第16讲 重难点专项突破02二次函数综合之“面积”问题-初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）

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必备知识
1二次函数的解析式结构、图形变换特征与类别
2一次函数的概念、性质与图像特征
3二次函数与一次函数相交的类别
4坐标系中的面积求法:割补法、图形变换法、坐标法、共边共角、垂线段等
核心方法
1.核心思路:判定求面积类别——使用模型解法求解
2.核心技巧:利用数学结合思想，将代数的距离问题转化为几何的底边与高等面积求解问题；割补类注意规则图形的结构特征；图形替换类注意替换角度。
3.核心推理过程:识别基础条件，思考归属类别，采用核心技巧，判定解法
考察重点
1考察重点:坐标系中的面积求法；二次函数的面积相关描述条件；面积求解方法的特征
2逻辑重点:识别二次函数的基础条件，直线交点，相交构图特征
常见分析思路
1 先定面积求法:底X高; 割补类;垂线段；将军饮马模型最大边
2 利用二次函数与直线等函数解析式，求解数值
【考点剖析】
一、解答题
1．（2023春·广东揭阳·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于C点，点P是直线下方抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当动点P运动到什么位置时，使四边形的面积最大，求出此时四边形的面积最大值和P的坐标．
2．（2023春·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）如图，抛物线经过点，，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)将直线绕点B顺时针旋转，与直线相交于点F，求直线的函数表达
3．（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标；
(3)如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标；
(4)M是平面内一点，将绕点逆时针旋转后，得到，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点的坐标．
4．（2023春·上海浦东新·九年级校考阶段练习）已知抛物线经过点和点，抛物线的顶点为点．

(1)求抛物线的表达式及顶点；
(2)点在对称轴上，且在点下方，将点绕点顺时针旋转得到点，点恰好落在抛物线上，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点在抛物线的对称轴上（点在点的下方），四边形的面积为12，求的正切值．
5．（2023春·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值及此时点的坐标；
(3)已知是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023春·山西太原·九年级山西实验中学校考期中）【初步探究】如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．请直接写出A，B，C三点的坐标：A_________；B_________；C_________．
【深度探究】如图（2），点D的坐标为，点P是该抛物线在第一象限内的一个动点，连接．
（1）请问是否有最大面积？若有，求出的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
（2）点P在运动的过程中，和的交点为E，当是等腰三角形时，请直接写出此时点E的坐标．

7．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，抛物线过点，，点为x轴上一个动点（点M不与点A，C重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点D，N．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)求当点D是线段的中点时m的值；
(3)当与的面积相等时，求点M的坐标；
(4)过点D作轴于E，过点N作轴于F．直接写出在矩形内部的抛物线当y随x增大而增大时m的取值范围．
8．（2023·广西贵港·统考三模）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于A，两点，点A在点左侧，点的坐标为，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是第三象限抛物线上的动点，连接，当的面积为3时，求出此时点的坐标；
(3)将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在原抛物线的对称轴上，为平移后的抛物线上一点，当以A、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
9．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线上一点，求的最小值；
(4)过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．

(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)当点在轴上时，求点的坐标；
(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·湖北孝感·九年级汉川市实验中学校考阶段练习）如图，抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．4B．2C．6D．8
2．（2023·安徽黄山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是( )
A．B．C．D．
3．（2022秋·河南安阳·九年级校考阶段练习）已知：中，， ，O是中点，点E、F分别从B、C两点同时出发，以1cm/s的速度沿、运动，到点C、A时停止运动，设运动时间为t（s），的面积为S（），则能表示S与t函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·四川攀枝花·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点、、，使得、、的面积都等于m，则m的值是（ ）
A．6B．8C．12D．16
5．（2023·广东·二模）已知抛物线的顶点是原点，点A在第一象限抛物线上，点B为点A关于原点对称点，交抛物线于点C，则的面积S关于点A横坐标的m的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，连接，．若面积为8，则的值是（ ）
A．4B．C．8D．
7．（2022秋·九年级单元测试）已知抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点B，的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．8B．16C．32D．无法计算
8．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，1）D．（，3）
9．（2023·山东德州·模拟预测）如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以下结论：
①无论取何值，恒小于0；
②可由向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小；
④四边形的面积为18．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，二次函数的图像的顶点为A，与y轴的交点为点B，过点B作轴交函数图像于点C，连接、，则的面积为_________．
12．（2022·广东佛山·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，点D从点C沿边运动到点B，以为边作正方形，连接，在D运动过程中面积的最小值是 ___________．
13．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，点P是抛物线上的一个动点，连接、，当时，点P的坐标为_____．
14．（2023·山东青岛·统考一模）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．连接，则的最大面积为___________．
15．（2023·山东青岛·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为______．

16．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，已知、为两条定长的线段，，，，点A、C分别为线段，上的点（点C可与点P重合），、，若，则四边形面积的最大值为___________．

17．（2023·吉林长春·统考二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在的左边），与轴交于点，点为此抛物线上的一动点（点在第一象限），连接，则四边形面积的最大值为______．

18．（2023·福建泉州·统考二模）已知抛物线与轴交于A，两点（点A位于点的左侧），是抛物线上的一个动点，若，则所有满足条件的点的横坐标之和是________．
三、解答题
19．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C．其中．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P在二次函数图象上，且，求点P的坐标．
20．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2023·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
22．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
23．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为，连接．

(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若，
①求m的值；
②点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连结．设的面积为S．若S为正偶数，试求点P的坐标．
24．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．

(1)当时，求点的坐标；
(2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．