2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)利用导数研究不等式能成立(有解)问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)利用导数研究不等式能成立(有解)问题(精讲)(原卷版+解析)，共59页。试卷主要包含了分离参数法，分类讨论法，等价转化法，最值定位法解决双参不等式问题，值域法解决双参等式问题等内容，欢迎下载使用。

第一部分：：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点解法一：分离变量法
重点解法二：分类讨论法
重点解法三：等价转化法
重点解法四：最值定位法解决双参不等式问题
重点解法五：值域法解决双参等式问题
第三部分：高考（模拟）题体验
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
5、值域法解决双参等式问题
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点解法一：分离变量法
1．(2023·河南焦作·高二期末（理））若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高二）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·福建省福州第一中学高二期中）关于的不等式只有唯一实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知存在，使得成立，则实数的取值范围是__________．
6．(2023·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））已知函数，若，则实数a的取值范围是___________.
7．(2023·全国·高二）若存在正数使成立，则的取值范围是______.
8．(2023·全国·高二专题练习）已知关于x的不等式有解，则实数a的取值范围为________．
9．(2023·福建·莆田二中高二期中）已知函数.
(1)若，求函数的极小值.
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
10．(2023·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））已知函数在点处的切线为．
（1）求函数的解析式：
（2）若存在实数m，使得在x时成立，求m的取值范围．
11．(2023·河北深州市中学高三阶段练习）已知函数.
(1)若是的极值点，确定的值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围.
12．(2023·全国·高二专题练习）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
重点解法二：分类讨论法
1．(2023·北京·北师大二附中高二阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值.
(2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.
(3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
2．(2023·辽宁·沈阳二中高二期中）函数，，e为自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若有且只有唯一整数，满足，求实数a的取值范围.
3．(2023·山西大附中高二阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数y＝f（x）的单调区间；
(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数a的取值范围．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且．
(1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值;
(2)求θ的值;
(3)若在[1， e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围．
5．(2023·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，证明函数在区间上只有一个零点；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.
6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中，为自然对数的底数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
重点解法三：等价转化法
1．(2023·甘肃定西·高二开学考试（理））已知函数，
(1)求在处的切线方程
(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．
2．(2023·全国·高三专题练习（理））已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围.
3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ax－2lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
4．(2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
5．(2023·宁夏·吴忠中学高二期末（理））已知函数，
(1)若，求函数的极值；
(2)设函数，求函数的单调区间；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范围．
6．(2023·广东·广州科学城中学高二期中）已知函数（）．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
重点解法四：最值定位法解决双参不等式问题
1．(2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．7B．5C．D．3
2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）已知函数，，若， ，使得，则实数的取值范围是____．
4．(2023·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是______
5．(2023·新疆石河子一中高二阶段练习（理））已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是_________．
6．(2023·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）己知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．
7．(2023·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调区间；
(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.
8．(2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数，.
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.
9．(2023·重庆南开中学高二期末）设函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.
10．(2023·上海·高三专题练习）已知两函数，，其中为实数.
（1）对任意，都有成立，求的取值范围；
（2）存在，使成立，求的取值范围；
（3）对任意，都有，求的取值范围.
11．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．
12．(2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；
（2）若函数，对，，使成立，求实数的取值范围．
重点解法五：值域法解决双参等式问题
1．(2023·北京·高三专题练习）已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（ ）
A．[2，5]B．
C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·内蒙古师大附中高二期末（理））已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4）B．（e，4]C．（e，4）D．（，4]
4．(2023·首都师范大学附属中学高二期中）已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是________．
5．(2023·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是______．
6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若、，使得，则实数的取值范围为________.
7．(2023·山东省莱西市第一中学高二阶段练习）已知函数. ，使得)，求实数a的取值范围.
8．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）若，，，求的取值范围．
9．(2023·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
第三部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知函数，若，，使得成立，则实数k的取值范围为_______．
2．（2023·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
3．(2023·江西南昌·模拟预测（理））已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
4．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）已知函数，（），其中e是自然对数的底数.
(1)当时，
（ⅰ）求在点处的切线方程；
（ⅱ）求的最小值；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范围
5．(2023·北京朝阳·二模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
6．(2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知函数.
(1)若曲线与直线相切，求a的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.
拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题（精讲）
目录
第一部分：：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点解法一：分离变量法
重点解法二：分类讨论法
重点解法三：等价转化法
重点解法四：最值定位法解决双参不等式问题
重点解法五：值域法解决双参等式问题
第三部分：高考（模拟）题体验
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
5、值域法解决双参等式问题
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点解法一：分离变量法
1．(2023·河南焦作·高二期末（理））若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】存在，不等式成立，
则，能成立，
即对于，成立，
令，，
则，令，
所以当，单调递增，
当，单调递减，
又，所以f(x)>−3，
所以.
故选：C
2．(2023·全国·高二）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】依题意：
，令，
则，
令，
则，易知单调递增，
，所以单调递增，
故，故，
则在上单调递增，故，
即实数的取值范围为，
故选：B.
3．(2023·福建省福州第一中学高二期中）关于的不等式只有唯一实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】题中显然有，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
，所以，
由得
设，则，
设，
则，设，
，时，，递减，时，，递增，
而，所以，是增函数，
又，所以时，，，递减，时，，，递增，
所以，
不等式只有一解，则．
故选：A．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】由题意可得：使得不等式成立.
令则.
而，，
所以当时，，所以在单调递增，所以，所以，
所以在上单调递增，因为，所以，
故实数a的取值范围为.
故选：A
5．(2023·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知存在，使得成立，则实数的取值范围是__________．
答案：
【详解】令，则
令，则
在上单调递增，在上单调递减
∴，即
故答案为：．
6．(2023·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））已知函数，若，则实数a的取值范围是___________.
答案：
【详解】由，可得，
令，则，
∴，函数单调递增，，函数单调递减，
所以时，函数有最大值，
∴.
故答案为：.
7．(2023·全国·高二）若存在正数使成立，则的取值范围是______.
答案：
【详解】由不等式，可得，所以，
设，可得，在上单调递减函数，
当时，，
要使得存在正数使成立，则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
8．(2023·全国·高二专题练习）已知关于x的不等式有解，则实数a的取值范围为________．
答案：
【详解】因为有解，所以
记，则
易知，当时，，当时，
所以当时，函数取得最大值
所以a的取值范围为：
故答案为：
9．(2023·福建·莆田二中高二期中）已知函数.
(1)若，求函数的极小值.
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
答案：(1)1；
(2).
（1）
当时，则，令，得．
时，函数的单调递增区间为，
时，函数的单调递减区间为；
所以函数的极小值为.
（2）
由题设，在上，
设，则，显然当时恒成立，
所以在单调递增，则，
综上，，故．
10．(2023·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））已知函数在点处的切线为．
（1）求函数的解析式：
（2）若存在实数m，使得在x时成立，求m的取值范围．
答案：（1）；（2）．
【详解】（1）由题意知：的定义域为，
∵∴，解得
故．
（2）令，，
∴，故在时，单调递增，．
要存在实数m，使得在时成立，
只要即可，解得：．
11．(2023·河北深州市中学高三阶段练习）已知函数.
(1)若是的极值点，确定的值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围.
答案：(1)
(2)
（1）
解：因为，该函数的定义域为，则，
由已知可得，可得，此时，列表如下：
所以，函数在处取得极大值，合乎题意，故.
（2）
解：存在，使得可得，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
12．(2023·全国·高二专题练习）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
答案：（1）；（2）.
【详解】（1）当时，，则，所以，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）若存在，使不等式成立，
即存在，使不等式成立，
存在，不等式成立，
设，，则，
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
又，，，
即，故，
所以实数的取值范围为.
重点解法二：分类讨论法
1．(2023·北京·北师大二附中高二阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值.
(2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.
(3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
答案：(1)函数的极大值为，极小值为；
(2)或；
(3).
（1）
解：由已知，得，
时，．令，可得或，
函数在，，上为单调增函数，在，上为单调减函数，
所以函数的极大值为，极小值为.
函数的极大值为，极小值为.
（2）
解：，
令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内，
满足或恒成立，
当且仅当时，，时，，
因为，所以当且仅当时，，时，，
因为在内有，当且仅当即时取等号，
所以当时，，，此时在单调递增，
当时，，，此时在单调递减，
综上，的取值范围为或．
（3）
解：，在，上是减函数，
时，；时，，即，.
①时，由（2）知在，递减（1），不合题意.
②时，由，，
不合题意
③时，由（1）知在，上是增函数，故只需，
，，而（e），，
，解得．
故的取值范围为，．
2．(2023·辽宁·沈阳二中高二期中）函数，，e为自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若有且只有唯一整数，满足，求实数a的取值范围.
答案：(1)
(2)
(1)
当时，， ，
所以，，所以函数在处的切线方程为：
，即：
(2)
由得，
当时，不等式显然不成立；
当时，；当时，
设，则，
所以函数在和上为增函数，在和上为减函数，
所以当时，（舍），当时，，
当时，，由得，，
又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，所以，即，所以
综上所述，a的取值范围为.
3．(2023·山西大附中高二阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数y＝f（x）的单调区间；
(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数a的取值范围．
答案：(1)在单调递增，在单调递减
(2)
(1)
当a＝3时，f（x）＝3lnx﹣x，
则，且定义域为
由；
f(x)在单调递增，在单调递减；
(2)
由题意，，等价于，在上能成立
令，，则g（x）在上的最小值小于0，
则，
①当1+a≥1，即a≥0时，g（x）在上单调递减，
所以函数g（x）在上的最小值为g（1）＝1+a+1＝a+2＜0，
故a＜﹣2，不符合题意，舍去；
②当，即，g（x）在上单调递增，
所以函数g（x）在上的最小值为，
解得，又，故，
③当，即时，
故g（x）在上单调递减，在[1+a，1]上单调递增，
所以g（x）在上的最小值为
因为，所以﹣1＜ln（a+1）＜0，
所以
所以不符合题意，舍去；
综上所述，实数a的取值范围为．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且．
(1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值;
(2)求θ的值;
(3)若在[1， e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围．
答案：(1)增区间是，减区间为， 函数有极大值;
(2)
(3)
(1)
解：∵，
∴，，
∴．
令，则．∴，和的变化情况如下表：
即函数增区间是，减区间为， 函数有极大值是;
(2)
由已知在上恒成立，
即，在上恒成立，
∵，∴，
故在上恒成立，只需，
即，∴只有，
由，知；
(3)
令
当时，由，则，，
此时不存在，使得成立
当 时，，
所以在上单调递增，
所以，
令，则，
所以实数m的取值范围是.
5．(2023·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，证明函数在区间上只有一个零点；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.
答案：(1)证明见解析
(2)或
(1)
证明：当时，，
令，
∴在上为增函数，
∵，
∴，使，
∴当时，；当时，，
因此，在上为减函数，在 上为增函数，
当时，，当时，，
故函数f(x)在上只有一个零点．
(2)
解：当时，，由（1）可知，，即，
∴当时，，在上为减函数，当时，，在 上为增函数，
∴，
由，知，
设，则，
∴在上为减函数，
又，
∴当时，，当时，，
∴存在，使不等式成立，此时；
当时，由（1）知，在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以不存在，使不等式 成立，
当时，取，即，所以，
所以存在，使不等式 成立，
综上所述，的取值范围是或．
6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中，为自然对数的底数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
答案：(1)在单调递减；在上单调递增；
(2).
(1)
函数的定义域为，
由可得，
由可得，由可得，
所以在单调递减；在上单调递增；
(2)
由题意得，且，
当时，因为时，，所以在上单调递减，
又因为，故在上不可能恒成立；
当时，令，
则，
所以在上单调递增，则，
①当，即时，在上单调递增，
所以，故在上恒成立；
②当，即时，，，
故存在在使得，
此时函数在上单调递减，又，
故在上不可能恒成立，故不符合题意.
综上所述，的取值范围.
重点解法三：等价转化法
1．(2023·甘肃定西·高二开学考试（理））已知函数，
(1)求在处的切线方程
(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．
答案：(1)
(2)
（1）
由，可得，
所以切线的斜率，．
所以在处的切线方程为，即；
（2）
令，
则，
令，，
在上，，
在上单调递增，
，
．
2．(2023·全国·高三专题练习（理））已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围.
答案：(1)在和上单调递增，在上单调递减
(2)
(1)
函数的定义域是
.
当时，由，得或，
由，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减.
(2)
至少存在一个，使得成立，即当时，
有解
∵当时，，∴有解，
令，则.
∵，
∴在上单调递减，∴，
∴，即，
∴实数a的取值范围.
3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ax－2lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
答案：(1)答案见解析；
(2).
（1）
当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；
当a＞0时，令得；令得；
综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；
（2）
由题意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解
则ax≤x－2＋2lnx，．
令，
所以，因此有
所以a的取值范围为：
4．(2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
答案：(1)函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值
(2)
(1)
解：当时，，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以函数的极大值为，无极小值；
(2)
解：若存在，使不等式成立，
则，即，
则问题转化为，
令，，
，
当时，，当时，，
所以函数在递增，在上递减，
所以，
所以.
5．(2023·宁夏·吴忠中学高二期末（理））已知函数，
(1)若，求函数的极值；
(2)设函数，求函数的单调区间；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范围．
答案：(1)极小值为，无极大值
(2)单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)
(1)
当时，，定义域为，
令得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是函数的极小值点，的极小值为，无极大值
(2)
，定义域为
因为，所以，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减.
综上：单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)
存在，使得成立，等价于存在，使得，即在上有
由（2）知，单调递增区间为，单调递减区间为，所以
当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，由得：，因为，故.
当，即时，由（2）知：在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为
令
因为，所以，则，即，不满足题意，舍去
综上所述：a的取值范围为
6．(2023·广东·广州科学城中学高二期中）已知函数（）．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
答案：（1）答案见解析；（2）．
【详解】（1）．
当时，，∴在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或，由，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解．
∵当时，，∴有解，
令，，则．
∵，
∴在上单调递减，∴，
∴，即，
∴实数的取值范围．
重点解法四：最值定位法解决双参不等式问题
1．(2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．7B．5C．D．3
答案：D
【详解】因为，所以，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，，，
所以当时，，
因为，所以在区间上单调递减，
所以当时，，
因为对任意，总存在，使得成立，所以，即，
所以实数的最大值为3，
故选：D
2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】因为对于任意的，存在，使，则，
因为在上单调递减，
所以当时，，
当时，，即在上单调递增，则
当，
由解得：，
所以实数a的取值范围为.
故选：C
3．(2023·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）已知函数，，若， ，使得，则实数的取值范围是____．
答案：
【详解】当时，由得，，
∴在单调递减，
∴是函数的最小值，
∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），
可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，
即∃x∈[2，3]，使成立，即∃x∈[2，3]，使成立，故.
故答案为：
4．(2023·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是______
答案：
【详解】对任意都存在使成立，
所以得到，
而，所以，
即存在，使，
此时，，
所以，
因此将问题转化为：
存在，使成立，
设，则，
，
当，，单调递减，
所以存在，使成立，则，
即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
5．(2023·新疆石河子一中高二阶段练习（理））已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是_________．
答案：
【详解】存在，，使得成立，等价于，，使得成立．因为，∴函数在上单调递增，上单调递减，∴时，函数取得极小值即最小值，所以
．，可得函数在上单调递减，∴．
∴．因此实数a的取值范围是．
故答案为：．
6．(2023·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）己知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．
答案：(1)；
(2).
（1）
由，可得．
因为，，
所以切点坐标为，切线方程为：，
因为切线经过，所以，解得．
（2）
由题知的定义域为，，
令，解得或，
因为所以，所以，
令，即，解得：，
令，即，解得：或，
所以增区间为，减区间为．
因为，所以函数在区间的最大值为，
函数在上单调递增，故在区间上，
所以，即，故，
所以的取值范围是.
7．(2023·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调区间；
(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.
答案：(1)答案见解析
(2)
(1)
，
①当时，由于，故，，
所以的单调递增区间为；
②当时，由，得，
在区间上，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)
由题目知，只需要即可
又因为，所以只需要即可
即等价于恒成立，
由变量分离可知，，
令，下面求的最小值，
令，所以得，
所以在为减函数，为增函数，
所以，所以.
8．(2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数，.
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.
答案：(1)极大值，极小值
(2)
(1)
解：函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：
故函数的极大值为，极小值为.
(2)
解：对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.
9．(2023·重庆南开中学高二期末）设函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.
答案：(1)答案见解析；
(2).
（1）
,
,
①当时，恒成立，
在上单调递增.
②当时，恒成立，在上单调递减，
③当时，，
在单调递减，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
当时，在单调递减，单调递增.
（2）
由题意可知：
在单调递减，单调递增
由（1）可知：
①当时，在单调递增，则恒成立
②当时，在单调递减，
则应（舍）
③当时，，
则应有
令，则，且
在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解
综上，.
10．(2023·上海·高三专题练习）已知两函数，，其中为实数.
（1）对任意，都有成立，求的取值范围；
（2）存在，使成立，求的取值范围；
（3）对任意，都有，求的取值范围.
答案：（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）依题意，，
令，则对任意，都有成立，等价于对任意，都有成立，
，而，则当或时，，当时，，
因此，在和上都单调递减，在上单调递增，当时，取极小值，当时，取极大值，
而，，于是得当时，，，
所以的取值范围是；
(2)由(1)知，，，，
存在，使成立，等价于存在，有成立，则，
所以的取值范围是；
(3)当时，，当时，，
当时，，当或时，，当时，，
则在和上都是递增的，在上递减，而，，从而得当时，，
对任意，都有，等价于在的最大值不大于在上的最小值，
即，解得，
所以的取值范围是.
11．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．
答案：（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【详解】解：（1）∵，∴
（1）当时，∵，∴，，∴单减，∴减区间是．
时，，∴单增，∴增区间是．
（2）当时，∵，∴，∴的减区间是．
（3）当时，∵，∴的减区间是．
（4）当时，，∴，∴的增区间是，
，，∴的减区间是．
（2），因为存在实数，使得不等式成立，∴
，∵，，，单减，，，∴单增．∴，．
∴，∴，∵，∴．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．
12．(2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；
（2）若函数，对，，使成立，求实数的取值范围．
答案：（1）；（2）．
【详解】（1），
在上单调递增，在上恒成立，，
当时，，，
实数的最小值为.
（2）对“，，使成立”等价于“当时，”，
在上单调递增，，
，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，解得：，即实数的取值范围为.
重点解法五：值域法解决双参等式问题
1．(2023·北京·高三专题练习）已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（ ）
A．[2，5]B．
C．D．
答案：A
【详解】，
所以在[1，2]递减，在（2，3]递增，
,
可得的值域为，
对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为，
若对，，使得，
可得的值域为的值域的子集.
则，且，解得，
故选：A.
2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】解：不妨设，
，，
，即，，
故，
令，
，，
故在上是减函数，且，
当时，，当时，，
即当时，取得极大值同时也是最大值，
此时，即的最大值为，
故选：．
3．(2023·内蒙古师大附中高二期末（理））已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4）B．（e，4]C．（e，4）D．（，4]
答案：B
【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0故选:B．
4．(2023·首都师范大学附属中学高二期中）已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是________．
答案：
【详解】解：，
因为在区间上存在，使得成立，
所以函数在区间不是单调函数，
所以在上有解，
所以在上有解，
所以.
所以，实数a的取值范围是.
故答案为：
5．(2023·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是______．
答案：
【详解】由，得，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即，
由，得，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，即，
因为，，使得，
所以，解得，
故答案为：
6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若、，使得，则实数的取值范围为________.
答案：
【详解】因为，所以，因此在时，单调递减，
所以有.
当时，函数是单调递增函数，当时，
，即，
因为、，使得，
所以有：，
令，
因为，所以，因此函数 单调递增，
所以有，因此不等式组的解集为：，而，所以；
当时，函数是单调递减函数，当时，
，即，
因为、，使得，
所以有：，
令，
因为，所以，因此函数 单调递减，
所以有，因此不等式组 的解集为空集，
综上所述：.
故答案为：
7．(2023·山东省莱西市第一中学高二阶段练习）已知函数. ，使得)，求实数a的取值范围.
答案：
【详解】由题设，f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由a>0，
当x∈(－∞,0)时f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞,－1]上单调递减，且值域为[.
∵g(x)＝，
∴g′(x)＝′＝＝，
∵x<－时，g′(x)>0，
∴g(x)在上单调递增，且值域为.
若∃x1∈(－∞,－1]，∃x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，则1＋<，可得a<.
综上，故实数a的取值范围是.
8．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）若，，，求的取值范围．
答案：（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.
【详解】（1）．
在和上，，单调递增．
在上，，单调递减．
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）可知，在和上单调递增，在上单调递减．
又，，，．
所以在上，．
又．
所以在上，，，
即．
因为，，，
所以解得．
故的取值范围是．
9．(2023·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
答案：[－2，0].
【详解】由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为.
令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，
则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.
当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，
所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.
又由题意可知，h(x)的值域是的子集，
所以
解得实数a的取值范围是[－2，0].
第三部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．(2023·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知函数，若，，使得成立，则实数k的取值范围为_______．
答案：
【详解】解：，即，
当时显然不成立，即在时不满足原式，
当时，整理得：
令，，则，
∵当时，，，
则当时恒成立，
∴在上单调递减，则
则，即
综上所述：实数的取值范围为
故答案为：
2．（2023·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
答案：（I）；（II）证明见解析；（III）
【详解】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
3．(2023·江西南昌·模拟预测（理））已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
答案：(1)的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
（1）
解：当时，，
，
当时，，，所以，即在上单调递增，
当时，，，所以，即在上单调递减，
则的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）
解：因为，
则，
①当时，即时，因为，，，
所以，因此函数在区间上单调递增，
所以，不等式在区间上无解；
②当时，即时，当时，，，
因此，所以函数在区间上单调递减，
，不等式在区间上有解．
综上，实数的取值范围是．
4．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）已知函数，（），其中e是自然对数的底数.
(1)当时，
（ⅰ）求在点处的切线方程；
（ⅱ）求的最小值；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范围
答案：(1)（ⅰ）；（ⅱ）
(2)答案见解析
(3)
（1）
当时，，.
（ⅰ），，∴切线方程为.
（ⅱ），令，得，
∴当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴.
（2）
∵（），
令得，，
当时，，无零点，
当时，令，则，
令，得，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴，
当，即时，，函数在上无零点，
当，即时，，函数在上有唯一零点，
当，即时，，又，，
∴函数在，上各有一个零点，
综上，当时，函数在上无零点，
当时，函数在上有唯一零点，
当时，函数在上有两个零点.
（3）
由得，，
∴，即，
令，则在上有解，
令，当时，，不合题意；
当时，则，令得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
∴，
∴，即，∴，即a的取值范围为.
5．(2023·北京朝阳·二模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
答案：(1)当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；
(2).
（1）
因为，
所以．
当时，与的变化情况如表所示：
所以当时，函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为．
（2）
当时，，所以函数为偶函数．
所以当时，函数的单调递增区间为，，
函数的单调递减区间为，,
所以函数的最大值为．
设，则当时，．
对任意，存在，使得成立，
等价于．
当时，函数在区间上的最大值为，不合题意．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得或，
所以．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得，
所以.
综上所述，的取值范围是．
6．(2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知函数.
(1)若曲线与直线相切，求a的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.
答案：(1)
(2)
(1)
的定义域为，.
令，得，又，
所以曲线的斜率为1的切线为，
由题意知这条切线即，故.
(2)
存在，使得成立，即存在，使得成立.
设，则.
设，则.
当时，，当时，，
所以.
若，则，即，所以单调递增，
故当时，，不符合题意.
若，，，
所以存在，使得，
当时，，即，在上单调递减，
所以当时，，符合题意.
综上可知，的取值范围是.增
极大值
减
+
0
递增
极大值
递减
x
g'(x)
＋
0
－
g(x)
↗
极大值
↘
增
极大值
减
极小值
增
0
单调递增
单调递减