专题04 正切函数的图像与性质（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

这是一份专题04 正切函数的图像与性质（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册），文件包含专题04正切函数的图像与性质原卷版docx、专题04正切函数的图像与性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。


一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
第7章 三角函数
7.1 正弦函数的图像与性质
7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质；
7.2 余弦函数的图像与性质
7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质
7.3 函数y=Asin(ωx+φ) QUOTE y=Asin(ωx+φ) 的图像
7.4 正切函数的图像与性质
7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质；
【本章内容提要】
【附】图像特征
1、正切曲线
正切函数：我们已经知道，对于任意一个角，只要，就有唯一确定的正切值与之对应，按照这个对应法则所建立的函数，叫做正切函数；表示为；
正切曲线：再根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右平移，得到正切函数，，且的图像，一般地，的函数图像称为正切曲线。
2、正切函数图像的画法
①三点两线法：
作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－1))，(0，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，1))，两线是直线x＝± eq \f(π,2)为渐近线；
②几何法
利用正切线画出的图像；
3、正切函数的性质
（1）定义域：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x∈R且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；
（2）值域：R；
（3）周期性：函数y＝tanx的周期都是kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为π；
函数y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝eq \f(π,ω)；
（4）奇偶性：奇函数；
（5）单调性：在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上递增；
（6）零点：（观察正切曲线可以看出）正切函数的零点为
4、正切函数y＝sinx的图像特征
题型1、会用“五点法”作正切型函数的图像
例1、设函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))).
（1）求函数f(x)的周期、对称中心；
（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图．
【解析】（1）因为f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))，所以ω＝eq \f(1,2)，周期T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π.
令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，所以，f(x)的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z)；
（2）令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝0，则x＝eq \f(2π,3)，
令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，则x＝eq \f(5π,3)，
令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,2)，则x＝－eq \f(π,3)，
所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))的图像与x轴的一个交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，
在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－eq \f(π,3)，x＝eq \f(5π,3)，
从而得函数f(x)＝taneq \f(x,2)－eq \f(π,3)在一个周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))内的简图（如图）；
【说明】“三点两线法”作正切曲线的简图：
（1） “三点”分别为(kπ，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，－1))，其中k∈Z；
两线为直线x＝kπ＋eq \f(π,2)和直线x＝kπ－eq \f(π,2)，其中k∈Z（两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交）
（2）作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可；
题型2、会用“图像变换”作正切相关函数的图像
例2、画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．
【解析】由y＝|tan x|得，
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x，kπ≤x其图像如图所示．
由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，kπ))(k∈Z)，周期为π.
【说明】作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：
（1）保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；
（2）将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
友情提示：若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可；
题型3、与正切函数的定义域相关
例3、（1）y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))定义域为_______________________
【答案】eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(3,8)π，k∈Z)))) ；
【解析】因为2x－eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(3,8)π，k∈Z；
（2）函数f(x)＝ eq \r(tan x－1)＋ eq \r(1－x2)的定义域为________．
【提示】列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域；
【答案】 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，1)) ；
【解析】要使函数f(x)有意义，
需 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan x－1≥0，,1－x2≥0，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan x≥1，,x2≤1.))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤x＜kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－1≤x≤1.))
故 eq \f(π,4)≤x≤1；
【说明】求正切函数定义域的方法及的注意点：求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z；
题型4、与正切函数相关的值域与最值
例4、（1）函数y＝－3tan x＋7的值域是( )
A．R B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xx≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))
C．(0，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)
【答案】A；
【解析】因为y＝tan x，x∈R的值域为R，所以y＝－3tan x＋7的值域也为R；
（2）函数y＝－tan2x＋2tanx的最大值是____________________
【答案】1；
【解析】定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).设tan x＝t，则t∈R，
则y＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，∴当t＝1，即tan x＝1，x＝ eq \f(π,4)＋kπ(k∈Z)时，y取得最大值1；
【说明】求正切函数值域的注意点：求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围；
题型5、与正切函数相关的周期问题
例5、直线y＝a(常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为（ ）
A．π B．2π
C． eq \f(π,|ω|) D．与a值有关
【答案】C；
【解析】两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为 eq \f(π,|ω|)；
（2）函数y＝4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))的周期为________．
【提示】可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求
【答案】eq \f(π,3)；
【解析】由于ω＝3，故函数的周期为T＝eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,3)
【说明】函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
1、定义法；
2、公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)；
3、观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现；
题型6、与正切型函数相关的奇偶性
例6、（1）函数f(x)＝2x－tan x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图像大致为( )
【答案】C；
【解析】∵f(－x)＝2(－x)－tan (－x)＝－2x＋tan x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A、B.
又∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2× eq \f(π,6)－tan eq \f(π,6)＝ eq \f(π,3)－ eq \f(\r(3),3)>0，∴排除D，选C；
【说明】1、正切函数的奇偶性：若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，否则为非奇非偶函数；
2、判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系；
题型7、与正切函数的单调性相关
例7、（1）函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的单调增区间为_______________________
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3,4)π，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z；
【解析】令kπ－eq \f(π,2)即y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的单调增区间为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3,4)π，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z；
（2）求函数y＝eq \r(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4))))的单调区间．
【解析】y＝eq \r(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4))))＝eq \r(－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4))))，
由kπ－eq \f(π,2)故该函数只有单调递减区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.
【说明】求函数y＝Atanωx＋φA>0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数的单调区间的方法
1、若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，
令kπ－ eq \f(π,2)<ωx＋φ2、若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atanωx＋φ转化为y＝Atan[－－ωx－φ]＝－Atan－ωx－φ，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可
题型8、正切型函数图像的应用
例8、（1）根据正切函数的图像，写出tan x≥－1的解集；
【解析】作出y＝tan x及y＝－1的图像，如下图．
∴满足此不等式的x的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
（2）方程tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝ eq \r(3)在区间[0，2π)上的解的个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】B；
【解析】由tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝ eq \r(3)，得2x＋ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)，所以x＝ eq \f(kπ,2)(k∈Z)，
又x∈[0，2π)，所以x＝0， eq \f(π,2)，π， eq \f(3π,2).故选B；
【说明】解正切不等式的两种方法
1、图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；
2、三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域；
题型9、用好正切型函数的图像解题
例9、（1）设函数f(x)＝tan (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))，已知函数y＝f(x)的图像与x轴相邻两交点的距离为 eq \f(π,2)，且图像关于点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称，求f(x)的解析式；
【解析】由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝ eq \f(π,2)，即 eq \f(π,ω)＝ eq \f(π,2)，
∴ω＝2，从而f(x)＝tan (2x＋φ).
∵函数y＝f(x)的图像关于点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称，
∴2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＋φ＝kπ或 eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z).
即φ＝kπ＋ eq \f(π,4)或φ＝kπ＋ eq \f(3π,4)(k∈Z).
∵0<φ< eq \f(π,2)，∴φ＝ eq \f(π,4)，故f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).；
（2）函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内的图像是图中的________．(填序号)
①②③④
【答案】④；
【解析】函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|
＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2tan x，\f(π,2)＜x≤π，,2sin x，π＜x＜\f(3,2)π.))]
题型10、正切型函数的综合、创新题
例10、（1）函数y＝sin x与y＝tan x在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))上的交点个数是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】A；
【解析】如图，函数y＝sin x与y＝tan x在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))上的交点个数是3.
（2）当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))时，f(x)＝k＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))不存在正的函数值，求实数k的取值范围；
【解析】当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
f(x)＝k＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))不存在正的函数值，
即f(x)≤0，即k≤－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))恒成立，
故k≤－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的最小值．
因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))∈[0，eq \r(3)]，
所以－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))∈[－eq \r(3)，0]，
所以k≤－eq \r(3)，
故实数k的取值范围为(－∞，－eq \r(3)]．
1、函数y＝tan 2x的定义域为________________________
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))；
【解析】由正切函数的定义知，若使y＝tan 2x有意义，则2x≠kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z).解得x≠ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)(k∈Z)；
2、函数y＝tan x，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))的值域是________________________
【答案】[0，1]；
【解析】函数y＝tan x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上是增加的，所以ymax＝tan eq \f(π,4)＝1，ymin＝tan 0＝0；
3、函数y＝tan x的对称中心坐标为
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z) ；
【解析】y＝tan x的图像与x轴的交点以及x轴上使y＝tan x无意义的点都是对称中心；
4、函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为________．
【答案】[－4,4]；
【解析】[因为－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，
所以－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
所以y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
所以当t＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，y的最小值为－4，
当t＝1，即x＝eq \f(π,4)时，y最大值为4.
故所求函数的值域为[－4,4]；
5、直线y＝a(a为常数)与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相邻两支的交点的距离为________．
【答案】eq \f(π,ω)；
【解析】直线y＝a与函数y＝tan ωx的图像相邻两支的交点的距离正好是一个周期；
6、下列说法错误的序号是
①函数y＝tan x的所有对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
②直线y＝a与正切函数y＝tan x图像相邻两交点之间的距离为π
③y＝2tan x，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的值域为[0，＋∞)
④y＝tan x在其定义域上是增函数
【答案】①④；
【解析】①错，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)；
②对，同y＝tan x的周期为π；
③对，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，tan x≥0；
④错，它的单调区间只在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数，由此可知④错；
7、与函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像不相交的一条直线是( )
A．x＝eq \f(π,2) B．x＝－eq \f(π,2)
C．x＝eq \f(π,4) D．x＝eq \f(π,8)
【答案】D；
【解析】当x＝eq \f(π,8) 时，2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，而eq \f(π,2) 的正切值不存在，所以直线x＝eq \f(π,8) 与函数的图像不相交；
8、已知函数y＝tan ωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))内是增函数，则( )
A．0＜ω≤2 B．－2≤ω＜0
C．ω≥2 D．ω≤－2
【答案】A；
【解析】根据函数y＝tan ωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))内是增函数，可得eq \f(π,4)ω≤eq \f(π,2)，求得ω≤2，再结合ω＞0，故选A；
9、求函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
【解析】由3x－ eq \f(π,3)≠kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠ eq \f(kπ,3)＋ eq \f(5π,18)，k∈Z.
所以所求定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠\f(kπ,3)＋\f(5π,18)，k∈Z)))).
值域为R，周期T＝ eq \f(π,3)，是非奇非偶函数．
在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,3)－\f(π,18)，\f(kπ,3)＋\f(5π,18)))(k∈Z)上是增函数．
10、已知函数f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))；
（1）求f(x)的定义域与单调区间；
（2）比较feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))的大小；
【解析】（1）由函数f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
可得2x－eq \f(π,3)≠kπ＋eq \f(π,2)求得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)，k∈Z，
故函数的定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(5π,12)，k∈Z)))).
令kπ－eq \f(π,2)<2x－eq \f(π,3)求得eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)故函数的单调增区间为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))，k∈Z.
（2）feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝3tan eq \f(2π,3)＝－3tan eq \f(π,3)<0，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,12)))＝3tan eq \f(5π,12)>0，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))三角函数
正弦函数y＝sinx
余弦函数y＝csx
正切函数y＝tanx
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x∈R且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最大值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
无最值
最小值
x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，
ymin＝－1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，
ymin＝－1
无最值
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调增区间
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))
(k∈Z)上递增；
在 [(2k－1)π，2kπ]
(k∈Z)上递增；
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))
(k∈Z)上递增
单调减区间
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))
(k∈Z)上递减
在 [2kπ，(2k＋1)π]
(k∈Z)上递减
无
图像
函数
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
图像
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
对称轴
直线x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
直线x＝kπ，k∈Z
无对称轴
图像
对称性
对称中心
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
对称轴
无