故实数m的取值范围为.
（3）令,得,
又知,即,所以;
因为,所以,;
不等式等价于,
即;
又因为,所以,
故,则;
因为在R上单调递减,所以,
即,
①时,,解得或;
②时,,解得或;
③时,解得;
④时,,解得;
综上所述：
不等式的解集为：
时,解集为;
时,解集为;
时,解集为;
时,解集为.