专题13 函数的概念及构成要素（原卷版+解析版）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接讲义（通用版）

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1、“函数的概念
设集合是非空的数集，对于中的任意实数，按照确定的对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数．记作．
其中，叫做自变量，自变量的取值范围（数集）叫做这个函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
函数也常写作函数或函数．
2、同一函数的概念
如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．
3、求函数定义域的原则:
①用列表法表示的面数的定义域, 是指表格中实数x的集合;用图象法表示的面数的定文城, 是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合;当函数y=f(x)用解析法表示时，函数的定义城是指使解析式有意义的实数的集合，一般通过列不等式(组)求其解集。常见的限制条件有:分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等。
②求抽象函数的定义域常用转移法，若y=f(x)的定义域为（a,b），则解不等式a< g(x)< b即可求出y= f(g(x))的定义域；若y= f(g(x))的定义城为(a，b），则求出g(x)在(a，b)上的值城，即得y=f(x)的定义域.
4、复合函数的定义域
①复合函数的概念：
如果是的函数，记作，是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集非空，则通过确定了是的函数，这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数．
②求解策略：1°括号等于括号。2°定义域永远是x的取值范围。
5、求抽象函数的解析式
①换元法②配凑法③待定系数法④方程组法
【考向精析】
考向一：函数的定义
1．（多选）中文“函数.（functin）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列关于函数的命题正确的是（ ）

A．与表示同一函数
B．函数的定义域是
C．已知函数，则在区间的值域为
D．上图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像
【答案】AC
【分析】对于A，根据同一函数的定义即可判断；对于B，求解定义域即可判断；对于C，利用二次函数的性质即可判断；对于D，根据函数的概念即可判断.
【详解】对于A，与的定义域都为，且解析式一样，
所以与表示同一函数，A对；
对于B，，解得且，所以函数的定义域是，B错；
对于C，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，
所以在区间的值域为，C对；
对于D，上图所示的椭圆图形不可以表示某一个函数的图像，D错.
故选：AC
2．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的定义可知，对任意的自变量，有唯一的值相对应，
选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，
其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.
故选：ACD
3．（多选）欧拉公式（）被数学家们称为“宇宙第一公式”.（其中无理数），如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域（）为，值域（）为，则关于此函数，下列说法正确的有（ ）
A．B．函数的图像是一群孤立的点
C．是的函数D．
【答案】ABD
【分析】根据的定义可知A正确；由可知B正确；根据函数定义可知C错误；根据，可知D正确.
【详解】对于A，小数点后第位上的数字为，，A正确；
对于B，，的图像是一群孤立的点，B正确；
对于C，由的值可知：当时，，不符合函数的定义，C错误；
对于D，由题意知：；又，，D正确.
故选：ABD.
4．（多选）下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】ABD
【分析】从定义域和对应法则两方面来判断是否是同一函数.
【详解】对于A，的定义域是，的定义域是R，定义域不同，故不是同一函数，A错；
对于B，与的对应关系不同，故不是同一函数，B错；
对于C，经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对；
对于D，的定义域是，的定义域是，定义域不同，故不是同一函数，D错.
故选：ABD
5．下列等量关系中，y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数定义判断各项正误即可．
【详解】A：当时，不符合函数的定义，故错误；
B：当时，不符合函数的定义，故错误；
C：显然任意都有唯一y值与之对应，满足函数的定义，故正确；
D：当时，不符合函数的定义，故错误．
故选：C
6．下列图象中，表示函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的概念即可求解.
【详解】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项D的图象满足.
故选：D.
考向二：函数的定义域
7．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合B中函数的定义域，得到集合B，再求.
【详解】函数有意义，则有，即，所以，
又，所以.
故选：D
8．已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据的定义域求出的定义域，从而可求解.
【详解】因为函数的定义域是，
所以，所以,即的定义域为，
所以，解得，即的定义域是.
故选:C.
9．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】定义域为的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案.
【详解】由题意得，故，故函数的定义域为.
故选：D
10．已知函数的值域是，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出的图像，数形结合即可判断出答案．
【详解】，画出图像，如图所示，

令，则，解得或，
令，则，解得（舍去）或，
对于A：当时，结合图像，得，故A错误；
对于B：当时，结合图像，得，故B错误；
对于C：当时，结合图像，得，故C错误；
对于D：当时，结合图像，得，故D正确；
故选：D．
11．设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】或，
，
所以.
故选：B.
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【分析】结合抽象函数与具体函数定义域的求法，解不等式组即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，
要使有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
考向三：由函数的定义域求参数范围
13．已知函数的定义域为，则实数的范围________.
【答案】
【分析】利用函数定域为，将问题转化成关于不等式的恒成立问题，从而求出实数的取值范围，得出结果.
【详解】因为函数的定义域为，所恒成立，
当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，.
故答案为：.
14．已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由，可知，解不等式即可.
【详解】由，可知，
解得，
故答案为：.
考向四：求函数的解析式
15．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可.
【详解】根据题意,由得:的对称轴为，
设二次函数为，
因的最大值是8,所以,当时, ，
即二次函数，
由得:,解得：，
则二次函数，
故选：A.
16．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法令，运算求解即可.
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以.
故选：B.
17．若，且，则______．
【答案】1
【分析】利用换元法求函数的解析式，再代入求.
【详解】设，，
所以，即，
，得.
故答案为：1
18．写出一个满足：的函数解析式为______.
【答案】
【分析】赋值法得到，，求出函数解析式.
【详解】中，令，解得，
令得，故，
不妨设，满足要求.
故答案为：
19．已知求的解析式
【答案】
【分析】令，运用换元法进行求解即可.
【详解】令，则，代入，
得，
即
20．定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式.
【答案】
【分析】对进行赋值，解方程求得的解析式.
【详解】对任意实数，，，
令，得，即，
又，所以.
21．若函数满足方程且，则：
（1）___________；（2）___________．
【答案】
【分析】令可得；用替换，再解方程组可得答案.
【详解】令可得：，所以；
由①得，②，
联立①②可得：.
故答案为：①；②.
【巩固检测】
1.已知集合，，则下列图象中，能表示从集合到集合的一个函数的是
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可知函数的定义域为集合，值域为集合的子集，
对于选项：函数图像满足定义域和值域的要求，且定义域内一个对应值域内唯一的一个值，所以选项正确，
对于选项：函数图像满足定义域和值域的要求，但是当时，的值有2个，不符合函数的定义，故选项错误，
对于选项：函数的定义域不符合题意，故选项错误，
对于选项：函数的定义域不符合题意，故选项错误，
故选：．
2.（多选）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，1，2，，，1，2，4，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是
A．B．C．D．
【解析】解：对于选项，，，故不能构成从到的函数；
对于选项，，，故能构成从到的函数；
对于选项，，，故不能构成从到的函数；
对于选项，，，故能构成从到的函数；
故选：．
3.下列各组函数中，表示同一函数的是
A．B．
C．D．
【解析】
解：中，的定义域是，，的定义域是，，，不是同一函数；
中，，，对应关系不同，不是同一函数；
中，，，对应关系不同，不是同一函数；
中，，，它们的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
故选：．
4.函数的定义域为
A．，B．，，
C．，，D．，，
【解析】
解：由题意得：，
解得：且，
故选：．
5.函数的定义域为
A．，， B．，C．，D．，
【解析】解：使得函数的表达式有意义，
则且，解得，．
故选：．
6.函数的定义域为，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．
【解析】
解：的定义域是，则恒成立，
即恒成立，则，解得，
所以实数的取值范围为，．
故选：．
7.函数的定义域为，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】
解：函数的定义域为，
对任意恒成立，
当时，有，不合题意；
当时，需要，即．
实数的取值范围是，．
故选：．
8.（2021秋•虎丘区校级月考）已知函数．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在，上有意义，求实数的取值范围．
【解析】
解：（1）根据题意得：在上恒成立，
当时，不满足题意，
当时，有，解得．
综上，的取值范围是，；
（2）根据题意得在，上恒成立，
令，
当时，满足题意；
当时，，解得满足题意；
当时，对称轴且，同时（1），
此时满足在，上恒成立，满足题意．
综上，的取值范围是，．
9.设在，上有定义，要使函数有定义，则的取值范围为
A．B．
C．D．
【解析】解：由条件得：即
函数的定义域就是集合与的交集．
（1）当时，，
集合与的交集为空集，
此时，函数没有意义；
（2）当时，，
集合与的交集为，
即函数的定义域为；
（3）当时，，
集合与的交集为，
即函数的定义域为；
（4）当时，，
集合与的交集为空集，
此时，函数没有意义．
要使函数有定义，
故选：．
10.函数的定义域为，，则函数定义域为
A．，B．，C．D．，
【解析】解：的定义域为，，
，解得：，
故函数定义域为，，
故选：．
11.已知函数的定义域为，，则函数的定义域为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：函数的定义域为，，
，解得：，
故选：．
12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为
A．B．
C．，，D．，，
【解析】解：函数的定义域为，
，再由，得，
即的定义域为，
又，即．
函数的定义域为，，．
故选：．
13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为
A．B．C．D．，
【解析】解：函数的定义域为，
，
解得：，
故选：．
14.已知，则函数（3） ．
【解析】解：令，，
，
（3）；
故答案为11．
15.已知，则 ．
【解析】解：设，则，
，
．
故答案为：．
16.如果，则一次函数 ．
【解析】
解：设，则．
由于该函数与是同一个函数，
即且．
由可得．
当时，；
当时，．
故答案为：或
17.（2022春•成都期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的解析式来分析函数的图象特征，如函数的大致图象为
A．B．C．D．
【解析】解：的定义域为，，，
当时，，故排除，，
当时，，故排除，
故选：．