高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题21同角三角函数的基本关系与诱导公式(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题21同角三角函数的基本关系与诱导公式(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了 已知，则的值是 ，故选B等内容，欢迎下载使用。

专题21 同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式
平方关系
sin2α＋cs2α＝1
商数关系
tan α＝eq \f(sin α,cs α)（）
诱导公式
正用
逆用
变用
化简
求值
练高考 明方向
1.(2023·北京卷T10） 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2．(2023年高考全国甲卷理科)若，则( )
A．B．C．D．
3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则( )
A．B．C．D．
4、【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 ▲ .
4．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，则( )
A．B．C．D．
5．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)若,则( )
A．B．C．D．
6．(2023高考数学新课标1理科)( )
A．B．C．D．
7．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)函数()的最大值是 ．
8．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)的内角的对边分别为，若，，，则 ．
9．(2023高考数学新课标2理科)设为第二象限角，若，则＝________．
讲典例 备高考
类型一、同角三角函数的基本关的应用
基础知识：
1、平方关系：sin2α＋cs2α＝1
变形：sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－csα)； cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；
(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα。
2、商数关系：tanα＝eq \f(sinα,csα)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))。
变形：sinα＝tanαcsα。
基本题型：
1．(商数关系的应用)已知角终边上一点，则（ ）
A．B．C．3D．
2、(平方关系的正用)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,4)))，且sinα＝－eq \f(1,3)，则csα＝( )
A．－eq \f(2\r(2),3) B．eq \f(2\r(2),3) C．±eq \f(2\r(2),3) D．eq \f(2,3)
3、(平方关系的逆用)已知，则（ ）
A．B．C．D．
4、(平方关系的变用)已知，，则的值为（ ）
A． B．C．D．
5．(平方关系的变用)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝－eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( )
A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) B．cs θ＝－eq \f(3,5)
C．tan θ＝－eq \f(3,4) D．sin θ－cs θ＝eq \f(7,5)
6．(平方关系与商数关系的综合应用)，则sin2α+2sinαcsα﹣3cs2α＝（ ）
A．B． C．D．
7．(平方关系与商数关系的综合应用)在△ABC中，若sin A－2cs A＝eq \f(\r(10),2)，则tan A的值为( )
A．－3 B．3 C．－3或eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
8．(平方关系与商数关系的综合应用)若sin α＋cs α＝eq \f(1,3)，α∈(0，π)，则eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝( )
A.eq \f(\r(17),17) B．－eq \f(\r(17),17) C.eq \f(\r(15),15) D．－eq \f(\r(15),15)
基本方法：
同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，解题的关键就是灵活掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用及变形应用。
（1）利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦与余弦的互化，利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化，在弦切互化时，要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．
（2）应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋csα，sinα－csα，sinαcsα这三个式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα可以实现知一求二。
（3）对于齐次式问题要把式子中的常数化为cs2α＋sin2α的形式。
类型二、诱导公式的应用
基础知识：
1．三角函数的诱导公式
公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cs(α＋2kπ)＝csα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z。
公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cs(π＋α)＝－csα，tan(π＋α)＝tanα。
公式三：sin(－α)＝－sinα，cs(－α)＝csα，tan(－α)＝－tanα。
公式四：sin(π－α)＝sinα，cs(π－α)＝－csα，tan(π－α)＝－tanα。
公式五：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sinα。
公式六：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα。
注意：（1）公式一～四：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆规律是：函数名不变，符号看象限。
（2）公式五～六：eq \f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆规律是：函数名改变，符号看象限。
基本题型：
1．（利用诱导公式求值）（多选）已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,2)，下列结论正确的是( )
A．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(\r(3),2) B．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,2)
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋α))＝eq \f(1,2) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)－α))＝－eq \f(1,2)
2．（利用诱导公式化简）下列化简正确是（ ）
A．B．
C．D．
3．(多选)已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的是( )
A．sin(B＋C)＝sin A B．sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)
C．sin B＜cs A D．cs(A＋B)＜cs C
4．（利用诱导公式化简并求值）已知，其中是第三象限角，且，则______.
5．（诱导公式与同角三角函数关系式综合运用）已知函数，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
基本方法：
1、利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的思路
(1)分析结构特点，寻求条件与所求间的关系，尤其是有关角之间的关系；
(2)恰当选择公式，利用公式灵活变形；
(3)化简求值．
[提醒] (1)角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号．(2)化简过程是恒等变换．
2．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
3．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－csα.
新预测 破高考
1．若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2、若是第四象限角，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知曲线f(x)＝eq \f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq \f(sin2α－cs2α,2sin αcs α＋cs2α)＝( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,8)
4、已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知eq \f(sin α－2cs α,sin α＋3cs α)＝eq \f(1,6)，则eq \f(cs2α－3sin2α,2＋4sin αcs α)＝( )
A．－eq \f(13,16) B．－eq \f(11,18) C．－eq \f(7,12) D.eq \f(9,14)
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,2)))， eq \r(3)sin(π＋α)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，则β－α＝( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,4)
7．已知sin α＋3cs α＝eq \r(10)，则sin2α＋cs(2 021π＋α)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
8．已知,则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A． B． C． D．
10、若点在函数的图像上，则___.
11．求值： ________.
12．已知，则的值为_____．
13．已知为第四象限角,化简,________.
14. 已知，则的值是 .
15．已知，是关于的方程的两个实根，且，则的值为________.
16.设f(α)＝eq \f(2sinπ＋αcsπ－α－csπ＋α,1＋sin2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＝_________。
17、已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________.
18．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝eq \f(12,25)，且0<α19.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为α(0°<α<45°)，且小正方形与大正方形面积之比为1∶25，则tan α的值为________.
20.已知x∈(－π，0)，sinx＋csx＝eq \f(1,5)。(1)求sinx－csx的值。 (2)求eq \f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值。
2023高考一轮复习讲与练
专题21 同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式
平方关系
sin2α＋cs2α＝1
商数关系
tan α＝eq \f(sin α,cs α)（）
诱导公式
正用
逆用
变用
化简
求值
练高考 明方向
1.(2023·北京卷T10） 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
【解析】
分析：依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，
所以，，
所以
，其中，，因为，
所以，即。
2．(2023年高考全国甲卷理科)若，则( )
A．B．C．D．
答案：A
解析：
，
，，，解得，
，．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出．
3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】，得，即，
解得或（舍去），又．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
4、【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 ▲ .
答案：
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=综上，
5．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，则( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】∵，∴.,∴，，
∴，又，∴，，又，∴．
【点评】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为关系得出答案．本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
6．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)若,则( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由,得,或,
所以,故选A.
7．(2023高考数学新课标1理科)( )
A．B．C．D．
答案：D
解析：原式= ==，故选D．
8．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)函数()的最大值是 ．
答案：1
【解析】解法一：换元法
∵ ，
∴ 设，，∴
函数对称轴为，∴
【点评】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，学科*网它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。
9．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)的内角的对边分别为，若，，，则 ．
答案：
【解析】由平方关系可得：
所以，再由正弦定理得：．
10．(2023高考数学新课标2理科)设为第二象限角，若，则＝________．
答案：
解析：由得到，解得，
所以
讲典例 备高考
类型一、同角三角函数的基本关的应用
基础知识：
1、平方关系：sin2α＋cs2α＝1
变形：sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－csα)； cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；
(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα。
2、商数关系：tanα＝eq \f(sinα,csα)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))。
变形：sinα＝tanαcsα。
基本题型：
1．(商数关系的应用)已知角终边上一点，则（ ）
A．B．C．3D．
答案：B
【解析】角终边上一点，，则
。
2、(平方关系的正用)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,4)))，且sinα＝－eq \f(1,3)，则csα＝( )
A．－eq \f(2\r(2),3) B．eq \f(2\r(2),3) C．±eq \f(2\r(2),3) D．eq \f(2,3)
答案：A
【解析】因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,4)))，且sinα＝－eq \f(1,3)>－eq \f(\r(2),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))，所以α为第三象限角，
所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2)＝－eq \f(2\r(2),3)。
3、(平方关系的逆用，即1的代换)已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由，得， .
4、(平方关系的变用)已知，，则的值为（ ）
A． B．C．D．
答案：A
【解析】因为，所以，所以.
所以，因为，所以，即，
所以.
5．(平方关系的变用)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝－eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( )
A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) B．cs θ＝－eq \f(3,5)
C．tan θ＝－eq \f(3,4) D．sin θ－cs θ＝eq \f(7,5)
答案：ACD
【解析】因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，又sin θ＋cs θ＝－eq \f(1,5)<0，所以cs θ<0，所以可得θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，故A正确；又(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝eq \f(1,25)，可得sin θcs θ＝－eq \f(12,25)，则可得(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θ·cs θ＝eq \f(49,25)，所以sin θ－cs θ＝eq \f(7,5)，故D正确；由加减法联立解得，sin θ＝eq \f(3,5)，cs θ＝－eq \f(4,5)，所以tan θ＝－eq \f(3,4)，故C正确，B错误．故选A、C、D.
6．(平方关系与商数关系的综合应用)，则sin2α+2sinαcsα﹣3cs2α＝（ ）
A．B． C．D．
答案：B
【解析】因为，所以，代入，
则，，，
所以原式。
7．(平方关系与商数关系的综合应用)在△ABC中，若sin A－2cs A＝eq \f(\r(10),2)，则tan A的值为( )
A．－3 B．3 C．－3或eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案：A
【解析】因为sin A－2cs A＝eq \f(\r(10),2)，A∈(0，π)，所以sin A＞0，若cs A＞0，则sin A－2cs A＜1.
又因为eq \f(\r(10),2)＞1，所以cs A＜0，则tan A＜0.由题可得(sin A－2cs A)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),2)))2，
即sin2A－4sin Acs A＋4cs2A＝eq \f(5,2)，所以eq \f(sin2A－4sin Acs A＋4cs2A,sin2A＋cs2A)＝eq \f(5,2)，所以eq \f(tan2A－4tan A＋4,tan2A＋1)＝eq \f(5,2)，
整理得3tan2A＋8tan A－3＝0，解得tan A＝－3或tan A＝eq \f(1,3)(舍)，故选A.
8．(平方关系与商数关系的综合应用)若sin α＋cs α＝eq \f(1,3)，α∈(0，π)，则eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝( )
A.eq \f(\r(17),17) B．－eq \f(\r(17),17) C.eq \f(\r(15),15) D．－eq \f(\r(15),15)
答案：B
【解析】由sin α＋cs α＝eq \f(1,3)，可得(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝eq \f(1,9)，解得2sin αcs α＝－eq \f(8,9)<0，即sin α与cs α异号．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cs α<0，所以(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(17,9)，得sin α－cs α＝eq \f(\r(17),3)，则eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1＋\f(sin α,cs α),1－\f(sin α,cs α))＝eq \f(sin α＋cs α,cs α－sin α)＝eq \f(\f(1,3),－\f(\r(17),3))＝－eq \f(\r(17),17).故选B.
基本方法：
同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，解题的关键就是灵活掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用及变形应用。
（1）利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦与余弦的互化，利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化，在弦切互化时，要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．
（2）应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋csα，sinα－csα，sinαcsα这三个式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα可以实现知一求二。
（3）对于齐次式问题要把式子中的常数化为cs2α＋sin2α的形式。
类型二、诱导公式的应用
基础知识：
1．三角函数的诱导公式
公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cs(α＋2kπ)＝csα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z。
公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cs(π＋α)＝－csα，tan(π＋α)＝tanα。
公式三：sin(－α)＝－sinα，cs(－α)＝csα，tan(－α)＝－tanα。
公式四：sin(π－α)＝sinα，cs(π－α)＝－csα，tan(π－α)＝－tanα。
公式五：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sinα。
公式六：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα。
注意：（1）公式一～四：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆规律是：函数名不变，符号看象限。
（2）公式五～六：eq \f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆规律是：函数名改变，符号看象限。
基本题型：
1．（利用诱导公式求值）（多选）已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,2)，下列结论正确的是( )
A．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(\r(3),2) B．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,2)
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋α))＝eq \f(1,2) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)－α))＝－eq \f(1,2)
答案：BD
【解析】由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,2)，可得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝±eq \f(\r(3),2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,4)＋α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－eq \f(1,2)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,2)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,4)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(1,2).
2．（利用诱导公式化简）下列化简正确是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】对于A，根据诱导公式可知，故A错；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误。
3．(多选)已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的是( )
A．sin(B＋C)＝sin A B．sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)
C．sin B＜cs A D．cs(A＋B)＜cs C
答案：ABD
【解析】对于A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，故A正确；对于B，sineq \f(A＋B,2)＝sineq \f(π－C,2)＝cseq \f(C,2)，故B正确；对于C，若A＝60°，B＝45°，C＝75°，显然sin B＝eq \f(\r(2),2)＞eq \f(1,2)＝cs A，故C错误；对于D，cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，由C为锐角，可得cs C＞0，所以cs(A＋B)＝－cs C＜cs C，故D正确．
4．（利用诱导公式化简并求值）已知，其中是第三象限角，且，则______.
答案：
【解析】，由化简得，因为是第三象限角，所以，
故，所以.
5．（诱导公式与同角三角函数关系式综合运用）已知函数，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
答案：（1）；（2）-1.
【解析】（1） ，∵，∴，
（1）原式=。
（2）原式=
．
基本方法：
1、利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的思路
(1)分析结构特点，寻求条件与所求间的关系，尤其是有关角之间的关系；
(2)恰当选择公式，利用公式灵活变形；
(3)化简求值．
[提醒] (1)角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号．(2)化简过程是恒等变换．
2．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
3．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－csα.
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1．若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由，且为第四象限角，则，则．
2、若是第四象限角，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，所以，即，因为，
所以，即，因为是第四象限角，所以。
3．已知曲线f(x)＝eq \f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq \f(sin2α－cs2α,2sin αcs α＋cs2α)＝( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,8)
答案：C
【解析】由f′(x)＝2x2，得tan α＝f′(1)＝2，所以eq \f(sin2α－cs2α,2sin αcs α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－1,2tan α＋1)＝eq \f(3,5).
4、已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵，∴，，可得，∵，
∴
.
5．已知eq \f(sin α－2cs α,sin α＋3cs α)＝eq \f(1,6)，则eq \f(cs2α－3sin2α,2＋4sin αcs α)＝( )
A．－eq \f(13,16) B．－eq \f(11,18) C．－eq \f(7,12) D.eq \f(9,14)
答案：A
【解析】由eq \f(sin α－2cs α,sin α＋3cs α)＝eq \f(1,6)可得eq \f(tan α－2,tan α＋3)＝eq \f(1,6)，所以tan α＝3，
则eq \f(cs2α－3sin2α,2＋4sin αcs α)＝eq \f(cs2α－3sin2α,2sin2α＋2cs2α＋4sin αcs α)＝eq \f(1－3tan2α,2tan2α＋2＋4tan α)＝eq \f(1－27,18＋2＋12)＝－eq \f(13,16).
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,2)))， eq \r(3)sin(π＋α)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，则β－α＝( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,4)
答案：A
【解析】由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝\r(3)sin β，①,\r(3)sin α＝－cs β，②))由①2＋3×②2得，cs2α＋9sin2α＝3，
又cs2α＋sin2α＝1，所以sin2α＝eq \f(1,4)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin α＝eq \f(1,2)，则α＝eq \f(π,6).
将α＝eq \f(π,6)代入①，得sin β＝eq \f(1,2)，因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以β＝eq \f(5,6)π，则β－α＝eq \f(2,3)π，故选A.
7．已知sin α＋3cs α＝eq \r(10)，则sin2α＋cs(2 021π＋α)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
答案：B
【解析】由sin α＋3cs α＝eq \r(10)，得sin2α＋6sin αcs α＋9cs2α＝10，∴6sin αcs α＋8cs2α＝9，
即eq \f(6sin αcs α＋8cs2α,sin2α＋cs2α)＝9，∴9tan2α－6tan α＋1＝0，解得tan α＝eq \f(1,3)，
∴sin2α＋cs(2 021π＋α)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sin2α＋sin αcs α＝eq \f(sin2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α＋tan α,tan2α＋1)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＋\f(1,3),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＋1)＝eq \f(2,5).
8．已知,则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
9、若点在函数的图像上，则___.
答案：
【解析】∵ 点在函数的图像上，∴ ，
。
10．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】由可得，化简可得；当时，可得，，即，，此时；当时，仍有此结果.
11．求值： ________.
答案：1
【解析】由题意，原式
。
12．已知，则的值为_____．
答案：0
【解析】∵，∴，，∴。
13．已知为第四象限角,化简,________.
答案：
【解析】依题意为第四象限角，所以
.
14. 已知，则的值是 .
答案：
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=综上，
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
15．已知，是关于的方程的两个实根，且，则的值为________.
答案：
【解析】由题意，是关于的方程的两个实根，可得，解得，又由，则，解得，则，
所以。
16.设f(α)＝eq \f(2sinπ＋αcsπ－α－csπ＋α,1＋sin2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＝_________。
答案：eq \r(3)
【解析】因为f(α)＝eq \f(－2sinα－csα＋csα,1＋sin2α＋sinα－cs2α)＝eq \f(2sinαcsα＋csα,2sin2α＋sinα)＝eq \f(csα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq \f(1,tanα)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6))))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,6))))＝eq \f(1,tan\f(π,6))＝eq \r(3)。
17、已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________.
答案：－eq \f(4,3)
【解析】由题意知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，θ是第四象限角，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＞0，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝ eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(4,5).
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)－\f(π,2)))＝－eq \f(\a\vs4\al(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))))),cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))))＝－eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝－eq \f(4,5)×eq \f(5,3)＝－eq \f(4,3).
18．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝eq \f(12,25)，且0<α答案：eq \f(3,5) eq \f(4,5)
【解析】sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝－cs α(－sin α)＝sin αcs α＝eq \f(12,25).∵0<α解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin αcs α＝\f(12,25)，,sin2α＋cs2α＝1，))得sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5).
19.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为α(0°<α<45°)，且小正方形与大正方形面积之比为1∶25，则tan α的值为________.
答案：eq \f(3,4)
【解析】设直角三角形较短的直角边长为a，则较长直角边长为eq \f(a,tan α)，所以，小正方形的边长为aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan α)－1))，大正方形的边长为eq \f(a,sin α)，由于小正方形与大正方形面积之比为1∶25，所以eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan α)-1)),\f(a,sin α))＝cs α－sin α＝eq \f(1,5)，由于0°<α<45°，则cs α>sin α>0.由已知条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs a－sin a＝\f(1,5)，,cs2a＋sin2a＝1，,cs a>sin a>0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝\f(4,5)，,sin α＝\f(3,5)，))因此，tan α＝eq \f(3,4)。
20.已知x∈(－π，0)，sinx＋csx＝eq \f(1,5)。(1)求sinx－csx的值。 (2)求eq \f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值。
答案：－eq \f(7,5)；－eq \f(24,175)。
【解析】 (1)由sinx＋csx＝eq \f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcsx＋cs2x＝eq \f(1,25)，整理得2sinxcsx＝－eq \f(24,25)。
所以(sinx－csx)2＝1－2sinxcsx＝eq \f(49,25)。由x∈(－π，0)，知sinx<0，又sinx＋csx>0，
所以csx>0，则sinx－csx<0， 故sinx－csx＝－eq \f(7,5)。
(2)eq \f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq \f(2sinxcsx＋sinx,1－\f(sinx,csx))＝eq \f(2sinxcsxcsx＋sinx,csx－sinx)＝－eq \f(24,175)。