人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义5.3平行线的性质(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义5.3平行线的性质(原卷版+解析)，共35页。

平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
性质2：两直线平行，内错角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补
模型一：铅笔头模型
【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：
证明：

【铅笔头模型变形】
变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E=
证明：变式二：若a∥b，则
∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=
模型二：锯齿模型
【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则
证明：
【锯齿模型变形】
变式一：已知AB∥DE，则
证明：
变式二：若a∥b，则

【题型一】利用两直线平行判定同位角关系
【典题1】（2022秋·湖南邵阳·七年级期末）如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（）（2022秋·山西晋中·七年级期中）如图，直线的顶点在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（）（2022秋·浙江湖州·七年级期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）
A．40°B．43°C．45°D．47°
3．（）（2022秋·四川达州·七年级校考期中）如图，AB//CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．122°B．151°C．116°D．97°
4．（）（2022秋·辽宁阜新·七年级期末）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为（ ）
A．30°B．60°C．80°D．120°
【题型二】利用两直线平行判定内错角关系
【典题1】（2022秋·重庆·七年级校考期中）如图，，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1（）（2022秋·云南曲靖·七年级校考期末）如图，平分，BE⊥AC，，图中与∠C互余的角有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．（）（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°，则∠DBC的度数为（）
A．55°B．65°C．75°D．125°
3．（）（2022秋·山东济南·七年级期末）如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．70°
4．（）（2022秋·山东日照·七年级校考期中）把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【题型三】利用两直线平行判定同旁内角关系
【典题1】（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）如图，直线DE过点A，且．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1（）（2022秋·四川达州·七年级校考期中）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝( )
A．∠1＋∠2B．∠2－∠1
C．180°－∠1＋∠2D．180°－∠2＋∠1
2（）（2022秋·河北石家庄期中）如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1=54°，则∠2的度数是（ ）
A．154°B．126°C．116°D．54°
3．（）（2022春·吉林长春期中）如图，．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．（）（2022春·河南洛阳·七年级期末）直线，直线与，分别交于点，，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【题型四】根据平行线的性质求角的度数
【典题1】（2022秋·河北承德·七年级期末）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．50°C．80°D．90°
巩固练习
1（）（2022秋·河北承德·七年级期末）如图，，若，则的度数为（ ）
A．B．
C．D．
2．（）（2022秋·山东日照·七年级期中）如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数是( )
A．B．C．或D．以上都不对
3．（）（2022秋·广东佛山·七年级校考期中）把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB=32°则下列结论正确的有( )
（1）∠C′EF=32°；（2）∠AEC=116°；（3）∠BGE=64°；（4）∠BFD=116°．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（）（2022秋·河北石家庄·七年级期中）如图：AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①OF平分∠BOD；②∠POE＝∠BOF；③∠BOE＝70°；④∠POB＝2∠DOF，其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【题型五】平行线性质在实际生活中的应用
【典题1】（2022秋·福建龙岩·七年级校考期中）如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A．右转B．左转C．右转D．左转
巩固练习
1()（2022秋·广东惠州·七年级校考期末）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为（ ）
A．先右转50°，后右转40°B．先右转50°，后左转40°
C．先右转50°，后左转130°D．先右转50°，后左转50°
2．()（2022秋·吉林松原·七年级期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
3．()（2022秋·青海海东·七年级期中）如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连通管道的角度为，那么，为了使管道能够顺利对接，另一侧铺设的纵向连通管道与公路的角度为．________．
【题型六】求平行线之间的距离
【典题1】（2022秋·湖南株洲·七年级期末）已知直线，点在上，点，，在上，且，，，则与之间的距离为（ ）
A．等于B．等于
C．等于D．小于或等于
巩固练习
1()（2022春·湖北宜昌·八年级期中）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（ ）
A．AB∥PCB．△ABC的面积等于△BCP的面积
C．AC＝BPD．△ABC的周长等于△BCP的周长
2．()（2022秋·青海海东·八年级期中）如图，已知直线a // b // c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AB=2，AC=6，则平行线b、c之间的距离是（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．()（2022秋·湖南娄底·七年级期末）如图，直线，，，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离（ ）
A．2cmB．3cmC．5cmD．7cm
【题型七】铅笔头模型(解题方法：遇拐点作平行线)
【典题1】如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．80°B．120°
C．100°D．140°
巩固练习
1()如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．()（2022秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
A．55°B．60°C．65°D．70°
3．()（2021秋·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
4()（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
【题型八】锯齿模型
【典题1】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．50°
巩固练习
1()如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
2．()（2022秋·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若，，试猜想______°；
(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．
3．()（2020秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）(1)问题发现：如图①，直线??//??，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE，CE，可以发现∠? +∠?= ∠???．
请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点 E 作??//??，
∵ ??//??(已知)，??//??(辅助线的作法)．
∴ ??//??( )．
∴ ∠? = ∠???( )
∵ ??//??，∴ ∠? = ∠???(同理)．
∴ ∠? + ∠? = (等量代换)
即∠? + ∠? = ∠???．
(2)拓展探究：如果点 E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠? + ∠? = 360°−∠???，请说明理由．
(3)解决问题：如图③，??//??，∠?=120°，∠???=80°，请直接写出∠?的度数．
5.3 平行线的性质
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
性质2：两直线平行，内错角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补
模型一：铅笔头模型
【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E = 360°
证明：过点C作CK∥AB （见拐点作平行线）
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠E = 360°
【铅笔头模型变形】
变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E= 540°
证明：分别过点M、点N作OM∥AB,PN∥DE
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥OM∥PN
∴∠B+∠1=180°①，
∠2+∠3=180°②，
∠E+∠4=180°③
①+②+③得，∠B+∠1+∠2 +∠3+∠4+∠E = 540°，
则∠B+∠BMN+∠MNE+∠E= 540°
变式二：若a∥b，则
∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）
模型二：锯齿模型
【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C
证明：过点C作CK∥AB
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ②
①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C
【锯齿模型变形】
变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
证明：分别过点C，点M，点N分别作CO∥AB，PM∥AB，NQ∥AB
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CO∥PM∥NQ
∴∠B=∠1 ①，∠3=∠2 ②，∠4=∠5 ③，∠E=∠6 ④
①+②+③+④得∠B+∠3+∠4+∠E=∠1+∠2+∠5+∠6
即∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
变式二：若a∥b，则所有朝左角之和等于所有朝右角的和。

【题型一】利用两直线平行判定同位角关系
【典题1】（2022秋·湖南邵阳·七年级期末）如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：如图，

∵a∥b，∠3=55°，
∴∠2=∠3=55°．
故选B．
巩固练习
1．（）（2022秋·山西晋中·七年级期中）如图，直线的顶点在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵，
∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°，
∵，
∴∠ADE=∠ABF=70°．
故选择A．
2．（）（2022秋·浙江湖州·七年级期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）
A．40°B．43°C．45°D．47°
【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，
∵直尺的两边互相平行，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（）（2022秋·四川达州·七年级校考期中）如图，AB//CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．122°B．151°C．116°D．97°
【详解】解：∵AB//CD，∠1=58°，
∴∠EFD=∠1=58°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，
∵AB//CD，
∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．
故选：B．
4．（）（2022秋·辽宁阜新·七年级期末）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为（ ）
A．30°B．60°C．80°D．120°
【详解】解：∵AD∥BC，∠B＝30°，
∴∠EAD＝∠B＝30°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC＝2∠EAD＝2×30°＝60°，
∴∠C＝∠EAC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°，
故选：A．
【题型二】利用两直线平行判定内错角关系
【典题1】（2022秋·重庆·七年级校考期中）如图，，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵
∴
∵平分
∴
故选B．
巩固练习
1（）（2022秋·云南曲靖·七年级校考期末）如图，平分，BE⊥AC，，图中与∠C互余的角有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【详解】解：∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°
∴∠CBE+∠C＝90°；
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∴∠DBE+C＝90°；
∵，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DEB+∠C＝90°．
综上：与∠C互余的角有∠CBE，∠DBE，∠DEB．
故答案选：C．
2．（）（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°，则∠DBC的度数为（）
A．55°B．65°C．75°D．125°
【详解】解：∵∠ADE=125°，
∴∠ADF=180°125°=55°，
因为长方形对边平行
∴∠DBC=∠ADF=55°（两直线平行，内错角相等）；
故选：A．
3．（）（2022秋·山东济南·七年级期末）如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．70°
【详解】∵AB∥CD，∠BAD=35°，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
4．（）（2022秋·山东日照·七年级校考期中）把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝25°，
∵∠2＋∠3＝45°，
∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，
故选：B．
【题型三】利用两直线平行判定同旁内角关系
【典题1】（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）如图，直线DE过点A，且．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【详解】∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
故选：C．
巩固练习
1（）（2022秋·四川达州·七年级校考期中）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝( )
A．∠1＋∠2B．∠2－∠1
C．180°－∠1＋∠2D．180°－∠2＋∠1
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠1，
∵CD∥EF，
∴∠DCE=180°-∠2，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．
故选D．
2（）（2022秋·河北石家庄期中）如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1=54°，则∠2的度数是（ ）
A．154°B．126°C．116°D．54°
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°．
∵∠3=∠1=54°，
∴∠2=180°-∠3
=180°-54°
=126°．
故选：B．
3．（）（2022春·吉林长春期中）如图，．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：设CD与EF交于G，
∵AB∥CD
∴∠1=∠C=58°
∵BC∥FE，
∴∠C+∠CGE=180°，
∴∠CGE=180°-58°=122°，
∴∠2=∠CGE=122°，
故选：B．
4．（）（2022春·河南洛阳·七年级期末）直线，直线与，分别交于点，，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：由题意，根据对顶角相等，则
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【题型四】根据平行线的性质求角的度数
【典题1】（2022秋·河北承德·七年级期末）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．50°C．80°D．90°
【详解】∵，
∴∠DEF=40°．
又∵AB∥CD，
∴∠A=∠DEF=40°．
故选：A．
巩固练习
1（）（2022秋·河北承德·七年级期末）如图，，若，则的度数为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】如图，∵
∴∠1+∠3=180º
∵∠1=70º
∴∠3=180º-70º=110º
∵
∴∠2=∠3=110º
故选：B．
2．（）（2022秋·山东日照·七年级期中）如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数是( )
A．B．C．或D．以上都不对
【详解】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A与∠B相等或互补．
分两种情况：
①如图1，
当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=126°；
②如图2，
当∠A=∠B，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=18°．
所以∠A=18°或126°．
故选：C．
3．（）（2022秋·广东佛山·七年级校考期中）把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB=32°则下列结论正确的有( )
（1）∠C′EF=32°；（2）∠AEC=116°；（3）∠BGE=64°；（4）∠BFD=116°．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】解：（1）∵AE∥BG，∠EFB=32°，
∴∠C′EF=∠EFB=32°，故本小题正确；
（2）由翻折可知∠GEF=∠C′EF=32°，
∴∠AEC＝180°-32°-32°＝116°，故本小题正确；
（3）∵∠C′EG=∠C′EF+∠GEF=32°+32°=64°，AC′∥BD′，
∴∠BGE=∠C′EG=64°，故本小题正确；
（4）∵∠BGE=64°，
∴∠CGF=∠BGE=64°，
∵DF∥CG，
∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-64°=116°，故本小题正确．
综上可知正确的有4个．
故选D．
4．（）（2022秋·河北石家庄·七年级期中）如图：AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①OF平分∠BOD；②∠POE＝∠BOF；③∠BOE＝70°；④∠POB＝2∠DOF，其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】根据AB∥CD可得∠BOD=∠ABO=40°，利用平角得到∠COB=140°，再根据角平分线的定义得到∠BOE=70°，则③正确；利用OP⊥CD，AB∥CD，∠ABO=40°，可得∠POB=50°，∠BOF=20°，∠FOD=20°，进而可得OF平分∠BOD，则①正确；由∠EOB=70°，∠POB=50°，∠POE=20°，由∠BOF=∠POF-∠POB=20°，进而可得∠POE=∠BOF，则②正确；由②可知∠POB=50°，∠FOD=20°，则④不正确．
【详解】③∵AB∥CD，
∴∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠COB=180°-40°=140°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COB=×140°=70°，
故③正确；
①∵OP⊥CD，
∴∠POD=90°，
又∵AB∥CD，
∴∠BPO=90°，
又∵∠ABO=40°，
∴∠POB=90°-40°=50°，
∴∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，
∠FOD=40°-20°=20°，
∴OF平分∠BOD，
故①正确；
②∵∠EOB=70°，∠POB=90°-40°=50°，
∴∠POE=70°-50°=20°，
又∵∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，
∴∠POE=∠BOF，
故②正确；
④由①可知∠POB=90°-40°=50°，
∠FOD=40°-20°=20°，
故∠POB≠2∠DOF，
故④不正确．
故结论正确的是①②③，
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中线段和角的关系，再进行解答．
【题型五】平行线性质在实际生活中的应用
【典题1】（2022秋·福建龙岩·七年级校考期中）如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A．右转B．左转C．右转D．左转
【详解】为了把方向调整到与出发时相一致，小明先转20°使其正面向北，再向北偏东转60°，即得到了与出发时一致的方向，所以，调整应是右转20°+60°=80°，
故选：A．
巩固练习
1()（2022秋·广东惠州·七年级校考期末）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为（ ）
A．先右转50°，后右转40°B．先右转50°，后左转40°
C．先右转50°，后左转130°D．先右转50°，后左转50°
【详解】解：两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，即转弯前与转弯后的道路是平行的，因而右转的角与左转的角应相等，理由是两直线平行，内错角相等．
故选D．
2．()（2022秋·吉林松原·七年级期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
【详解】过B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，
则CD∥BF∥AE，
∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案为：270．
3．()（2022秋·青海海东·七年级期中）如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连通管道的角度为，那么，为了使管道能够顺利对接，另一侧铺设的纵向连通管道与公路的角度为．________．
【详解】解：两侧铺设的角属于同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，可得另一侧的角度为180°-120°=60°，
【题型六】求平行线之间的距离
【典题1】（2022秋·湖南株洲·七年级期末）已知直线，点在上，点，，在上，且，，，则与之间的距离为（ ）
A．等于B．等于
C．等于D．小于或等于
【详解】解：∵直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm，
∴AB＜AC＜AD，
∴m与n之间的距离小于或等于4cm，
故选：D．
巩固练习
1()（2022春·湖北宜昌·八年级期中）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（ ）
A．AB∥PCB．△ABC的面积等于△BCP的面积
C．AC＝BPD．△ABC的周长等于△BCP的周长
【详解】解：AB不一定平行于PC，A不正确；
∵平行线间的距离处处相等，
∴△ABC的面积等于△BCP的面积，B正确；
AC不一定等于BP，C不正确；
△ABC的周长不一定等于△BCP的周长，D不正确，
故选：B．
2．()（2022秋·青海海东·八年级期中）如图，已知直线a // b // c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AB=2，AC=6，则平行线b、c之间的距离是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【详解】解：∵直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，
∴AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，
又∵AB=2，AC=6，
∴BC=62=4，
即直线b与直线c之间的距离为4．
故选：B．
3．()（2022秋·湖南娄底·七年级期末）如图，直线，，，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离（ ）
A．2cmB．3cmC．5cmD．7cm
【详解】解：由题意可知，，，，
则直线a与c的距离为5−2＝3（cm），
故选：B．
【题型七】铅笔头模型(解题方法：遇拐点作平行线)
【典题1】如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．80°B．120°
C．100°D．140°
【详解】解：过E作直线MN//AB，如下图所示，
∵MN//AB，
∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵，
∴
∵MN//AB，AB//CD，
∴MN//CD，
∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，
故选：C．
巩固练习
1()如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，

∵AB∥EF∥CD，
∴∠γ+∠FED=180°，
∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，
∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，
∴∠α+∠β+∠γ=360°，
故选：C．
2．()（2022秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
A．55°B．60°C．65°D．70°
【详解】解：
过点A作AB∥l1，
∵l1∥l2，
∴AB∥l1∥l2，
∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180，
∵∠1=105,∠2=140 ，
∴∠4=75,∠5=40，
∵∠4+∠5+∠3=180，
∴∠3=65.
故选：C.
3．()（2021秋·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
4()（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．
【详解】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°
∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°
②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，
∵AM∥CN，∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．
证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，
∴结合（1）问得：
所有角的和为（n+1）•180°．
【题型八】锯齿模型
【典题1】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．50°
【详解】解：作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，
∵∠1=30°，∠2=35°，
∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，
∴∠BCE=65°，
故选：B．

巩固练习
1()如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【详解】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,
∵CGAB,DHAB,
∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,
∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,
∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,
∴β=α+90°-γ．
故选：D．
2．()（2022秋·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若，，试猜想______°；
(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．
【解析】
（1）解：如图过点作，
∵，
∴．
∴，
．
∵，，
∴
∴．
∵，
∴∠P=80°．
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图过点作，
∵，
∴．
∴，
．
∴
∵，
．
（3）如图分别过点、点作、
∵，
∴．
∴，
，
．
∴
∵，
，
，
∴
∴
故答案为：．
3．()（2020秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）(1)问题发现：如图①，直线??//??，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE，CE，可以发现∠? +∠?= ∠???．
请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点 E 作??//??，
∵ ??//??(已知)，??//??(辅助线的作法)．
∴ ??//??( )．
∴ ∠? = ∠???( )
∵ ??//??，∴ ∠? = ∠???(同理)．
∴ ∠? + ∠? = (等量代换)
即∠? + ∠? = ∠???．
(2)拓展探究：如果点 E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠? + ∠? = 360°−∠???，请说明理由．
(3)解决问题：如图③，??//??，∠?=120°，∠???=80°，请直接写出∠?的度数．
【详解】解：（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C=∠CEF．（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B=∠BEF（同理），
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代换）
即∠B+∠C=∠BEC，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；
（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，
∴∠B+∠C+∠AEC=360°，
∴∠B+∠C=360°-∠BEC；
（3）解：如图③，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠BEF，
∵∠C=120°，∠AEC=80°，
∴∠CEF=180°-120°=60°，
∴∠BEF=80°-60°=20°，
∴∠A=∠AEF=20°．
故答案为：20°．