还剩45页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【2.2轴对称的性质】(原卷版+解析)
展开
这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【2.2轴对称的性质】(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了2 轴对称的性质等内容，欢迎下载使用。
2.2 轴对称的性质
必刷知识点
知识点01：轴对称的性质
轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴 ；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成 的两个图形
知识点02：线段的垂直平分线
定义：
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的 ，也叫线段的 ．
知识点01：轴对称的性质
1．（2022八上·义乌期末）下列叙述有误的是（ ）
A．三角形任何两边的和大于第三边
B．对称轴一定垂直平分连结两个对称点的线段
C．所有的等边三角形都是全等图形
D．物体在平面上的位置可以用第几行第几列来确定，也可以用方向和距离来确定
2．（2021八上·澄海期末）如图，若∠AOB=44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为( )
A．82°B．84°C．88°D．92°
3．（2021八上·吉林期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝3.5，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0B．6C．7D．9
4．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为 ，CE的长为 .
5．（2021八上·川汇期末）如图，点P在四边形ABCD中，，，PA平分，设，，则与满足的数量关系是 .
6．（2020八上·怀宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．正确的是 （填序号）．
7．边 中，点 是 边上的两个动点(不与点 重合)，点 在点 的左侧，且 ，点 关于直线 的的对称点为 ，连接 求证： ．
8．（2019八上·漳州月考）如图，将长方形 沿着对角线 折叠，使点 落在 处， 交 于点 ．若 ， ，求 的面积．
9．（2021八上·孝义期中）如图， ABC中，已知点A(－2，0)，B(3，2)，C(2，4)．
⑴作出 ABC关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
⑵作出 ABC关于直线x＝1对称的 ，并写出点 的坐标；
⑶观察猜想： 和 的数量关系和位置关系： ．（直接写出答案）
10．已知如图，点P在 内，请按要求完成以下问题．
（1）分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连结MN分别交OA、OB于E、F；
（2）若 的周长为20，求MN的长．
知识点02：作图—轴对称
11．（2020八上·齐河期末）如图，作 关于直线对称的图形 ，接着 沿着平行于直线 的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（ ）
A．对应点连线相等B．对应点连线互相平行
C．对应点连线垂直于直线 D．对应点连线被直线平分
12．（2020八上·武汉月考）如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形.
A．6B．7C．8D．9
13．（2020八上·镇江期中）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．（2020八上·高新月考）如图 4×5 的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有 种.
15．（2019八上·大连期末）如图，在 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ，在格纸中能画出与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括 本身），这样的三角形共有 个.
16．如图，现要利用尺规作图作△ABC关于BC的轴对称图形△A′BC ． 若AB＝5cm ， AC＝6cm ， BC＝7cm，则分别以点B、C为圆心，依次以 cm、 cm为半径画弧，使得两弧相交于点A′ ， 再连结A′C、A′B，即可得△A′BC ．
17．（2020八上·镇海期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是 .
18．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是 轴上使得∣PA—PB∣的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ= .
19．（2017八上·鄞州月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 ．
20．（2021八上·临沭期中） 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上，点B的坐标为 ．
（ 1 ）作出 关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
（ 2 ）作出 关于y轴对称的 ，并写出点 的坐标，
知识点03：剪纸问题
21．（2020八上·大丰月考）将一张圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开的平面图形是（ ）
A．AB．BC．CD．D
22．（2020八上·江阴月考）一张菱形纸片按图1－1、图1－2依次对折后，再按图1－3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案( )
A．B．
C．D．
23．（2019八上·阳泉期中）娜娜跟奶奶学习剪纸艺术，想把一张正方形纸片从中间剪出一个如图 的形状.现在将正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿虚线剪去一个角，展开铺平，娜娜的剪裁方法应该是（ ）
A．B．C．D．
24．（2016八上·柳江期中）把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是（ ）
A．B．
C．D．
25．如图将一矩形纸片对折后再对折，然后沿图中的虚线剪下，得到①和②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
26．（2018八上·浏阳期中）如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，将剩余部分展开所得的图形是（ ）
A．B．C．D．
27．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
28．（2017八上·钦州期末）如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
29．（2017八上·中江期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（ ）
A．AH=DH≠ADB．AH=DH=ADC．AH=AD≠DHD．AH≠DH≠AD
知识点04：翻折问题（折叠问题）
30．（2021八上·南京期末）如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点 处，则∠ EB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．40°
31．（2021八上·嘉兴期末）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得点A、B都与斜边AB上的点F重合，折痕分别为DE和GH、则下列结论不一定成立的是（ )
A．B．C．D．
32．（2021八上·桓台期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
33．（2020八上·东海期末）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 .
34．（2022八上·岑溪期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果∠AEF ＝75°，那么∠BAF ＝ °.
35．（2021八上·峄城期末）如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ．
36．（2021八上·南京期末）如图，将一张边长为4cm的正方彩纸片 折叠，使点A落在点P处，折痕经过点D交边 于点E.连接 、 ，若 ，则 的长为 cm.
37．（2021八上·绍兴期中）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是
38．（2021八上·南阳月考）如图，在 中， ， ， ，将 沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，求DB的长.
39．（2020八上·建平期末）如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为多少？
40．（2020八上·漳平期中）如图Ⅰ，已知 纸片中， ， ，将其折叠，如图Ⅱ，使点A与点B重合，折痕为 ，点D、E分别在 、 上，求 的大小．
41．（2020八上·慈溪期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是多少平方厘米？
42．（2017八上·香洲期中）阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．
（3）应用提升
小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第2章《轴对称图形》
2.2 轴对称的性质
必刷知识点
知识点01：轴对称的性质
轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等.
知识点02：线段的垂直平分线
定义：
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
知识点01：轴对称的性质
1．（2022八上·义乌期末）下列叙述有误的是（ ）
A．三角形任何两边的和大于第三边
B．对称轴一定垂直平分连结两个对称点的线段
C．所有的等边三角形都是全等图形
D．物体在平面上的位置可以用第几行第几列来确定，也可以用方向和距离来确定
【答案】C
【完整解答】解：A、三角形任何两边的和大于第三边，正确；
B、对称轴一定垂直平分连结两个对称点的线段，正确；
C、所有的等边三角形不一定全等，选项错误；
D、物体在平面上的位置可以用第几行第几列来确定，也可以用方向和距离来确定，正确.
故答案为：C.
【思路引导】根据三角形的三边关系可判断A；根据轴对称图形的概念可判断B；根据全等图形的概念可判断C；根据坐标确定位置的方法可判断D.
2．（2021八上·澄海期末）如图，若∠AOB=44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为( )
A．82°B．84°C．88°D．92°
【答案】D
【完整解答】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，
∴，，，
根据轴对称的性质可得，，
∴的周长的最小值为长度，
由轴对称的性质可得，
∴等腰中，
，
∴
，
，
，
故答案为：D．
【思路引导】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，则，，，根据轴对称的性质可得，再求出，从而可得∠MPN。
3．（2021八上·吉林期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝3.5，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0B．6C．7D．9
【答案】B
【完整解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，
∵OP1＋OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜7，
故答案为：B．
【思路引导】根据轴对称的性质可得OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，再利用三角形三边的关系可得OP1＋OP2＞P1P2，即可得到答案。
4．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为 ，CE的长为 .
【答案】135°；
【完整解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝13，BC＝24，
∴BH＝CH＝12，
∴AH＝ ＝5，
∵△AED与△ACD关于直线AD轴对称，
∴∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝90°+∠ADB＝∠ADC，
∴90°+∠ADB＝180°﹣∠ADB，
∴∠ADB＝45°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠ADB＝∠HAD＝45°，
∴AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝135°，
∴BD＝12+5＝17，
∴CD＝DE＝24﹣17＝7，
∴CE＝ ＝7.
故答案为：135°，7 .
【思路引导】过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质可得BH＝CH＝12，由勾股定理求出AH，根据轴对称的性质可得∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，易得∠BDE＝90°，∠ADB＝45°，∠ADB＝∠HAD＝45°，则AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE，BD＝12+5＝17，CD＝DE＝7，然后利用勾股定理就可求出CE.
5．（2021八上·川汇期末）如图，点P在四边形ABCD中，，，PA平分，设，，则与满足的数量关系是 .
【答案】
【完整解答】解： 连接BP，
∵PA平分∠BAD，
∴∠PAB＝∠PAD，
在△PAB和△PAD中，
AB＝AD，∠PAB＝∠PAD，AP＝AP，
∴△PAB≌△PAD（SAS），
∴∠ABP＝∠ADP，
在△ABP和△CBP中，
AB＝CB，PB＝PB ，PA＝PC，
∴△ABP≌△CBP（SSS），
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠ABC＝2∠ABP，
∴α＝2β．
故答案为：α＝2β．
【思路引导】利用SAS证明△PAB≌△PAD，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠ADP，利用SSS证明△ABP≌△CBP，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠CBP，则可得出结论．
6．（2020八上·怀宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．正确的是 （填序号）．
【答案】①②④
【完整解答】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法符合题意；
∵∠BAC＝124°，
∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法符合题意；
△ABC不一定是等腰三角形，
∴BF不一定等于CE，
∴无法判定PE与PF是否相等，③说法不符合题意；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC＝PA，PB＝PA，
∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法符合题意，
故答案为：①②④．
【思路引导】根据垂直的定义，四边形内角和等于360度计算，判断①，根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，FB＝FA，进而得出∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，判断②，根据等腰三角形的性质，判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④。
7．边 中，点 是 边上的两个动点(不与点 重合)，点 在点 的左侧，且 ，点 关于直线 的的对称点为 ，连接 求证： ．
【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴ ，
又∵AP=AQ，
∴ ,
∴
∴∠PAB=∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°，AP=AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA=PM．
【思路引导】 根据等边三角形的性质，可得，根据等腰三角形的性质，可得∠PAB=∠QAC，根据轴对称的性质，可∠QAC=
∠MAC，AQ=AM，从而可得出△APM为等边三角形，根据等边三角形的性质即得结论.
8．（2019八上·漳州月考）如图，将长方形 沿着对角线 折叠，使点 落在 处， 交 于点 ．若 ， ，求 的面积．
【答案】解：由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵AD//BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
设DE=x，则BE=x，AE=8−x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+ (8−x)2=x2，
解得：x=5，
所以S△BDE = DE×AB= ×5×4=10．
【思路引导】由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由AD//BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDBB，于是得到BE=DE，设DE=x，则BE=x，AE=8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．
9．（2021八上·孝义期中）如图， ABC中，已知点A(－2，0)，B(3，2)，C(2，4)．
⑴作出 ABC关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
⑵作出 ABC关于直线x＝1对称的 ，并写出点 的坐标；
⑶观察猜想： 和 的数量关系和位置关系： ▲ ．（直接写出答案）
【答案】解：（1）如图，
（2）如图，
（3） ∥
【完整解答】（3）由轴对称性质可知， ， ，
∴ ；
故答案为： ∥
【思路引导】（1）根据关于x轴对称的点的坐标的性质，作出图形，写出坐标即可；
（2）根据轴对称的性质，作出图形，写出点的坐标即可；
（3）根据图形的数量以及位置关系，写出答案即可。
10．已知如图，点P在 内，请按要求完成以下问题．
（1）分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连结MN分别交OA、OB于E、F；
（2）若 的周长为20，求MN的长．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵点P与点M关于AO对称，点P与点N关于BO对称，
的周长，
=20cm．
【思路引导】（1）根据轴对称的性质即可作出点P关于OA、OB的对称点M、N；
（2）同理由轴对称的性质可知EP=EM、PF=FN，再根据△PEF的周长即可解答。
知识点02：作图—轴对称
11．（2020八上·齐河期末）如图，作 关于直线对称的图形 ，接着 沿着平行于直线 的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（ ）
A．对应点连线相等B．对应点连线互相平行
C．对应点连线垂直于直线 D．对应点连线被直线平分
【答案】D
【完整解答】根据题意，作点A关于直线l的对称点D，交直线l于F，将点D向下平移得到点 ，连接A 交直线l于E，
∵A、D关于直线l对称，
∴AD被对称轴垂直平分，
又∵EF∥ D，
∴EF是△A D的中位线，
∴AE=E ，即A 被对称轴平分，
同理可知：图形中对应点连线被直线平分，
故答案为：D．
【思路引导】根据题意，作点A关于直线l的对称点D，交直线l于F，将点D向下平移得到点 ，连接A 交直线l于E，可得直线l垂直平分AD，由EF∥ D可得AE=E ，据此逐一判断即可.
12．（2020八上·武汉月考）如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形.
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【完整解答】解：如图，左右对称的有4个，
如图，上下对称的有1个，
如图，关于正方形的对角线对称的有2个，
∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形.
故答案为：B.
【思路引导】把一个图形沿某一条直线折叠，如果这个图形能与另一个图形完全重合，那么这两个图形就关于这条直线对称，据此得出左右对称的有4个，上下对称的有1个，关于正方形的对角线对称的有2个，即可得出答案.
13．（2020八上·镇江期中）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【完整解答】解：如图所示：
，
共3个，
故答案为：C.
【思路引导】利用轴对称图形的性质，分别画出符合题意的图形，可得答案.
14．（2020八上·高新月考）如图 4×5 的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有 种.
【答案】4
【完整解答】解：根据轴对称图形的概念可知，一共有四种涂法，如下图所示：
故答案为4.
【思路引导】结合图形，根据轴对称图形的概念解答即可.
15．（2019八上·大连期末）如图，在 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ，在格纸中能画出与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括 本身），这样的三角形共有 个.
【答案】
【完整解答】如图所示，对称轴有三种位置，与△ABC成轴对称的格点三角形有3个.
故答案为：3.
【思路引导】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向、纵向和斜向三种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解.
16．如图，现要利用尺规作图作△ABC关于BC的轴对称图形△A′BC ． 若AB＝5cm ， AC＝6cm ， BC＝7cm，则分别以点B、C为圆心，依次以 cm、 cm为半径画弧，使得两弧相交于点A′ ， 再连结A′C、A′B，即可得△A′BC ．
【答案】5；6
【完整解答】解：∵AB=5cm，AC=6cm，BC=7cm，
∴分别以点B. C为圆心，依次以5cm、6cm为半径画弧，使得两弧相交于点A′，再连结A′C、A′B，即可得△A′BC
故答案为：5，6
【思路引导】做出的三角形与原三角形关于BC成轴对称图形，而轴对称图形的定义是：把一个图形沿着某条直线折叠，若直线两旁的部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，故分别以点B. C为圆心，依次以5cm、6cm为半径画弧，使得两弧相交于点A′，再连结A′C、A′B，即可得△A′BC。
17．（2020八上·镇海期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是 .
【答案】6cm
【完整解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN.
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD.
∴△PMN的周长的最小值＝PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN≥CD＝6cm.
故OP=CD=6 cm
故答案为：6cm.
【思路引导】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，故可求解.
18．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是 轴上使得∣PA—PB∣的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ= .
【答案】5
【完整解答】连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA−PB|的值最大的点，
∵点B是2x2的正方形的对角线的交点，
∴点P即为AB延长线上的点，此时P(3，0)即OP=3；
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，
∵A′(−1，2)，B(2，1)，
设过A′B的直线为：y=kx+b，则 ，
解得 ，
∴Q(0， )，即OQ= ，
∴OPOQ=3× =5.
故答案为：5.
【思路引导】根据题意连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA−PB|的值最大的点，得到OP=3；再由对称的性质得到A′B为QA+QB的最小值，由点的坐标求出OP·OQ的值.
19．（2017八上·鄞州月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 ．
【答案】140°
【完整解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH，
∵∠DAB=110°，
∴∠HAA′=70°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×70°=140°.
【思路引导】根据轴对称的相关知识解答此题。作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，因此△AMN的周长最小值就是线段A′A″的长，根据∠DAB=110°，得出∠HAA′=∠AA′M+∠A″，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，得出∠AMN=∠MA′A+∠MAA′，∠ANM=∠NAD+∠A″，即可求出结果。
20．（2021八上·临沭期中） 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上，点B的坐标为 ．
（ 1 ）作出 关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
（ 2 ）作出 关于y轴对称的 ，并写出点 的坐标，
【答案】解：如图， 的点坐标分别为： ， ， ，所以关于x轴的对称点分别为： ， ， ，顺次连接，则 即为所求；
点 的坐标 ；
（2）如图， 的点坐标分别为： ， ， ，所以关于y轴对称点分别为： ， ， ，顺次连接，则 即为所求；
点 的坐标 ．
【思路引导】（1）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于x轴的对称点，再连接并直接写出点 的坐标即可；
（2）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接并直接写出点 的坐标即可。
知识点03：剪纸问题
21．（2020八上·大丰月考）将一张圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开的平面图形是（ ）
A．AB．BC．CD．D
【答案】C
【完整解答】根据折叠的性质，结合折叠不变性，可知剪下来的图形是C，有四个直角三角形构成的特殊四边形.
故答案为：C.
【思路引导】按照图中的方法动手操作，可直观地呈现；或根据折叠的性质可判断求解.
22．（2020八上·江阴月考）一张菱形纸片按图1－1、图1－2依次对折后，再按图1－3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【完整解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论.
故答案为：C
【思路引导】按照图中的顺序动手操作即可求解.
23．（2019八上·阳泉期中）娜娜跟奶奶学习剪纸艺术，想把一张正方形纸片从中间剪出一个如图 的形状.现在将正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿虚线剪去一个角，展开铺平，娜娜的剪裁方法应该是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【完整解答】解：由题意要求知，要得到图a，则应如图B剪去一个角．
故答案为：B．
【思路引导】按照题意要求，动手操作一下，可得到正确的答案．
24．（2016八上·柳江期中）把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【完整解答】解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，故选C．
【思路引导】把一个正方形的纸片向上对折，向右对折，向右下方对折，从上部剪去一个等腰直角三角形，展开，看得到的图形为选项中的哪个即可．
25．如图将一矩形纸片对折后再对折，然后沿图中的虚线剪下，得到①和②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【完整解答】解：如图，展开后图形为菱形.
故答案为：C.
【思路引导】由图可知三角形为直角三角形，展开后为菱形.
26．（2018八上·浏阳期中）如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，将剩余部分展开所得的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，
故答案为：C．
【思路引导】把一个正方形的纸片向上对折，接着向右对折，向右下方对折，然后从上部剪去一个等腰直角三角形，展开后与选项对照即可.
27．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【完整解答】解：严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到结论．
故选：B．
【思路引导】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
28．（2017八上·钦州期末）如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，正方形剪去4个小正方形，
故选：C．
【思路引导】根据图形的折叠，剪去的等腰直角三角形正好是大正方形的4个角的小正方形，可得答案．
29．（2017八上·中江期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（ ）
A．AH=DH≠ADB．AH=DH=ADC．AH=AD≠DHD．AH≠DH≠AD
【答案】B
【完整解答】解：由图形的对称性可知：AB=AH，CD=DH，
∵正方形ABCD，
∴AB=CD=AD，
∴AH=DH=AD．
故选：B
【思路引导】利用图形的对称性特点解题．
知识点04：、翻折问题（折叠问题）
30．（2021八上·南京期末）如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点 处，则∠ EB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．40°
【答案】C
【完整解答】解：∵△ABC是直角三角形，CE是中线，
∴ ，
由折叠的性质，得
， ，
∴ ，
∵∠A=50°，
∴∠ACE=50°，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：C.
【思路引导】由直角三角形斜边中线的性质得AE=CE=BE，由折叠的性质得AE=AE'，∠AEC=∠A'EC，即得AE=CE=BE=AE'，由等边对等角可得∠ACE=∠A=50°，利用三角形内角和、折叠的性质及三角形外角的性质可得，∠BEC=100°，根据=∠BEC-∠A'EC计算即可.
31．（2021八上·嘉兴期末）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得点A、B都与斜边AB上的点F重合，折痕分别为DE和GH、则下列结论不一定成立的是（ )
A．B．C．D．
【答案】B
【完整解答】解：A、由折叠性质得：AD=DF，BH=HF，
∴AF=2DF，BF=2FH，
又∵AF+FB=AB，
∴2DF+2FH=AB，即2（DF+FH）=AB，
∴DH=AB，A不符合题意；
B、由折叠性质得：EF=AE，FG=BG，
若AE=BG，则有EF=FG成立，显然条件不足，无法判断，B符合题意；
C、由折叠性质得：∠A=∠EFD，∠B=∠GFH，
又∵三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠EFD+∠GFH=90°，
∴∠EFG=90°，即EF⊥FG，C不符合题意；
D、由折叠性质得：ED⊥AB，GH⊥BA，
∴DE∥GH.
故答案为：B.
【思路引导】（1）由由折叠性质得：AD=DF，BH=HF，再由线段和差关系推导出2（DF+FH）=AB，即可推出DH=AB；（2）由折叠性质得：EF=AE，FG=BG，条件并未告知AE=BG，显然结论无法成立；（3）由折叠性质得：∠A=∠EFD，∠B=∠GFH，再通过直角三角形中∠A+∠B=90°进行等量代换，再通过互补关系即可推出EF⊥FG；（4）由折叠性质得ED和GH分别平行于AB即可判断.
32．（2021八上·桓台期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【完整解答】解：
根据折叠可知∠A′=∠A，
∵∠1=70°，
∴∠A′DA=180°-∠1=110°，
∴根据三角形外角∠A′=∠2-∠A′DA=152°-110°=42°，
∴∠A=42°．
故答案为：B．
【思路引导】根据折叠的性质可得∠A′=∠A，利用邻补角的性质求出∠A′DA=180°-∠1=110°，最后利用三角形外角的性质可得∠A′=∠2-∠A′DA=152°-110°=42°，从而得解。
33．（2020八上·东海期末）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 .
【答案】8
【完整解答】解：由折叠可得：
故答案为：8.
【思路引导】由折叠可得AD=ED，AC=CE=5，从而由BE=BC-CE求出BE，根据△BED的周长计算方法将三角形周长转化为AB+BD的长，即可得出答案.
34．（2022八上·岑溪期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果∠AEF ＝75°，那么∠BAF ＝ °.
【答案】60
【完整解答】解：根据题意得：∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，∠BAD=90°，
∵∠AEF ＝75°，
∴∠EAF=90°-∠AEF=15°，
∴∠DAE=15°，
∴∠DAF=∠DAE+∠EAF=30°，
∴∠BAF=∠BAD-∠DAF=60°.
故答案为：60.
【思路引导】由折叠的性质可得∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，∠BAD=90°，由直角三角形的性质可得∠DAE=∠EAF=90°-∠AEF=15°，即得∠DAF=30°，利用∠BAF=∠BAD-∠DAF即可求解.
35．（2021八上·峄城期末）如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ．
【答案】
【完整解答】解：∵，
∴，
∵纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【思路引导】利用折叠的性质得出，，再根据三角形外角性质得出，利用邻补角得出，再利用进行计算即可。
36．（2021八上·南京期末）如图，将一张边长为4cm的正方彩纸片 折叠，使点A落在点P处，折痕经过点D交边 于点E.连接 、 ，若 ，则 的长为 cm.
【答案】
【完整解答】解：如图所示，过点P作GF⊥CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，
∵∠BPC=90°，
∴ ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADF=90°，
又∵GF⊥CD，
∴四边形ADFG是矩形，
∴AG=DF，GF=AD，
同理可证PH=BG=CF，HC=PF，
设 ， ，则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
在直角△PHM中， ，
∴ ，
∴①；
由折叠的性质可得 ，AE=PE，
在直角△DPF中 ，
∴②；
联立①②得： 即 ，
∴③，
把③代入②中得： ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在直角△PEG中 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： .
【思路引导】过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，利用直角三角形的性质可求出PM的长，利用正方形的性质可证得∠A=∠ADF=90°，可推出四边形ADFG是矩形，利用矩形的性质可证得AG=DF，GF=AD，PH=BG=CF，HC=PF；设DF=x，PF=y，可表示出GP，PH，HC的长，可求出CM的长，表示出HM的长；利用勾股定理可得到关于x，y的方程；利用折叠的性质可得PD=AD=4，AE=PE，利用勾股定理可得到x，y的方程，由此可得到y与x之间的关系式；然后求出关于x，y的方程组，可求出x，y的值；再求出AG，GP的长，设AE=PE=z，可表示出GE的长，利用勾股定理建立关于z的方程，解方程求出z的值，可得到AE的长.
37．（2021八上·绍兴期中）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是
【答案】2或5
【完整解答】解：AB==10，
∴AB'=AB=10，
如图1，当△DEB'为直角三角形，
∴∠EDB'=90°，
过点B'作B'F⊥AC，
∵∠CFB'=∠B'DE=∠ABC=90°，
∴四边形CDFB'是矩形，
设BD=B'D=x，则AF=6+x，FB'=8-x，
在Rt△AFB'中，
AB'2=AF2+B'F2，
∴(6+x)2+(8-x)2=102，
解得：x1=2，x2=0（舍），
∴BD=2；
当∠B'ED=90°时，点C和点E重合，
∵AB'=10，AC=6，
∴B'E=4，
设BD=DB'=x，则CD=8-x，
在Rt△B'DE中，DB'2=DE2+B'E2，
即x2=(8-x)2+42，
解得x=5，
∴BD=5，
综上，BD的长为5或2.
故答案为：D.
【思路引导】先根据勾股定理求出AB的长，则由折叠的性质得出AB'的长，然后分两种情况讨论，即当△DEB'为直角三角形，过点B'作B'F⊥AC，根据折叠的性质求出有关线段的长，设BD=B'D=x，则AF=6+x，FB'=8-x，在Rt△AFB'中，根据勾股定理建立方程求解；当∠B'ED=90°时，点C和点E重合，根据折叠的性质求出有关线段的长，设BD=DB'=x，则CD=8-x，在Rt△B'DE中，根据勾股定理建立方程求解即可.
38．（2021八上·南阳月考）如图，在 中， ， ， ，将 沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，求DB的长.
【答案】解：由折叠的性质可得： ， ， .
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， .
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ，
解得 .
∴ .
【思路引导】利用折叠的性质可证得AE=AC=5，DC=DE，∠AED=∠BED=∠C=90°，利用勾股定理可求出AB的长，由此可求出BE的长；设DC=x，可表示出DE，BD的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出BD的长.
39．（2020八上·建平期末）如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为多少？
【答案】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD＝6cm，BC＝AD，
∵S△ABF＝ AB×BF＝24cm2，
∴BF＝8cm，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝10（cm），
∵沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AD＝AF＝10cm，DE＝EF，
∴BC＝10cm，
∴FC＝BC﹣BF＝2cm，
在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋CF2，
∴DE2＝（6﹣DE）2＋4，
∴DE＝ （cm），
∴S△ADE＝ ×AD×DE＝ ＝ （cm2），
答：折叠的△ADE的面积为 cm2．
【思路引导】先求出 AB＝CD＝6cm，BC＝AD， 再利用勾股定理求出AF=10cm，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
40．（2020八上·漳平期中）如图Ⅰ，已知 纸片中， ， ，将其折叠，如图Ⅱ，使点A与点B重合，折痕为 ，点D、E分别在 、 上，求 的大小．
【答案】解：∵
∴
∵
∴
∵使点A与点B重合，折痕为
∴
∴ ．
【思路引导】根据等腰三角形的性质得 ，再根据三角形的内角和定理得 ，然后根据折叠的性质得 ，最后根据 计算即可．
41．（2020八上·慈溪期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是多少平方厘米？
【答案】解：设CD=xcm，
则AD=（8-x)cm
∴∠C=90°, BC=6 cm, AC=8cm
∴AB=10cm
根据折叠CD= =x
根据勾股定理
x=3
【思路引导】设CD=xcm，则AD=（8-x）cm，根据折叠的性质得CD=C´D=xcm，由勾股定理得列出关于x的方程，解之求出x值，再由三角形面积公式即可求得答案.
42．（2017八上·香洲期中）阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．
（3）应用提升
小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
【答案】（1）是
（2）∠A2B2C=∠C；∠B=n∠C
（3）解：因为最小角是4º是△ABC的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为4mº，4mnº（其中m、n都是正整数）．
由题意，得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44．
因为m、n都是正整数，所以m与n+1是44的整数因子，
因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2．
所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1．
所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88．
所以该三角形的另外两个角的度数分别为：4º，172º；8º，168º；16º，160º；44º，132º；88º，88º
【完整解答】解：⑴由题意得∠BAC是△ABC的好角；
⑵因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C
因为∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，
所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C
由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B=n∠C；
【思路引导】（1）根据题目中所给的图形二，结合图形进行推断，折叠两次后，可根据三角形的外角定理以及折叠的性质证明得到∠B=2∠C。
（2）根据（1）中进行的推断，折叠三次发现为好角所以∠A2B2C=∠C，根据数学归纳法可以求出折叠n次为∠B=n∠C。
（3）利用（2）的结论可知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数。
2.2 轴对称的性质
必刷知识点
知识点01：轴对称的性质
轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴 ；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成 的两个图形
知识点02：线段的垂直平分线
定义：
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的 ，也叫线段的 ．
知识点01：轴对称的性质
1．（2022八上·义乌期末）下列叙述有误的是（ ）
A．三角形任何两边的和大于第三边
B．对称轴一定垂直平分连结两个对称点的线段
C．所有的等边三角形都是全等图形
D．物体在平面上的位置可以用第几行第几列来确定，也可以用方向和距离来确定
2．（2021八上·澄海期末）如图，若∠AOB=44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为( )
A．82°B．84°C．88°D．92°
3．（2021八上·吉林期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝3.5，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0B．6C．7D．9
4．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为 ，CE的长为 .
5．（2021八上·川汇期末）如图，点P在四边形ABCD中，，，PA平分，设，，则与满足的数量关系是 .
6．（2020八上·怀宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．正确的是 （填序号）．
7．边 中，点 是 边上的两个动点(不与点 重合)，点 在点 的左侧，且 ，点 关于直线 的的对称点为 ，连接 求证： ．
8．（2019八上·漳州月考）如图，将长方形 沿着对角线 折叠，使点 落在 处， 交 于点 ．若 ， ，求 的面积．
9．（2021八上·孝义期中）如图， ABC中，已知点A(－2，0)，B(3，2)，C(2，4)．
⑴作出 ABC关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
⑵作出 ABC关于直线x＝1对称的 ，并写出点 的坐标；
⑶观察猜想： 和 的数量关系和位置关系： ．（直接写出答案）
10．已知如图，点P在 内，请按要求完成以下问题．
（1）分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连结MN分别交OA、OB于E、F；
（2）若 的周长为20，求MN的长．
知识点02：作图—轴对称
11．（2020八上·齐河期末）如图，作 关于直线对称的图形 ，接着 沿着平行于直线 的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（ ）
A．对应点连线相等B．对应点连线互相平行
C．对应点连线垂直于直线 D．对应点连线被直线平分
12．（2020八上·武汉月考）如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形.
A．6B．7C．8D．9
13．（2020八上·镇江期中）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．（2020八上·高新月考）如图 4×5 的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有 种.
15．（2019八上·大连期末）如图，在 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ，在格纸中能画出与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括 本身），这样的三角形共有 个.
16．如图，现要利用尺规作图作△ABC关于BC的轴对称图形△A′BC ． 若AB＝5cm ， AC＝6cm ， BC＝7cm，则分别以点B、C为圆心，依次以 cm、 cm为半径画弧，使得两弧相交于点A′ ， 再连结A′C、A′B，即可得△A′BC ．
17．（2020八上·镇海期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是 .
18．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是 轴上使得∣PA—PB∣的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ= .
19．（2017八上·鄞州月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 ．
20．（2021八上·临沭期中） 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上，点B的坐标为 ．
（ 1 ）作出 关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
（ 2 ）作出 关于y轴对称的 ，并写出点 的坐标，
知识点03：剪纸问题
21．（2020八上·大丰月考）将一张圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开的平面图形是（ ）
A．AB．BC．CD．D
22．（2020八上·江阴月考）一张菱形纸片按图1－1、图1－2依次对折后，再按图1－3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案( )
A．B．
C．D．
23．（2019八上·阳泉期中）娜娜跟奶奶学习剪纸艺术，想把一张正方形纸片从中间剪出一个如图 的形状.现在将正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿虚线剪去一个角，展开铺平，娜娜的剪裁方法应该是（ ）
A．B．C．D．
24．（2016八上·柳江期中）把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是（ ）
A．B．
C．D．
25．如图将一矩形纸片对折后再对折，然后沿图中的虚线剪下，得到①和②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
26．（2018八上·浏阳期中）如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，将剩余部分展开所得的图形是（ ）
A．B．C．D．
27．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
28．（2017八上·钦州期末）如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
29．（2017八上·中江期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（ ）
A．AH=DH≠ADB．AH=DH=ADC．AH=AD≠DHD．AH≠DH≠AD
知识点04：翻折问题（折叠问题）
30．（2021八上·南京期末）如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点 处，则∠ EB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．40°
31．（2021八上·嘉兴期末）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得点A、B都与斜边AB上的点F重合，折痕分别为DE和GH、则下列结论不一定成立的是（ )
A．B．C．D．
32．（2021八上·桓台期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
33．（2020八上·东海期末）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 .
34．（2022八上·岑溪期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果∠AEF ＝75°，那么∠BAF ＝ °.
35．（2021八上·峄城期末）如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ．
36．（2021八上·南京期末）如图，将一张边长为4cm的正方彩纸片 折叠，使点A落在点P处，折痕经过点D交边 于点E.连接 、 ，若 ，则 的长为 cm.
37．（2021八上·绍兴期中）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是
38．（2021八上·南阳月考）如图，在 中， ， ， ，将 沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，求DB的长.
39．（2020八上·建平期末）如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为多少？
40．（2020八上·漳平期中）如图Ⅰ，已知 纸片中， ， ，将其折叠，如图Ⅱ，使点A与点B重合，折痕为 ，点D、E分别在 、 上，求 的大小．
41．（2020八上·慈溪期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是多少平方厘米？
42．（2017八上·香洲期中）阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．
（3）应用提升
小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第2章《轴对称图形》
2.2 轴对称的性质
必刷知识点
知识点01：轴对称的性质
轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等.
知识点02：线段的垂直平分线
定义：
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
知识点01：轴对称的性质
1．（2022八上·义乌期末）下列叙述有误的是（ ）
A．三角形任何两边的和大于第三边
B．对称轴一定垂直平分连结两个对称点的线段
C．所有的等边三角形都是全等图形
D．物体在平面上的位置可以用第几行第几列来确定，也可以用方向和距离来确定
【答案】C
【完整解答】解：A、三角形任何两边的和大于第三边，正确；
B、对称轴一定垂直平分连结两个对称点的线段，正确；
C、所有的等边三角形不一定全等，选项错误；
D、物体在平面上的位置可以用第几行第几列来确定，也可以用方向和距离来确定，正确.
故答案为：C.
【思路引导】根据三角形的三边关系可判断A；根据轴对称图形的概念可判断B；根据全等图形的概念可判断C；根据坐标确定位置的方法可判断D.
2．（2021八上·澄海期末）如图，若∠AOB=44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为( )
A．82°B．84°C．88°D．92°
【答案】D
【完整解答】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，
∴，，，
根据轴对称的性质可得，，
∴的周长的最小值为长度，
由轴对称的性质可得，
∴等腰中，
，
∴
，
，
，
故答案为：D．
【思路引导】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，则，，，根据轴对称的性质可得，再求出，从而可得∠MPN。
3．（2021八上·吉林期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝3.5，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0B．6C．7D．9
【答案】B
【完整解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，
∵OP1＋OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜7，
故答案为：B．
【思路引导】根据轴对称的性质可得OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，再利用三角形三边的关系可得OP1＋OP2＞P1P2，即可得到答案。
4．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为 ，CE的长为 .
【答案】135°；
【完整解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝13，BC＝24，
∴BH＝CH＝12，
∴AH＝ ＝5，
∵△AED与△ACD关于直线AD轴对称，
∴∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝90°+∠ADB＝∠ADC，
∴90°+∠ADB＝180°﹣∠ADB，
∴∠ADB＝45°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠ADB＝∠HAD＝45°，
∴AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝135°，
∴BD＝12+5＝17，
∴CD＝DE＝24﹣17＝7，
∴CE＝ ＝7.
故答案为：135°，7 .
【思路引导】过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质可得BH＝CH＝12，由勾股定理求出AH，根据轴对称的性质可得∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，易得∠BDE＝90°，∠ADB＝45°，∠ADB＝∠HAD＝45°，则AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE，BD＝12+5＝17，CD＝DE＝7，然后利用勾股定理就可求出CE.
5．（2021八上·川汇期末）如图，点P在四边形ABCD中，，，PA平分，设，，则与满足的数量关系是 .
【答案】
【完整解答】解： 连接BP，
∵PA平分∠BAD，
∴∠PAB＝∠PAD，
在△PAB和△PAD中，
AB＝AD，∠PAB＝∠PAD，AP＝AP，
∴△PAB≌△PAD（SAS），
∴∠ABP＝∠ADP，
在△ABP和△CBP中，
AB＝CB，PB＝PB ，PA＝PC，
∴△ABP≌△CBP（SSS），
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠ABC＝2∠ABP，
∴α＝2β．
故答案为：α＝2β．
【思路引导】利用SAS证明△PAB≌△PAD，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠ADP，利用SSS证明△ABP≌△CBP，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠CBP，则可得出结论．
6．（2020八上·怀宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．正确的是 （填序号）．
【答案】①②④
【完整解答】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法符合题意；
∵∠BAC＝124°，
∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法符合题意；
△ABC不一定是等腰三角形，
∴BF不一定等于CE，
∴无法判定PE与PF是否相等，③说法不符合题意；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC＝PA，PB＝PA，
∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法符合题意，
故答案为：①②④．
【思路引导】根据垂直的定义，四边形内角和等于360度计算，判断①，根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，FB＝FA，进而得出∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，判断②，根据等腰三角形的性质，判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④。
7．边 中，点 是 边上的两个动点(不与点 重合)，点 在点 的左侧，且 ，点 关于直线 的的对称点为 ，连接 求证： ．
【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴ ，
又∵AP=AQ，
∴ ,
∴
∴∠PAB=∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°，AP=AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA=PM．
【思路引导】 根据等边三角形的性质，可得，根据等腰三角形的性质，可得∠PAB=∠QAC，根据轴对称的性质，可∠QAC=
∠MAC，AQ=AM，从而可得出△APM为等边三角形，根据等边三角形的性质即得结论.
8．（2019八上·漳州月考）如图，将长方形 沿着对角线 折叠，使点 落在 处， 交 于点 ．若 ， ，求 的面积．
【答案】解：由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵AD//BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
设DE=x，则BE=x，AE=8−x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+ (8−x)2=x2，
解得：x=5，
所以S△BDE = DE×AB= ×5×4=10．
【思路引导】由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由AD//BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDBB，于是得到BE=DE，设DE=x，则BE=x，AE=8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．
9．（2021八上·孝义期中）如图， ABC中，已知点A(－2，0)，B(3，2)，C(2，4)．
⑴作出 ABC关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
⑵作出 ABC关于直线x＝1对称的 ，并写出点 的坐标；
⑶观察猜想： 和 的数量关系和位置关系： ▲ ．（直接写出答案）
【答案】解：（1）如图，
（2）如图，
（3） ∥
【完整解答】（3）由轴对称性质可知， ， ，
∴ ；
故答案为： ∥
【思路引导】（1）根据关于x轴对称的点的坐标的性质，作出图形，写出坐标即可；
（2）根据轴对称的性质，作出图形，写出点的坐标即可；
（3）根据图形的数量以及位置关系，写出答案即可。
10．已知如图，点P在 内，请按要求完成以下问题．
（1）分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连结MN分别交OA、OB于E、F；
（2）若 的周长为20，求MN的长．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵点P与点M关于AO对称，点P与点N关于BO对称，
的周长，
=20cm．
【思路引导】（1）根据轴对称的性质即可作出点P关于OA、OB的对称点M、N；
（2）同理由轴对称的性质可知EP=EM、PF=FN，再根据△PEF的周长即可解答。
知识点02：作图—轴对称
11．（2020八上·齐河期末）如图，作 关于直线对称的图形 ，接着 沿着平行于直线 的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（ ）
A．对应点连线相等B．对应点连线互相平行
C．对应点连线垂直于直线 D．对应点连线被直线平分
【答案】D
【完整解答】根据题意，作点A关于直线l的对称点D，交直线l于F，将点D向下平移得到点 ，连接A 交直线l于E，
∵A、D关于直线l对称，
∴AD被对称轴垂直平分，
又∵EF∥ D，
∴EF是△A D的中位线，
∴AE=E ，即A 被对称轴平分，
同理可知：图形中对应点连线被直线平分，
故答案为：D．
【思路引导】根据题意，作点A关于直线l的对称点D，交直线l于F，将点D向下平移得到点 ，连接A 交直线l于E，可得直线l垂直平分AD，由EF∥ D可得AE=E ，据此逐一判断即可.
12．（2020八上·武汉月考）如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形.
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【完整解答】解：如图，左右对称的有4个，
如图，上下对称的有1个，
如图，关于正方形的对角线对称的有2个，
∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形.
故答案为：B.
【思路引导】把一个图形沿某一条直线折叠，如果这个图形能与另一个图形完全重合，那么这两个图形就关于这条直线对称，据此得出左右对称的有4个，上下对称的有1个，关于正方形的对角线对称的有2个，即可得出答案.
13．（2020八上·镇江期中）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【完整解答】解：如图所示：
，
共3个，
故答案为：C.
【思路引导】利用轴对称图形的性质，分别画出符合题意的图形，可得答案.
14．（2020八上·高新月考）如图 4×5 的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有 种.
【答案】4
【完整解答】解：根据轴对称图形的概念可知，一共有四种涂法，如下图所示：
故答案为4.
【思路引导】结合图形，根据轴对称图形的概念解答即可.
15．（2019八上·大连期末）如图，在 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ，在格纸中能画出与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括 本身），这样的三角形共有 个.
【答案】
【完整解答】如图所示，对称轴有三种位置，与△ABC成轴对称的格点三角形有3个.
故答案为：3.
【思路引导】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向、纵向和斜向三种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解.
16．如图，现要利用尺规作图作△ABC关于BC的轴对称图形△A′BC ． 若AB＝5cm ， AC＝6cm ， BC＝7cm，则分别以点B、C为圆心，依次以 cm、 cm为半径画弧，使得两弧相交于点A′ ， 再连结A′C、A′B，即可得△A′BC ．
【答案】5；6
【完整解答】解：∵AB=5cm，AC=6cm，BC=7cm，
∴分别以点B. C为圆心，依次以5cm、6cm为半径画弧，使得两弧相交于点A′，再连结A′C、A′B，即可得△A′BC
故答案为：5，6
【思路引导】做出的三角形与原三角形关于BC成轴对称图形，而轴对称图形的定义是：把一个图形沿着某条直线折叠，若直线两旁的部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，故分别以点B. C为圆心，依次以5cm、6cm为半径画弧，使得两弧相交于点A′，再连结A′C、A′B，即可得△A′BC。
17．（2020八上·镇海期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是 .
【答案】6cm
【完整解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN.
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD.
∴△PMN的周长的最小值＝PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN≥CD＝6cm.
故OP=CD=6 cm
故答案为：6cm.
【思路引导】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，故可求解.
18．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是 轴上使得∣PA—PB∣的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ= .
【答案】5
【完整解答】连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA−PB|的值最大的点，
∵点B是2x2的正方形的对角线的交点，
∴点P即为AB延长线上的点，此时P(3，0)即OP=3；
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，
∵A′(−1，2)，B(2，1)，
设过A′B的直线为：y=kx+b，则 ，
解得 ，
∴Q(0， )，即OQ= ，
∴OPOQ=3× =5.
故答案为：5.
【思路引导】根据题意连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA−PB|的值最大的点，得到OP=3；再由对称的性质得到A′B为QA+QB的最小值，由点的坐标求出OP·OQ的值.
19．（2017八上·鄞州月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 ．
【答案】140°
【完整解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH，
∵∠DAB=110°，
∴∠HAA′=70°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×70°=140°.
【思路引导】根据轴对称的相关知识解答此题。作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，因此△AMN的周长最小值就是线段A′A″的长，根据∠DAB=110°，得出∠HAA′=∠AA′M+∠A″，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，得出∠AMN=∠MA′A+∠MAA′，∠ANM=∠NAD+∠A″，即可求出结果。
20．（2021八上·临沭期中） 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上，点B的坐标为 ．
（ 1 ）作出 关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
（ 2 ）作出 关于y轴对称的 ，并写出点 的坐标，
【答案】解：如图， 的点坐标分别为： ， ， ，所以关于x轴的对称点分别为： ， ， ，顺次连接，则 即为所求；
点 的坐标 ；
（2）如图， 的点坐标分别为： ， ， ，所以关于y轴对称点分别为： ， ， ，顺次连接，则 即为所求；
点 的坐标 ．
【思路引导】（1）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于x轴的对称点，再连接并直接写出点 的坐标即可；
（2）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接并直接写出点 的坐标即可。
知识点03：剪纸问题
21．（2020八上·大丰月考）将一张圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开的平面图形是（ ）
A．AB．BC．CD．D
【答案】C
【完整解答】根据折叠的性质，结合折叠不变性，可知剪下来的图形是C，有四个直角三角形构成的特殊四边形.
故答案为：C.
【思路引导】按照图中的方法动手操作，可直观地呈现；或根据折叠的性质可判断求解.
22．（2020八上·江阴月考）一张菱形纸片按图1－1、图1－2依次对折后，再按图1－3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【完整解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论.
故答案为：C
【思路引导】按照图中的顺序动手操作即可求解.
23．（2019八上·阳泉期中）娜娜跟奶奶学习剪纸艺术，想把一张正方形纸片从中间剪出一个如图 的形状.现在将正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿虚线剪去一个角，展开铺平，娜娜的剪裁方法应该是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【完整解答】解：由题意要求知，要得到图a，则应如图B剪去一个角．
故答案为：B．
【思路引导】按照题意要求，动手操作一下，可得到正确的答案．
24．（2016八上·柳江期中）把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【完整解答】解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，故选C．
【思路引导】把一个正方形的纸片向上对折，向右对折，向右下方对折，从上部剪去一个等腰直角三角形，展开，看得到的图形为选项中的哪个即可．
25．如图将一矩形纸片对折后再对折，然后沿图中的虚线剪下，得到①和②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【完整解答】解：如图，展开后图形为菱形.
故答案为：C.
【思路引导】由图可知三角形为直角三角形，展开后为菱形.
26．（2018八上·浏阳期中）如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，将剩余部分展开所得的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，
故答案为：C．
【思路引导】把一个正方形的纸片向上对折，接着向右对折，向右下方对折，然后从上部剪去一个等腰直角三角形，展开后与选项对照即可.
27．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【完整解答】解：严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到结论．
故选：B．
【思路引导】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
28．（2017八上·钦州期末）如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，正方形剪去4个小正方形，
故选：C．
【思路引导】根据图形的折叠，剪去的等腰直角三角形正好是大正方形的4个角的小正方形，可得答案．
29．（2017八上·中江期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（ ）
A．AH=DH≠ADB．AH=DH=ADC．AH=AD≠DHD．AH≠DH≠AD
【答案】B
【完整解答】解：由图形的对称性可知：AB=AH，CD=DH，
∵正方形ABCD，
∴AB=CD=AD，
∴AH=DH=AD．
故选：B
【思路引导】利用图形的对称性特点解题．
知识点04：、翻折问题（折叠问题）
30．（2021八上·南京期末）如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点 处，则∠ EB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．40°
【答案】C
【完整解答】解：∵△ABC是直角三角形，CE是中线，
∴ ，
由折叠的性质，得
， ，
∴ ，
∵∠A=50°，
∴∠ACE=50°，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：C.
【思路引导】由直角三角形斜边中线的性质得AE=CE=BE，由折叠的性质得AE=AE'，∠AEC=∠A'EC，即得AE=CE=BE=AE'，由等边对等角可得∠ACE=∠A=50°，利用三角形内角和、折叠的性质及三角形外角的性质可得，∠BEC=100°，根据=∠BEC-∠A'EC计算即可.
31．（2021八上·嘉兴期末）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得点A、B都与斜边AB上的点F重合，折痕分别为DE和GH、则下列结论不一定成立的是（ )
A．B．C．D．
【答案】B
【完整解答】解：A、由折叠性质得：AD=DF，BH=HF，
∴AF=2DF，BF=2FH，
又∵AF+FB=AB，
∴2DF+2FH=AB，即2（DF+FH）=AB，
∴DH=AB，A不符合题意；
B、由折叠性质得：EF=AE，FG=BG，
若AE=BG，则有EF=FG成立，显然条件不足，无法判断，B符合题意；
C、由折叠性质得：∠A=∠EFD，∠B=∠GFH，
又∵三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠EFD+∠GFH=90°，
∴∠EFG=90°，即EF⊥FG，C不符合题意；
D、由折叠性质得：ED⊥AB，GH⊥BA，
∴DE∥GH.
故答案为：B.
【思路引导】（1）由由折叠性质得：AD=DF，BH=HF，再由线段和差关系推导出2（DF+FH）=AB，即可推出DH=AB；（2）由折叠性质得：EF=AE，FG=BG，条件并未告知AE=BG，显然结论无法成立；（3）由折叠性质得：∠A=∠EFD，∠B=∠GFH，再通过直角三角形中∠A+∠B=90°进行等量代换，再通过互补关系即可推出EF⊥FG；（4）由折叠性质得ED和GH分别平行于AB即可判断.
32．（2021八上·桓台期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【完整解答】解：
根据折叠可知∠A′=∠A，
∵∠1=70°，
∴∠A′DA=180°-∠1=110°，
∴根据三角形外角∠A′=∠2-∠A′DA=152°-110°=42°，
∴∠A=42°．
故答案为：B．
【思路引导】根据折叠的性质可得∠A′=∠A，利用邻补角的性质求出∠A′DA=180°-∠1=110°，最后利用三角形外角的性质可得∠A′=∠2-∠A′DA=152°-110°=42°，从而得解。
33．（2020八上·东海期末）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 .
【答案】8
【完整解答】解：由折叠可得：
故答案为：8.
【思路引导】由折叠可得AD=ED，AC=CE=5，从而由BE=BC-CE求出BE，根据△BED的周长计算方法将三角形周长转化为AB+BD的长，即可得出答案.
34．（2022八上·岑溪期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果∠AEF ＝75°，那么∠BAF ＝ °.
【答案】60
【完整解答】解：根据题意得：∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，∠BAD=90°，
∵∠AEF ＝75°，
∴∠EAF=90°-∠AEF=15°，
∴∠DAE=15°，
∴∠DAF=∠DAE+∠EAF=30°，
∴∠BAF=∠BAD-∠DAF=60°.
故答案为：60.
【思路引导】由折叠的性质可得∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，∠BAD=90°，由直角三角形的性质可得∠DAE=∠EAF=90°-∠AEF=15°，即得∠DAF=30°，利用∠BAF=∠BAD-∠DAF即可求解.
35．（2021八上·峄城期末）如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ．
【答案】
【完整解答】解：∵，
∴，
∵纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【思路引导】利用折叠的性质得出，，再根据三角形外角性质得出，利用邻补角得出，再利用进行计算即可。
36．（2021八上·南京期末）如图，将一张边长为4cm的正方彩纸片 折叠，使点A落在点P处，折痕经过点D交边 于点E.连接 、 ，若 ，则 的长为 cm.
【答案】
【完整解答】解：如图所示，过点P作GF⊥CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，
∵∠BPC=90°，
∴ ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADF=90°，
又∵GF⊥CD，
∴四边形ADFG是矩形，
∴AG=DF，GF=AD，
同理可证PH=BG=CF，HC=PF，
设 ， ，则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
在直角△PHM中， ，
∴ ，
∴①；
由折叠的性质可得 ，AE=PE，
在直角△DPF中 ，
∴②；
联立①②得： 即 ，
∴③，
把③代入②中得： ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在直角△PEG中 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： .
【思路引导】过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，利用直角三角形的性质可求出PM的长，利用正方形的性质可证得∠A=∠ADF=90°，可推出四边形ADFG是矩形，利用矩形的性质可证得AG=DF，GF=AD，PH=BG=CF，HC=PF；设DF=x，PF=y，可表示出GP，PH，HC的长，可求出CM的长，表示出HM的长；利用勾股定理可得到关于x，y的方程；利用折叠的性质可得PD=AD=4，AE=PE，利用勾股定理可得到x，y的方程，由此可得到y与x之间的关系式；然后求出关于x，y的方程组，可求出x，y的值；再求出AG，GP的长，设AE=PE=z，可表示出GE的长，利用勾股定理建立关于z的方程，解方程求出z的值，可得到AE的长.
37．（2021八上·绍兴期中）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是
【答案】2或5
【完整解答】解：AB==10，
∴AB'=AB=10，
如图1，当△DEB'为直角三角形，
∴∠EDB'=90°，
过点B'作B'F⊥AC，
∵∠CFB'=∠B'DE=∠ABC=90°，
∴四边形CDFB'是矩形，
设BD=B'D=x，则AF=6+x，FB'=8-x，
在Rt△AFB'中，
AB'2=AF2+B'F2，
∴(6+x)2+(8-x)2=102，
解得：x1=2，x2=0（舍），
∴BD=2；
当∠B'ED=90°时，点C和点E重合，
∵AB'=10，AC=6，
∴B'E=4，
设BD=DB'=x，则CD=8-x，
在Rt△B'DE中，DB'2=DE2+B'E2，
即x2=(8-x)2+42，
解得x=5，
∴BD=5，
综上，BD的长为5或2.
故答案为：D.
【思路引导】先根据勾股定理求出AB的长，则由折叠的性质得出AB'的长，然后分两种情况讨论，即当△DEB'为直角三角形，过点B'作B'F⊥AC，根据折叠的性质求出有关线段的长，设BD=B'D=x，则AF=6+x，FB'=8-x，在Rt△AFB'中，根据勾股定理建立方程求解；当∠B'ED=90°时，点C和点E重合，根据折叠的性质求出有关线段的长，设BD=DB'=x，则CD=8-x，在Rt△B'DE中，根据勾股定理建立方程求解即可.
38．（2021八上·南阳月考）如图，在 中， ， ， ，将 沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，求DB的长.
【答案】解：由折叠的性质可得： ， ， .
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， .
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ，
解得 .
∴ .
【思路引导】利用折叠的性质可证得AE=AC=5，DC=DE，∠AED=∠BED=∠C=90°，利用勾股定理可求出AB的长，由此可求出BE的长；设DC=x，可表示出DE，BD的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出BD的长.
39．（2020八上·建平期末）如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为多少？
【答案】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD＝6cm，BC＝AD，
∵S△ABF＝ AB×BF＝24cm2，
∴BF＝8cm，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝10（cm），
∵沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AD＝AF＝10cm，DE＝EF，
∴BC＝10cm，
∴FC＝BC﹣BF＝2cm，
在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋CF2，
∴DE2＝（6﹣DE）2＋4，
∴DE＝ （cm），
∴S△ADE＝ ×AD×DE＝ ＝ （cm2），
答：折叠的△ADE的面积为 cm2．
【思路引导】先求出 AB＝CD＝6cm，BC＝AD， 再利用勾股定理求出AF=10cm，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
40．（2020八上·漳平期中）如图Ⅰ，已知 纸片中， ， ，将其折叠，如图Ⅱ，使点A与点B重合，折痕为 ，点D、E分别在 、 上，求 的大小．
【答案】解：∵
∴
∵
∴
∵使点A与点B重合，折痕为
∴
∴ ．
【思路引导】根据等腰三角形的性质得 ，再根据三角形的内角和定理得 ，然后根据折叠的性质得 ，最后根据 计算即可．
41．（2020八上·慈溪期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是多少平方厘米？
【答案】解：设CD=xcm，
则AD=（8-x)cm
∴∠C=90°, BC=6 cm, AC=8cm
∴AB=10cm
根据折叠CD= =x
根据勾股定理
x=3
【思路引导】设CD=xcm，则AD=（8-x）cm，根据折叠的性质得CD=C´D=xcm，由勾股定理得列出关于x的方程，解之求出x值，再由三角形面积公式即可求得答案.
42．（2017八上·香洲期中）阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．
（3）应用提升
小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
【答案】（1）是
（2）∠A2B2C=∠C；∠B=n∠C
（3）解：因为最小角是4º是△ABC的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为4mº，4mnº（其中m、n都是正整数）．
由题意，得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44．
因为m、n都是正整数，所以m与n+1是44的整数因子，
因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2．
所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1．
所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88．
所以该三角形的另外两个角的度数分别为：4º，172º；8º，168º；16º，160º；44º，132º；88º，88º
【完整解答】解：⑴由题意得∠BAC是△ABC的好角；
⑵因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C
因为∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，
所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C
由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B=n∠C；
【思路引导】（1）根据题目中所给的图形二，结合图形进行推断，折叠两次后，可根据三角形的外角定理以及折叠的性质证明得到∠B=2∠C。
（2）根据（1）中进行的推断，折叠三次发现为好角所以∠A2B2C=∠C，根据数学归纳法可以求出折叠n次为∠B=n∠C。
（3）利用（2）的结论可知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数。
相关试卷
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.1函数】(原卷版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.1函数】(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了1 函数，03等内容，欢迎下载使用。
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.2勾股定理的逆定理】(原卷版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.2勾股定理的逆定理】(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了2 勾股定理的逆定理，3，0，5，2，2，5﹣4﹣2等内容，欢迎下载使用。
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.3勾股定理的应用】(原卷版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.3勾股定理的应用】(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了3 勾股定理的应用，5尺B．8尺C．8，5米B．1，5，等内容，欢迎下载使用。
