人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义6.2立方根(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义6.2立方根(原卷版+解析)，共27页。

立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a
立方根的性质：
1）任何实数都有唯一确定的立方根。
2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。
3）０的立方根是０。
4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3−a=−3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

【题型一】求一个数的立方根
【典题】（2022春·广东江门·七年级新会陈经纶中学校考期中）计算的结果是 ( )
A．±3B．3C．±3D．3
巩固练习
1．（）（2022春·四川自贡·七年级校考期中）下面有四种说法，其中正确的是（）
A．-64的立方根是4B．的立方根是
C．49的算术平方根是D．的平方根是
2．（）（2022春·河北保定·七年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（）（2022秋·浙江丽水·七年级校联考期中）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．1D．1或
4．（）（2022春·广东汕头·七年级期中）下列各组数互为相反数的是（ ）
A．和B．和C．和D．与
5．（）（2022春·湖南长沙·七年级校考期末）如果，，那么约等于（ ）
A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333
6．（）（2022春·湖北黄冈·七年级校联考期中）若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是_____．
7．（）（2022春·吉林四平·七年级统考期末）已知一个数的两个平方根分别是和，求这个数的立方根．
8．（）（2022春·河南驻马店·七年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
9．（）（2022春·四川德阳·七年级四川省德阳市第二中学校校考期中）计算
(1)．
(2)已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【题型二】已知一个数的立方根求这个数
【典题】（2022春·全国·七年级期末）若一个数的立方根是－3，则该数为( )
A．－B．－27
C．±D．±27
巩固练习
1．（）（2022春·广东汕头·七年级期中）若x的立方根是，则x=_____.
2．（）（2022春·山东济宁·七年级统考期中）若 a2=9，=﹣2，则 a+b 等于______．
3．（）（2022秋·黑龙江绥化·七年级期末）一个数的立方根是4，这个数的平方根是_____．
【题型三】利用立方根解方程
【典题】（2022春·河南周口·七年级统考期中）求下列各式中的x
(1)
(2)
巩固练习
1．（）（2022春·浙江台州·七年级校联考期中）求下列各式中x的值：
(1)
(2)
2．（）（2022春·全国·七年级统考期中）解方程：
(1)3（x﹣1）2＝27．
(2)（x+1）3+＝0．
【题型四】立方根的实际应用
【典题】（2022春·山东日照·七年级统考期中）一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（ ）倍．
A．2B．3C．4D．5
巩固练习
1．（）（2022春·湖南·七年级校联考期中）随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（ ）
A．50B．60C．70D．40
2．（）（2022秋·浙江宁波·七年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期中）一个长、宽，高分别为50、8、20的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（ ）
A．20B．200C．40D．
3．（）（2022春·山东临沂·七年级统考期末）一个球形容器的容积为36π立方米，则它的半径R＝______米．（球的体积：V球＝πR3，其中R为球的半径）
4．（）（2022春·山东德州·七年级统考期中）现有两个大小不等的正方体茶叶罐，大正方体茶叶罐的体积为，小正方体茶叶罐的体积为，将其叠放在一起放在地面上（如图），则这两个茶叶罐的最高点到地面的距离是________．
5．（）（2022春·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期中）【发现】
①
②
③
④
……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
6．（）（2022春·安徽芜湖·七年级统考期末）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：
(1)已知，且x为整数．
∵，
∴x一定是一个两位数；
∵10648的个位数字是8，
∴x的个位数字一定是______；
划去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位数字一定是______；
∴______．
(2)，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．
7．（）（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，，
(1)已知，求的值；
(2)已知，，求的值；
(3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示．
8（）（2022春·江西赣州·七年级统考期中）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
（1）求该魔方的棱长；
（2）求该长方体纸盒的表面积．
【题型五】平方根与立方根综合
【典题】（2022春·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．D．±2
巩固练习
1．（）（2022春·甘肃武威·七年级校联考期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（ ）
A．4B．4或0C．6或2D．6
2．（）（2022春·云南昆明·七年级统考期末）如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（ ）
A．B．1C．D．3
3．（）（2022春·安徽宣城·七年级校联考期中）已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（ ）．
A．B．12C．13D．
4．（）（2022春·江西新余·七年级新余四中校考期中）已知：和是a的两个不同的平方根，是a的立方根．
(1)求x，y，a的值；
(2)求的平方根．
5．（）（2022春·陕西宝鸡·七年级统考期中）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
(1)求a，b，c的值；
(2)求3a+10b+c的平方根．
6．（）（2022春·广东中山·七年级统考期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值．
7．（）（2022春·广东东莞·七年级东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）【发现】
①；
②；
③；
④；
……
根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：_____________________．
【归纳】
等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数，，若_______，则；反之也成立．
【应用】
根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
若与的值互为相反数，求的值．
6.2 立方根
立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a
立方根的性质：
1）任何实数都有唯一确定的立方根。
2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。
3）０的立方根是０。
4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3−a=−3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

【题型一】求一个数的立方根
【典题】（2022春·广东江门·七年级新会陈经纶中学校考期中）计算的结果是 ( )
A．±3B．3C．±3D．3
【答案】D
【详解】解：∵33＝27，∴．
故选：D．
巩固练习
1．（）（2022春·四川自贡·七年级校考期中）下面有四种说法，其中正确的是（）
A．-64的立方根是4B．的立方根是
C．49的算术平方根是D．的平方根是
【答案】B
【分析】利用平方根、算术平方根、立方根的定义判定即可；
【详解】A. -64的立方根是-4，错误；
B. 的立方根是，正确；
C. 49的算术平方根是，错误；
D. 的平方根是，，错误；
故答案为B
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，熟练掌握定义是解题关键．
2．（）（2022春·河北保定·七年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根和立方根的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根的性质，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题的关键．
3．（）（2022秋·浙江丽水·七年级校联考期中）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．1D．1或
【答案】C
【分析】根据平方根的定义及立方根的定义求出，利用法确定a=4，b=-3，代入a+b计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴a=4，b=-3，
∴a+b=4-3=1，
故选：C．
【点睛】此题考查平方根的定义及立方根的定义，绝对值的性质，有理数的加减法，正确理解平方根的定义及立方根的定义求出a及b的值是解题的关键．
4．（）（2022春·广东汕头·七年级期中）下列各组数互为相反数的是（ ）
A．和B．和C．和D．与
【答案】D
【分析】利用二次根式的和立方根的定义计算出=2，=2，-=-2，=-2，然后对各选项进行判断．
【详解】解：A、，，则，所以该选项不符合题意；
B、，，则，所以该选项不符合题意；
C、，，则，所以该选项不符合题意；
D、，，则与互为相反数，所以该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．也考查了立方根和相反数．
5．（）（2022春·湖南长沙·七年级校考期末）如果，，那么约等于（ ）
A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333
【答案】C
【分析】由及立方根的性质即可求得结果．
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查了立方根的性质，即，掌握此性质是本题的关键．
6．（）（2022春·湖北黄冈·七年级校联考期中）若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是_____．
【答案】0或1
【分析】设这个数为a，由立方根等于这个数的算术平方根可以列出方程，解方程即可求出a．
【详解】解：设这个数为a，由题意知，
=（a≥0），
解得：a=1或0，
故答案为：1或0
【点睛】本题主要考查算术平方根和立方根等知识点，基础题需要重点掌握，同学们很容易忽略a≥0．
7．（）（2022春·吉林四平·七年级统考期末）已知一个数的两个平方根分别是和，求这个数的立方根．
【答案】
【分析】根据平方根的性质可得关于a的方程，解方程求出a的值，继而确定出这个正数，再根据立方根的概念进行求解即可得．
【详解】解：根据题意得：3a＋2＋a＋14＝0，
解得：a＝－4，
∴，
∴这个正数是100，
∴这个数的立方根是．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的概念，熟练掌握平方根、立方根的概念是解题的关键．
8．（）（2022春·河南驻马店·七年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据绝对值、平方根和立方根的性质化简每个式子，然后求解即可；
（2）根据平方根、立方根以及乘方的性质，求解每个式子，然后求解即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
．
【点睛】此题考查了平方根，立方根、绝对值以及乘方运算，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根、绝对值以及乘方的性质，正确求解每个式子的值．
9．（）（2022春·四川德阳·七年级四川省德阳市第二中学校校考期中）计算
(1)．
(2)已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【答案】(1)5
(2)b
【分析】（1）先求算术平方根、绝对值、立方根，然后进行加减运算即可；
（2）由数轴可得，即，求算术平方根、立方根，然后进行加减运算即可．
（1）
解：原式．
（2）
解：由数轴可得，，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、立方根，根据点在数轴的位置判断式子的正负等知识．解题的关键在于确定的大小关系并正确的计算．
【题型二】已知一个数的立方根求这个数
【典题】（2022春·全国·七年级期末）若一个数的立方根是－3，则该数为( )
A．－B．－27
C．±D．±27
【答案】B
【详解】因为，故选B.
巩固练习
1．（）（2022春·广东汕头·七年级期中）若x的立方根是，则x=_____.
【答案】-
【分析】根据(﹣)3＝－求解.
【详解】因为(﹣)3＝－，所以－的立方根是﹣，则x＝－
故答案为－
【点睛】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．
2．（）（2022春·山东济宁·七年级统考期中）若 a2=9，=﹣2，则 a+b 等于______．
【答案】﹣5 或﹣11
【分析】先根据平方根和立方根的定义得出a、b的值，再分情况计算可得．
【详解】∵a2=9，=-2，
∴a=3或a=-3，b=-8，
当a=3时，a+b=3-8=-5；
当a=-3时，a+b=-3-8=-11；
故答案为-5或-11．
【点睛】本题主要考查立方根、平方根，解题的关键是熟练掌握平方根、立方根的定义．
3．（）（2022秋·黑龙江绥化·七年级期末）一个数的立方根是4，这个数的平方根是_____．
【答案】±8
【详解】∵一个数的立方根是4，
∴这个数是43=64，
∵64的平方根是±8，
∴这个数的平方根是±8，
故答案为：±8.
【题型三】利用立方根解方程
【典题】（2022春·河南周口·七年级统考期中）求下列各式中的x
(1)
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值；
（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值.
【详解】（1）解：方程变形得：（x−1）2＝9，
开方得：x−1＝3或x−1＝−3，
解得：x＝4或x＝−2；
（2）解：方程变形得：，
开立方得：1-2x＝−3，
解得：x＝2.
【点睛】此题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
巩固练习
1．（）（2022春·浙江台州·七年级校联考期中）求下列各式中x的值：
(1)
(2)
【答案】(1)x＝﹣5
(2)x1＝8，x2＝﹣4
【分析】（1）根据立方根定义求解即可；
（2）移项后，根据平方根定义求解即可．
【详解】（1）解：开立方得：＝﹣3，
解得：x＝﹣5．
（2）方程整理得：，
开方得：x﹣2＝±6 ，
解得：x1＝8，x2＝﹣4.
【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（）（2022春·全国·七年级统考期中）解方程：
(1)3（x﹣1）2＝27．
(2)（x+1）3+＝0．
【答案】(1)x1＝﹣2，x2＝4
(2)x＝﹣1.6
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用立方根的性质解方程即可．
(1)
3（x﹣1）2＝27，
系数化为1得（x﹣1）2＝9，
开平方得x﹣1＝±3，
解得x1＝﹣2，x2＝4．
(2)
（x+1）3+＝0，
（x+1）3＝﹣，
开立方得x+1＝﹣0.6，
解得x＝﹣1.6．
【点睛】本题考查利用直接开平方解方程、利用立方根的性质解方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【题型四】立方根的实际应用
【典题】（2022春·山东日照·七年级统考期中）一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（ ）倍．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据正方体的体积公式解答．
【详解】解：设原来正方体的棱长为a，则原来正方体的体积为，
由题意可得现在正方体的体积为，
∵，
∴现在正方体的棱长为3a，
故选：B．
【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及正方体的体积计算方法是解题关键．
巩固练习
1．（）（2022春·湖南·七年级校联考期中）随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（ ）
A．50B．60C．70D．40
【答案】A
【分析】根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，求出圆锥形土方的体积，即可求解．
【详解】解：根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，
，
∴垃圾池的底面边长大约是米．
故选：A
【点睛】本题主要考查了立方根的应用，明确题意，理解垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积是解题的关键．
2．（）（2022秋·浙江宁波·七年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期中）一个长、宽，高分别为50、8、20的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（ ）
A．20B．200C．40D．
【答案】A
【分析】先求出体积，再求立方根即可．
【详解】解：∵铁块体积是
∴锻造成的立方体铁块的棱长为：，
故选：A．
【点睛】本题考查立方根的应用，会求立方根是解题的关键．
3．（）（2022春·山东临沂·七年级统考期末）一个球形容器的容积为36π立方米，则它的半径R＝______米．（球的体积：V球＝πR3，其中R为球的半径）
【答案】3
【分析】根据V球＝ πR3公式列等式，再开立方即可求解．
【详解】解：∵V球＝πR3，
∴πR3＝36π，
解得R＝3；
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了开立方运算，根据V球＝ πR3公式列等式是解题的关键．
4．（）（2022春·山东德州·七年级统考期中）现有两个大小不等的正方体茶叶罐，大正方体茶叶罐的体积为，小正方体茶叶罐的体积为，将其叠放在一起放在地面上（如图），则这两个茶叶罐的最高点到地面的距离是________．
【答案】15
【分析】直接利用立方根得出大正方体和小正方体的棱长进而得出答案．
【详解】解：∵大正方体的体积为1000cm3，小正方体的体积为125cm3，
∴大立方体的棱长为10cm，小立方体的棱长为5cm，
∴这个物体的最高点A到地面的距离是：10+5=15（cm）．
故答案为：15．
【点睛】此题主要考查了立方根，正确得出各条棱长是解题的关键．
5．（）（2022春·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期中）【发现】
①
②
③
④
……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值．
【详解】（1），符合上述规律，
故答案为：；
（2）∵与的值互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，
代入中，
解得，，
∴．
【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（）（2022春·安徽芜湖·七年级统考期末）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：
(1)已知，且x为整数．
∵，
∴x一定是一个两位数；
∵10648的个位数字是8，
∴x的个位数字一定是______；
划去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位数字一定是______；
∴______．
(2)，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．
【答案】(1)2#，2#，22#
(2)
【分析】（1）根据立方根的定义和题意即可得出答案；
（2）根据（1）中的方法计算书写即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，且x为整数．
∵，
∴x一定是一个两位数；
∵10648的个位数字是8，
∴x的个位数字一定是2；
划去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位数字一定是2；
∴22．
故答案为：2，2，22．
（2）∵，
∴y一定是两位数；
∵614125的个位数字是5，
∴y的个位数字一定是5；
划去614125后面的三位125得614，
∵，
∴y的十位数字一定是8；
∴．
【点睛】本题考查立方根，灵活运用立方根的计算是解题的关键．
7．（）（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，，
(1)已知，求的值；
(2)已知，，求的值；
(3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；
（2）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；
（3）根据立方根的规律，根号内扩大1000倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；
【详解】（1），
．
（2），
．
．
（3），
．
．
，即．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的乘法运算，熟练掌握算术平方根、平方根的定义以及二次根式的乘法运算法则是解决本题的关键．
8（）（2022春·江西赣州·七年级统考期中）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
（1）求该魔方的棱长；
（2）求该长方体纸盒的表面积．
【答案】（1）魔方的棱长6cm；（2）长方体纸盒的长为10cm．
【详解】试题分析：（1）由正方体的体积公式，再根据立方根，即可解答；
（2）根据长方体的体积公式，再根据平方根，即可解答.
试题解析：（1）设魔方的棱长为xcm，
可得：x3=216，
解得：x=6，
答：该魔方的棱长6cm；
（2）设该长方体纸盒的长为ycm，
6y2=600，
y2=100，
y=10，
答：该长方体纸盒的长为10cm．
【题型五】平方根与立方根综合
【典题】（2022春·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．D．±2
【答案】C
【分析】利用立方根定义计算即可求出值．
【详解】2，2的平方根是±．
故选C．
【点睛】本题考查了立方根以及平方根，熟练掌握各自的定义是解答本题的关键．
巩固练习
1．（）（2022春·甘肃武威·七年级校联考期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（ ）
A．4B．4或0C．6或2D．6
【答案】C
【分析】由a是的平方根可得a=±2，由b是的立方根可得b=4，由此即可求得a+b的值．
【详解】∵a是的平方根，
∴a=±2，
∵b是的立方根，
∴b=4，
∴a+b=2+4=6或a+b=-2+4=2．
故选C．
【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、 b=4是解决问题的关键．
2．（）（2022春·云南昆明·七年级统考期末）如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】A
【分析】根据算术平方根以及立方根算出、即可得到答案．
【详解】解：的算术平方根是2，
，
，
27的立方根是，
，即，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
3．（）（2022春·安徽宣城·七年级校联考期中）已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（ ）．
A．B．12C．13D．
【答案】C
【分析】根据平方根，立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入求解，再计算出其算术平方根即可得到答案．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
∴，
又∵的立方根是3，
∴，
∴把x的值代入解得：
，
∴，
∴，
∴的算术平方根为，
故答案选：C．
【点睛】此题考查了平方根，立方根的概念，解题关键是根据定义判断出一个非负数的算术平方根，借助乘方运算来寻找答案．
4．（）（2022春·江西新余·七年级新余四中校考期中）已知：和是a的两个不同的平方根，是a的立方根．
(1)求x，y，a的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)x=-2，y=1，a=64；
(2)1-4x的平方根为．
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出x的值，再求出a，然后根据立方根的定义求出y即可；
（2）先求出1-4x，再根据平方根的定义解答．
【详解】（1）解：由题意得：（x-6）+（3x+14）=0，
解得，x=-2，
所以，a=（x-6）2=64；
又∵2y+2是a的立方根， ∴2y+2==4，
∴y=1，
即x=-2，y=1，a=64；
（2）由（1）知：x=-2，
所以，1-4x=1-4×（-2）=9，
所以，，
即：1-4x的平方根为．
【点睛】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意准确计算．
5．（）（2022春·陕西宝鸡·七年级统考期中）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
(1)求a，b，c的值；
(2)求3a+10b+c的平方根．
【答案】(1)
(2)的平方根为
【分析】（1）根据立方根和平方根、算术平方根的定义求解即可；
（2）将所求的a、b、c代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，
，
解得，
，
解得，
，
∴；
（2）解：当时，
，
∵36的平方根为．
∴的平方根为．
【点睛】本题考查立方根和平方根、算术平方根，正确求出a、b、c是解答的关键．
6．（）（2022春·广东中山·七年级统考期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值．
【答案】
【分析】由算术平方根，立方根的定义求出a，b的值，再估算的大小，求出c值，代入即可．
【详解】解：∵的算术平方根是3，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，
∴，
∵ 即：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a、b、c的值是解题的关键．
7．（）（2022春·广东东莞·七年级东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）【发现】
①；
②；
③；
④；
……
根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：_____________________．
【归纳】
等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数，，若_______，则；反之也成立．
【应用】
根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
若与的值互为相反数，求的值．
【答案】【发现】；【归纳】；【应用】-4
【分析】（发现）根据题目给出的规律解答；
（归纳）根据已知的等式规律即可求解；
（应用）根据题意列出方程，解方程求出x，根据算术平方根的概念解答即可．
【详解】解：（发现）①；
②；
③；
④；
……
故可写出一个等式：
故答案为：；
（归纳）根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数，，若，则；反之也成立．
故答案为：;
（应用）∵与的值互为相反数
∴+=0
∴，
解得，，则．
【点睛】本题考查的是立方根和算术平方根的概念，根据题意正确找出规律是解题的关键．