第02讲 解一元二次方程（直接开平方、配方法、配方法的应用）-初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）试卷

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一．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点诠释：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
二．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
三、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
【考点剖析】
题型一、用直接开平方法解一元二次方程
例1.解方程（1）3x2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．
【答案与解析】
（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．
开平方，得原方程的根为x=或x=-．
(2)原方程可化为(4-3n)2=64，
所以有4-3n=8或4-3n=-8．
所以，原方程的根为n=-或n=4．
【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．
例2.解方程(x-3)2=49．
【答案与解析】
把x-3看作一个整体，直接开平方，得
x-3=7或x-3=-7．
由x-3=7，得 x=10．
由x-3=-7，得 x=-4．
所以原方程的根为x=10或x=-4．
【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．
【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：
(1)x2=361； (2)2y2-72=0； (3)5a2-1=0； (4)-8m2+36=0．
【答案】(1)∵ x2=361，
∴ x=19或x=-19．
(2)∵2y2-72=0，
2y2=72，
y2=36，
∴ y=6或y=-6．
(3)∵5a2-1=0，
5a2=1，
a2=，
∴a=或a=-．
(4)∵-8m2+36=0，
-8m2=-36，
m2=，
∴m=或m=-．
【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．
【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，
开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），
解得：，．
题型二、用配方法解一元二次方程
例3.用配方法解方程x2-7x-1＝0．
【答案与解析】
将方程变形为x2-7x＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得
x2-7x+＝1+，所以有＝1+．
直接开平方，得x-＝或x-＝-．
所以原方程的根为x＝+或x＝-．
【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：
(1)把形如ax2+bx+c＝0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程；
(4)用直接开平方的方法解此题．
【变式】用配方法解方程.
(1)x2-4x-2＝0； (2)x2+6x+8＝0.
【答案】(1)方程变形为x2-4x＝2．
两边都加4，得x2-4x+4＝2+4．
利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2＝n的方程，即有(x-2)2＝6．
解这个方程，得x-2＝或x-2＝-．
于是，原方程的根为x＝2+或x＝2-．
(2)将常数项移到方程右边x2+6x＝-8．
两边都加“一次项系数一半的平方”＝32，得 x2+6x+32＝-8+32，
∴ (x+3)2＝1．
用直接开平方法，得x+3＝±1，
∴ x＝-2或x＝-4．
例4.用配方法解方程：．
【答案与解析】
解：∵，
∴
∴ ，
∴
∴ ．
【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，然后用直接开平方法求解即可．
【变式】 用配方法解方程
（1）2x2+3=5x （2）
【答案】（1）




.
（2）
①当时，此方程有实数解，
；
②当时，此方程无实数解.
题型三、配方法在代数中的应用
例5．若代数式，，则的值（ ）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数D．一定不是正数
【答案】B；
【解析】（作差法）
．故选Ｂ．
【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.
例6．用配方法说明： 代数式 x2+8x+17的值总大于0.
【答案与解析】
x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1
∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，
故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.
【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.
【变式1】求代数式 x2+8x+17的最小值
【答案】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1
∵（x+4）2≥0，
∴当（x+4）2＝0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.
【变式2】用配方法证明的值小于0．
【答案与解析】
证明：


．
∵ ，∴ ，
即．故的值恒小于0．
【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．
【变式3】求证：代数式3x2﹣2x+4的值不小于．
【答案】
解：3x2﹣2x+4=3（x2﹣x+）﹣+4=3（x﹣）2+
∵3（x﹣）2≥0，
∴3（x﹣）2+≥，
即代数式3x2﹣2x+4的值不小于．
例7.已知，求的值．
【思路点拨】采用配方法求出的值，代入计算即可得到答案．
【答案与解析】
解：由题意可得：

∴，
∴
将代入得：

【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．
例8.若实数满足，则的值是（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ． Ｄ．
【答案】C；
【解析】对已知等式配方，得，∴．
∴．故选Ｃ．
【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
【变式】（1）2x2+6x−3的最小值是 ；（2）−x2+4x+5的最大值是 .
【答案】（1）；
所以2x2+6x−3的最小值是
（2）
所以−x2+4x+5的最大值是9.
例9. 分解因式：．
【答案与解析】
．
【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．
【过关检测】
一、单选题
1．（广东清远·九年级统考期末）将方程配方后，原方程变形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：由题意知，方程配方后，方程变形为，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．
2．（2023·河北衡水·统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．
【详解】解：
∴
解得：,
丁同学是错的，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
3．（2023·贵州贵阳·统考一模）解一元二次方程时，配方后得到方程，则c等于（ ）
A．6B．4C．2D．
【答案】C
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而求得c.
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解答关键.
4．（2023·北京东城·统考一模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】B
【分析】由，配方可得，进而可得的值，然后代入，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出的值．
5．（2023·江苏扬州·统考一模）已知，则的最小值是（ ）
A．8B．C．D．9
【答案】A
【分析】由已知得，注意x的取值范围，代入再配方，利用非负数的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，且即，
∴
，
∵，
∴当时，的最小值是，
故选：A．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范围是解决问题的关键．
6．（2022·山东德州·统考中考真题）已知，为任意实数，则的值( )
A．大于0B．等于0C．小于0D．无法确定
【答案】A
【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴的值大于0，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
7．（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．
【详解】解：
二次项化系数为1得：
移项得：
配方得：
整理得：
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
二、填空题
8．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程配方后得，则的值为 _____．
【答案】11
【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m、n的值，再进行计算即可．
【详解】解：移项得，
配方得，即，
∴，，
∴，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
9．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）代数式可化为；无论a取何值，所以，即有最小值为4．仿照上述思路，代数式的最大值为__________．
【答案】
【分析】仿照题意进行求解即可．
【详解】解：
，
∵无论a取何值，都有，
∴，
∴，即有最大值，
∴的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）填空：
（1）______．
（2）______．
（3）___________．
【答案】 16 36 6
【分析】（1）所填的常数项为一次项系数一半的平方；
（2）所填的常数项为一次项系数一半的平方；
（3）所填的常数项为一次项系数一半的平方，运用配方法的运算方法，也可以直接利用完全平方公式：得出结论．
【详解】解：（1）．
故答案为：①16；
（2）
故答案为：②；
（3）
故答案为：③36，④6．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方的过程中应注意不能改变原式的大小．
11．（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）用配方法将方程进行配方得___________．
【答案】
【分析】在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可求解．
【详解】解：，
方程两边加上1，，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
12．（2023·全国·九年级专题练习）一元二次方程，配方后可变形为 ____．
【答案】
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．
13．（2022秋·全国·九年级专题练习）当_____时，代数式有最小值为______．
【答案】 3
【分析】根据偶次方的非负性可知，当时有最小值，进而可求解．
【详解】解：，
当时代数式取得最小值，最小值为，
即时，代数式的最小值为，
故答案为：3；．
【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键．
14．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于__________．
【答案】
【分析】将代入代数式，根据配方法即可求解．
【详解】解：∵
∴
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
15．（2023秋·辽宁丹东·九年级校考期中）将方程化为形式，则______，______．
【答案】
【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式即可．
【详解】解：∵，
∴，
配方得，即，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题时要注意步骤，选择用配方法解一元二次方程时，先将常数项移到等号右边，并使二次项的系数为1，然后进行配方．
16．（2022秋·福建宁德·九年级统考阶段练习）若将方程化为，则m=___________．
【答案】3
【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
，
配方，得
．
所以，．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．掌握配方法解是解题的关键．
17．（2023·浙江台州·统考一模）已知点在一次函数图象上，则的最小值为______．
【答案】
【分析】将点代入一次函数解析式得出，，代入代数式，根据配方法即可求解．
【详解】解：∵点在一次函数图象上，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．（2023春·江苏南通·九年级校联考阶段练习）若实数x，y满足关系式，则的最大值为______．
【答案】4
【分析】将适当变形得到用含有x的代数式表示的形式，再利用配方法变形后，根据x的取值范围即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
，
∵
∴
∴当时的最大值为．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是解题的关键．
三、解答题
19.（2022秋•江都区期中）解方程：
（1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0．
【分析】（1）首先将方程整理为x2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；
（2）首先将方程整理为（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．
【解答】解：（1）4x2＝49，
x2＝，
∴，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，
（2x﹣1）2＝25，
∴2x﹣1＝±5，
∴x1＝3，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
20．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：
【答案】，
【分析】先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，即，
开平方得：，
解得：，．
【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题的关键．
21．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）先阅读，后解题．
已知，求和的值．
解：将左边分组配方：即．
，，且和为，
且，，．
利用以上解法，解下列问题：
(1)已知：，求和的值．
(2)已知，，是的三边长，满足且为直角三角形，求．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解；
由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，求得的值，然后根据勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵，
，即，
∵，，且，
∴且，
，；
（2）解：∵，
方程变形为，
∴，，
∴，，
为直角三角形，
∴当，是直角边时，则；
当是斜边，是直角边时，则；
或．
【点睛】本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键．
22．（2022秋·江西九江·九年级统考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
∵无论x取何实数，总有．
∴，即的最小值是．
即无论x取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
(1)已知，求证y是正数；
(2)知识迁移：如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值，
【答案】(1)见解析
(2)t=，S最大值=
【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．
（2）先求s，再利用配方求最值即可．
【详解】（1）证明：（1）
．
∵．
∴．
∴．
∴y是正数．
（2）解：∵，，．
∴
．
∵．
∴当时，S有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．
23．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）阅读材料
数学课上，韦老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形∶，
∵，
∴当时，，
∴当时，有最小值1，即的最小值为1．通过阅读，解决下列问题∶
(1)当___________时，代数式有最小值为___________
(2)代数式 的最小值为___________
(3)当x取何值时，代数式的有最大或最小值，并求出最大或最小值．
【答案】(1)5，4
(2)0
(3)当时，有最大值，最大值是12
【分析】（1）由可得，从而判断它在时取最小值；
（2）配方可得，根据，即可得出结论；
（3）提取，然后配方得，根据可得结论．
【详解】（1）解：（1），
，
当时，取到等号，
当时，有最小值，最小值为：4；
故答案为5，4；
（2）解：，
当时，有最小值，最小值为：0；
故答案为0；
（3）解：
，
，
，
当时，取到等号，
当时，有最大值，最大值为12．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
24．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）解决问题
嘉琪同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，她是这样做的：
若时：
；
若时此方程无实数根．
(1)嘉琪同学步骤中括号填：________．
(2)根据嘉琪同学步骤回答：
①一元二次方程有实根的条件是：________．
②________，________．
(3)一元二次方程，有两个不相等实数根和；用配方法解方程验证：；．
【答案】(1)
(2)①,②；
(3)见解析
【分析】（1）根据完全正确平方公式求解即可；
（2）根据二次根式有意义条件求解即可；
（3）用配方法解方程即可求出方程的解，再分别代入计算即可与计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：①一元二次方程有实根的条件是：；
②
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，，
∴，
．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程—配方法是解题的关键．
25．（2023·浙江嘉兴·统考一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，
(1)尝试：①当，时，，，．
②当，时，，，．
③当，时，，，．
④当，时，，，________2xy．
(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析；
(3)代数式的最小值为8．
【分析】（1）求得，，得到；
（2）结合完全平方的非负性即可解答；
（3）利用归纳的结论即可求解．
【详解】（1）解：当，时，，，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴代数式的最小值为8．
【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．
26．（2023·安徽芜湖·统考二模）观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．

(1)第4个图形对应的等式为______；
(2)若第n个图形对应的黑点总数为个，求n的值．
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；
（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
第四个图形总点数可列为：，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，
每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，
∴第n个图形的点数为：，
∴，
整理得，解得，（舍去），
∴n的值为；
【点睛】本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．