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初中数学北师大版七年级下册6 完全平方公式练习
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这是一份初中数学北师大版七年级下册6 完全平方公式练习，共33页。试卷主要包含了平方差公式，完全平方公式等内容，欢迎下载使用。
1、平方差公式
两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。
即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。
2、完全平方公式
两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。
常见错误：
题型一：运用平方差公式进行运算
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2022春·广东河源·七年级校考期末）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·七年级课时练习）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
题型二：平方差公式与几何图形
4．（2023春·全国·七年级专题练习）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图)，通过计算图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )
A． B．
C． D．
5．（2023春·七年级课时练习）如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形．若将阴影部分通过割、拼，形成新的图形②．则下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023春·七年级课时练习）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（ ）
A．B．C．D．
题型三：运用完全平方公式进行运算
7．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）下列等式中，能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023春·七年级课时练习）（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·上海·七年级校考期中）下列整式乘法能够用完全平方公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：完全平方公式的变形求值
10．（2023春·七年级课时练习）已知、不同的两个实数，且满足、，当为整数时，的值为（ ）
A．或B．1C．D．或
11．（2023春·全国·七年级专题练习）若实数满足则的值为（ ）
A．3B．C．4D．
12．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知有理数a，b，c满足，，则（ ）
A．B．C．D．
题型五：完全平方式
13．（2022春·河南郑州·七年级校考阶段练习）若是完全平方式，则的值为（ ）
A．7B．C．7或D．5或
14．（2022秋·上海·七年级校考期中）若多项式是完全平方式，则m的值为（ ）
A．6或B．12或C．12D．
15．（2022春·湖南怀化·七年级校考期中）如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．30B．C．15D．
题型六： 完全平方公式在几何图形的应用
16．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（ ）
A．（2）B．（1） （3）C．（1） （4）D．（4）
17．（2022春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6cm2B．7cm2C．8cm2D．9cm2
18．（2021春·浙江·七年级期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型七：平方差和完全平方公式综合问题
19．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于________；
(2)观察图2写出三个代数式，，mn之间的等量关系________；
(3)若，，则
①的值为________；
②的值为________﹔
③的值为________．
20．（2022秋·上海·七年级校考期末）已知：，求的值．
21．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）若满足．
(1)①设，，则______，______，而______（用含，的代数式表示）；
②利用①中的信息，求出的值；
(2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
一、单选题
22．（2023春·七年级课时练习）为了便于直接应用平方差公式计算，应将变形为（ ）
A．B．
C．D．
23．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示的分割正方形拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A．B．
C．D．
24．（2023秋·上海青浦·七年级校考期末）下列计算中错误的有（ ）
①；②；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
25．（2023春·全国·七年级专题练习）等于（ ）
A． B．C．D．
26．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）
A．B．
C．D．
27．（2022春·广西·七年级统考阶段练习）若实数，满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
28．（2023春·七年级课时练习）已知，那么x2+y2的值为（ ）
A．13B．7C．6D．5
29．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
30．（2023春·七年级课时练习）若，则代数式A是（ ）
A．B．C．D．
31．（2023春·全国·七年级专题练习）运用完全平方公式计算：
(1)；(2)；(3)；
32．（2023春·全国·七年级专题练习）用平方差公式计算：
(1)．(2)．(3)．(4)．
33．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）已知实数x，y满足，，求的值．
（2）已知实数a、b满足，，求的值．
一、单选题
34．（2022秋·上海虹口·七年级校考期中）如果（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（ ）
A．6B．C．D．9
35．（2023春·七年级课时练习）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则小华说出的正确答案是（ ）
A．B．C．D．
36．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校联考期中）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
37．（2023春·七年级课时练习）观察下列各式及其展开式：请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
；
；
；
；
A．B．C．D．
二、填空题
38．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）若，且，则______ ．
39．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：_____．
40．（2023春·七年级）如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________．
41．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）已知，则_______．
42．（2023春·七年级课时练习）若，那么的值为________．
43．（2023春·七年级课时练习）（1）已知，，则的值为______．
（2）已知，，则的值为______．
（3）已知x满足，则的值为______．
三、解答题
44．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)．
45．（2022春·河南郑州·七年级）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形．
(1)直接写出图中的阴影部分面积；
(2)观察图，请直接写出三个代数式之间的等量关系；
(3)根据（2）中的等量关系：若，则的值为___________；
(4)已知，求的值．
46．（2023春·七年级单元测试）如图①所示，是一个长为，宽为的长方形，沿途中虚线剪成四个全等的小长方形，然后按图②所示的形状拼成一个较大的正方形．
(1)请用2种方法表示图②中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）
(2)比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系．
(3)请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题，如果，，求的值．
47．（2022春·辽宁沈阳·七年级沈阳市）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．
例如：，它只有一项，系数为；
，它有两项，系数分别为，，系数和为；
，它有三项，系数分别为，，，系数和为；
根据以上规律，解答下列问题：
(1)展开式共有______项，系数和为______．
(2)求的展开式；
(3)利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）；
(4)设，则的值为______．
48．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）我们将进行变形，得：，，请根据以上变形解答下列问题：
(1)已知，，则____________，____________．
(2)若x满足，则的值为____________．
(3)如图，四边形为梯形，，，，，连接、．若，请直接写出图中阴影部分的面积____________．
1．A
【分析】把所求式子变形为，再整体代入即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查运用平方差公式公式，熟练掌握平方差公式的变形是解题的关键．
2．A
【分析】根据平方差公式的结构特点判断即可．
【详解】解：A、，故该选项符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．
3．B
【分析】根据平方差公式以及积的乘方与幂的乘方解决此题．
【详解】解：．
∵，
∴．
∴．
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平方差公式、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握平方差公式、积的乘方与幂的乘方是解决本题的关键．
4．B
【分析】由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为长方形的面积，用两种方法表示出图中阴影部分面积即可求解．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，数形结合是解题的关键．
5．D
【分析】用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可．
【详解】解：图1中，阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，拼成的图2，是底为，高为的平行四边形，因此面积为，
所以有，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键．
6．B
【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
【详解】拼成的长方形的面积，
，
，
∵拼成的长方形一边长为，
∴另一边长是．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键．
7．C
【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可作出判断．
【详解】解：A、 ，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误．
故选：C
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记公式是解题的关键．
8．C
【分析】先利用完全平方公式去括号，再求值即可．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键是掌握完全平方公式．
9．D
【分析】根据完全平方公式判断即可．
【详解】解：不能用完全平方公式计算，故A选项不合题意；
能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，故B选项不合题意；
，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，故C选项不合题意；
，能用完全平方公式计算，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键．
10．C
【分析】根据已知条件，得到，然后由为整数，进而得出结论．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴为平方数，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形，正确掌握做题的方法是解题的关键．
11．A
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形形式，灵活应用公式．
12．C
【分析】由得，再求得得，进一步求出，，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
整理，得，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
把，，代入得：
原式，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用乘法公式变形求值，解题的关键是利用乘法公式得到．
13．C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得：或，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴
∴，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．B
【分析】利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中间”可知kx为二倍底数乘积，进而可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于熟知完全平方公式的特点进行求解．
16．C
【分析】由平移法可得，种花土地总面积等于边长为（a-2b）的正方形的面积；由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；据此得出结论．
【详解】解：由平移法可得，种花土地总面积=（a-2b）（a-2b）；
由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决此类问题的关键是运用几何直观理解，解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
17．C
【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】解：设AB=x，AD=y，
∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2，
∴x+y=6，x2+y2=20，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20，
∴62−2xy=20，
∴xy=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式．
18．A
【分析】根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，
∴2（m-3）+2（n-3）=32，
∴m+n=22，
∵mn=120，
∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，
∴m2+n2=244，
∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，
∵m＞n，
∴m-n=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式．
19．(1)
(2)
(3)①13；②19；③343
【分析】（1）根据线段的差可得结论；
（2）方法1，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，方法2，阴影部分小正方形的边长为,即可计算出面积，可得两次计算的都是阴影部分的面积，即可得出答案；
（3）分别根据完全平方公式可解答．
【详解】（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；
故答案为：；
（2）根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，即；
方法2，阴影部分小正方形的边长为，则面积为；
∴；
故答案为：；
（3）由（2）知：,
，
①；
故答案为：13；
②；
故答案为：19；
③；
故答案为：343．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键．
20．7
【分析】利用负整数指数幂将原式变形为，运用完全平方公式两边平方，化简即可求值．
【详解】解：
即：
【点睛】本题主要考查负整数指数幂、完全平方公式及整体代入法；掌握负整数指数幂、熟练运用公式是解题的关键．
21．(1)①，5，；②；
(2)．
【分析】（1）根据题中所设，可写出和，再利用完全平方公式即可求出的值，即的值；
（2）根据题意先设出正方形的边长，然后写出和的长可推出，然后利用长方形的面积可写出，推出，继而求出，即可求出阴影部分面积．
【详解】（1）解：①根据题意可得：
，
，
，
故答案为：，5，
②
，即，
，
即，
故答案为：；
（2）设正方形的边长为，
则，，
，
长方形的面积是，
，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，解题关键：熟练掌握这两个公式的推导．
22．B
【分析】根据平方差公式的特点计算并判断．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】此题考查了平方差公式：，即两个数的和乘以这两个数的差，正确掌握平方差公式的构成特点是解题的关键．
23．D
【分析】用代数式表示左图，右图阴影部分的面积即可．
【详解】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，而右图阴影部分是长为,宽为的长方形，因此面积为，
所以，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
24．D
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的计算法则计算出结果即可判断．
【详解】解：①，原计算错误；
②，原计算错误；
③，原计算错误；
④，原计算错误．
综上，四个计算都是错误的，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法，掌握运算法则是解题的关键．
25．C
【分析】将原式变形为，再运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
26．B
【分析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断．
【详解】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得，
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解本题的关键．
27．B
【分析】通过配方得到，根据非负数的性质得到，，求得a，b的值，于是得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查配方法的运用，非负数的性质，掌握分组分解与完全平方公式是解决问题的关键．
28．D
【分析】先把所求式子变形为完全平方式，再将题中已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式变形式求值，观察发现式子的变形前后的相等关系是解答本题的关键．
29．B
【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出，的符号，由此即可得出答案．
【详解】解：∵，，
，，
，
，
，
∴，
∵
，
，
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正数加减的应用和完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
30．C
【分析】根据完全平方公式可进行求解．
【详解】解：，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
31．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式直接求解即可．
（2）利用完全平方公式直接求解即可．
（3）利用完全平方公式直接求解即可．
【详解】（1）
，
（2）
，
（3）
，
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
32．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【点睛】本题考查了平方差公式．解题的关键是掌握公式的特征．
33．（1）；（2）．
【分析】（1）利用平方差公式，化简求解即可；
（2）利用完全平方公式进行化简，分别求得和的值，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
34．D
【分析】根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵（k是常数）是完全平方式，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
35．B
【分析】把拆分为，把拆分为，然后根据完全平方公式展开，再合并计算，最后约分，即可得出答案．
【详解】解：
．
故选：B
【点睛】本题考查了完全平方公式，解本题的关键在把拆分为，把拆分为．
36．B
【分析】将已知式子两边平方，利用完全平方公式进行计算即可求得．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
37．C
【分析】根据题意得出次幂展开项的系数规律，分别表示出的展开式，得到所求即可．
【详解】∵；
；
；
；
得到，
则的展开式第三项的系数是，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
38．4
【分析】利用平方差公式将分别，然后代入的值即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方差公式，属于基础题，掌握平方差公式的形式是解答本题的关键．
39．
【分析】将原式变形为，然后多次利用平方差公式计算即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】此题主要考查平方差公式的应用；解题的关键是将原式变形为平方差的形式．
40．
【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答．
【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面积．
41．256或
【分析】首先根据完全平方公式将等式变形，然后利用积的乘方的逆运算将的值整体代入求解即可．
【详解】∵
∴
∴
∴
∴
∴或
∴或
∴当时，
；
∴当时，
；
综上所述，或256．
故答案为：256或．
【点睛】此题考查了完全平方公式的变形应用，积的乘方的逆运算，解题的关键是将原等式利用完全平方公式正确变形．
42．4
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】
，
当，原式，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
43． 39 5 5
【分析】（1）将变形为，再代入已知条件计算即可；
（2）将变形为，再代入已知条件，即可求出值，将变形为，代入即可求解．
（3）将变形为，则，将看做成一个整体，化简即可求得的值．
【详解】解：（1）∵，，
∴
，
故答案为：39；
（2）∵
∴
∵，
∴，
∴
，
故答案为：5；
（3）∵，
∴，
，
，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握利用完全平方公式变形求代数式值是解题的关键．
44．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算即可；
（2）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算，中间是减号，要注意变号；
（3）根据平方差公式直接进行计算；
（4）根据平方差公式直接进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式．
【点睛】本题主要考查平方差公式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
45．(1)
(2)
(3)
(4)6
【分析】（1）由拼图可知阴影部分是边长为的正方形，可表示面积；
（2）大正方形面积减去四个长方形面积也可以得出阴影部分的面积，进而得出关系式；
（3）由（2）得，再代入计算即可；
（4）设，，由题意可得，，根据
，求出的值即可．
【详解】（1）解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此阴影部分面积为；
（2）图中阴影部分面积也可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即，
因此有；
（3）由（2）可知，
，
，
故答案为：；
（4）设，，则，，
∴
，
答：的值为
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
46．(1)方法一：；方法二：
(2)
(3)10
【分析】（1）方法一：利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；方法二：先求出阴影小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可得；
（2）根据两种方法求出的阴影部分的面积相等即可得；
（3）先利用（2）的等式可得的值，再利用完全平方公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：方法一：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，
则阴影部分的面积为，
方法二：阴影部分是一个小正方形，它的边长为，
则阴影部分的面积为．
（2）解：∵（1）中两种方法求出的阴影部分的面积相等，
∴，
即等量关系为：．
（3）解：∵，，，
∴，即，
∵，，
∴，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
47．(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）认真读懂图，写出下一行数字，填空即可；
（2）按照系数，展开式的书写形式展开即可；
（3）读懂表中的数据规律，可以把算式写出的形式，再计算；
（4）让取特殊值，计算出的值．
【详解】（1）解：根据图表中的规律，
可得：展开式共有项，系数和为，
故答案为：，；
（2）
；
（3）根据图表中数据的规律可以发现：
，
；
（4），
当时，
，
当时，
，
，
的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的新定义，解题的关键是读懂题意，在数据中发现规律，利用规律解决问题．
48．(1)3，
(2)
(3)20
【分析】（1）利用所给变形直接代入计算可求得的值，然后根据完全平方公式求出的值，进而可得答案；
（2）利用所给变形直接代入计算即可；
（3）根据列式，然后根据进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：3，；
（2）解：由得：
，
故答案为：；
（3）解：
，
故答案为：20．
1、平方差公式
两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。
即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。
2、完全平方公式
两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。
常见错误：
题型一：运用平方差公式进行运算
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2022春·广东河源·七年级校考期末）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·七年级课时练习）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
题型二：平方差公式与几何图形
4．（2023春·全国·七年级专题练习）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图)，通过计算图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )
A． B．
C． D．
5．（2023春·七年级课时练习）如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形．若将阴影部分通过割、拼，形成新的图形②．则下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023春·七年级课时练习）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（ ）
A．B．C．D．
题型三：运用完全平方公式进行运算
7．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）下列等式中，能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023春·七年级课时练习）（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·上海·七年级校考期中）下列整式乘法能够用完全平方公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：完全平方公式的变形求值
10．（2023春·七年级课时练习）已知、不同的两个实数，且满足、，当为整数时，的值为（ ）
A．或B．1C．D．或
11．（2023春·全国·七年级专题练习）若实数满足则的值为（ ）
A．3B．C．4D．
12．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知有理数a，b，c满足，，则（ ）
A．B．C．D．
题型五：完全平方式
13．（2022春·河南郑州·七年级校考阶段练习）若是完全平方式，则的值为（ ）
A．7B．C．7或D．5或
14．（2022秋·上海·七年级校考期中）若多项式是完全平方式，则m的值为（ ）
A．6或B．12或C．12D．
15．（2022春·湖南怀化·七年级校考期中）如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．30B．C．15D．
题型六： 完全平方公式在几何图形的应用
16．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（ ）
A．（2）B．（1） （3）C．（1） （4）D．（4）
17．（2022春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6cm2B．7cm2C．8cm2D．9cm2
18．（2021春·浙江·七年级期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型七：平方差和完全平方公式综合问题
19．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于________；
(2)观察图2写出三个代数式，，mn之间的等量关系________；
(3)若，，则
①的值为________；
②的值为________﹔
③的值为________．
20．（2022秋·上海·七年级校考期末）已知：，求的值．
21．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）若满足．
(1)①设，，则______，______，而______（用含，的代数式表示）；
②利用①中的信息，求出的值；
(2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
一、单选题
22．（2023春·七年级课时练习）为了便于直接应用平方差公式计算，应将变形为（ ）
A．B．
C．D．
23．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示的分割正方形拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A．B．
C．D．
24．（2023秋·上海青浦·七年级校考期末）下列计算中错误的有（ ）
①；②；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
25．（2023春·全国·七年级专题练习）等于（ ）
A． B．C．D．
26．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）
A．B．
C．D．
27．（2022春·广西·七年级统考阶段练习）若实数，满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
28．（2023春·七年级课时练习）已知，那么x2+y2的值为（ ）
A．13B．7C．6D．5
29．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
30．（2023春·七年级课时练习）若，则代数式A是（ ）
A．B．C．D．
31．（2023春·全国·七年级专题练习）运用完全平方公式计算：
(1)；(2)；(3)；
32．（2023春·全国·七年级专题练习）用平方差公式计算：
(1)．(2)．(3)．(4)．
33．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）已知实数x，y满足，，求的值．
（2）已知实数a、b满足，，求的值．
一、单选题
34．（2022秋·上海虹口·七年级校考期中）如果（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（ ）
A．6B．C．D．9
35．（2023春·七年级课时练习）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则小华说出的正确答案是（ ）
A．B．C．D．
36．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校联考期中）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
37．（2023春·七年级课时练习）观察下列各式及其展开式：请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
；
；
；
；
A．B．C．D．
二、填空题
38．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）若，且，则______ ．
39．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：_____．
40．（2023春·七年级）如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________．
41．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）已知，则_______．
42．（2023春·七年级课时练习）若，那么的值为________．
43．（2023春·七年级课时练习）（1）已知，，则的值为______．
（2）已知，，则的值为______．
（3）已知x满足，则的值为______．
三、解答题
44．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)．
45．（2022春·河南郑州·七年级）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形．
(1)直接写出图中的阴影部分面积；
(2)观察图，请直接写出三个代数式之间的等量关系；
(3)根据（2）中的等量关系：若，则的值为___________；
(4)已知，求的值．
46．（2023春·七年级单元测试）如图①所示，是一个长为，宽为的长方形，沿途中虚线剪成四个全等的小长方形，然后按图②所示的形状拼成一个较大的正方形．
(1)请用2种方法表示图②中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）
(2)比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系．
(3)请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题，如果，，求的值．
47．（2022春·辽宁沈阳·七年级沈阳市）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．
例如：，它只有一项，系数为；
，它有两项，系数分别为，，系数和为；
，它有三项，系数分别为，，，系数和为；
根据以上规律，解答下列问题：
(1)展开式共有______项，系数和为______．
(2)求的展开式；
(3)利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）；
(4)设，则的值为______．
48．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）我们将进行变形，得：，，请根据以上变形解答下列问题：
(1)已知，，则____________，____________．
(2)若x满足，则的值为____________．
(3)如图，四边形为梯形，，，，，连接、．若，请直接写出图中阴影部分的面积____________．
1．A
【分析】把所求式子变形为，再整体代入即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查运用平方差公式公式，熟练掌握平方差公式的变形是解题的关键．
2．A
【分析】根据平方差公式的结构特点判断即可．
【详解】解：A、，故该选项符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．
3．B
【分析】根据平方差公式以及积的乘方与幂的乘方解决此题．
【详解】解：．
∵，
∴．
∴．
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平方差公式、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握平方差公式、积的乘方与幂的乘方是解决本题的关键．
4．B
【分析】由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为长方形的面积，用两种方法表示出图中阴影部分面积即可求解．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，数形结合是解题的关键．
5．D
【分析】用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可．
【详解】解：图1中，阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，拼成的图2，是底为，高为的平行四边形，因此面积为，
所以有，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键．
6．B
【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
【详解】拼成的长方形的面积，
，
，
∵拼成的长方形一边长为，
∴另一边长是．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键．
7．C
【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可作出判断．
【详解】解：A、 ，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误．
故选：C
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记公式是解题的关键．
8．C
【分析】先利用完全平方公式去括号，再求值即可．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键是掌握完全平方公式．
9．D
【分析】根据完全平方公式判断即可．
【详解】解：不能用完全平方公式计算，故A选项不合题意；
能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，故B选项不合题意；
，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，故C选项不合题意；
，能用完全平方公式计算，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键．
10．C
【分析】根据已知条件，得到，然后由为整数，进而得出结论．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴为平方数，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形，正确掌握做题的方法是解题的关键．
11．A
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形形式，灵活应用公式．
12．C
【分析】由得，再求得得，进一步求出，，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
整理，得，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
把，，代入得：
原式，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用乘法公式变形求值，解题的关键是利用乘法公式得到．
13．C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得：或，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴
∴，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．B
【分析】利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中间”可知kx为二倍底数乘积，进而可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于熟知完全平方公式的特点进行求解．
16．C
【分析】由平移法可得，种花土地总面积等于边长为（a-2b）的正方形的面积；由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；据此得出结论．
【详解】解：由平移法可得，种花土地总面积=（a-2b）（a-2b）；
由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决此类问题的关键是运用几何直观理解，解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
17．C
【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】解：设AB=x，AD=y，
∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2，
∴x+y=6，x2+y2=20，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20，
∴62−2xy=20，
∴xy=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式．
18．A
【分析】根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，
∴2（m-3）+2（n-3）=32，
∴m+n=22，
∵mn=120，
∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，
∴m2+n2=244，
∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，
∵m＞n，
∴m-n=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式．
19．(1)
(2)
(3)①13；②19；③343
【分析】（1）根据线段的差可得结论；
（2）方法1，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，方法2，阴影部分小正方形的边长为,即可计算出面积，可得两次计算的都是阴影部分的面积，即可得出答案；
（3）分别根据完全平方公式可解答．
【详解】（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；
故答案为：；
（2）根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，即；
方法2，阴影部分小正方形的边长为，则面积为；
∴；
故答案为：；
（3）由（2）知：,
，
①；
故答案为：13；
②；
故答案为：19；
③；
故答案为：343．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键．
20．7
【分析】利用负整数指数幂将原式变形为，运用完全平方公式两边平方，化简即可求值．
【详解】解：
即：
【点睛】本题主要考查负整数指数幂、完全平方公式及整体代入法；掌握负整数指数幂、熟练运用公式是解题的关键．
21．(1)①，5，；②；
(2)．
【分析】（1）根据题中所设，可写出和，再利用完全平方公式即可求出的值，即的值；
（2）根据题意先设出正方形的边长，然后写出和的长可推出，然后利用长方形的面积可写出，推出，继而求出，即可求出阴影部分面积．
【详解】（1）解：①根据题意可得：
，
，
，
故答案为：，5，
②
，即，
，
即，
故答案为：；
（2）设正方形的边长为，
则，，
，
长方形的面积是，
，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，解题关键：熟练掌握这两个公式的推导．
22．B
【分析】根据平方差公式的特点计算并判断．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】此题考查了平方差公式：，即两个数的和乘以这两个数的差，正确掌握平方差公式的构成特点是解题的关键．
23．D
【分析】用代数式表示左图，右图阴影部分的面积即可．
【详解】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，而右图阴影部分是长为,宽为的长方形，因此面积为，
所以，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
24．D
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的计算法则计算出结果即可判断．
【详解】解：①，原计算错误；
②，原计算错误；
③，原计算错误；
④，原计算错误．
综上，四个计算都是错误的，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法，掌握运算法则是解题的关键．
25．C
【分析】将原式变形为，再运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
26．B
【分析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断．
【详解】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得，
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解本题的关键．
27．B
【分析】通过配方得到，根据非负数的性质得到，，求得a，b的值，于是得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查配方法的运用，非负数的性质，掌握分组分解与完全平方公式是解决问题的关键．
28．D
【分析】先把所求式子变形为完全平方式，再将题中已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式变形式求值，观察发现式子的变形前后的相等关系是解答本题的关键．
29．B
【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出，的符号，由此即可得出答案．
【详解】解：∵，，
，，
，
，
，
∴，
∵
，
，
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正数加减的应用和完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
30．C
【分析】根据完全平方公式可进行求解．
【详解】解：，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
31．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式直接求解即可．
（2）利用完全平方公式直接求解即可．
（3）利用完全平方公式直接求解即可．
【详解】（1）
，
（2）
，
（3）
，
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
32．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【点睛】本题考查了平方差公式．解题的关键是掌握公式的特征．
33．（1）；（2）．
【分析】（1）利用平方差公式，化简求解即可；
（2）利用完全平方公式进行化简，分别求得和的值，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
34．D
【分析】根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵（k是常数）是完全平方式，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
35．B
【分析】把拆分为，把拆分为，然后根据完全平方公式展开，再合并计算，最后约分，即可得出答案．
【详解】解：
．
故选：B
【点睛】本题考查了完全平方公式，解本题的关键在把拆分为，把拆分为．
36．B
【分析】将已知式子两边平方，利用完全平方公式进行计算即可求得．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
37．C
【分析】根据题意得出次幂展开项的系数规律，分别表示出的展开式，得到所求即可．
【详解】∵；
；
；
；
得到，
则的展开式第三项的系数是，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
38．4
【分析】利用平方差公式将分别，然后代入的值即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方差公式，属于基础题，掌握平方差公式的形式是解答本题的关键．
39．
【分析】将原式变形为，然后多次利用平方差公式计算即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】此题主要考查平方差公式的应用；解题的关键是将原式变形为平方差的形式．
40．
【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答．
【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面积．
41．256或
【分析】首先根据完全平方公式将等式变形，然后利用积的乘方的逆运算将的值整体代入求解即可．
【详解】∵
∴
∴
∴
∴
∴或
∴或
∴当时，
；
∴当时，
；
综上所述，或256．
故答案为：256或．
【点睛】此题考查了完全平方公式的变形应用，积的乘方的逆运算，解题的关键是将原等式利用完全平方公式正确变形．
42．4
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】
，
当，原式，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
43． 39 5 5
【分析】（1）将变形为，再代入已知条件计算即可；
（2）将变形为，再代入已知条件，即可求出值，将变形为，代入即可求解．
（3）将变形为，则，将看做成一个整体，化简即可求得的值．
【详解】解：（1）∵，，
∴
，
故答案为：39；
（2）∵
∴
∵，
∴，
∴
，
故答案为：5；
（3）∵，
∴，
，
，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握利用完全平方公式变形求代数式值是解题的关键．
44．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算即可；
（2）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算，中间是减号，要注意变号；
（3）根据平方差公式直接进行计算；
（4）根据平方差公式直接进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式．
【点睛】本题主要考查平方差公式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
45．(1)
(2)
(3)
(4)6
【分析】（1）由拼图可知阴影部分是边长为的正方形，可表示面积；
（2）大正方形面积减去四个长方形面积也可以得出阴影部分的面积，进而得出关系式；
（3）由（2）得，再代入计算即可；
（4）设，，由题意可得，，根据
，求出的值即可．
【详解】（1）解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此阴影部分面积为；
（2）图中阴影部分面积也可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即，
因此有；
（3）由（2）可知，
，
，
故答案为：；
（4）设，，则，，
∴
，
答：的值为
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
46．(1)方法一：；方法二：
(2)
(3)10
【分析】（1）方法一：利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；方法二：先求出阴影小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可得；
（2）根据两种方法求出的阴影部分的面积相等即可得；
（3）先利用（2）的等式可得的值，再利用完全平方公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：方法一：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，
则阴影部分的面积为，
方法二：阴影部分是一个小正方形，它的边长为，
则阴影部分的面积为．
（2）解：∵（1）中两种方法求出的阴影部分的面积相等，
∴，
即等量关系为：．
（3）解：∵，，，
∴，即，
∵，，
∴，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
47．(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）认真读懂图，写出下一行数字，填空即可；
（2）按照系数，展开式的书写形式展开即可；
（3）读懂表中的数据规律，可以把算式写出的形式，再计算；
（4）让取特殊值，计算出的值．
【详解】（1）解：根据图表中的规律，
可得：展开式共有项，系数和为，
故答案为：，；
（2）
；
（3）根据图表中数据的规律可以发现：
，
；
（4），
当时，
，
当时，
，
，
的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的新定义，解题的关键是读懂题意，在数据中发现规律，利用规律解决问题．
48．(1)3，
(2)
(3)20
【分析】（1）利用所给变形直接代入计算可求得的值，然后根据完全平方公式求出的值，进而可得答案；
（2）利用所给变形直接代入计算即可；
（3）根据列式，然后根据进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：3，；
（2）解：由得：
，
故答案为：；
（3）解：
，
故答案为：20．
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