湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(无答案)

这是一份湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(无答案)，共5页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题教师：夏贤聪 审题教师：刘小博
考试时间：2024年7月1日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．△ABC中，，，，则角C的大小为（ ）
A．B．C．D．或
3．已知数据，，，的方差为25，则数据，，，的标准差为（ ）
A．25B．75C．15D．
4．正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．2
5．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥的体积为（ ）
A．3B．C．1D．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．设O为△ABC的外心，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．高为8的圆台内有一个半径为2的球，球心在圆台的轴上．球与圆台上底面、侧面都相切．圆台内可再放入一个半径为3的球，使得球与球、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%．下列说法中正确的有（ ）
A．从高中生中抽取了460人
B．每名学生被抽到的概率为
C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%
D．估计高中学生的近视人数约为44000
10．G是△ABC的重心，，，，P是△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上的投影向量等于
C．
D．的最小值为
11．如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．动点F的轨迹的线段为
C．三棱锥的体积为
D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数表示纯虚数，则________．
13．定义集合，则从A中任选一个元素，它满足的概率是________．
14．在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值为________．
四、解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个．
（1）求n和乙样本直方图中a的值；
（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；
（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率．
16．（建立空间直角坐标系答题不得分）（本题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面平面，△ABC是正三角形，四边形是正方形，D是AC的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线BC和平面所成角的正弦值的大小．
17．（本题满分15分）
甲、乙两人进行兵乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打4个球甲赢的概率；
（2）求该局打5个球结束的概率．
18．（本题满分17分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC（包括顶点）上，，．设，将的面积S表示为的函数，并求S的取值范围．
19．（建立空间直角坐标系答题不得分）（本题满分17分）
如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形．
（1）若面ABCD，，，求证：；
（2）若二面角的大小为，\，且，设直线BD和平面QCB所成角为，求的最大值．