2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展一：数列求通项(精讲)(原卷版+解析)

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第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：法：
角度1：用，得到
角度2：将题意中的用替换
角度3：已知等式中左侧含有：
重点题型二：法：
角度1：已知和的关系
角度2：已知和的关系
重点题型三：累加法
重点题型四：累乘法
重点题型五：构造法
重点题型六：倒数法
重点题型七：隔项等差数列
重点题型八：隔项等比数列
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：数列求通项（法、法）
1对于数列，前项和记为；
①；②
②：
2对于数列，前项积记为；
①；②
①②：
知识点二：累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
知识点三：累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
知识点四：构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
知识点五：倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
知识点六：隔项等差数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
知识点七：隔项等比数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：法：
角度1：用，得到
典型例题
例题1．(2023·江西萍乡·三模（理））已知正项数列的前项和满足：，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
例题2．(2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
例题3．(2023·吉林白山·一模（文））已知正项数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
同类题型归类练
1．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
2．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知数列的前n项和为，且.
(1)证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
3．(2023·江西萍乡·三模（文））已知正项数列的前项和满足：.
(1)求数列的通项公式；
4．(2023·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
角度2：将题意中的用替换
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足()，.
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
例题2．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列满足，前项和满足
(1)求数列的通项公式；
同类题型归类练
1．(2023·宁夏·灵武市第一中学高一期末）已知数列的前n项和为，，，则_________.
2．(2023·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列的前项和为，且 ；
(1)求数列的通项公式；
角度3：已知等式中左侧含有：
典型例题
例题1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，
(1)求数列的通项公式；
例题2．(2023·宁夏·银川一中一模（理））已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，且，，数列满足：对于任意，有，求数列的通项公式．
同类题型归类练
1．(2023·浙江·慈溪中学模拟预测）已知数列是等比数列，，且成等差数列.数列满足：.
(1)求数列和的通项公式；
2．(2023·全国·高三专题练习）设数列满足，求的通项公式．
3．(2023·贵州贵阳·高三开学考试（理））在数列中， ．
(1)求的通项公式；
重点题型二：法：
角度1：已知和的关系
典型例题
例题1．(2023·湖北·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.
(1)求与的通项公式.
例题2．(2023·福建·厦门一中高二阶段练习）数列的前项和为，数列的前项积为，且．
(1)求和的通项公式；
同类题型归类练
1．(2023·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知数列的前n项积.
(1)求数列的通项公式；
角度2：已知和的关系
典型例题
例题1．(2023·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为数列的前项积，已知，则= （ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·新疆·乌市八中高二期中（理））设数列的前项积为，且.
(1)求证数列是等差数列,求
(2)设，求数列的前项和.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
2．(2023·浙江省嘉善中学高三阶段练习）已知正项数列的前n项积为，且，．证明：
(1)数列为等差数列，并求数列的通项公式；
重点题型三：累加法
典型例题
例题1．(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
例题2．(2023·河北唐山·三模）已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；
同类题型归类练
1．(2023·浙江·三模）已知数列的前项和为，且满足，，数列满足，，其中．
(1)求数列和的通项公式；
2．(2023·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.
(1)求数列的通项公式；
重点题型四：累乘法
典型例题
例题1．(2023·福建南平·三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
例题2．(2023·安徽安庆·二模（理））已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
例题3．(2023·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列的前项和为，若，且.
(1)求的通项公式;
同类题型归类练
1．(2023·全国·模拟预测（理））已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
2．(2023·全国·模拟预测（理））已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
重点题型五：构造法
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，求的通项公式．
例题2．(2023·辽宁·高二阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的正整数，都有．
(1)求的通项公式；
同类题型归类练
1．(2023·浙江·温岭中学高二期末）已知数列满足.
(1)证明为等比数列，并求的通项公式；
2．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
重点题型六：倒数法
典型例题
例题1．(2023·湖北黄冈·高二期末）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，证明：数列是等比数列
例题3．(2023·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，
(1)求数列的通项公式.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项，，、、．
（1）证明：对任意的，，、、；
2．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
重点题型七：隔项等差数列
典型例题
例题1．(2023·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知数列各项都不为，且满足，
(1)求的通项公式；
例题2．(2023·辽宁·高二阶段练习）设各项均不等于零的数列的前项和为，已知.
(1)求的值，并求数列的通项公式；
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列{}的前n项和，，，.
(1)计算的值，求{}的通项公式；
2．(2023·河南·信阳高中高二期末（文））已知正项数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
重点题型八：隔项等比数列
典型例题
例题1．(2023·江西九江·三模（理））已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求；
例题2．(2023·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列满足，，.
求数列的通项公式；
同类题型归类练
1.若数列，，，求数列的通项公式.
2．(2023·浙江省富阳中学高三阶段练习）数列满足，求数列的通项公式；
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求
法归类
角度1：已知和的关系
角度1：用，得到
例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系
角度1：用替换题目中
例子：已知数列的前n项积为，且.
拓展一：数列求通项（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：法：
角度1：用，得到
角度2：将题意中的用替换
角度3：已知等式中左侧含有：
重点题型二：法：
角度1：已知和的关系
角度2：已知和的关系
重点题型三：累加法
重点题型四：累乘法
重点题型五：构造法
重点题型六：倒数法
重点题型七：隔项等差数列
重点题型八：隔项等比数列
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：数列求通项（法、法）
1对于数列，前项和记为；
①；②
②：
2对于数列，前项积记为；
①；②
①②：
知识点二：累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
知识点三：累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
知识点四：构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
知识点五：倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
知识点六：隔项等差数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
知识点七：隔项等比数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：法：
角度1：用，得到
典型例题
例题1．(2023·江西萍乡·三模（理））已知正项数列的前项和满足：，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
（1）由题意：，两式相减得到，又，是首项为，公比为的等比数列，再由成等差数列得，得，即，则， 的通项公式为.
例题2．(2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
答案：(1)证明见解析
（1）因为，所以，即，则．又，，满足，所以是公差为4的等差数列．
例题3．(2023·吉林白山·一模（文））已知正项数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)；
当时，且，所以.
当时，，
所以，
所以，又，
所以，即是首项为1，公差为3的等差数列，故.
同类题型归类练
1．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
答案：(1)
（1）当时，；当时，．综上，
2．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知数列的前n项和为，且.
(1)证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
答案：(1)证明见解析，
（1）当时，由可得,由已知，有,两式相减得 ,即, 因为，所以,所以,所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以 ；
3．(2023·江西萍乡·三模（文））已知正项数列的前项和满足：.
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
（1）由题意：，当时，可得，两式相减得到又，是首项为，公比为的等比数列的通项公式为.
4．(2023·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
答案：(1)；
(1)由题意，当时，，
则，可得，
由数列是正项数列可知，，又，
得，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以；
角度2：将题意中的用替换
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足()，.
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
答案：(1)
(2)
（1）由题意可得, 当时，,
当时，, 即 , 可得 ,
即数列 是首项为2 ,公差为2的等差数列 , , 可得.
经检验，时，满足上式，
故.
（2）由(1)可得，当时，,
当时，,不符合，
综上所述, 结论是:
.
例题2．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列满足，前项和满足
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)；
解：∵
∴
∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数数列，
∴，即，
当时，，
当时，也成立，
∴.
同类题型归类练
1．(2023·宁夏·灵武市第一中学高一期末）已知数列的前n项和为，，，则_________.
答案：
【详解】因为，
所以，所以，又因为，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
2．(2023·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列的前项和为，且 ；
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
由题意正项数列的前项和为，
当时， ，
故，所以 ，
即，所以 是以为首项，以1为公差的等差数列，
则 ，
所以 ，
即，
但 不适合上式，故；
角度3：已知等式中左侧含有：
典型例题
例题1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
（1）解：因为，①当时，．②①②得，所以．当时，，也满足上式，所以．
例题2．(2023·宁夏·银川一中一模（理））已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
解：由题可知，①，
所以，②，
①②得，所以（*），
又因为，所以，符合（*）式，
所以；
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，且，，数列满足：对于任意，有，求数列的通项公式．
答案：.
【详解】设数列的公比为，
∵，，则，
∴，，，
所以数列的通项公式，
，
当时，，
两式相减得：，
即，，
又∵，，即，满足上式，
所以.
同类题型归类练
1．(2023·浙江·慈溪中学模拟预测）已知数列是等比数列，，且成等差数列.数列满足：.
(1)求数列和的通项公式；
答案：(1)；
（1）设等比数列的公比为，则，由于成等差数列，则，故，即，则.从而，当时，，故；当时，，两式相减得，因此.显然当时，也成立.因此综合上述，数列和的通项公式为：；
2．(2023·全国·高三专题练习）设数列满足，求的通项公式．
答案：.
【详解】数列满足，
当时，得，
时，由可得，
两式相减得：，
∴，
当时，，上式也成立.
∴；
3．(2023·贵州贵阳·高三开学考试（理））在数列中， ．
(1)求的通项公式；
答案：(1)；
因为 ，
所以当时，，
所以，
所以，
当 时，满足上式，
所以；
重点题型二：法：
角度1：已知和的关系
典型例题
例题1．(2023·湖北·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.
(1)求与的通项公式.
答案：(1)，
解：（1）由，
当时，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，
由，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以；
例题2．(2023·福建·厦门一中高二阶段练习）数列的前项和为，数列的前项积为，且．
(1)求和的通项公式；
答案：(1)；
当时，，当时，，
所以，因为，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；
当时，，当时，，时也符合，所以．
同类题型归类练
1．(2023·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知数列的前n项积.
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
.
当时，；
当时，，也符合.
故的通项公式为.
角度2：已知和的关系
典型例题
例题1．(2023·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为数列的前项积，已知，则= （ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】则，代入，
化简得：，则.
故选:C.
例题2．(2023·新疆·乌市八中高二期中（理））设数列的前项积为，且.
(1)求证数列是等差数列,求
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)证明见解析；
因为数列的前n项积为，且，
∴当n=1时，，则，.
当n≥2时，，∴，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
由，则由得
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
答案：(1)证明见解析
（1）因为，所以，所以，两式相除，得，整理为，再整理得，．所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．
2．(2023·浙江省嘉善中学高三阶段练习）已知正项数列的前n项积为，且，．证明：
(1)数列为等差数列，并求数列的通项公式；
答案：(1)证明见解析，
解：由，当时，即，
当时，，则，即．
又，因此以2为首项，1为公差的等差数列．因此，即．
当时，．
当时也符合要求，故数列的通项公式．
重点题型三：累加法
典型例题
例题1．(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
答案：(1)证明见解析，
（1）由，可得又，，所以.所以首项为，公比为的等比数列.所以.所以.又满足上式，所以
例题2．(2023·河北唐山·三模）已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
(1)
由已知，
即．
又，故，即（且）．
所以，当时，
当时，．
所以．
同类题型归类练
1．(2023·浙江·三模）已知数列的前项和为，且满足，，数列满足，，其中．
(1)求数列和的通项公式；
答案：(1)，
解：由得，，
当时，，
当时，，作差得，
即，则，
因此，所以，又满足．
所以，对任意的，，
所以，则，
所以，当时，，
也满足，
所以，对任意的，.
2．(2023·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
解：因为，
所有，
当时，，，……，，
相加得，所以，
当时，也符合上式，
所以数列的通项公式；
重点题型四：累乘法
典型例题
例题1．(2023·福建南平·三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
（1）因为，，所以当时，，则，即，当时，也成立，所以.
例题2．(2023·安徽安庆·二模（理））已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
答案：(1)，
解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
例题3．(2023·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列的前项和为，若，且.
(1)求的通项公式;
答案：(1)
由得：，
则当时，，
又，，，
经检验：满足；
.
同类题型归类练
1．(2023·全国·模拟预测（理））已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
当时，，
则，即，
，
n＝1也满足上式，故；
2．(2023·全国·模拟预测（理））已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
∵，，，∴，
∴，
∴，，，…，，
将上述式子左右分别相乘得，
∴．
∵满足上式，
∴．
重点题型五：构造法
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，求的通项公式．
答案：，.
【详解】．①
当时，，可得，
当时，，②
①－②得，则，而不为零，
故是首项为1，公比为2的等比数列，则，
∴数列的通项公式为，．
例题2．(2023·辽宁·高二阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的正整数，都有．
(1)求的通项公式；
答案：(1)
解：∵对任意的正整数都成立，
∴，
两式相减，得，
∴，
即，
∴，
∴是以2为公比的等比数列，由已知得，
，
即；
同类题型归类练
1．(2023·浙江·温岭中学高二期末）已知数列满足.
(1)证明为等比数列，并求的通项公式；
答案：(1)证明见解析，
证明：因为，
所以，
又，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
则，
所以；
2．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
答案：(1)证明见解析，
（1）解：因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.
重点题型六：倒数法
典型例题
例题1．(2023·湖北黄冈·高二期末）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)；
解：因为，，则，可得，
，可得，以此类推可知，对任意的，.
由，变形为，
是一个以为公差的等差数列，且首项为，
所以，，因此，.
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，证明：数列是等比数列
答案：证明见解析
【详解】因为，所以，即，
所以，
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列.
例题3．(2023·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，
(1)求数列的通项公式.
答案：(1)
解：因为，
所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以；
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项，，、、．
（1）证明：对任意的，，、、；
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）对任意的，，则，
因为，可得，，，
以此类推，可知，对任意的，，且有，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，解得，，
对任意的，，
，得证；
2．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
答案：（1）；（2）.
【详解】（1）因为，令，则，又，
所以，
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，故；
重点题型七：隔项等差数列
典型例题
例题1．(2023·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知数列各项都不为，且满足，
(1)求的通项公式；
答案：(1)；
（1）①当时，②①②的奇数项和偶数项各自成等差数列且为奇数），（为偶数
例题2．(2023·辽宁·高二阶段练习）设各项均不等于零的数列的前项和为，已知.
(1)求的值，并求数列的通项公式；
答案：(1)，，
因为，
当时，，所以，
当时，，所以，
又因为，当时，，
两式相减得：，又因为，
所以，
当为偶数时，的奇数项是以为首项，公差为4的等差数列，所以，
当为奇数时，的偶数项是以为首项，公差为4的等差数列，所以，
所以，.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列{}的前n项和，，，.
(1)计算的值，求{}的通项公式；
答案：(1)，
当时，，解得
由题知 ①
②
由②①得，
因为，所以
所以数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列；偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列；
当n为奇数时，
当n为偶数时，所以的通项公式.
2．(2023·河南·信阳高中高二期末（文））已知正项数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
∵，
∴．
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．∵，
∴为等差数列，通项公式为．
重点题型八：隔项等比数列
典型例题
例题1．(2023·江西九江·三模（理））已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求；
答案：(1)
（1）当时，，∵，∴.当时，由，得，两式相减得即∴数列，均为公比为4的等比数列∴，∴
例题2．(2023·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列满足，，.
求数列的通项公式；
答案：(1)
解：由题意，当时，，可得，
因为，可得，所以，，
所以数列的奇数项和偶数项都是公比为的等比数列.
所以当为奇数时，设，则，
当为偶数时，设，则.
因此，.
同类题型归类练
1.若数列，，，求数列的通项公式.
答案
当是奇数时：，整理得；当是偶数时：，整理得
解：因为，所以，两式相除：，所以是隔项等比数列；
构成以为首项的等比数列，公比为；
构成以为首项的等比数列，公比为；
当是奇数时：，整理得
当是偶数时：，整理得
2．(2023·浙江省富阳中学高三阶段练习）数列满足，求数列的通项公式；
答案：(1)
依题意，数列满足，，
两式相除并化简得，，
所以是公比为的等比数列，其中的首项为，的首项为.
所以，
所以.法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求
法归类
角度1：已知和的关系
角度1：用，得到
例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系
角度1：用替换题目中
例子：已知数列的前n项积为，且.