2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题(精讲)(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了分离参数法，分类讨论法，等价转化法等内容，欢迎下载使用。

第一部分：：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点解法一：分离变量法
重点解法二：分类讨论法
重点解法三：等价转化法
第三部分：高考（模拟）题体验
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点解法一：分离变量法
1．(2023·安徽·高三阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·模拟预测）已知，不等式，对满足当且时恒成立，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．eD．
3．(2023·四川·成都七中高三阶段练习（理））若，不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
4．(2023·全国·高二课时练习）设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·云南·昆明市第三中学高三阶段练习）已知函数的导函数满足：，且，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为__________．
6．(2023·浙江·高三阶段练习）若对任意，都有（其中为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为______．
7．(2023·重庆八中高三阶段练习）已知函数.
(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）
8．(2023·北京·首都师范大学附属密云中学高三阶段练习）已知函数
(1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围.
9．(2023·广东湛江·高三阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围．（参考数据：，）
10．(2023·河南·高三阶段练习（文））已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
重点解法二：分类讨论法
1．(2023·重庆·高二期末）已知，不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·山东潍坊·高二阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·安徽·高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若为整数时，当时，恒成立，求的最小值.
（参考数据：，，…）
4．(2023·四川广安·高三阶段练习（理））设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
5．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若对任意恒有，求的最大值.
6．(2023·四川·南江中学高三阶段练习（文））已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意恒有，求a．
重点解法三：等价转化法
1．(2023·福建·厦门外国语学校高三阶段练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·陕西·大荔县教学研究室高二期末（理））己知函数，，若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·一模（理））已知函数，，若≥恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
4．(2023·湖北·随州市第一中学高二阶段练习）已知函数，，对，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·四川广安·高三阶段练习（文））已知函数，（a为常数）．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
6．(2023·天津一中高三阶段练习）设函数，，其中，为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)若不等式在时恒成立，求的取值范围．
7．(2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知．
(1)当时，求在上的最大值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)当时，求恒成立，求正整数的最大值．
第三部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·广西·模拟预测（文））已知函数
(1)若，求的值；
(2)若时，，求的取值范围
2．(2023·河南平顶山·模拟预测（理））已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)令，若恒成立，求实数a的取值范围．
3．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1)若，求，；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
4．(2023·山东济南·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在上的最大值；
(2)当时，，求的取值范围.
5．(2023·四川·模拟预测（文））已知.
(1)若在上单调递增，上单调递减，求的极小值；
(2)当时，恒有，求实数的取值范围．
6．(2023·河南·南阳中学模拟预测（理））已知函数
(1)求函数的最小值；
(2)设函数,若不等式对任意的恒成立，求实数a的值．
拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题（精讲）
目录
第一部分：：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点解法一：分离变量法
重点解法二：分类讨论法
重点解法三：等价转化法
第三部分：高考（模拟）题体验
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点解法一：分离变量法
1．(2023·安徽·高三阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由，得，.
记，易知在上单调递增，
，
，，
记，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
，，
故选：C.
2．(2023·全国·模拟预测）已知，不等式，对满足当且时恒成立，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．eD．
答案：C
【详解】，则当时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，
当且时，，
得，即在且时恒成立，
令，则，当时，，时，，
在单调递减，在单调递增，，
故的最大值为，
故选：C
3．(2023·四川·成都七中高三阶段练习（理））若，不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
答案：A
【详解】解：，不等式恒成立，
等价于，不等式恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即恒成立，当且仅当时，取等号，
所以当时，，
当且仅当时，取等号，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
又，
所以存在，使得，
存在，使得，
即方程有解，
因为不等式可以取到等号，
所以的最小值为，
所以，即，
所以实数m的最大值为.
故选：A.
4．(2023·全国·高二课时练习）设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】，令，得或.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，所以
因为对任意的有恒成立，所以，即.
故选：C
5．(2023·云南·昆明市第三中学高三阶段练习）已知函数的导函数满足：，且，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为__________．
答案：
【详解】设，则，
故（C为常数）.
因为，所以，解得.
所以.
则对任意,不等式恒成立，
即对任意,不等式恒成立，
即对任意,不等式恒成立，
令，则，
所以在上单调递增.
即为
故对任意的恒成立，即对任意的恒成立.
令，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故.
所以,即.
则实数的最小值为.
故答案为:.
6．(2023·浙江·高三阶段练习）若对任意，都有（其中为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为______．
答案：
【详解】解：因为对任意，恒成立，所以有恒成立；
令，即证，则有，所以在上单调递增，即有在上恒成立，即在上恒成立；
令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；所以，即.
故答案为：.
7．(2023·重庆八中高三阶段练习）已知函数.
(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）
答案：(1)
(2)6
（1）
，函数定义域为
，
∵在上单调递增，∴在上恒成立，
，记，
，解得，，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，
a的取值范围为
（2）
由可知，，
∴，记，
∵，
令，，
，解得，，解得
在上单调递减，在上单调递增，
，，
∴，，
，，∴，∴单调递减，
，，，∴单调递增，
，
∵，，
∴，
∴整数k的最大值为6．
8．(2023·北京·首都师范大学附属密云中学高三阶段练习）已知函数
(1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围.
答案：(1)
(2)答案见解析；
(3).
（1）
时，，，
故，，
故切线方程是：，整理得：.
（2）
的定义域为，
求导函数可得
当时，由于，故，，所以的单调递增区间为；
当时，由，得
在区间上，；在区间上，，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）
由已知转化为
，，
，
由知，当时，在上单调递增，值域为R，故不符合题意．
或者举出反例：存在，故不符合题意．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，
所以，所以，
解得：，
所以a的取值范围为.
9．(2023·广东湛江·高三阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围．（参考数据：，）
答案：(1)答案见解析；
(2).
（1）
函数的定义域为，求导得：，
当时，，函数在上单调递增，
当时，由得：，由得：，则函数在上递增，在上递减，
所以，当时，函数的递增区间为；当时，函数的递增区间是，递减区间是.
（2）
依题意，，，
令函数，则，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，即，当且仅当时取等号，
于是有，当且仅当时取等号，
令，显然函数在上单调递增，而，
即存在，使得，因此当时，，取得最小值1，有，
所以a的取值范围是.
10．(2023·河南·高三阶段练习（文））已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
答案：(1)极小值为，无极大值
(2)
（1）
的定义域为，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，取得极小值，且极小值为；无极大值.
（2）
对任意恒成立，即恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，所以，即，故的取值范围为.
重点解法二：分类讨论法
1．(2023·重庆·高二期末）已知，不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】令，则，由题意可知，.
当时，则当时，，不合乎题意；
当时，，即函数在上为减函数，
当时，，不合乎题意；
当时，令，则，
即函数在上为增函数，则.
①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，
故函数在上为增函数，此时，合乎题意；
②当时，即当时，，
，
所以，存在，使得，
且当时，，此时函数单调递减，则，不合乎题意.
综上所述，的取值范围是.
故选：C.
2．(2023·山东潍坊·高二阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】
函数在R上单调递增，所以在R上恒成立，令，即在R上恒成立，即在R上恒成立.
当时，不等式显然成立.
当时，，由在上单增，得时，，所以.
当时，，由在上单增，得时，，所以.
综上：a的取值范围是：.
故选：A.
3．(2023·安徽·高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若为整数时，当时，恒成立，求的最小值.
（参考数据：，，…）
答案：(1)
(2)
（1）
解：当时，，则，
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）
解：.
且函数的定义域为，，
令，，，，
令，其中，则，
所以，在单调递增，
当，，单调递减，
当时，，单调递增.
①当时，，
在上恒成立，单调递增，
，
记，则，
在区间上单调增递，
，，
故当时，恒成立；
②当时，又，即时，，
因为，，
记，由上可知在上单调递增，
且在单调递减，在单调递增，
，，，
所以，，，，
且当时，，当时，，
所以，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
由，
所以，
令，，则，
当时，，，单调递减，
，故当时，；
③当时，，，
记，，，
易知单调递增，在单调递减，单调递增，
，，，
，，当时，，
当时，，
在上单调递增，上单调递减，上单调递增.
因为，当时，，不符合题意，
的最小值为.
4．(2023·四川广安·高三阶段练习（理））设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
答案：(1)见解析
(2)
（1）
当时，，，
由于，故当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
函数的减区间为，增区间为.
（2）
令，则，
当时，恒成立，
①若，则时，，，
此时不恒成立；
②若，由时，恒成立，则，则，
令，得或，
（i）若，则，
当时，，单调递减，
而，当时，，
此时不恒成立，
（ii）若，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，此时恒成立，
（ⅲ）若，当时，，单调递增，
有，此时恒成立，
综上所述，.
5．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若对任意恒有，求的最大值.
答案：(1)在，，上单调递增，在上单调递减
(2)
（1）
由得：，的定义域为；
；
令，当时，，
令，解得：，，
当时，；当时，；
在，，上单调递增，在上单调递减.
（2）
由（1）知：，，
①当时，当时，，，
，满足题意；
②当时，，，即恒成立，
，满足题意；
③当时，由（1）知：在上单调递减，此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.
6．(2023·四川·南江中学高三阶段练习（文））已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意恒有，求a．
答案：(1)答案见解析
(2)
（1）
因为，
当时，对任意都有，
函数的单调增区间为
当时，由，得，
时，，时，，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
综上，当时，函数的单调增区间为，
当时，函数的单调增区间为，
单调减区间为；
（2）
因为对任意恒有，所以
设，
根据题意，对任意，要求，
，
①当时，，
时，，为上单调增函数，
所以时，，
时，，为上单调减函数，
所以时，，
此时，对任意恒有；
②当时，由得，，
时，，为上单调增函数，
因为，所以，不符题意；
③当时，由得，，
时，，为上单调减函数，
因为，所以，不符题意；
④当时，
对任意都有，为R上单调减函数，
所以时，，不符题意；
综上，当时，对任意恒有．
重点解法三：等价转化法
1．(2023·福建·厦门外国语学校高三阶段练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】当时，由，可得，
不等式两边同时除以可得，
即，
令，，其中，，
所以，函数在上为增函数，且，由，可得，
所以，对任意的，，即，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，解得.
故选：B.
2．(2023·陕西·大荔县教学研究室高二期末（理））己知函数，，若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】，
令，
则，令，，
∵，∴p(x)在(0，+)上单调递增，
∵，
∴当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
∴，
∴≥恒成立，则．
故选：A
3．(2023·全国·一模（理））已知函数，，若≥恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：C
【详解】，
令，
则，令，，
∵，∴p(x)在(0，+)上单调递增，
∵，
∴当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
∴，
∴≥恒成立，则．
故选：C．
4．(2023·湖北·随州市第一中学高二阶段练习）已知函数，，对，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】由题意得：，恒成立，
即，恒成立，
令，则恒成立，
令，，则恒成立，
所以在为减函数，即，即，
所以为增函数，即，恒成立，
所以.
故选：D
5．(2023·四川广安·高三阶段练习（文））已知函数，（a为常数）．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
答案：(1)答案见解析
(2)
（1）
函数的定义域为，，
①若，有，函数在上单调递增；
②若，有，
∴当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
综上，当，函数在上单调递增；当，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）
∵对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
∴，即，
故得，设，
∵，
当时，，，
∴，故函数在上单调递增；
∴，故．
6．(2023·天津一中高三阶段练习）设函数，，其中，为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)若不等式在时恒成立，求的取值范围．
答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）
定义域为，．
当时，，在内单调递减；
当时，由，得．当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，当时，在内单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）
令，则．
当时，，单调递增，，
所以，从而．
（3）
由（2）得，当时，．
当时，时，，不符合题意．
当时，，由（1）得，
当时，，不符合题意．
当时，令，．

在区间上单调递增．
又因为，所以当时，，即恒成立．
综上，．
7．(2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知．
(1)当时，求在上的最大值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)当时，求恒成立，求正整数的最大值．
答案：(1)0；
(2)答案见解析；
(3)3．
（1）
，定义域是，，
时，，递增，时，，递减，
所以时，取得极大值也是最大值．
（2）
，定义域是，
，
，
若，则，恒成立，即恒成立，所以在上单调递减，
当时，
由得，，
所以或时，，时，，
所以在和上是减函数，在上是增函数；
时，，在上是增函数，在上是减函数．
综上，若，在上单调递减；时，在和上是减函数，在上是增函数；时，在上是增函数，在上是减函数．
（3）
时，求恒成立，即，
，
设，，
，
设，则，所以在上单调递减，
又，，所以存在唯一的，使得，，
时，，时，，
所以，，时，，
在上是减函数，在上是增函数，
，显然，
由得，
设，在时恒成立
在上递减，，
，所以，
所以，
则满足的最大的正整数的值为3．
第三部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·广西·模拟预测（文））已知函数
(1)若，求的值；
(2)若时，，求的取值范围
答案：(1)；
(2)
（1）
由可得，
所以，解得
（2）
即，由得，
令，，
，
令，，
，
得在单调递减，，
从而，，单调递减，
，，单调递增，
∴，故，
所以的取值范围.
2．(2023·河南平顶山·模拟预测（理））已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)令，若恒成立，求实数a的取值范围．
答案：(1)答案见解析；
(2).
（1）
函数的定义域为，
有，
令，有，则单调递增，
又知：当时，，当时，，
①当时，令得，此时的减区间为，增区间为，
②当时，，此时单调递增，增区间为，没有减区间，
③当时，令得或，此时的减区间为，增区间为，，
④当时，令得或，此时的减区间为，增区间为，；
（2）
由题设，则，可得，
①当时，由，，则恒成立，满足题意；
②当时，当且时，有，
则，不合题意；
③当时，，
由单调递增，且趋向于0时趋向，，
故存在正数使得，可得，
若恒成立，只需．
令，
有．
由有，令得，
所以的增区间为，减区间为，
当时，，，，，此时，
又，则，得，
由①②③知，若恒成立，则实数的取值范围为．
3．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1)若，求，；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
答案：(1)，
(2)．
（1）
解：∵，
∴，所以，即，
又．
又∵点在切线上，
所以切点坐标为.
∴，
所以，
又，
所以，．
（2）
解：由(1)可知，，
∵，在上恒成立，
设，则在上恒成立，
∴，又因为，
，，
当时，，
所以在上单调递减，，不符合题意．
当时，
又∵，
而当时．
若，，，在上单调递减，，不符合题意．
若
1°当即时，在上恒成立，
∴符合题意；
2°当，即时，
时，且当时，，在上单调递减，，不符合题意，故舍去．
∴综上所述，的取值范围为．
4．(2023·山东济南·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在上的最大值；
(2)当时，，求的取值范围.
答案：(1)
(2)
（1）
当时，，
，
当时，，
所以在上单调递增，所以.
（2）
注意到，，则，
若，，由（1）知，当时，；
当时，，
所以恒成立，符合题意；
若，，
当时，，不合题意；
若，因为时，，
所以在上单调递增，
因为，又，
所以存在，，
当时，，
在上单调递减，，不合题意；
综上，，的取值范围是.
5．(2023·四川·模拟预测（文））已知.
(1)若在上单调递增，上单调递减，求的极小值；
(2)当时，恒有，求实数的取值范围．
答案：(1)0
(2)
（1）
因为在上单调递增，上单调递减，所以，
，
所以，得，
所以，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以的极小值为；
（2）
，令，则，
若，则时，，为增函数，而，
所以当时，，从而；
若，则时，，为减函数，
因为，故时，，从而，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是．
6．(2023·河南·南阳中学模拟预测（理））已知函数
(1)求函数的最小值；
(2)设函数,若不等式对任意的恒成立，求实数a的值．
答案：(1)
(2)
（1）
的定义域为，
对函数求导得，
令，则，于是函数在上,,单调递减，
在上,单调递增，
所以函数的最小值为;
（2）
由条件知，
令，由（1）可知，
于是函数可转化为函数，
不等式对任意的恒成立，可转化为，
对任意的恒成立，即只需满足即可.
对函数求导得，
当时，，所以函数在上单调递减，
又，不符合题意，故舍去；
当时，令，解得：，
①当时，，则，
所以函数在上单调递增，但，不符合题意，故舍去；
②当时，由（1）知，单调递增，
故时，，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数，所以只需满足即可.
即，
构造函数且，求导得：，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，于是，
即，
于是，则，符合条件，
综上：．