（人教版）初升高物理暑假预习3.4 力的合成和分解（讲义）（学生版+教师版）

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知识点1：共点力
1.定义
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。
2.共点力的几种情况
①共点力与非共点力
质量分布均匀的细杆放在光滑的半球形容器内，受到弹力F1、F2以及重力mg，三个力的作用点不在同一位置，但是力的作用线相交于同一点，所以F1、F2、mg三个力属于共点力。
②共点力的交点不一定在物体上，但在画物体的受力图时，一般把共点力的作用点平移到物体的重心.
③如果一个物体受多个力而处于静止状态或匀速直线运动状态，则其中任意一个力与其他几个力的合力等大反向，这是将多个力的问题转化成二力平衡问题的方法.
知识点2：合力和分力
1.合力和分力
假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力.假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力.
如图所示，F产生的作用效果与F1和F2共同产生的作用效果相同，所以F是F1和F2的合力，F1和F2是F的分力.
2.等效替代
等效：指合力与各分力总的作用效果相同.
替代：合力是几个分力的共同作用效果，并不是实际存在的单独的力，所以受力分析时合力与分力不能同时出现.
在受力分析时，应按物体的实际情况客观分析物体受几个力的作用，不能在受力分析时再加上合力.
知识点3：力的合成和分解
1.定义
在物理学中，我们把求几个力的合力的过程叫作力的合成，把求一个力的分力的过程叫作力的分解.
一个力的作用效果可以与多个力的作用效果相同，即多个力可以由一个力来替代，反过来，一个力也可以由多个力来替代.
力的分解是用几个力去替代一个已知的力，但是不改变这个力的作用效果.
两个分力与合力之间满足平行四边形定则，力的合成是以两个分力为邻边作平行四边形求对角线，而力的分解则是以一个已知的力为平行四边形的对角线求两个相邻的边.
①合力与分力
（1）把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代的关系，不能认为在这两个分力的方向上有两个施力物体.
（2）一个已知力和它的两个分力是同一性质的力，而且产生于同一个物体，作用于同一个物体。
②力的分解是力的合成的逆运算，在力的分解中，合力真实存在，分力不存在。
2.力的合成
（1）特点：
①力的合成是唯一的，即几个确定的分力的合力是唯一的.
②只有同一研究对象受到的力才能合成.
③不同性质的力也可以合成，因为合力与分力是作用效果上的一种替代.
（2）特例：
同一直线上的两个力的合成：设两个分力分别为F1和F2，当F1和F2方向相同时，F合=F1+F2，方向与这两个分力方向相同，如图甲所示;当F1和F2方向相反时，F合=IF1-F2I，方向与数值大的那个分力相同，如图乙所示.
合力不一定比分力大，如两个分力反向，合力等于两个分力之差，合力可能比每一个分力都小，也可能比其中一个分力小.
3.力的分解方法
（1）一个力可以分解为两个力，若没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力.也可以说，如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形，如图甲所示.我们也可以按照研究问题方便来进行分解，例如正交分解，是把一个力分解到互相垂直的两个方向上，如图乙所示.
（2）力的分解的一般根据力的作用效果分解，常将一个力沿着该力的两个作用效果方向进行分解，画出力的平行四边形，根据几何关系求解分力的大小和方向，解题常用思路为
（3）常见的按效果分解的实例
①接触面：分力垂直于接触面或沿接触面.
a.力F一方面使物体沿接触面前进，另一方面增大了物体对接触面的压力，因此力F可分解为水平向前的力F1和竖直向下的力F2。
b.物体的重力产生两个作用效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力G1;二是使物体压紧斜面的分力G2。G1=Gsin θ，G2=Gcs θ。
c.球的重力产生两个作用效果：一是使球压紧挡板的分力G1;二是使球压紧斜面的分力G2。G1=Gtan θ，G2=G/cs θ。
d、e.两个分力分别垂直于劈的两个侧面.重力可忽略不计的尖劈嵌入到木块里，作用在尖劈上的力F产生两个作用效果：一是使劈的左侧面压紧木块的分力F1;二是使劈的右侧面压紧木块的分力 F2。
②绳：其中一个分力沿绳并指向绳伸长的方向
f.球的重力产生两个作用效果∶一是使球压紧竖直墙壁的分力F1;二是使球拉紧悬绳的分力F2.F1=mgtanα，F2=mg/csα。
g.A、B两点位于同一平面内，质量为m的物体被a、b两绳拉住，其重力产生两个效果∶一是使物体拉紧a绳的分力Fa;二是使物体拉紧b绳的分力Fb。Fa=Fb=mg/2csα。
h.质量为m的物体通过竖直吊绳对O点的拉力F=mg产生两个作用效果：一是拉紧0A绳的分力F1;二是拉紧OB绳的分力F2.F1=mgtanα，F2=mg/csα。
③轻杆：力对轻杆的作用效果不一定沿杆方向，不带铰链时，轻杆的弹力方向可沿杆，也可不沿杆，对于处于平衡状态的物体常根据二力平衡来判断，带较链时，用铰链连接的两个物体或其中一个物体，能绕着铰链的转轴转动.轻杆的弹力方向一定沿杆。
i.质量为m的物体被支架悬挂而静止，悬绳的拉力产生的两个效果：一是沿绳AB方
向紧绳的分力F1;二是压缩杆的分力F2.F1=mg/sinα，F2=mg/tanα。
j.质量为m的物体被支架悬挂而静止，其中OA为轻杆，A端固定在墙壁上，OB、OC为两根轻绳，其中一端都固定在O点，另外一端分别固定在墙壁上和悬挂重物m，此时杆OA上的弹力可能沿杆的方向，也可能不沿杆的方向，这个弹力的大小和方向是由OB、OC两根绳子的拉力共同决定的.图中只是画出了一种可能的情况，拉绳OB 的分力F1，和压杆OA的弹力 F2。
①将一个力分解为两个分力，仅是一种等效替代，不能改变力的性质以及受力物体.力的分解实例b中，G2是重力G的一个分力，它的作用效果是使物体压紧斜面.不能说G2是物体对斜面的压力，这样的说法表示G2的性质是弹力，受力物体是斜面，这是错误的!
②解答有关滑轮问题的注意事项
绳跨过滑轮时，两段绳上拉力的大小相等，而如果绳是打结固定的，则不同段绳上力的大小不一定相同.（1）连接处为挂钩、光滑的圆木棒或圆柱体均等效为滑轮，只改变力的方向，不改变力的大小.（2）结点和滑轮是有明显区别的，绳上力的大小并不像过滑轮绳中的力那样相等，需要利用平行四边形定则解答.
【典例1】下列说法正确的是（ ）
A．两个共点力共同作用的效果与其合力单独作用的效果相同
B．合力作用的效果与物体受到的每一个力的作用效果都相同
C．把物体受到的几个力的合力求出后，则物体只受一个力
D．性质不同的力可以合成，作用在不同物体上的力也可以合成
【答案】A
【详解】AB．根据力的等效性原理，两个共点力共同作用的效果与其合力单独作用的效果相同，选项A正确，选项B错误；
C．把物体受到的几个力的合力求出后，物体仍受多个力，只是这几个力的作用效果与合力相同，选项C错误；
D．性质不同的力可以合成，作用在不同物体上的力不可以合成，选项D错误。
故选A。
【典例2】两个力和的夹角为，两力的合力为，以下说法正确的是（ ）
A．若大于，则一定小于
B．合力的方向可能垂直于，也可能垂直于
C．如果和的大小不变，只要角增大，合力就一定增大
D．如果角和的大小不变，只要增大，合力就一定增大
【答案】B
【详解】A．合力可能比两个分力都大，A错误；
B．合力的方向可能垂直于，也可能垂直于，B正确；
C．如果和的大小不变，只要角增大，合力就一定减小，C错误；
D．如果角和的大小不变，当为钝角时，增大，合力会减小，D错误。
故选B。
【典例3】如图所示，光滑斜面的倾角为，有两个相同的小球分别被光滑挡板挡住。挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，斜面受到a、b两小球的压力大小之比是多少（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图1所示，球的重力作用效果，是同时挤压斜面和挡板，则重力的两个分力方向分别垂直斜面和挡板。
由图1可得斜面受到的压力大小为
如图2所示，斜面受到的压力大小为
故
即两挡板受到小球的压力大小之比为。
故选A。
【典例4】如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为、两个力，下列结论正确的是（ ）
A．是斜面作用在物体上使物体下滑的力，是物体对斜面的正压力
B．物体受mg、、、四个力作用
C．物体受重力mg、弹力和摩擦力作用
D．、、三个力的作用效果跟mg、两个力的作用效果相同
【答案】D
【详解】斜面光滑，则物体受重力mg、和弹力作用，、只是重力的两个分力，其作用效果与mg相同，即、、三个力的作用效果跟mg、两个力的作用效果相同，的作用效果是使物体下滑，作用效果是物体对斜面产生正压力，故选项ABC错误，D正确。
故选D。
知识点4：探究求合力的方法
1.实验原理
根据等效替代法，将橡皮条的一端固定，另一端用两个力F1、F2使其伸长一定长度，再用一个力F作用于橡皮条的同一端，使其沿相同方向伸长同样的长度，那么F与F1、F2共同的作用效果相同;若记下F1、F2的大小和方向，画出各个力的图示，就可以研究 F与F1、F2的关系
2.实验步骤
（1）钉白纸：用图钉把白纸钉在放在水平桌面上的方木板上.
（2）拴绳套：用图钉把橡皮条的一端固定在A点，橡皮条的另一端拴上两个细绳套.
（3）用两个力拉：用两只弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条的结点到某一位置O，用铅笔记下两细绳套的方向，按选定的标度作出这两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边用刻度尺作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线即为合力F的方向，用力的图示表示出F。
（4）用一个力拉：只用一只弹簧测力计钩住细绳套把橡皮条的结点拉到同样的位置O，记下弹簧测力计的读数和细细套的方向，用刻度尺从 O点按同一标度沿记录的方向作出这只弹簧测力计的拉力F'的图示.
（5）比较力F'与用平行四边形定则作出的合力F在大小和方向上是否相同.
（6）改变两个力F1与F2的大小和夹角，再重复实验两次.
3.实验结论
F'和对角线F在误差允许的范围内重合说明两个力合成时，用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线所代表的力与合力的大小和方向是相同的。
实验注意事项
（1）在同一次实验中，使橡皮条拉长时，结点O的位置一定要相同.
（2）用两只弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，夹角不宜太大也不宜太小，在合适范围内适当大些.
（3）读数时应注意使弹簧测力计与木板平行，并使细绳套与弹簧测力计的轴线在同一条直线上，避免弹簧测力计的外壳与弹簧测力计的限位卡之间有摩擦.在眼睛能正视弹簧刻度的前提下，拉力的数值应尽量大些。
（4）在记录细绳套方同时，应在白纸上与细绳套末端所对应的位置用铅笔画一个点，去掉细绳套后，再将所标点与O点连接，即可确定力的方向.
知识点5：平行四边形定则
1.定义
求两个力的合成，如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图所示.这个规律叫作平行四边形定则.平行四边形定则适用于一切矢量合成，如速度v、加速度a、位移x、作用力F等。
2.矢量三角形
两个共点力首尾相接，从一个力的始端指向另一个力的末端的有向线段就是两个力的合力.
3.互成角度的两个力的合成
（1）作图法
①根据两个力的大小和方向，用力的图示法，从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1、F2。
②以F1、F2为邻边作平行四边形，从而得到F1、F2之间的对角线.
③根据表示分力的标度去度量该对角线，对角线的长度就表示合力的大小，通过对角线与某一分力的夹角可以表示出合力的方向.
④当分力的个数多于两个时，可先求出任意两个分力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最终求得所有分力的合力.
①多个力的合成
如图甲所示，质点O受F1、F2、F3、F4 四个共点力作用，求这四个力的合力;如图乙所示，先求出F1、F2的合力F12，再把F12与F3合成为F123，最后把F123与F4合成为F1234，则F1234为这四个力的合力.
②作图法注意事项
（1）合力、分力的比例要一致，标度选取要适当。
（2）实线表示力，虚线表示连线.表示分力与合力的两条邻边和对角线画实线，并加上箭头，另外两边画虚线。
（3）用平行四边形定则不但可以求出合力的大小，还可以求出其方向.
③求多个力合成有几种巧妙的方法
（1）巧用分组：同一直线上的力优先分为一组，再对各力进行合成.
（2）巧用特殊角：比如120°、60°等.
（3）巧用对称：利用力的对称性，找出它们之间夹角的关系和分力的关系，能抵消就抵消.
（2）计算法
①相互垂直的两个力的合成如图甲所示，由几何关系得，合力的大小，与F1间的夹角θ满足tanθ=F2/F1。
②夹角为120°的两等大的力的合成如图乙所示.由几何关系得，对角线将画出的平行四边形分为两个等边三角形，所以合力的大小与分力等大，与每个分力的夹角均为60°。
③夹角为θ的相同大小的两个力的合成，如图丙所示.由几何关系可知，作出的平行四边形为菱形，其对角线相互垂直且平分，则合力大小，与F1间的夹角为.例如θ=60°时，。
④根据平行四边形定则作出示意图，然后根据正、余弦定理和三角函数等几何知识计算合力.若两个分力的大小分别为F1、F2，它们之间的夹角为θ，由平行四边形定则作出它们的合力示意图如图丁所示，则合力的大小，合力的方向，为合力F与F2之间的夹角。
①3个互成120°夹角的大小相等的力合力为零。
②力是矢量，在求合力时，要同时求解合力的大小和方向。
知识点6：矢量相加法则
一切矢量加减运算均遵循平行四边形定则或三角形定则.矢量运算是大小和方向同时参与的运算.三角形定则与平行四边形定则的实质是一样的，都是矢量运算法则的表述方式.
（1）平行四边形定则在位移运算中的应用. 例如，人从A到B，再到C的过程，总位移与两段位移的关系，如图甲所示
（2）三角形定则：把两个矢量首尾连接求出合矢量的方法.例如，某时刻一个物体的速度为v1，一小段时间内速度发生了变化，变为v2，变化量△v如图乙所示。
【典例1】在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如甲图为斧子把木头劈开的图，已知两个侧面之间的夹角为，斧子对木头施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力、，由乙图可得下列关系正确的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】选斧子为研究对象，斧子对木头施加一个向下的力F，其作用效果与沿斧子的斜面垂直向下方向分解的分力和的作用效果是相同的，力F的分解如图：
则：，
因此有：，故A正确，B,C,D错误；故选A．
【点睛】对力进行分解时，一定要分清力的实际作用效果的方向如何，再根据平行四边形定则或三角形定则进行分解即可．
【典例2】2021年8月2日，中国队选手刘洋获得东京奥林匹克金牌，吊环项目中有一个高难度的动作，体操运动员先用双手撑住吊环（设开始时两绳间距与肩同宽），然后身体下移，双臂缓慢张开到如图所示位置。若吊环的两根绳的拉力大小相等，则在两手之间的距离缓慢增大的过程中，拉力及其合力的大小变化情况为（ ）
A．增大，不变B．增大，增大
C．增大，减小D．减小，不变
【答案】A
【详解】对人受力分析：人受到重力、两绳的拉力，由平衡条件可知，两绳拉力的合力与人的重力大小相等，人的重力不变，所以它们的合力F不变。在两手之间的距离缓慢增大的过程中，两绳之间的夹角变大，而两绳拉力的合力不变，两个拉力T都要增大。
故选A。
【典例3】在做“科学探究：力的合成”实验时：
（1）除已有的器材（方木板、白纸、弹簧测力计、细绳、刻度尺、图钉和铅笔）外，还必须有___________和___________。
（2）要使每次合力与分力产生相同的效果，必须________。
A．每次将橡皮条拉到同样的位置
B．每次把橡皮条拉直
C．每次准确读出弹簧测力计的示数
D．每次记准细绳的方向
（3）为了提高实验的准确性，减小误差，实验中应注意些什么_______？
（4）在“探究求合力的方法”实验中，某同学的实验结果如图所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳结点的位置。图中___________是力F1与F2的合力的理论值；___________是力F1与F2的合力的实验值。通过把___________和___________进行比较，验证平行四边形定则。

【答案】 橡皮条 三角板 A ①选用弹性小的细绳；②橡皮条、细绳和弹簧测力计的轴应在同一平面上，且与板面平行贴近等。 F F′ F F′
【详解】（1）[1][2]做探究共点力合成的规律实验：我们是让两个力拉橡皮条和一个力拉橡皮条产生的作用效果相同，测出两个力的大小和方向以及一个力的大小和方向，用力的图示画出这三个力，用平行四边形做出两个力的合力的理论值，和那一个力进行比较。所以我们需要的实验器材有：方木板（固定白纸），白纸（记录方向画图）、刻度尺（选标度）、绳套（弹簧秤拉橡皮条）、弹簧测力计（测力的大小）、图钉（固定白纸）、三角板（画平行四边形），橡皮筋（让力产生相同的作用效果的），所以还需要橡皮筋和三角板。
（2）[3]要使每次合力与分力产生相同的效果，每次将橡皮条拉到同样的位置，即用一个力与用两个力的作用效果相同，故选A。
（3）[4]实验中应注意：①选用弹性小的细绳；②橡皮条、细绳和弹簧测力计的轴应在同一平面上，且与板面平行贴近等。
（4）[5][6][7][8]在本实验中，按照平行四边形定则作出的合力F为F1与F2的合力的理论值，而用一个弹簧测力计拉时测出的力F′为F1与F2的合力的实验值。比较F与F′的大小和方向，即可验证平行四边形定则。
【典例4】表面光滑，质量不计的尖劈插在缝A、B之间。在尖劈背上加一压力F，如图所示，则尖劈对A侧的压力为多少？对B侧的压力为多少？
尖劈
【答案】，
【详解】将力F按作用效果，可沿垂直尖劈的两个侧面分解，如图所示，由图可得
由牛顿第三定律可知，尖劈对A、B两侧的压力分别为、。
重难点1：合力范围的确定
1.两个共点力的合力范围
F1、F2的合力范围为IF1-F2I≤F≤F1＋F2，即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小.当两个力反向时，合力最小，为IF1-F2I;当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。
2.三个共点力的合力范围
先将F1、F2合成为F'，再将F'与F3合成，Fmax=F1+F2+F3.
（1）若F3的大小在0～F'的范围之内，合力F的最小值为零，也可以利用矢量三角形判断，若三个力可以构成一个封闭三角形，合力F的最小值为零.
（2）若F3的大小不在0～F'的范围内，设F1≤F2≤F3，则Fmin=IF3-(F1＋F2)I。
（1）合力大小可以大于、等于或小于分力的大小;
（2）两个分力大小一定时，夹角越大，合力越小;
（3）合力一定，若两分力大小相等，则两等大分力的夹角越大，分力越大。
【典例1】下面关于合力和分力关系的叙述中，正确的是（ ）
A．两个力的合力一定大于其中任意一个分力
B．3N、6N、7N三个共点力的合力的最小值为2N
C．两个分力的大小不变，夹角在0~180°之间变化，夹角越大，其合力越小
D．两个分力F1和F2的夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就一定增大
【答案】C
【详解】A．不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，故合力可能大于、小于或等于任意一个分力，故A错误；
B．3N、6N合力范围为3~9N，7N在范围内，所以三力合力最小值为0，故B错误；
C．根据平行四边形定则，两个共点力的夹角在0~180°之间，其合力随两力夹角的增大而减小，故C正确；
D．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，当F2与F1反向时且F1大于F2，则合力F会减小，故D错误。
故选C。
【典例2】下列选项中三个共点力的合力可能为零的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【详解】A．与合成时，合力最大为，最小为，不可能为，故三个力合力不可能为零，故A错误；
B．与合成时，合力最大为，最小为，可以为，故三个力合力可能为零，故B正确；
C．与合成时，合力最大为，最小为，不可能为，故三个力合力不可能为零，故C错误；
D．与合成时，合力最大为，最小为，不可能为，故三个力合力不可能为零，故D错误。
故选B。
【典例3】两个力F1和F2之间的夹角为θ，其合力为F。以下说法正确的是（ ）
A．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．若F1和F2大小不变，θ角减小，合力F一定增大
C．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小
D．若F1和F2大小不变，合力F与θ的关系图像如图所示，则任意改变这两个分力的夹角，能得到的合力大小的变化范围是
【答案】BC
【详解】A．合力F的取值范围是
所以合力F不一定总比力F和F中的任何一个都大，故A错误；
B．根据余弦定理可得合力大小为
θ角越小，则合力F就越大，故B正确；
C．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，若θ为钝角，则有可能有如图所示的情况
，故C正确；
D．由图像得，当θ=180°时，，即
当θ=90°时，，即
解得
或
故，D错误。
故选BC。
重难点2： 力的分解中定解条件的讨论
1.力的分解中解的情况
力分解时有时有解，有时无解，关键是看表示合力的对角线与给定的分力的有向线段是否能够构成平行四边形（或三角形）.若能，说明合力能分解成给定的分力，则有解;若不能，说明合力不能分解成给定的分力，则无解.具体有以下几种情况∶
2.由力的三角形定则求力的最小值
（1）当已知合力F及一个分力F1的方向时，另一个分力F2最小的条件是两个分力垂直，如图甲所示，最小值F2=Fsin α。
（2）当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2最小的条件是分力F2与合力F垂直，如图乙所示，最小值F2=F1sin α。
（3）当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2最小的条件是已知大小的分力F1与合力F同方向，最小值F2=IF-F1I。
【典例1】如图所示，力F作用于物体的O点，现要使作用在物体上的合力沿OO′方向，需再施加一个力F1，则 F1的最小值的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】要使合力沿着OO′方向，根据平行四边形定则画图可以判断出当未知力垂直于OO′时，最小，如图
由几何关系，得到
故选B。
【典例2】如图所示，将一个已知力F分解为F1、F2，已知F=1N，F1与F的夹角为37°，则F2的大小不可能是（sin37°=0.6，cs37°=0.8）（ ）
A．0.5NB．1NC．1.5ND．100N
【答案】A
【详解】根据平行四边形法则可知，合力和分力构成一个三角形当与方向垂直时，此时有最小值，为
分析可得没有最大值，所以的范围为
故选A。
【典例3】如图所示，力F竖直向下作用于物体的O点，要使物体所受合力的方向沿OO1方向，且与竖直方向成60°角，那么必须同时再加一个力F′，这个力的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】要使合力沿OO′方向，可有多个合适的F′，当F′与OO′垂直时，所加的力F′为最小，故
故选C。
【典例4】如图所示，将一个的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力的方向与F成30°角，则下列说法正确的是（ ）
A．另一分力的方向可能与F平行B．另一分力的大小可能小于10N
C．的大小不可能小于5N D．另一分力的方向与的方向垂直时，最小
【答案】D
【详解】A. 合力和两个分力构成了力的矢量三角形，如图所示
不为零，由图可知的方向不可能与F平行，故A错误；
BD. 当和垂直时，最小
故的大小不可能小于10N，故B错误，D正确；
C. 先减小后增大，从零开始（不含零）一直增大，的大小可能小于5N，故C错误。
故选D。
【典例5】如图，将力（大小、方向已知）分解为两个分力和，已知和F的夹角，，。关于分力以下说法正确的是（ ）
A．当时，有唯一解B．当时，有两个解
C．当时，有两个解D．当时，有唯一解
【答案】CD
【详解】力的示意图如图所示：
当时，分力和合力不能构成三角形，无解；
当时，两分力和合力恰好构成直角三角形，有唯一解；
当时，根据平行四边形定则，有两组解；
若时，只有一组解。
故选CD。
【典例6】已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是（ ）
A．FB．F
C．FD．F
【答案】AC
【详解】根据题意作出矢量三角形如图所示
由于
F＞Fsin30°
从图中可看出，F1有两个解，在直角三角形OAD中有
F=Fcs30°=F
在直角三角形ABD中有
F==F
由对称性可知
F=F=F
则分力
F1=F－F=F，F1′=F＋F=F
故选AC。
重难点3 ：力的三角形定和多边形定则
1.图甲是利用平行四边形定则将两个力F1、F2合成为F 的合成图，将F2平移至对面的边，可演变为利用三角形定则的合成图，即将两分力F1、F2首尾依次相接，则由F1无箭头一端指向F2有箭头一端的有向线段所表示的力就是F。
2.如果是多个力合成，由三角形定则推广可得到多边形定则.以点O为起点，将多个力顺次首尾相接作力的图示，然后由点0指向最后一个力的有箭头一端的有向线段即为要求的合力，如图乙、丙所示为三个力F1、F2、F3的合成图，F为其合力。
3.当一个物体仅受三个力的作用且合力为零时，这三个力依次首尾相连，可构成一个封闭的三角形，如图丁所示.
【典例1】下列各图中三角形的三边各代表一个力，以下说法中正确的是（ ）
①. ②.
③. ④.
A．图①中三个力的合力为零
B．图②中三个力的合力为2F3
C．图③中三个力的合力为2F1
D．图④中三个力的合力为2F2
【答案】C
【详解】根据三角形定则可知：
①中F1和F2的合力为F3，故三力合力为2F3；
②中F1和F3的合力为F2，故三力合力为2F2；
③中F2和F3的合力为F1，故三力合力为2F1
④中F1和F2的合力为-F3，故三力合力为0，故选项ABD错误，选项C正确．
【点睛】本题考查三角形定则：两分力与合力首尾相连，构成封闭的矢量三角形，合力为零．
【典例2】如图，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知，则这五个力的合力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解法一：利用平行四边形定则，如图所示
最大力为，根据平行四边形定则，与的合力为，与的合力为，这五个力的合力为3倍的，已知，根据几何关系可知
所以合力的大小为
故选D。
解法二：利用三角形定则，如图所示
将力、平移到与、与的首端之间，、的合力等于，、的合力等于，由几何关系可知
故这五个力的合力大小为
故选D。
解法三：利用对称法，如图所示
由对称性，和的夹角为，，则合力在其夹角的平分线上，合力的大小等于其分力的大小，故力和的合力
同理，和的合力也在其夹角的平分线上，由图中几何关系可知
故这五个力的合力为
故选D。
解法四：利用正交分解法，建立如图所示的正交坐标系
将正交分解，在y轴方向合力为零，故这五个力的合力等于在x轴方向的合力
再由图中几何关系有
故这五个力的合力为
故选D。
【典例3】如图所示，F1、F2、F3恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力大小为零的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】A．根据平行四边形定则可知，选项A中F2和F1构成的平行四边形的对角线正好和F3重合，即合力的大小为F3，方向与F3同向，则F1、F2、F3三个力的合力为2F3；A错误；
B．根据平行四边形定则可知，选项B中F2和F1构成的平行四边形的对角线正好和F3等大反向， F1、F2、F3三个力的合力为0；B正确；
C．根据平行四边形定则可知，选项A中F3和F1构成的平行四边形的对角线正好和F2重合，即合力的大小为F2，方向与F2同向，则F1、F2、F3三个力的合力为2 F2；C错误；
D．根据平行四边形定则可知，选项A中F3和F2构成的平行四边形的对角线正好和F2重合，即合力的大小为F1，方向与F1同向，则F1、F2、F3三个力的合力为2 F1；D错误；
故选B。
【典例4】某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中（坐标纸中每格边长表示1 N 大小的力），该物体所受的合力最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】A中，F1和F3的合力为水平向左3N，再跟F2的合力为5N；B中F1和F3的合力为竖直向上3N，再跟F2的合力为5N；C中F2和F3的合力为水平向左3N，再跟F1的合力为6N；D中三力首尾相接，合力为0。
故选C。
要点4：求合力的常用方法———正交分解法
1.定义
把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解叫力的正交分解，在多个共点力作用下，运用正交分解法的目的是用代数运算来解决矢量运算问题.在力的正交分解过程中，分解的目的是求合力，尤其适用于物体受到多个力的情况。
2.坐标轴的选取原则
原则上，坐标轴的选取是任意的，为使研究问题方便，具体问题中一般使更多的力落在坐标轴上，减少需要分解的力的个数。
3.力的正交分解法的步骤
求三个或三个以上力的合力时，常选用正交分解的方法.
【典例1】如图所示，一个物体在平面直角坐标系xOy的坐标原点，只受到和的作用，，，则物体的合力（ ）
A．方向沿B．方向沿
C．大小等于D．大小等于
【答案】B
【详解】根据题意，把分解到轴和轴，如图所示
则物体在轴上的合力为
物体在轴上的合力为
则物体受到合力为
方向沿方向。
故选B。
【典例2】如图所示，水平地面上质量为m的物体，在推力F作用下向右运动。已知sin37°=0.6，cs37°=0.8，木块与地面间的动摩擦因数为μ，木块受到的摩擦力为（ ）
A．FB．0.6FC．μ（mg+0.6F）D．mg
【答案】C
【详解】由于物体向右运动，所以物体受到的摩擦力为滑动摩擦力，即
在竖直方向上，有
联立可得
故选C。
【典例3】在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19N、40N、30N和6N，方向如图所示，求它们的合力。（sin＝0.6，cs＝0.8）

【答案】合力大小45N，方向与x轴正方向夹角为
【详解】利用正交分解求合力，如图所示，由图可得：在x轴方向

在y轴方向
解得合力为
设合力方向与x轴正方向夹角为θ，则有
解得
重难点5：活结和死结模型
结点模型可分为活结（滑轮）和死结模型，这两种模型经常考查，均可以用共点力平衡知识进行处理。
1.活结是由绳子跨过光滑滑轮、绳子跨过光滑钉子（挂钩）的组合模型，绳子跨过光滑的滑轮，看起来是两根绳子，实际上仍为同一根绳子，张力大小处处相等，如图甲所示，图乙为图甲的拓展模型。
2.如果是绳子系在另一根绳子上或系在某点时为"死结"，此时几段绳子不是同一根绳子，每段的张力大小可以不相等，如图丙所示。
活结模型特点如下∶
（1）两绳中拉力T相等，2Tsinθ=G，其中θ为绳与水平方向的夹角。
（2）两边绳与水平方向的夹角相等，均为θ。
（3）设两端点A、B的水平距离为d，绳长为l，则cs θ=d/l。
【典例1】如图所示，一定质量的物体通过轻绳悬挂，结点为O，人沿水平方向拉着OB绳，物体和人均处于静止状态。若人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，下列说法正确的是（ ）
A．OA绳中的拉力增大B．OB绳中的拉力不变
C．人对地面的压力逐渐减小D．地面给人的摩擦力逐渐增大
【答案】AD
【详解】将重物的重力进行分解，当人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，则OA与竖直方向夹角变大，OA的拉力由图中1位置变到2位置，可见OA绳子拉力变大，OB 绳拉力逐渐变大；OA拉力变大，则绳子拉力水平方向分力变大，根据平衡条件知地面给人的摩擦力逐渐增大；人对地面的压力始终等于人的重力，保持不变。
故选AD。
【典例2】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态，如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（ ）
A．绳的右端上移到b，，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力不变
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服则衣架悬挂点右移
【答案】A
【详解】设两段绳子间的夹角为，由平衡条件可知，
所以
设绳子总长为，两杆间距离为，由几何关系
得
A．绳子右端上移，、都不变，不变，绳子张力也不变，故A正确；
B．杆向右移动一些，变大，变大，变小，变大，故B错误；
C．绳子两端高度差变化，不影响和，所以不变，故C错误；
D．衣服质量增加，绳子上的拉力增加，由于不会变化，悬挂点不会右移，故D错误。
故选A。
【典例3】图甲中水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10kg的重物，∠CBA＝30°；图乙中轻杆通过细绳MN和铰链固定在竖直的墙上，在N端同样挂上质量m＝10kg的重物，细绳与水平轻杆ON的夹角θ＝30°，g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中绳对滑轮作用力方向水平向左
B．图甲中滑轮受到绳子的作用力大小为100N
C．图乙中轻杆受到的压力大小为200N
D．图乙中细绳MN的拉力为100N
【答案】B
【详解】AB．对图甲中轻绳的B点受力分析，滑轮受到绳子的作用力应为图中滑轮下端和滑轮上端两段绳中拉力F1和F2的合力F，因同一根绳上张力大小处处相等，都等于物体的重力，即
由于拉力F1和F2的夹角为120°，则由平行四边形定则得F＝100N，所以滑轮受绳的作用力大小为100N，方向与水平方向成30°角，斜向左下方，故A错误，B正确；
CD．对图乙中N点进行受力分析，N点受到重物的拉力F3和轻绳上端细绳的拉力F4以及轻杆的支持力F5的共同作用，由于重物静止，则有
根据平衡条件得
解得
根据牛顿第三定律得，轻杆受到的压力，故CD错误。
故选B。
【典例4】轻杆的一端安装有一个小滑轮P，用手握住杆的另一端支持着悬挂重物的绳子，如图所示．现保持滑轮的位置不变，使杆向下转动一个角度到虚线位置，则下列关于杆对滑轮P的作用力的判断正确的是( )
A．变大B．不变C．变小D．无法确定
【答案】B
【详解】试题分析：据题意，保持滑轮的位置不变，处于静止状态，其合力为零，重物也静止，则知绳子的拉力大小始终等于重物的重力大小，保持不变，两绳的夹角也不变，故析两绳拉力的合力保持不变．使杆向下转动一个角度到虚线位置的过程中，根据平衡条件知，杆对滑轮P的作用力与两绳拉力的合力大小相等、方向相反，所以杆对滑轮P的作用力保持不变．故B正确，ACD错误．
考点：考查了共点力平衡条件，力的合成与分解
一、单选题
1．关于两个共点力的合力与两个分力的关系，下列说法正确的是（ ）
A．两个力的合力总是大于这两个力中的任意一个力
B．两个力的合力的方向总是沿着两个分力夹角的角平分线方向
C．两个力合成，保持两个分力夹角和一个分力大小不变时，另一个分力增大，合力必增大
D．两个分力的大小不变，夹角在0～180°之间变化，夹角越大，其合力越小
【答案】D
【详解】A．两个力的合力可以大于、等于或小于分力，故A错误；
B．根据平行四边形定则可知，两个力的合力的方向总是沿着这两个力所构成平行四边形的对角线方向，但不一定是分力夹角的角平分线方向，故B错误；
C．当两个力在同一直线上，且夹角为180°时，保持两个分力夹角和一个分力大小不变时，另一个分力增大，则二者的合力有可能减小，故C错误；
D．两个分力的大小不变，夹角在0～180°之间变化，夹角越大，根据平行四边形定则可知其合力越小，故D正确。
故选D。
2．物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示。其中F5大小为10N，方向水平向右。若撤去力F5，保持其余四个力不变，此时的合力为F；若将F5转过120°，此时的合力为F'，则F与F'大小之比为（ ）
A．1∶1B．1:2C．1:3D．1∶2
【答案】C
【详解】根据共点力的平衡条件可知其余四个力的合力定与F5等大反向，若撤去力F5，保持其余四个力不变，此时的合力为
F=F5
若将F5转过120°，此时的合力为
F'=3F5
则F与F'大小之比为1:3。
故选C。
3．分别表示F1 ，… ，F5五个力的有向线段构成如图所示的几何图形．已知F5 = 5 N ，水平向左．则这五个力的合力为 ( )
A．5 N ，向左B．5 N ，向右
C．10 N ，向右D．15 N ，向左
【答案】B
【详解】根据矢量合成的法则可知，F1和F2的合力与F5等大反向；F3和F4的合力与F5等大反向；则这五个力的合力大小等于F5=5N，方向与F5反向，故选B.
4．作用在同一物体上的三个共点力，F1=10N，F2=2N，F3=6N，若它们之间的夹角是任意的，那么下列数值哪些可能是它们的合力（ ）
A．20 NB．3 NC．1 ND．0 N
【答案】B
【详解】F1=10N，F2=2N，F3=6N，三个力最大值等于三个力之和，即
10N+2N+6N=18N
F1、F2两个力的合力最大为12N，最小为8N，F3=6N不在F1、F2两个力的合力范围内，所以三个力最小值为
10N-2N-6N=2N
则三力的合力范围为2~18N。
故选B。
5．如图所示，一质量为0.8kg的木块放在水平面上，向左运动，受到一个与水平面成30°的拉力F＝8N作用，木块与地面的动摩擦系数是0.5，则下列说法正确的是（ ）
A．物体受到的弹力大小是8N
B．摩擦力大小为43N，方向向右
C．合力大小是8N
D．摩擦力大小是2N，方向向右
【答案】D
【详解】A．对木块进行受力分析
根据力的合成与分解，竖直方向
N+Fsin30°=mg
整理，代入数据
N＝mg−Fsin30°=8N−4N＝4N
A错误；
BD．因为
f=μN
解得
f＝μN=0.5×4N＝2N
方向：水平向右，B错误，D正确；
C．水平方向
F合=f+Fcs30°
代入数据，解得
F合=2N＋8×32N＝2＋43（N）
C错误。
故选D。
6．如下图所示，一个“Y”字形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条均匀且弹性良好，其自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮（长度不计）做成裹片可将弹丸发射出去．若橡皮条的弹力满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L（弹性限度内），则弹丸被发射过程中所受的最大弹力为（ ）
A．152kLB．32kLC．154kLD．2kL
【答案】A
【详解】根据胡克定律可知，每根橡皮条的弹力大小为
F1=kx=k(2L−L)=kL
设此时两根橡皮条的夹角为θ，根据几何关系可得
sinθ2=12L2L=14
则
csθ2=154
根据平行四边形定则可知，弹丸被发射过程中所受的最大弹力大小为
F=2F1csθ2=152kL
故选A。
7．射箭是奥运会比赛项目之一，如图甲为运动员射箭的场景。已知弓的顶部跨度为l，弦均匀且弹性良好，其自由长度为l。发射时弦和箭可等效为图乙，假设弓的跨度保持不变，即箭在弦的正中间，弦夹在类似动滑轮的附加装置上，将箭发射出去。已知弦的劲度系数为k，发射箭时弦的最大长度为53l（弹性限度内），则箭被发射瞬间所受的最大弹力为（设弦的弹力满足胡克定律）（ ）
A．klB．1615klC．3klD．2kl
【答案】B
【详解】弦的张力
F=k53l−l=23kl
由力的合成得弦对箭的作用力
F′＝2Fcsθ
又
sinθ=l256l=35（θ为箭与弦的夹角）
解得
F'=1615kl
故选B。
二、多选题
8．小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是（ ）
A．当θ为120°时，F=G
B．不管θ为何值，均有F=G2
C．当θ=0时，F=G2
D．θ越大时，F越小
【答案】AC
【详解】ABC．根据题意可知，两分力相等，由力的合成可知，θ=120°时有
F=F合=G
θ=0时
F=12F合=12G
故AC正确，B错误。
D．由平行四边形法则可知，在合力一定时，θ越大，分力越大，故D错误。
故选AC。
9．将已知力F分解为F1、F2两个分力，若已知F1的大小及F2与F的夹角θ（为锐角），则（ ）
A．当F1>Fsinθ时，一定有两组解
B．当F1＜Fsinθ时，一定有两组解
C．当F1=Fsinθ时，一定有唯一解
D．当F1＜Fsinθ时，一定无解
【答案】CD
【详解】A．根据平行四边形定则，如图
当F＞F1＞Fsinθ时，有两组解；当F1≥F时，则只有一组解。故A错误；
BD．F1＜Fsinθ时，分力和合力不能构成三角形，无解，故B错误，D正确；
C．当F1=Fsinθ时，两分力和合力恰好构成三角形，有唯一解，故C正确。
故选CD。
三、实验题
10．“研究共点力的合成”的实验情况如图所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳，完成下列问题：
（1）实验中需注意的事项有______（填选项字母）
A．两个分力F1、F2大小必须保持一致
B．两个分力F1、F2间夹角必须保持120°
C．将橡皮筋拉至结点O时，拉力要适当大些
D．拉橡皮筋时，弹簧测力计、橡皮条、细绳应贴近木板且与木板平面平行
（2）某次实验中，弹簧测力计的指针位置如图所示。其中，细绳BO对O点的拉力大小为______N。
（3）本实验采用的科学方法是______（填选项字母）
A．理想实验法 B．控制变量法 C．建立物理模型法 D．等效替代法。
【答案】 CD/DC 3.20 D
【详解】（1）[1]A．实验时，只需要确保两个拉力均在弹簧的弹性限度之内，并不需要两个分力F1、F2大小必须保持一致，A错误；
B．实验时，为了减小误差，两个拉力之间的夹角适当大一些，并不需要两个分力F1、F2间夹角必须保持120°，B错误；
C．为了减小实验误差，实验时，在弹性限度内，将两个将橡皮筋拉至结点O时，拉力要适当大些，C正确；
D．为了确保实验中拉力测量的精确度，实验时，拉橡皮筋时，弹簧测力计、橡皮条、细绳应贴近木板且与木板平面平行，D正确。
故选CD。
（2）[2]根据弹簧测力计的读数规律，该读数为3.20N。
（3）[3]实验中两根弹簧测力计同时拉与单独用一根弹簧测力计拉，均要求使得橡皮筋被拉至同一位置O，即前后力的作用效果相同，可知本实验采用的科学方法是等效替代法。
故选D。
11．某学校实验小组设计了一个“探究两个互成角度力的合成规律”的实验，装置如图甲所示，在竖直放置的木板上部附近两侧，固定两个力传感器，同一高度放置两个可以移动的定滑轮，两根细绳跨过定滑轮分别与两力传感器连接，在两细绳连接的结点O下方悬挂钩码，力传感器1、2的示数分别为F1、F2，调节两个定滑轮的位置可以改变两细绳间的夹角。实验中使用若干相同的钩码，每个钩码质量均为100g，取g=10m/s2。
（1）关于实验，下列说法正确的是________。
A．实验开始前，需要调节木板使其位于竖直平面内
B．每次实验都必须保证结点位于O点
C． 实验时需要记录钩码数量、两力传感器的示数和三根细绳的方向
D．实验时还需要用一个力传感器单独测量悬挂于O点的钩码受到的总重力
（2）根据某次实验得到的数据，该同学已经按照力的图示的要求画出了F1、F2，如图乙所示，请你作图得到F1、F2的合力F____________（只作图，不求大小），并写出该合力不完全竖直的一种可能原因________________________。
【答案】 AC/CA
定滑轮有摩擦、木板未竖直放置等
【详解】（1）[1]A．为避免摩擦力的影响，需要调节木板使其位于竖直平面内，A正确；
B．结点位置对实验没有影响，不用保证结点位于O点，B错误；
C．实验时需要记录钩码数量、两力传感器的示数和三根细绳的方向，C正确；
D．钩码的重力可以通过质量直接得出，不需要传感器，D错误。
故选AC。
（2）[2][3]如图
合力不完全竖直，可能由于定滑轮有摩擦、木板未竖直放置等。
四、解答题
12．如图所示，水平地面上静止的物体重G=100N，若受一与水平方向成θ=37°角的拉力F=60N，此时物体所受的摩擦力f=16N．（已知sin37°=0.6,cs37°=0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
（1）求物体所受的合力；
（2）求物体与地面间的动摩擦因数；
（3）若将拉力改成与水平方向仍成37°角斜向下方的推力F'=60N，其他条件不变，求此时物体所受合力的大小。
【答案】（1）32N；（2）0.25；（3）14N
【详解】（1）物体受力如图所示
物体所受合力
F合=Fcs37°−Ff=60×0.8N−16N=32N
（2）竖直方向受力平衡有
N+Fsin37°=G
解得
N=G−Fsin37°=100N−60×0.6N=64N
则动摩擦因数
μ=FfN=1664=0.25
（3）水平方向有
F合'=F'cs37°−Ff'
竖直方向有
N'=G+F'sin37°=100N+60×0.6N=136N
又
Ff'=μN'
联立解得
F合'=14N
作用情况
举例
说明
几个力作用于同一点
F1、F2、F3作用于同一点（O点）
几个力的作用线相交于同一点
F1、F2的作用线与G交于球体的重心O处
可看成质点的物体所受的力
F1、F2不是共点力，但是把A、B、C整体看成一个质点后，可以把F1、F2当成共点力来分析
条件
已知条件
分解示意图
解的情况
已知两个分力的方向
唯一解
已知一个分力的大小和方向
唯一解
已知两个分力的大小
F1+F2＞F
两解
F1+F2 =F
唯一解
F1+F2＜F
无解
已知一个分力（F2）的大小和另一个分力（F1）的方向
F2＜Fsinθ
无解
F2 =Fsinθ
唯一解
Fsinθ＜F2＜F
两解
F2≥F
唯一解