湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（PDF版附答案）

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填空题
12. 13. 14.
解答题
15.（13分）已知的内角的对边分别为，满足
证明：;
若，求的面积.
（1）证明：由可得
即,化简得
因为为的内角，所以有，得
（2）由（1）知道为锐角，由得
所以 由正弦定理,得
依题，带入相应得值可得，得
16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：左焦点为F1， 离心率为，且过点,直线AF1与椭圆C相交于另一点B.
(1)求E的方程；
(2)设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=2S1，求点M的坐标．
（1）由题可得，解的，即
(2)由（1）得，则直线，直线AB与y轴交点为
由题，转化为在Y轴上取点P,使得P到直线AB的距离是O到直线AB的距离的两倍，可得满足题意，
过作与AB平行的直线，两直线与椭圆E的交点即为满足题意的点
带入椭圆解得
带入椭圆解得
综上可得，M的坐标为
（15分）如图，在三棱柱中，是正三角形，
四边形为棱形，,
（1）证明：
（2）求二面角的正弦值.
（1）取AC的中点为O,连接,
由题知是正三角形，
又,
又
（2）方法1：几何法
不妨设，则有
由余弦定理，
方法2：建系法
取O为AC的中点，过O作平面ABC的垂线，以该垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2,依题，
则
设平面法向量为，则
同理，平面的法向量

18.(1)设函数，当时，恒成立，求的取值范围
(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：.
解：（1）
，若，函数在时，单调递增，恒成立；满足题意
若 方程 的判别式为
①时，，函数在时，单调递增，恒成立，满足题意
②时，方程 在上的解为，
时，，，函数在时，单调递减，不满足恒成立
综上所述，的取值范围
（2）由已知条件得，抽取的20个号码互不相同的概率为
，
因为，
同理，，，，
所以，所以，
再证：，
即证：，即，，
由（1）得，当时，，取，
则，即.
综上，.
19．已知有穷正项数列,若将数列每项依次围成一圈,满足每一项等于相邻两项的乘积,则称该数列可围成一个“T-Circle”．例如：数列都可围成“T-Circle”．
(1)设,当时,是否存在使该数列可围成“T-Circle”,并说明理由.
(2)若的各项全不相等,且可围成“T-Circle”，写出的取值（不必证明），并写出一个满足条件的数列.
(3)若的各项不全相等,且可围成“T-Circle”，求的取值集合.
解：（1）由定义可得，而为正项数列，故，
故，
由最后两式可得，故，故且，
结合可得即，故，故.
故存在，使得数列可围成“T-Circle”,此时数列为：.
（2），满足条件的一个数列为
（3）（i）若的各项不全相等,且可围成“T-Circle”．
结合为正项数列可得，
诸式相乘后可得，
又上述关系式即为(若下标大于，则取下标除以的余数).
故，
故(若下标大于，则取下标除以的余数).
所以(若下标大于，则取下标除以的余数).
设，
若，则即为，故，从而，，
而，故，故，故，从而，
此时均为1，与题设矛盾.
若，则即为，而，
，故，此时均为1，与题设矛盾.
若，则即为，而，所以，故，
从而，
而，故，故，
此时均为1，与题设矛盾.
若，则即为，而，所以，
而，故，故，故，
故，故，故，
此时均为1，与题设矛盾.
若，则，故，
故，故，故，故，故，
此时均为1，与题设矛盾.
综上，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
B
D
C
D
C
D
BC
ACD
ACD