高考数学微专题集专题26求动点轨迹方程微点5参数法求动点的轨迹方程(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题26求动点轨迹方程微点5参数法求动点的轨迹方程(原卷版+解析)，共24页。
专题26 求动点轨迹方程
微点5 参数法求动点的轨迹方程
【微点综述】
在高考和数学竞赛中有关求动点的轨迹方程题屡见不鲜，就大的范围来说，求曲线的轨迹方程不外乎直接法与间接（设参消参）法两种，然而有不少轨迹方程是很难用直接法来求解的，而是需要借助于参数才能间接得以解决．如果动点的流动坐标间不便直接联系时，可考虑选取参数作桥，先建立参数方程，然后消参得普通方程．
一、参数法求动点的轨迹方程
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响．
二、参数法求动点的轨迹方程一般步骤
第一步，选择坐标系，设动点坐标；
第二步，分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；
第三步，建立参数方程；
第四步，消去参数得到普通方程；
第五步，讨论并判断轨迹．
常用的消参方法有：代人消参，加减消参，整体代换法，三角消参法（）等．要特别注意：消参前后变量的取值范围不能改变．
三、参数法求动点的轨迹方程应用举例
利用参数求动点轨迹方程，关键是如何合理地选择参数，以及使用参数求动点轨迹方程还应注意哪些间题．
（一）如何选择参数求动点轨边方程
利用参数是求动点轨迹的重要方法，而参数选择的恰当与否，直接影响着解题速度和解题质量．若考察轨迹上点的变动因素，通常可取点的坐标或角度或有向线段作为参数；若所求的轨迹上的点可看作经过某定点的直线束上的点，常以直线束的斜率为参数．
1．以点的坐标为参数
1．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是
A．B．
C．D．
2．已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程．
2．以直线的倾斜角为参数
3．如图，给出定点A(a，0)(a>0)和直线l：x=-1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
3． 以直线斜率为参数
4．如图，设点 A 和 B 为抛物线上原点以外的两个动点，已知，．求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
5．过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程．
（二）注意事项
用参数法则求动点轨迹方程，要注意其方程的完各性和纯粹性．
1．完备性
6．等边，（定长），，两点分别在轴和轴上运动，求动点的轨迹方程．
2．纯粹性
7．当在内变动时，求抛物线顶点的轨迹．
运用参数法则求轨迹方程，应根据参数的取值范围，求出动点坐标的取值范围，才能确定其轨迹，否则，不能保证轨迹的纯悴性．
小结：
从上面的典型实例及解析中，我们可以看出，适当运用参数法求动点轨迹方程具有间接、迂回、化繁为简的优点，应用十分广泛．
选择参数的几点注意事项：
（1）点的坐标、角、直线斜率等均可选作参数，且选择的参数越少越好；
（2）所选参数最好能表示所有与动点有关的点的坐标或直线方程；
（3）若选择了一个参数，则必须且只需列两个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；若选择了两个参数，则必须且只需列三个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；也就是说，若选择了个参数，则必须且只需列个方程，然后消去这个参数，即可得到动点轨迹方程．
(2023·肥城市教学研究中心）
8．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．弦的中点轨迹是圆
B．直线的交点在定圆上
C．线段长的最大值为
D．的最小值
9．已知定点和抛物线，若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
10．如图，椭圆（，为常数），动圆，，点分别为的左，右顶点，与相交于四点，求直线与直线交点的轨迹方程.
11．已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；
（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
(2023·广东海珠·高二期末）
12．已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点），求动点的轨迹的方程．
(2023·贵州·二模（理））
13．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点，，为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程．
14．已知椭圆的左､右焦点分别为、，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两个不同的点、，点为坐标原点，则当的面积最大时，求线段的中点的轨迹方程.
15．在平面直角坐标系中，，，是满足的一个动点．求垂心的轨迹方程.
(2023·辽宁抚顺·高二期末）
16．已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．已知点，记直线的斜率分别为，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．
17．设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
专题26 求动点轨迹方程 微点5 参数法求动点的轨迹方程
专题26 求动点轨迹方程
微点5 参数法求动点的轨迹方程
【微点综述】
在高考和数学竞赛中有关求动点的轨迹方程题屡见不鲜，就大的范围来说，求曲线的轨迹方程不外乎直接法与间接（设参消参）法两种，然而有不少轨迹方程是很难用直接法来求解的，而是需要借助于参数才能间接得以解决．如果动点的流动坐标间不便直接联系时，可考虑选取参数作桥，先建立参数方程，然后消参得普通方程．
一、参数法求动点的轨迹方程
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响．
二、参数法求动点的轨迹方程一般步骤
第一步，选择坐标系，设动点坐标；
第二步，分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；
第三步，建立参数方程；
第四步，消去参数得到普通方程；
第五步，讨论并判断轨迹．
常用的消参方法有：代人消参，加减消参，整体代换法，三角消参法（）等．要特别注意：消参前后变量的取值范围不能改变．
三、参数法求动点的轨迹方程应用举例
利用参数求动点轨迹方程，关键是如何合理地选择参数，以及使用参数求动点轨迹方程还应注意哪些间题．
（一）如何选择参数求动点轨边方程
利用参数是求动点轨迹的重要方法，而参数选择的恰当与否，直接影响着解题速度和解题质量．若考察轨迹上点的变动因素，通常可取点的坐标或角度或有向线段作为参数；若所求的轨迹上的点可看作经过某定点的直线束上的点，常以直线束的斜率为参数．
1．以点的坐标为参数
1．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是
A．B．
C．D．
2．已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程．
2．以直线的倾斜角为参数
3．如图，给出定点A(a，0)(a>0)和直线l：x=-1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
3． 以直线斜率为参数
4．如图，设点 A 和 B 为抛物线上原点以外的两个动点，已知，．求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
5．过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程．
（二）注意事项
用参数法则求动点轨迹方程，要注意其方程的完各性和纯粹性．
1．完备性
6．等边，（定长），，两点分别在轴和轴上运动，求动点的轨迹方程．
2．纯粹性
7．当在内变动时，求抛物线顶点的轨迹．
运用参数法则求轨迹方程，应根据参数的取值范围，求出动点坐标的取值范围，才能确定其轨迹，否则，不能保证轨迹的纯悴性．
小结：
从上面的典型实例及解析中，我们可以看出，适当运用参数法求动点轨迹方程具有间接、迂回、化繁为简的优点，应用十分广泛．
选择参数的几点注意事项：
（1）点的坐标、角、直线斜率等均可选作参数，且选择的参数越少越好；
（2）所选参数最好能表示所有与动点有关的点的坐标或直线方程；
（3）若选择了一个参数，则必须且只需列两个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；若选择了两个参数，则必须且只需列三个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；也就是说，若选择了个参数，则必须且只需列个方程，然后消去这个参数，即可得到动点轨迹方程．
(2023·肥城市教学研究中心）
8．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．弦的中点轨迹是圆
B．直线的交点在定圆上
C．线段长的最大值为
D．的最小值
9．已知定点和抛物线，若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
10．如图，椭圆（，为常数），动圆，，点分别为的左，右顶点，与相交于四点，求直线与直线交点的轨迹方程.
11．已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；
（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
(2023·广东海珠·高二期末）
12．已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点），求动点的轨迹的方程．
(2023·贵州·二模（理））
13．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点，，为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程．
14．已知椭圆的左､右焦点分别为、，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两个不同的点、，点为坐标原点，则当的面积最大时，求线段的中点的轨迹方程.
15．在平面直角坐标系中，，，是满足的一个动点．求垂心的轨迹方程.
(2023·辽宁抚顺·高二期末）
16．已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．已知点，记直线的斜率分别为，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．
17．设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
参考答案：
1．B
【详解】设，，过点的直线为，
由得，直线代入得
则，
即，，所以
故选B
2．
分析：设、，利用定比分点公式求点坐标与点坐标间数量关系，根据点在抛物线上求的轨迹方程．
【详解】设、，则，
①，②
在抛物线上，
，把①②代入得，化简得，
即，轨迹为抛物线.
3．答案见解析
【解析】记B(-1，b)(b∈R)，易知直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx，设点C(x，y)，（0≤x