专题01 数与式（原卷版+解析版）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接讲义（通用版）

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在本讲中，我们主要巩固初中所学的知识，在巩固的基础上进行初高中衔接.在初中，立方差与立方和公式是作为拓展内容的,学生可以选择性学习，也可以不学.但在高中，对立方差与立方和公式有着广泛的应用，高中学生必须掌握，在本讲的代数式部分着重补充了这几个公式。
注:
立方和：；
立方差：；
【知识回顾与衔接】
实数
1、实数的分类
2、绝对值
3、数的开方
4、指数是正整数，）；
二、乘法公式与因式分解
1、乘法公式:
2、因式分解
（1）步骤：
1°提取公因式
2°套公式
3°十字相乘法
4°分组分解
5°查是否分解彻底
（2）因式分解中常见的七个公式:
①平方差：；
②立方和：；
③立方差：；
④完全平方：；
⑤三数和的平方：；
⑥和立方：；
⑦差立方：．
以上公式必须熟记，牢牢掌握他们的特点，七个公式中公式①（即平方差公式）初高中应用的最多。
3、十字相乘法
定义及应用举例
十字相乘法的三个步骤：
1°竖分二次项与常数项
2°交叉相乘，积相加
3°检验确定，横写因式
三、分式、根式和指数
1、分式的基本性质：
2、二次根式的性质：
①叫做二次根式
②
③
④；
⑤．
⑥分母有理化：．
⑦分子有理化：
3、整数指数幂
（ⅰ）正整数指数幂；（ⅱ）零指数幂；
（ⅲ）负整数指数幂是正整数）．
4、分数指数幂
（ⅰ）正分数指数幂是正整数，）；
（ⅱ）负分数指数幂是正整数，）．
5、整数指数幂的运算性质
（ⅰ）是整数）；（ⅱ）是整数）；
（ⅲ）是整数）； （ⅳ）是整数）；
6、分数指数幂的运算性质
（ⅰ）是有理数）；（ⅱ）是有理数）；
（ⅲ）是有理数）；
【例题精讲】
1、若，则的值为（ ）
A．13B．26C．28D．37
【答案】A
【分析】由条件可得，然后可得答案.
【详解】依题意得，则，
故选：A
2、当时，计算______.
【答案】
【分析】利用二次根式的性质化简，再利用绝对值的代数意义计算即可．
【详解】解：，所以，，
，
故答案为：
3、用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】由十字相乘法即得.
【详解】（1）=；
（2）=；
（3）=；
（4）=．
4、若，那么的值是_________．
【答案】
【分析】先求出，的值，再代入所求式子，将式子进行裂项，再相加求解即可.
【详解】因为，所以，，即，，
所以
.
故答案为：.
5、阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是__________．
【答案】2023
【分析】根据分母有理化化简，再由等式的恒等变形即可求解.
【详解】，
∴原式
故答案为：2023．
6、求值：为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】每个因式用平方差公式分解,重新组合后累乘可得.
【详解】


故选:A
【点睛】本题需要分析数字特征，找出它们之间得内在联系，属于中档题.
7、我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，其中为三角形的三条边，为最长边．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则此三角形面积为______．
【答案】
【分析】将2，3，4代入题目所给公式即可，其中.
【详解】因为这个三角形的三边长分别为2，3，4，其中最长边为4，
所以将此三角形三边长度代入公式
得：
故答案为：．
8、因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】由十字相乘法、提公因式法和公式法依次因式分解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
9、回答下列问题.
（1）正数，满足，求的值.
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意解得，的关系，代入所求式子即可得结果.
（2）利用偶次根式性质先化简所求的根式，再将代入计算.
【详解】（1）由可得，
即，则或，
由，为正数，可得，则.
（2）
.
10、（1）证明：（其中n是正整数）；
（2）证明：对任意大于1的正整数n， 有．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)根据分式的运算性质证明；(2)由(1)的结论对不等式的左侧化简变形，即可证明.
【详解】（1）证明：
∴（其中n是正整数）成立．
（2）证明：
＝
＝，
又n ≥1，且n是正整数，∵，
∴．
11、因式分解
【答案】
【分析】首先先分组，再进行因式分解.
【详解】

【巩固练习】
1、若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据已知条件求得，从而求得.
【详解】依题意可知，
所以.
故选：D
2、多项式因式分解的结果是（ ）.
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】提公因式再利用平方差公式即可得到答案.
【详解】

故选：D.
3、若是一个完全平方式，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由完全平方式的定义求解
【详解】因为为完全平方式，
所以，得，
故选：D
4、已知， ，那么的值为 _________
【答案】60
【分析】直接由完全平方公式求解即可.
【详解】由可得，又，则.
故答案为：60.
5、__________.
【答案】/
【分析】利用指数的运算性质化简可得结果.
【详解】原式

.
故答案为：.
6、分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.
【分析】（1）~（6）、（8）运用十字相乘法进行因式分解；
（7）运用提公因式法和十字相乘法进行因式分解；
（9）运用换元法、十字相乘法、公式法进行因式分解.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）令，所以有
【点睛】本题考查了用十字相乘法、换元法、公式法、提公因式法进行因式分解，考查了代数式恒等变形能力.
7、已知.
(1)求的值；
(2)化简并求值：.
【答案】(1)3
(2)，3
【分析】（1）利用分母有理化化简，再根据完全平方公式计算可得；
（2）根据二次根式的性质及分式的性质化简，再代入计算可得；
(1)解：，
，
将代入得；
(2)解：
，
，
，
原式.
8、=___________
【答案】/0.9
【分析】观察每个分式可以发现每个分式可以写出两个分数相减的形式，从而可得出答案.
【详解】解：＝
故答案为：.
9、我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，则该矩形的面积为___________．
【答案】12
【解析】设小正方形的边长为，在中由勾股定理得，则可求出面积.
【详解】设小正方形的边长为，
，，
在中，，
即，即，
则该矩形的面积为.
故答案为：12.
10、（1）试证：(其中是正整数)；
（2）计算：；
（3）证明：对任意大于的正整数， 有.
【答案】（1）证明见解析（2） （3）证明见解析
【分析】（1）右式通分，化简即可得证；
（2）根据（1）将每个分式拆成两个分式相减的形式，从而可得出答案‘
（3）根据（1）将每个分式拆成两个分式相减的形式，化简，结合，且是正整数，即可得证.
【详解】（1）证明：，
(其中是正整数)成立．
（2）解：由（1）可知
；
（3）证明：
，
又，且是正整数，一定为正数，
∴，
.知识点
初中
高中
数的扩充
由整数到有理数、实数的扩展思想；掌握有理数的运算法则和运算性质，懂得实数的基本运算和顺序关系;初步形成数量观念
由实数扩充到复数的扩展思想；掌握复数的有关概念和用代数形式表示的复数的基本运算
代数式
掌握:(1)整式与多项式的因式分解；
(2)分式，根式和指数的基本运算和变形
在初中代数式基础上，掌握集合区间的基本知识，掌握数列、数学归纳法的基本知识