北师大版七年级下册6 完全平方公式课后作业题

专题04 完全平方公式的五种压轴题型全攻略

【知识点梳理】

完全平方和（差）公式：      

注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；

②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式

拓展：利用可推导除一些变式

①

②

注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。

类型一、变形求值

例1.已知，则____________．

【答案】47

【解析】∵，∴（x＋）2＝49，即＋2＝49，

则47，故答案为：47．

例2．计算：

【答案】

【详解】解：===．

【变式训练1】已知，则的值是___．

【答案】14

【详解】解：，且由题意可得，

，，原式，

故答案为：14

【变式训练2】若，则______．

【答案】4

【详解】解：∵(x+1)2−b=x2+2x+1-b=x2+ax−1，∴，得：，

∴a+b=2+2=4，

故答案为：4．

【变式训练3】已知，则的值等于（　　）

A．1 B．﹣1 C．0 D．

【答案】B

【详解】解：∵，∴，

∴，∴，解得m=-2，n=2，

∴=，故选：B．

类型二、 知二求二

例、若，，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，即．

又．故选C．

【变式训练1】若，，则______．

【答案】12

【解析】∵，，∴，

∴19=5+4xy，∴xy=，∴，故答案为：12.

【变式训练2】若则________________．

【答案】

【解析】 故答案为：46

【变式训练3】若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．

（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．

【答案】（1）12；（2）56；（3）±2

【解析】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，

∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2×2＝12；

（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝82﹣2×22＝64﹣8＝56；

（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，∴x﹣y＝±2．

【变式训练4】求值．

若，，求①，②的值．

【答案】①25，②

【解析】①将两边平方得：，
把代入得：，即；

②∵，则．

类型三、 求字母取值

例1．若是完全平方式，则的值是（  ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【解析】解：∵是完全平方式，∴，∴，

解得：或；故选：C．

【变式训练1】若，则 ________．

【答案】

【详解】解:∵，，∴m2=a；-6m=24

∴m=-4，a=16，故答案为：16

【变式训练2】已知x²-2mx+9是完全平方式，则m的值为（    ）

A．±3 B．3 C．±6 D．6

【答案】A

【详解】解：已知x2-2mx+9是完全平方式，∴m=3或m=-3，故选：A．

【变式训练3】要使x2+kx+是完全平方式，那么k的值是（    ）

A．k= ±1 B．k= C．k=－ D．k=

【答案】A

【详解】解：∵是完全平方式，∴ ，∴，故选：A．

【变式训练4】已知是一个完全平方式，则m的值为(   )

A．2 B．±2 C．4 D．±4

【答案】C

【详解】解：∵x2-4x+m是一个完全平方式，∴m=，解得m=4．

故选：C．

类型四、 配凑完全平方式

例、代数式的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】代数式

∵∴即代数式故选：A．

【变式训练1】已知，，，则代数式的值为______．

【答案】3

【解析】解：，，，

，，，

则原式

，故答案为：3．

【变式训练2】已知a—4a+9b+6b+5=0,则a+b=_________。

【答案】

【解析】—4a+9+6b+5=0,

【变式训练3】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．

例如：求代数式的最小值．

当时，有最小值，最小值是．

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．

（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．

（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．

【答案】（1）代数式有最小值为1；（2）代数式有最小值为3．（3）当，时，多项式有最大值为17．

【解析】（1）原式 当时，代数式有最小值为1；

（2）原式

代数式有最小值为3．

（3）原式

当，时，多项式有最大值为17．

类型五、 几何运用

例、如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________．

【答案】答案不唯一：=

【解析】解：（a+b）2=a2+2ab+b2 故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2

【变式训练1】图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．ab B．a2+2ab+b2 C．a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2

【答案】D

【解析】图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∴正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2﹣4ab=a2﹣2ab+b2．故选：D．

【变式训练2】4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a＋b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是（　　）

A．a＝1.5b B．a＝2b C．a＝2.5b D．a＝3b

【答案】D

【解析】解：由题意可得：S2＝4×b（a＋b）＝2b（a＋b）；

S1＝（a＋b）2﹣S2＝（a＋b）2﹣（2ab＋2b2）＝a2＋2ab＋b2﹣2ab﹣2b2＝a2﹣b2；

∵S1＝S2，∴2b（a＋b）＝a2﹣b2，∴2b（a＋b）＝（a﹣b）（a＋b），

∵a＋b＞0，∴2b＝a﹣b，∴a＝3b．故选：D．

【变式训练3】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：

（1）图2所表示的数学等式为_____________________；

（2）利用（1）得到的结论，解决问题: 若，求的值；

（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接,若两正方形的边长满足求阴影部分面积．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）由图可得，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）由（1）可得：ab+bc+ac＝[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]= [122−60]=42；
（3）S阴影＝a2+b2− (a−b)a−b2

=a2+b2−a2+ab−b2= (a2+b2+ab)= [(a+b)2−ab]= [152−35]=95．